Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны
Подождите немного. Документ загружается.
441
Тогда V = −ik
4
√
ε[A
+
exp(−iϕ) −A
−
exp(iϕ)]. Подставляя это выражение
во второе уравнение системы (17.61), найдем
A
0
+
e
−iϕ
+
ε
0
A
+
e
−iϕ
4ε
− A
0
−
e
iϕ
−
ε
0
A
−
e
iϕ
4ε
= 0 .
Объединение этого уравнения с условием (17.62) дает следующую систе-
му уравнений:
(4εA
0
+
−ε
0
A
+
)e
−iϕ
+ (4εA
0
−
− ε
0
A
−
)e
iϕ
= 0 ,
(4εA
0
+
+ ε
0
A
+
)e
−iϕ
− (4εA
0
−
+ ε
0
A
−
)e
iϕ
= 0 .
Разрешая эту систему относительно производных A
0
+
и A
0
−
, получим
A
0
+
=
ε
0
(z)A
−
4ε
e
2iϕ
, A
0
−
=
ε
0
(z)A
+
4ε
e
−2iϕ
. (17.63)
Уравнения (17.63) — точные: пок а сделана всего лишь замена перемен-
ных — от F и V мы перешли к A
+
и A
−
. Но, поскольку неоднородность
слабая, ε
0
мала по сравнению с ε, и, следовательно, A
+
и A
−
меняются
медленно. Поэтому для решения (17.63) можно применить метод после-
довательных приближений, полагая в нулевом приближении ε
0
= 0 и
A
+
(z) = A
0
.
Подставляя A
+
(z) = A
0
во второе уравнение из (17.63), получим
A
−
= A
0
z
Z
0
ε
0
4ε
exp
−2ik
z
0
Z
0
p
ε(z
0
) dz
0
dz .
Учет поправки первого приближения дает
A
−
= A
0
+
z
Z
0
ε
0
4ε
A
−
(z) exp
2ik
z
0
Z
0
p
ε(z
0
) dz
0
dz .
Это уже выход за рамки геометрической оптики: волны взаимодействуют
друг с другом: их амплитуды их связаны.
Если за пределами слоя среда однородна, то интегрирование в этих
выражениях можно формально расширить на всю ось z. Тогда для ко эф-
фициента отражения от неоднородного слоя R = A
−
/A
+
получаем
R =
∞
Z
−∞
ε
0
4ε
exp
−2ik
z
Z
−∞
p
ε(z
0
) dz
0
dz . (17.64)
442
Это соотношение эквивалентно борновскому приближению для коэффи-
циента рассеяния на малом по сравнению с энергией частицы потенциале
в квантовой механике [2,17].
Отметим, что рассмотренная в предыдущем параграфе задача об от-
ражении волны от каустики также может трактоваться как задача о взаи-
модействии двух волн — прямой и встречной. В этом случае эффективное
взаимодействие происходит в области, где их фазовые скорости, имеющие
разные знаки, малы, и, следовательно, близки друг к другу. Взаимодей-
ствие при этом настолько сильное, ч то происходит полное преобразование
падающей волны в отраженную.
Примеры взаимодействия волн в неоднородных средах можно суще-
ственно увеличить. Подобные задачи встречаются в самых различных
областях физики, таких, как гидродинамика, физика плазмы, электроди-
намика, акустика, а в последние годы сюда добавились физика жидких
кристаллов, ферромагнетиков, оптических волноводов. В фунда менталь-
ном обзоре [23] задача линейного взаимодействия волн в неоднородных
средах рассматривается как одна из важнейших современных проблем
теории колебаний и волн вообще
9
.
Исследования в этой области начались в 50-х годах с изучения распро-
странения волн в ионосферной плазме [20–22], нерегулярных волноводах
СВЧ диапазона [24,25], акустических волн в слоистых средах [13].
Вообще говоря, эффект линейного взаимодействия волн (линейной
трансформации мод) возникает в том случае, если при распространении
через отре зок неоднородной среды, амплитуды волн меняются неадиаба-
тически, т.е. их изменения отклоняются от предсказания геометрической
оптики. Другими словами, взаимодействие волн наблюдается при наруше-
нии законов геометрической оптики. Это значит, что отношения амплитуд
и разности фаз волн, образующих полное волновое поле, отличаются от
того, ч то предсказывает ВКБ-приближение, когда волны считаются неза-
висимыми.
Характер и масштаб неоднородности среды определяет трансформа-
цию волн, поэтому изучение этого явления может случить источником
сведений о структуре неоднородности. Более того, изменяя закон неодно-
роднородности среды, можно контролировать эффективность преобразо-
вания волн, и, следовательно, управлять интенсивностью и поляризацией
прямых и встречных волн.
