Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, для асимптотической устойчивости требуется, чтобы тра-

ектория системы не только все время оставалась в окрестности непод виж-

ной т очки, но и стремилась к ней при t → ∞.

Центр является устойчивой по Ляпунову особой точкой, но не явля-

ется асимптотически устойчивой. Седло — неустойчивая особая точка.

Задача 2.3. Докажите строго это утверждение.

Более подробное обсуждение роли устойчивости и неустойчивости в

различных системах, а также критерии, позволяющие определить устой-

чивость особой точки конечномерной динамической системы, содержатся

в главе 14.

ГЛ АВА 3

Линейный осциллятор с затуханием

Основные свойства осциллятора с затуханием. Логариф-

мический декремент и добротность. Колебания с медлен-

но меняющейся амплитудой. Метод нормальных колеба-

ний. Немного о квантовом осцилляторе. Особая точка ти-

па устойчивый фокус. Аттракторы. Осциллятор с сильным

затуханием. Устойчивый узел

§ 1. Основные свойства осциллятора с затуханием.

Логарифмический декремент и добротность

В предыдущих главах основное внимание уделялось консервативно-

му осциллятору в котором нет диссипации энергии. В реальных системах

диссипация почти всегда присутствует, поэтому ее необходимо учитывать.

Введение даже очень малых потерь качественно меняет динамику осцил-

лятора — вместо периодических колебаний получаются затухающие. Ме-

няется и вид фазовой плоскости. Все эти вопросы будут рассмотрены в

данной главе.

В механических системах обычный способ введения затухания состо-

ит в принятии гипотезы, согласно которой сила трения, действующая на

осциллятор, пропорциональна его скорости: F

тр

= −λ ˙x. Ясно, что такое

предположение справедливо только для жидкого т рения [1], и, вдобавок,

выполняется лишь при относительно малых скоростях. Однако желание

оставаться в рамках линейной теории заставляет считать это гипотезу

справедливой.

Потери энергии в линейных электрических цепях обусловлены джоу-

левым нагревом. Закон Ома V

= RI для сопротивления R (V

— напря-

жение на сопротивлении, I — ток через него) эксперимантально подтвер-

ждается значительно лучше, что чем его аналог в механике. Уравнение

колебаний в электрическом контуре с учетом сопрот ивления (рис. 3.1

Рис. 3.1. Осциллятор с затуханием

имеет вид

Q + R

Q +

Q = 0 . (3.1)

После переобозначений ω

= 1/(LC), 2γ = R/(2L) это уравнение приво-

дится к виду (1.1). Коэффициент γ называется коэффициентом затухания.

Для механической осциллятора (грузик на пружинке) коэффициент за-

тухания равен γ = λ/(2m).

Для решения уравнения (1.1) воспользуемся общим методом решения

линейных однородных дифференциальных уравнений [2]. Будем искать

решение в виде x(t) = exp(pt) Подставляя x(t) в (1.1), проводя все диф-

ференцирования и сокращая на общий множитель exp(pt), получаем, что

предполагаемое решение действительно будет таковым, если параметр p

удовлетворяет уравнению

+ 2γp + ω

= 0 . (3.2)

Это уравнение называется характеристическим для уравнения (1.1). Оно

имеет два корня

1,2

= −γ ∓

− ω

, (3.3)

которые либо действительны, если γ ≥ ω

, либо комплексно сопряжены

друг другу, если 0 < γ < ω

. Основной интерес для нас пока будет

представлять второй случай.

В этом режиме формулу (3.3) можно переписать в виде

1,2

= −γ ∓ iω , ω =

− γ

. (3.4)

Корни лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости p. Двум кор-

ням характеристического уравнения соответствуют два решения x

1,2

= exp(p

1,2

t), поэтому, согласно принципу суперпозиции (см. главу 1), их

линейная комбинация

x(t) = C

+ C

(3.5)

1,2

— константы) также является решением. В теории линейных диф-

ференциальных уравнений показано, что если p

6= p

, то формула (3.5)

дает общее решение. Константы C

1,2

находятся из начальных условий.

