Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

Линейные колебания и волны

Д.И. Тру бецков, А.Г. Рожн

ев

Оглавление

Оглавление 7

Предисловие авторов 8

Введение 10

Глава 1. Линейный гармонический осциллятор 14

§ 1. Общие замечания и определения . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 2. Консервативный осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

§ 3. Примеры осцилляторов в физике, химии, биологии . . . . . 18

§ 4. “Экономический маятник” — линейные колебания в про-

стой модели экономики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§ 5. Электрон в магнитном поле. Электроны — осцилля торы . . 25

§ 6. Изохронные и неизохронные колебания . . . . . . . . . . . . 31

§ 7. Энергетические соотношения для усредненных величин. Те-

орема вириала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Глава 2. Осциллятор как динамическая система 39

§ 1. Динамические системы: основные определения и классифи-

кация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

§ 2. Особая точка типа центр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

§ 3. Положения равновесия и особые точки . . . . . . . . . . . . 43

§ 4. Фазовый порт рет системы хищник-жертва . . . . . . . . . . 44

§ 5. Особая точка типа седло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

§ 6. Устойчивость положений равновесия . . . . . . . . . . . . . 50

Глава 3. Линейный осциллятор с затуханием 52

§ 1. Основные свойства осциллятора с затуханием. Логарифми-

ческий декремент и добротность . . . . . . . . . . . . . . . . 52

§ 2. Колебания с медленно меняющейся амплитудой . . . . . . . 57

§ 3. Метод нормальных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

§ 4. Немного о квантовом осцилляторе . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 5. Особая точка типа устойчивый фокус. Аттракторы . . . . . 68

§ 6. Осциллятор с сильным затуханием. Устойчивый узел . . . . 69

Глава 4. Осцилляторы с отрицательным трением. Общая класси-

фикация особых точек на фазовой плоскости 72

§ 1. Примеры систем с отрицательным трением . . . . . . . . . . 72

§ 2. Фазовые портреты: неустойчивый фокус и неустойчивый узел 75

§ 3. Общая классификация особых точек на фазовой плоскости 78

§ 4. Понятие бифуркации динамической системы . . . . . . . . . 81

Глава 5. Осциллятор под действием внешних сил. Резонанс 83

§ 1. Примеры и эталонное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . 83

§ 2. Метод комплексных амплитуд . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

§ 3. Случай гармонической внешней силы . . . . . . . . . . . . . 89

§ 4. Резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§ 5. Фазовые соотношения при резонансе . . . . . . . . . . . . . 95

§ 6. Энергетические соотношения при резонансе и метод усред-

нения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Глава 6. Осциллятор под произвольным внешним воздействием 103

§ 1. Периодическая внешняя сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

§ 2. Произвольная внешняя сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

§ 3. Предельные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Глава 7. Осциллятор с изменяющимися параметрами 111

§ 1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§ 2. Параметрическая неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . . 114

§ 3. Теория Флоке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

§ 4. Модельная система . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

§ 5. Уравнение Матье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

§ 6. Неустойчивость в двухконтурной схеме . . . . . . . . . . . . 131

§ 7. Медленное изменение параметров. Адиабатический инва-

риант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

§ 8. Движение в быстро осциллирующем поле . . . . . . . . . . 148

Глава 8. Колебания в системе связанных осцилляторов 157

§ 1. Примеры связанных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . . 157

§ 2. Два связанных идентичных осциллятора . . . . . . . . . . . 162

§ 3. Парциальные системы и парциальные частоты . . . . . . . . 168

§ 4. Два связанных осциллятора с силовой связью . . . . . . . . 171

§ 5. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы 180

§ 6. Колебания системы N связанных осцилляторов . . . . . . . 186

§ 7. Цепочка идентичных осцилляторов . . . . . . . . . . . . . . 192

Глава 9. Переход к одномерной сплошной среде в цепочке свя-

занных осцилляторов. Волны. Дисперсия 208

§ 1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 2. Что же такое волна? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

§ 3. Общее линейное уравнение. Дисперсия. . . . . . . . . . . . 217

§ 4. Пространственная и временная дисперсия . . . . . . . . . . 223

§ 5. О квазичастицах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Глава 10. Волны в распределенных системах с границами 232

§ 1. Влияние граничных условий.Отражение и прохождение вол-

ны в среде со ск ачкообразным изменением параметров . . . 232

§ 2. Струна с закрепленными концами . . . . . . . . . . . . . . . 236

§ 3. Волны в одномерном резонаторе. Резонанс волновых систем 242

Глава 11. Линейные волны в жидкости 251

§ 1. Основные уравнения гидродинамики идеальной жидкости.