9
В последующем изложении в этом параграфе мы следуем об зору [23], в котором
рассмотрены вопросы взаимодействия электромагнитных волн в анизотропных, плавно
неоднородных с редах.
443
Следуя обзору [23], рассмотрим линейное взаимодействие волн в до-
вольно общей физической ситуации распространения электромагнитной
волны в произвольной анизотропной неоднородной среде .
Пусть монохроматическая волна распространяется в среде без источ-
ников и свойства среды не зависят от времени. Ограничимся рассмотре-
нием одномерного случая и будем опускать множитель exp(iωt). Волновое
уравнение для N -компонентного поля X
α
можно записать в виде системы
дифференциальных уравнений первого порядка
d
e
dξ
= −i
T
e
, (17.65)
Здесь использованы следующие обозначения.
e
есть N-компонентный
вектор столбец, содержащий комплексные амплитуды полевых перемен-
ных X
α
, (α = 1, 2, . . . , N);
T
— квадратная матрица, определяемая
лока льными свойствами среды (
T
не содержит дифференциальных опе-
раторов и зависит от продольной координаты к ак от параметра, она имеет
одинаковую форму в однородных и неоднородных средах); ξ = kx —
безразмерная координата вдоль направления распространения волны; k =
= ω/c — волновое число, c — характерная скорость волнового д вижения
(в электродинамике это скорость света в вакууме). Частотная дисперсия
содержится в элементах матрицы
T
.
Представим вектор-столбец
e
в виде:
e
=
N
X
i=1
f
i
(ξ)
E
i
,
E
i
= Φ
i
e
i
, (17.66)
где
e
i
, (i = 1, 2, . . . , N) — нормальные волны, определенные как полная
система собственных векторов матрицы
T
:
T
e
i
= n
i
e
i
. (17.67)
Подчеркнем, что поскольку матрица
T
зависит от ξ как от парамет-
ра, то такая же зависимость присуща величинам
e
i
и n
i
. Собственные
числа алгебраической проблемы (17.67) являются показателями прелом-
ления нормальных волн. Мы будем предполагать, что матрица
T
имеет
полный набор собственных векторов
e
i
, которые нормированы условием
e
?
T
i
·
e
j
= δ
ij
, где
e
?
i
— собственные собственные векторы транспо-
444
нированной матрицы
10
, удовлетворяющие уравнению
T
T
e
?
i
= n
i
e
?
i
.
Подставляя разложение (17.66) в (17.65), приходим к уравнениям для
комплексных а м плитуд взаимодействующих волн:
df
i
dξ
+ in
i
(ξ) f
i
=
N
X
j=1
i6=j
a
ij
f
j
, a
ij
= −
E
T
i
·
d
E
j
dξ
. (17.68)
Уравнения (17.68) определяют линейную связь между волнами в неод-
нородной среде, поскольку a
ij
6= 0. Множители Φ
i
(ξ) находят из условия
a
ii
= 0, или, что тоже самое, из уравнения
1
Φ
i
dΦ
i
dξ
+
E
T
i
·
d
E
i
dξ
= 0 . (17.69)
Условие a
ii
= 0 означает, что локальное значение показателя преломления
не зависит от неоднородности среды.
Можно показать, что в приближении геометрической оптики, уравне-
ния (17.65) имеют N решений вида Φ
i
e
i
exp[−i
R
ξ
n
i
(ξ
0
) dξ
0
], в которых
множители Φ
i
(ξ) определяются из уравнения (17.69). Точно такое же
решение получается из уравнений (17.68), если в них не учитывать взаи-
модействие волн f
i
, положив все a
ij
= 0. Следовательно, учет взаимодей-
ствия нормальных мод неоднородной среды является выходом за пределы
геометрической оптики. В процессе взаимодействия различные компонен-
ты поля меняются несогласованно, нарушая локальную структуру данной
нормальной волны, что ведет к появлению других волн.
Наиболее часто в теории волн рассматривается взаимодействие меж-
ду двумя волнами (попутными или встречными), которое описывается
уравнениями
df
1
dξ
+ in
1
f
1
= a
12
f
2
,
df
2
dξ
+ in
2
f
2
= a
21
f
1
.
(17.70)
Двухволновое прибл ижение справедливо в случаях, если:
10
В математике векторы
e
i
называются правыми, а векторы
e
?
i
— левыми соб-
ственными векторами матрицы
T
.
445
• волны распространяются в одном направлении, и дисперсионные
характеристики n
1,2
(ξ) обоих волн сближаются настолько, что ока-
зывается выполнимым условие |n
1
− n
2
| ∼
p
|a
12
a
?
21
|;
• волны являются встречными, и обе дисперсионные кривые подходят
близко к нулю.