Предположим, ч то при t = 0 выполняются начальные условия x(0) = x

˙x(0) = v

, т.е. заданы координата и скорость осциллятора. Тогда обычным

образом из (3.5) получаем:

+ C

= x

, p

+ p

= v

. (3.6)

Решение системы уравнений (3.6) дает

− v

−p

, C

− v

− p

. (3.7)

Если выполнено условие слабого затухания, используя формулу (3.4),

будем иметь



+ i

+ γx





− i

+ γx



(3.8)

Обратим внимание, что C

= C

∗

. Такое соотношение должно выполняться

всегда, если x(t) — действительная функция. Подставляя формулы (3.8)

в (3.5), после простых преобразований приходим к окончательному вы-

ражению:

x(t) = e

−γt



cos ωt +

+ γx

sin ωt



. (3.9)

Эта формула дает решение уравнения гармонического осциллятора с за-

туханием для заданных при t = 0 начальных условий. Напомним. что

если начальные условия ставятся в момент времени t

, то в (3.9) вместо t

следует написать t − t

Решение уравнения гармонического осциллятора можно также пред-

ставить в виде

x(t) = A

−γt

cos(ωt + ϕ

) , (3.10)

Рис. 3.2. Затухающие колебания

где

+ (v

+ γx

)

/ω

, (3.11)

cos ϕ

= x

, sin ϕ

= −(v

+ γx

)/(ωA

) . (3.12)

Зависимость координаты от времени x(t), задаваемая выражением (3.10),

показана на рис. 3.2.

Видно, что д вижение о сциллятора больше не является периодическим,

поэтому понятие амплитуды, периода и частоты колебаний в их прежнем

понимании теряют смысл. Тем не менее, некоторые черты периодического

процесса сохраняются. В частности, из (3.10) следует, что положение

равновесия осциллятор проходит через равные интервалы времени T /2,

где T = 2π/ω. Легко показать, что точки максимума и минимума x(t)

также следуют периодически, с периодом T . По этой причине параметр

ω иногда называют частотой затухающих колебаний, а параметр T — их

периодом, несмотря на то, ч то функция x(t), конечно, непериодическая.

Запишем формулу (3.10) в виде

x(t) = A(t) cos(ωt + ϕ

) , (3.13)

где функция

A(t) = A

−γt

(3.14)

описывает изменение во времени “размаха” колебаний. Ве личину A(t) на-

зывают просто амплитудой затухающих колебаний. С течением времени

амплитуда экспоненциально уменьшается, так что через время порядка

нескольких τ = 1/γ колебания полностью затухают. Чтобы дать пред-

ставление о скорости затухания, скажем, что через время 2τ амплитуда

затухает в e

≈ 7,4 раза, за время 4τ — в e

≈ 54,6 раза, за время 10τ —

в 2,2·10

раз. Таким образом, τ определяет характерное время изменения

амплитуды и, следовательно, энергии колебаний.

Обозначим через A

последовательные значения максимальных от-

клонений осциллятора от точки равновесия в сторону положительных

значений x. Очевидно, что эти максимумы подчиняются рекуррентной

формуле A

n+1

= e

−γt

. Величина d = γT называется логарифмическим

декрементом затухания осциллятора. За период T амплитуда уменьша-

ется в exp(−d) раз. Если, как это часто бывает, d  1, то A

n+1

≈ 1−d,

откуда следует, что относительное изменение амплитуды за период равно

логарифмическому декременту.

В современной теории колебаний более употребителен другой пара-

метр, характеризующий затухание в осцилляторе — добротность. Она

определяется через декремент с помощью формулы

Q =

2γ

. (3.15)

Добротность и логарифмический декремент — безразмерные величины,

поэтому они характеризуют потери о сциллятора более полно, нежели ко-

эффициент затухания. Два осциллятора с одинаковой добро тностью теря-

ют одинаковую долю своей начальной энергии за одинаковые промежутки

времени, если измерять их в периодах T .

Из формулы (3.4) видно, что частота затухающих колебаний ω отли-

чается от параметра ω

в уравнении (1.1), однако это отличие мало для

систем со слабым затуханием, для которых выполняется условие γ  ω

Используя его, выражение для ω можно представить в виде

ω = ω

(1 − γ

/ω

)

−1/2

≈ ω

[1 − γ

/(2ω

)] .

С той же точностью выражение для выражение для добротности записы-

вается как

Q =

2γ



1 −



−1/2

≈

2γ



1 −

2ω



Отсюда видно, что Q ≈ ω

/(2γ), причем погрешность этой формулы со-

ставляет не более 0,5% при Q > 5.