Звуковые волны. Акустический эффект Допплера . . . . . . 251

§ 2. Основные уравнения теории волн в стратифицированной

жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

§ 3. Гравитационные и капиллярные волны на поверхности иде-

альной несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

§ 4. Круговые волны на воде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

§ 5. Волны за движущимся источником . . . . . . . . . . . . . . 275

§ 6. Внутренние волны в стратифицированной жид кости. Ли-

нейные волны Россби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Глава 12. Линейные в олны в плазме 288

§ 1. Общие сведения о плазме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

§ 2. Гидродинамическое описание плазмы. (основные уравнения

плазменной гидродинамики) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

§ 3. Дисперсионное уравнение для ленгмюровских колебаний и

анализ важных частных случаев. . . . . . . . . . . . . . . . 291

§ 4. Элементы к инетической теории плазмы. . . . . . . . . . . . . 296

§ 5. Дисперсия волн в двухжидкостной гидродинамике. Ион-

но — звуковые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Глава 13. Кинематика волнового движения. 312

§ 1. О различных способах введения понятия групповой скоро-

сти. Скорость распространения энергии . . . . . . . . . . . . 312

§ 2. Парадоксы Л.И. Мандельштама . . . . . . . . . . . . . . . . 321

§ 3. Фазовая, групповая и скорость распространения энергии

волн в некоторых сплошных средах . . . . . . . . . . . . . . 322

Глава 14. Введение в теорию устойчивости и неустойчивости в ол-

новых систем 328

§ 1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

§ 2. Примеры волновых неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . 338

§ 3. Абсолютная и конвективная неустойчивости (метод харак-

теристик). Волновые неустойчивости двух взаимодейству-

ющих электронных потоков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

§ 4. Неустойчивость Гельмгольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

§ 5. Усиление и непропускание. Критерий разделения. Еще при-

меры неустойчивостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Глава 15. Энергия и импульс волн 366

§ 1. Уравнение переноса плотности энергии волнового пакета в

диспергирующей среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

§ 2. Вариационный принцип Уизема . . . . . . . . . . . . . . . . 370

§ 3. Плотность энергии электромагнитного поля в среде с дис-

персией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

§ 4. Что же такое волновая энергия для линейных волн? . . . . 383

§ 5. Импульс волнового пакета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Глава 16. Волны с отрицательной энергией. Связанные волны 386

§ 1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

§ 2. Волны с положительной и отрицательной энергией . . . . . 388

§ 3. Связанные волны, синхронизм. Нормальный и аномальный

эффект Допплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Глава 17. Волны в неоднородных средах 406

§ 1. Приближение геометрической оптики . . . . . . . . . . . . . 406

§ 2. Образование к аустик и рефрация . . . . . . . . . . . . . . . 415

§ 3. Градиентный диэлектрический волновод . . . . . . . . . . . 422

§ 4. Электромагнитные волны слоисто-неоднородной среде . . . 432

§ 5. Взаимодействие линейных волн в неоднородной среде . . . 439

Литература 448

“Я начну с классической линейной теории колебаний. Такие по-

нятия, как гармонический осциллятор, логарифмический декре-

мент, нормальные и парциальные частоты, резонанс, принцип

суперпозиции, спектральный подход и т.д., обладают для фи-

зика исключительно большой наглядностью и в совокупности

создают стройную, цельную и прозрачную картину процессов,

происходящих в линейных колебательных системах.

Эти понятия и все это линейное мировоззрение тесно связаны

с математикой. Математический аппарат, трактующий линей-

ные колебательные системы, весьма разработан и чрезвычайно

адекватен физическим задачам к лассической теории линейных

колебаний. В своей дискретной части он связан с алгеброй ли-

нейных преобразований и квадратичных форм, в своей распре-

деленной части — с проблемой собственных значений, теорией

специальных функций и т.д. Адекватность этого аппарата фи-

зическим задачам классической теории линейных колебаний не

должна нас удивлять, так как именно эта область может слу-

жить наиболее разительным примером взаимного плодо творно-

го сотрудничества физики и математики. Достаточно вспомнить

знаменитый спор Эйлера, Д’Аламбера и Лагранжа о теории ко-

лебаний струны, откуда ведут свое происхождение многие от-

носящиеся сюда понятия и методы. С Лагранжа же в сущности

начинается и теория малых колебаний, т.е. теория линейных

дискретных систем”.

А.А.Андронов. “Л.И.Мандельштам и тео-

рия нелинейных колебаний” в книге “Ака-

демик Л.И.Мандельштам. К столетию со

дня рождения. — М.: Наука, 1970, с.107–

108.