Количественный анализ линейного взаимодействия волн, описывае-
мого уравнениями (17.70), проведен в [23], и его результаты позволяют
установить критерии, в каком случае можно ожидать эффективного пре-
образования взаимодействующих волн.
Мы не будем здесь подробно останавливаться на математической сто-
роне вопроса, отсылая читателя к работе [23]. Отметим лишь, что взаи-
модействие может возникать не только за счет неоднородности среды, но
и из-за нерегулярности ее границ. Такой эффект характерен, в частности,
в неоднородных длинных линиях [26], плавно нерегулярных волноводах
СВЧ диапазона [24], волоконных оптических световодах [15]. Уравне-
ния, описывающие взаимодействие волн в таких системах, совпадают с
уравнениями (17.68), однако в этом случае коэффициенты связи a
ij
опре-
деляются локальными свойствами границ, а не неоднородностью среды.
Эффект взаимодействия волн возникает из-за изменения коэффициентов
связи вдоль волновода и его нельзя исключить простым переходом к но-
вым собственным модам системы связанных волн, как это можно сделать
для взаимодействующих волн с независящими от координаты постоянны-
ми распространения и коэффициентами связи.
В качестве конкретного примера, рассмотрим взаимодействие мод в
скрученном волоконном световоде. Благодаря совершенствованию техно-
логии изготовления оптических волокон, стало возможным получение од-
номодовых световодов, сохраняющих поляризацию излучения на длинах
в несколько сотен метров и более. В то же время, изучение эффектро
сохранения, или, наоборот, необходимого преобразования поляризации,
связано с перспективой применения таких волокон в системах оптиче-
ской связи, гироскопах, оптических датчиках, сенсорах и т.д.
Регулярный двулучепреломляющий одномодовый световод аналогичен
по своим свойствам анизотропной среде. В нем распространяются две
практически линейно поляризованные собственные моды (называемые
LP-модами), имеющие разные фазовые скорости. Направления поляри-
зации мод перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости поперечного
сечения волновода, они называются оптическими осями волокна. Систему
координат в поперечном сечении удобно выбрать так, чтобы она совпада-
ла с направлением оптических осей, соответственно амплитуды LP-мод
446
обозначают как E
x
и E
y
, считая, что ось z направлена вдоль оси свето-
вода.
В идеально круглом оптическом волокне LP - моды вырождены, т.е.
имеют совпадающие фазовые скорости, однако в реальном световоде это
вырождение снимается из-за отклонения формы поперечного сечения от
круга, остаточной анизотропии материала световода, механических на-
пряжений, а также из-за ряда других факторов. Уравнения взаимоде-
ствующих LP -мод в слабонаправляемом и слабоанизотропном волноводе
имеют вид [15,23]
dE
x
dξ
+ in
x
E
x
= αE
y
,
dE
y
dξ
+ in
y
E
y
= −αE
x
.
(17.71)
Здесь α — действительный коэффициент связи, который определяется
деформацией формы световода, воздействием внешних полей, анизитро-
пией материала, и, в скрученных волокнах, азимутальным вращением оп-
тических о сей. В последнем случае коэффициент связи прибл изительно
равен скорости вращения осей: α ≈ ψ
0
, где ψ — угол между выбранным
фиксированным направлением в пространстве и лок альным направлением
одной из оптических осей, штрих означает производную по безразмерной
продольной координате. Абсолютное значение скорости вращения может
достигать по порядку величины |n
x
− n
y
|, что приводит к эффективной
связи LP -мод. Свойства нормальных волн оптического волокна в таком
случае кардинально меняются. Наиболее существенно то, что моды ста-
новятся эллиптически поляризованными, что следует из выражений для
показателей преломления ˜n
1,2
и коэффициентов поляризации
˜
K
1,2
(
˜
K
i
=
= −iE
i,y
/E
i,x
, i = 1, 2) нормальных мод однородно скрученного светово-
да. Если n
x,y
= const и α = const, то из (17.71) легко получить:
˜n
1,2
=
1
2
(n
x
+ n
y
) ± ψ
0
p
˜q
2
+ 1 ,
˜
K
1,2
= ˜q ∓
p
˜q
2
+ 1 , ˜q =
n
x
− n
y
2ψ
0
, .
(17.72)
Такие моды называют винтовыми. Если волокно неоднородное, то
n
x,y
и α не являются постоянными величинами, следовательно винтовые
моды могут взаимодействовать, такое взаимодействие описывается урав-
нениями (17.70). Количественный анализ этой системы [23] приводит к
выводу, что эффективное взаимодействие винтовых мод между собой воз-
можно только в том случае, е сли существует уч асток волокна, на котором
447
оно переходит из состояния сильно скрученного, в состояние слабоскру-
ченного, ил и наоборот
11
.