Мы надеемся, что использование традиционного обозначения добротности через Q

не внесет путаницы ее с зарядом на обкладках конденсатора

Добротность разных осцилляторов может различаться друг от дру-

га на много порядков. Радиотехнические контура обычно имеют доброт-

ность несколько десятков. Механические осцилляторы более добротны,

для них Q порядка сотни. Резонаторы электронных СВЧ приборов, в ко-

торых происходят колебания электромагнитного поля имеют добротность

от нескольких сотен до нескольких тысяч единиц. Открытые ре зонато-

ры, используемые в технике СВЧ м ил лиметрового и субмиллиметрового

диапазонов характеризуются добротностью порядка 10

, тоже самое от-

носится к оптическим резонаторам, применяемым в лазерах. Наконец,

возбужденный атом можно трактовать как осциллятор, а спонтанное из-

лучение кванта энергии и переход на нижний уровень — как затухание

колебаний. Добротность такого резонатора составляет 10

§ 2. Колебания с медленно меняющейся амплитудой

Затухающие колебания линейного осциллятора не являются гармони-

ческими, поскольку их амплитуда меняется во времени. Тем не менее,

если добротность осциллятора велика, то в формуле (3.13) характерные

временные масштабы изменения обоих сомножителей сильно различают-

ся. Как показано выше, ам плитуда A(t) заметно меняется за время поряд-

ка τ, а для косинуса характерным временным масштабом является период

T . Если добротность велика (Q  1), отношение τ/T = 1/(γT ) = 1/d

есть большая величина. Для таких систем “локально” можно считать, что

колебания почти гармонические. Оговорка ”почти” означает, что если

проводить измерения координаты осциллятора x(t) на интервале времени

в несколько периодов, то для того, чтобы отличить эту функцию от сину-

соиды, потребуется аппаратура с достаточно большой точностью, причем

эта точность должна увеличиваться при переходе к системам с большей

добротностью.

Различить гармонический сигнал и колебания затухающего осцилля-

тора можно и формально математическим способом. Для этого следу-

ет воспользоваться аппаратом преобразования Фурье, которое разлагает

произвольную функцию времени по совокупности гармонических колеба-

ний.

Пусть f (t) —функция времени, удовлетворяющая достаточно общим

условиям

, тогда ее можно представить в виде

f(t) =

∞

−∞

F (ω) e

iωt

dω

2π

, (3.16)

где

F (ω) =

∞

−∞

f(t) e

−iωt

dt . (3.17)

Формула (3.16), очевидно, осуществляет разложение функции f(t) на

гармонические сигналы, а параметр ω играет роль их частоты. Функция

F (ω) называется фурье-спектром, или частотным спектром сигнала f (t).

Вычислим фурье-спектр затухающего колебания (3.9), ограничившись,

для простоты, случаем начальных условий x(0) = 0, ˙x(0) = v

(покоя-

щийся о сциллятор получает толчком скорость v

). Подставляя формулу

(3.9) в (3.17) и учитывая, что x(t) = 0 при t < 0, после несложных

преобразований получаем

X(ω

) =

+ (ω

− ω)

+ (ω

+ ω)

(3.18)

(мы использовали обозначение ω

для текущей частоты, т.к. символ ω

уже занят — он обозначает собственную частоту о сциллятора).

Функция |X(ω

(ее еще называют спектром мощности сигнала) по-

казана на рис. 3.3. Из него следует, что для затухающего колебания

спектр, вообще говоря, является сплошным: он состоит из гармонических

сигналов со всеми возможными частотами от −∞ до ∞. Если затухание

мало (γ  ω), то функция спектр имеет вид д вух острых пиков вблизи

частот ω

= ω и ω

= −ω. Доминирующий вклад в полный сигнал дают

спектральные составляющие с частотами, лежащими вблизи этих значе-

ний. Ширина пиков определяется величиной коэффициента затухания γ.

Рассмотрим, например, поведение |X(ω

вблизи точки ω

= ω. В при-

ближении γ/ω  1 второй корень в знаменателе можно при этом считать

Фунция f(t) должна быть абсолютно интегрируемой в промежутке (−∞, +∞) и на

любом конечном интервале удовлетворять условиям Дирихле, т.е. иметь не б олее чем

конечное число разрывов первого рода и этот интервал должен допускать разбиение на

конечное число подинтервалов, на которых f(t) меняется монотонно [3].