Предисловие авторов

Предлагаемая читателю книга — первая в логическом ряду серии “Со-

временная теория колебаний и волн”, издаваемой в рамках программы

“Государственная поддержк а интеграции высшего образования и фун-

даментальной науки на 1997–2000 годы”. Книга в известной степени

продолжает традиции Саратовской школы по радиофизике и электро-

нике профессора Владимира Николаевича Шевчика, в которой исследо-

вания, основанные на глубоком знании линейной теории колебаний и

волн, занимали важное место. Достаточно упомянуть книгу В.Н. Шевчи-

ка, Г.Н. Шведова и А.В. Соболевой “Волновые и колебательные явления

в электронных потоках на сверхвысоких частотах” (Изд-во Саратовского

университета, 1962, 336 c.) остающейся своеобразной энциклопедией по

вопросам, охватываемым названием, до сегодняшнего дня

Во многом наша книга соответствует курсам лекций, которые чита-

ются в Саратовском государственном университете по линейной теории

колебаний и волн. В ней сделана попытка, анализируя основные модели

линейной теории колебаний и волн показать единство колебательных и

волновых процессов на примерах из различных областей науки. При этом

достаточно подробно излагается математический аппарат теории.

Эта книга — учебник, и мы старались писать ее так, чтобы все вы-

кладки были максимально полными. По нашему убеждению, математи-

ческий аппарат, используемый в линейной теории колебаний и волн, яв-

ляется основой всего математического образования физика.

Некоторые вспомогательные вопросы включены в основной текст в

виде задач. Однако этих задач не так много, поскольку одновремен-

но с данной к нигой в рамках серии "Современная теория колебаний и

волн"должен быть издан отдельной книгой задачник ”Линейные колеба-

ния и волны. Сборник задач”. Мы надеемся, что совместное изучение

теории и решение большого числа задач , поможет читателю более глубо-

ко освоить эту увлекательную науку.

Вскоре после выхода книга была переведена и издана в Великобритании.

Раздел “Колебания и волны в линейных системах” изначально входил

в курс лекций “Теория волновых процессов” для студентов четвертого

курса радиофизического отделения университета, который на протяжении

многих лет читал чл.-корр. РАН Д.И.Трубецков. В основном его содержа-

ние соответствовало идеологии книги М.И.Рабиновича и Д.И.Трубецкова

“Введение в теорию колебаний и волн” (М.:Наука, 1984 — первое изда-

ние, 1992 — второе издание). Доцентом А.Г.Рожневым был разработан и

читался специальный курс лекций “ Линейные колебания” для студентов

второго к урса Высшего колледжа прикладных наук (на правах факульте-

та университета), в основу учебного плана кот орого положена современ-

ная теория колебаний и волн. Ныне Колледж преобразован в факультет

нелинейных процессов, все книги серии отражают учебный план факуль-

тета, соответствуя в той или иной мере лекционным курсам. Параллель-

но чтению курса по линейным колебаниям доцент А.Г.Рожнева прово-

дил семинары по решению задач. Курс линейные волны был подготовлен

Д.И.Трубецковым для студентов третьего курса факультета нелинейных

процессов. Задачи по этому курсу давались на лекциях и включались в

экзаменационные билеты.

В заключении, мы считаем своим долгом поблагодарить Е.В.Блохину

за большую помощь, оказанную в подготовке рукописи книги.

Д.И. Трубецков

А.Г. Рожнев

Введение

Может показаться странным, что в наше время, к которому вполне

подходит титул “нелинейное”, появляется книга о линейных колебаниях

и волнах.

В своем известном эссе “Нелинейность” (Знание-сила, 1982, № 1,

c. 34–36) Ю.А. Данилов пишет следующее: “Отпечаток распространен-

ного некогда заблюждения относительно якобы главенствующей роли ли-

нейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин “нелиней-

ность”: его создатели сочли первичной линейность а нелинейность вос-

приняли как нечто вторичное, производное от линейности и определили

через ее отрицание”. И далее: “Современный физик, доведись ему заново

создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее

всего поступил бы иначе и, отдав предпочтение нелинейности как более

важной и распространенной из двух противоположностей определил бы

линейность как”не нелинейность.”” Однако, есть и другое мнение, при-

надлежащее М.А. Миллеру (Волны, волны, волны . . . Препринт. Ниж-

ний Новгород, 1993, с.36):“ . . . я осмеливаюсь позволить себе высказать

совсем уж смелую догадку”, которая теперь уж выглядит почти как тео-

ремка. Я утверждаю: описание любого нелинейного явления может быть

сведено к набору (конечному!) или для страховки — к бесконечному!)

линейных соотношений (уравнений или других алгоритмических пред-

ставлений — открытых или скрытых для непосредственных измеритель-

ных проверок). Кое-кто посчитает это сведение тривиальным, а кое-кто

неверным. Пожалуйста, определите свое место между этими крайними

позициями, а может быть вам удастся найти критерии (признаки), опре-

деляющие виды нелинейных связей, допускающих сведение к конечным

комбинациям линейных.

Обе гипотезы красивы и допустимы, но существует классическая ли-

нейная теория колебаний и волн, существует линейное мировоззрение,

тесно связанное с математическим аппаратом. Этот аппарат весьма разра-

ботан, вполне адекватен многим задачам естествознания, а иногда и зада-