Во многих приложениях (в частности в системах оптической связи)
такая трансформация является нежелательным эффектом, поэтому сле-
дует избегать появления подобных нерегулярных участков. В других слу-
чаях, например в целях измерения локальных оптических параметров во-
локна, такая т рансформация мод является полезным эффектом. В этом
случае необходим детальный а нализ амплитудного и фазового эффектов
преобразования мод, который можно осуществить, обращаясь к количе-
ственным результатам решения уравнений (17.70).
В заключение отметим, ч то теория взаимодействия волн в неоднород-
ных средах в настоящее время продолжает интенсивно развиваться. По-
дробную библиографию, относящуюся к этой области теории волн можно
найти в [23, 27].
11
Интересно отметить, что в неоднородных жидких холестерических кристаллах эф-
фективное взаимодействие винтовых волн происходит в областях, где спираль, описыва-
емая в пространстве концом директора, переходит из сильно закрученной в слабозакру-
ченную или наоборот [23]. Напомним, что директором в жидких кристаллах называется
единичный вектор, показывающий преимущественное направление длинных осей моле-
кул, составляющих кристалл.
Литература
Литература к главе 1
1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. — М.: Наука, 1970.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1975.
3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1980.
4. Сборник задач по общему курсу физики. Механика / Под. ред.
И.А.Яковлева. 4-е изд. М.:Наука, 1977.
5. Lotka A.J. Elements of physical biology. — Williams and Wilkins, Bal-
timore, 1925.
6. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Что такое
математическая биофизика: Кинетические модели в биофизике. — М.:
Просвещение, 1971, гл. 1,§ 1, гл. 4, §2.
7. Белоусов В.П. Колебательная реакция и ее механизмы. — Сб. рефе-
ратов по радиац. медицине за 1958 г. — М.: Медгиз, с. 145.
См. также: Автоволновые процессы в системах с диффузией. Сб. на-
учн. т рудов. Горький: ИФП АН СССР, 1981, С.176-186.
Изв. вузов. Нелинейная прикладная динамика. 1999, т. 7, № 4, С.
89-95
8. Жаботинский А.М. Концентрационные колебания. — М.: Наука,
1974.
9. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за суще ствование. —
М. Наука, 1976.
449
10. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии.
Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и
социальные наука. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ “Колледж”, 1995. 129
с.
11. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: Нау-
ка, 1979.
12. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы элек-
тродинамики плазмы. — М: Высшая школа, 1978.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. 3-е изд. М.: Наука, 1974. § 112.
14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. ч. 1. — 3-e изд.
М.: Наука, 1976. § 59.
15. Клитцинг К. фон. Квантовый эффект Холла: Нобелевская лекция
1985 г. // УФН, 1986. Т. 150, № 1. С. 107–126.
16. Бо рмонтов Е.Н. Квантовый эффект Холла // Соросовский образова-
тельный журнал. 1999, № 9. С. 81–88.
17. Петелин М.И., Юл патов В.К. Мазеры на циклотронном резонансе /
Лекции по электронике СВЧ (3-я зимняя школа-семинар инженеров).
Под. ред. В .Н.Шевчика. Кн. IV, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974.
лекция 1, § 4.
18. Вайнштейн Л.А., Исаев В.А., Трубецков Д.И. Электронный генера-
тор с открытым резонатором (обзор теоретических и эксперименталь-
ных исследований) // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 7,
С. 1233–1249.
19. Фейнман Р., Лейтон, Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. вып.
8. Квантовая механика. М: Мир, 1966. Гл. 1, § 4.
20. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.
— М.: Наука, 1979.
21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 4-е изд. — М.: Наука, 1988.
Литература к главе 2
450
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 3-е изд.
М.: Наука, 1981.
2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. В ведение в теорию нели-
нейных колебаний. 2-e изд. М.: Наука, 1987.
3. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск: Изд-во
Краснояр. унт-та, 1995.
4. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. Полное собрание трудов,
т.4. — М.: Изд-во АН СССР, 1955.
5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1975.
6. Афраймович В.С. Краткий очерк качественной теории динамических
систем / Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (6-я зимняя
школа-семинар инженеров). Кн. 2, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
1983, С. 75-89.
7. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем //
УФН. 1983. Т. 141. C.343-374.
8. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного ис-
следования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.
Литература к главе 3
1. Сивухин Д .В. Курс общей физики. Механика. 2-е изд. М.: Наука,
1979.
2. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1980.
3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т. 2, М.: Наука, 1974, § 155.
4. Боголюбов Н.Н. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в
теории нелинейных коле ба ний. М.: Наука, 1974.
5. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984.
6. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разде ление частот в теории колеба-
ний и волн. М.: Наука, 1983.