Рис. 3.3. Фурье спектр затухающего колебания линейного

осциллятора

постоянным и равным 2ω, и записать

X(ω

) ≈

/(2ωγ)

1 + (ω

− ω)

/γ

. (3.19)

Отсюда видно, что функция |X(ω

имеет максимум в точке ω

= ω и

при отстройке от этого значения на величину γ уменьшае тся вдвое. По-

этому шириной спектра можно считать величину 2γ. Поведение функции

|X(ω

вблизи точки ω

= −ω не требует специального исследования,

поскольку для действительных функций f (t) из (3.17) легко показать,

что их спектр должен удовлетворять условию F

(ω

) = F (−ω

Замечание. Обратите внимание, что для действительных функций их

фурье-спектр всегда имеет компоненты как на положител ьных, так и на

отрицательных частотах. Это легко понять, рассмотрев простейший слу-

чай гармонического сигнала x(t) = cos ω

t. По формуле Эйлера x(t) =

= (exp(iω

t) + exp (−iω

t))/2, следовательно частотный спектр косинуса

состоит из двух дискретных частот ±ω

. По этой причине, кстати, счи-

тается, что гармоническому осцилля тору соответствует две собственные

частоты ±ω

, таким образом, число собственных частот совпадает с чис-

лом динамических переменных осциллятора и размерностью его фазового

пространства.

Рассмотрение примера осциллятора со слабым затуханием показывает,

что если спектр колебания сосредоточен в относительно узкой о бласти

∆ω относительно некоторой центральной ч астоты ω

, то его оказывается

полезным представить в виде

x(t) = A(t) cos[ω

t + ϕ(t)] , (3.20)

где функции A(t) и ϕ(t) —медленно меняющиеся амплитуда и фаза коле-

бания. Медленность их изменения означает, что за ”период” T

= 2π/ω

соответствующий центральной частоте, функции A(t) и ϕ(t) меняются

мало. Другой способ выразить это свойство заключается в неравенствах

A/(ω

A)|  1 и | ˙ϕ/(ω

ϕ)|  1. Для линейного осциллятора с затуханием

во времени меняется только амплитуда, условие медленности ее измене-

ния совпадает с условием γ  ω

, т.е. с условием слабого затухания.

Последовательный учет медленности изменения амплитуды и фазы ко-

лебаний позволяет получить приближенное аналитическое решение мно-

гих задач, точное решение для которых неизвестно. Несколько таких при-

меров применительно к линейным системам, приведено в главах 7 и 17.

Для более общего случая нелинейных систем большое ч исло подобных

задач исследуется в [4–6].

Для сигналов с медленно меняющимися параметрами полезно также

обобщить операцию усреднения, введенную в главе 1. Поскольку f (t)

непериодическая, то казалось бы, необходимо использовать определе-

ние (1.50). Однако, подставляя в эту формулу вместо f(t) выражение

(3.10), получаем

x(t) = 0, x

(t) = 0 и т.д. Следовательно, таким образом

определенное среднее не несет никакой информации о сигнале. Между

тем интуитивно ясно, что если за много периодов колебаний их амплиту-

да и фаза практически не меняются, то должны иметь, например, смысл

понятия средних потенциальной и кинетической энергий колебаний за

период, причем разумно предположить, что они должны определяться

формулами (1.51), в которые следует подставить вместо A

текущее зна-

чение а м плитуды A(t).

Введем понятие локального усреднения для функции F[f(t)] о т сиг-

нала f(t) с помощью формулы

F[f (t)] =

t+T

F[f (t

)] dt

. (3.21)

Смысл операции, обозначаемой угловыми скобками h. . . i, будет пояснен

чуть позднее, а cначала исследуем интеграл внутри них. Взглянув на

формулу (1.50), можно видеть, что этот интеграл точно такой же, как и

в операции определения среднего для периодической функции. Теперь,

однако, f(t) непериодическая, и это приводит к тому, что в результате

интегрирования получается быстро осциллирующая функция.

Покажем это на простом примере, вычислив среднюю мощность по-

терь за период колебаний линейного осциллятора в виде грузика на пру-

жинке. Мгновенная мощность равна P (t) = F

тр

˙x = −λ ˙x

. Используя