Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

381

Метод, основанный на дисперсионном уравненииУкажем еще на один

простой способ получения энергетических соотношений в средах с вре-

менной и пространственной дисперсией, который основан на использова-

нии дисперсионного уравнения системы [8, 9]. Рассмотрим одномерную

волну v

= Re{v exp[i(ωt − kx)]}, где v

, например, — скорость возмуще-

ния в потоке электронов. Пусть волна скорости возбуждается внешней

волной F

= Re{F exp[i(ωt − kx)]} (например, продольной электрической

компонентой бегущей электромагнитной волны), которая и определ яет

значения ω и k. Амплитуды v и F определены так, чтобы средняя за

период мощность взаимодействия возбужденной и внешней волн была

пропорциональна (F

). Если v и F связаны линейным соотношением

D(ω, k)v = −iF , где D(ω, k) — аналитическая функция ω и k, то имеют

место формулы: для усредненной по периоду энергии на единицу длины

hEi =

∂D

∂ω

(15.55)

и для усредненного по периоду потока энергии на единицу длины

hSi =

∂D

∂k

. (15.56)

В отсутствие внешнего воздействия D(ω, k) = 0 и v

гр

= dω/dk =

= (∂D/∂k) (∂D/∂ω)

−1

= hSi/hEi, где полная производная берется вдоль

всей дисперсионной характеристики.

Предоставляем читателю самому доказать весьма полезные формулы

(15.55) и (15.56). В качестве примера их применения рассмотрим волны

пространственного заряда в электронном потоке, исходя из уравнения для

плотности сгруппированного тока j

при воздействии на поток внешней

бегущей электромагнитной волны с продольной компонентой электриче-

ского поля E

(см. гл.14. В предположении, что все переменные величины

изменяются во времени по закону exp(iωt), это уравнение имеет вид

∂

∂x

+ 2i

∂j

∂x

−





−





iωω

4πv

(15.57)

—постоянная скорость пучка, ω

= R(ω, k)ω

. Если E

∼ exp[i(ωt −

− kx)], то из (15.57) имеем

4π

ωS

(ω − kv

)

/ω

− R

(ω, k)

S = −iE

, (15.58)

382

т. е.

D(ω, k) =



(ω − kv

)

− R

(ω, k)



4π

ωS

. (15.59)

где S — поперечное сечение пучка. Вид D(ω, k) определяется тем, что

средняя за период мощность взаимодействия электронного пучка с внеш-

ней бегущей волной равна (1/2) Re(E

S). При “снятии” внешнего воз-

действия D(ω, k) = 0 и (ω − kv

)

= R

(ω, k) ω

, т. е. имеем две волны

пространственного заряда в дрейфующем пучке — быструю ω − kv

= R(ω, k) ω

и медленную ω − kv

= −R(ω, k) ω

. Из формул (15.55),

(15.56) и (15.59) находим

hEi =

2πj

ωω



ω − kv

−Rω

∂R

∂ω



, (15.60)

hSi =

2πj

ωω



ω − kv

+ R

∂R

∂ω



, (15.61)

Если пучок бесконечно широкий и R = 1, то v

гр

= hSi/hEi, и перенос

энергии связан лишь с кинематическим движением пучка . Однако для

пучка конечной толщины

гр

= v



ω − kv

+ R

∂R

∂ω



ω − kv

− Rω

∂R

∂ω



−1

т. е. распространение энергии определяется не только кинематикой пучка,

но и вторыми членами в круглых скобках, имеющими электромагнитное

происхождение. Полученные выражения (15.60) и (15.61) верны и в ре-

лятивистском случае, е сли в определении ω

использовать продольную

релятивистскую массу; они представляются полезными в теории шумов

в электронных потоках. Интересно, что при ∂R/∂ω = ∂R/∂k = 0 для

быстрой (индекс “б”) и медленной (индекс “м”) волн пространственного

заряда (15.60) и (15.61) имеем

б,м

i = ±

2πS

ωω

, hS

б,м

i = ±v

б,м

i, (15.62)

т. е. быстрая волна потока имеет положительную энергию, а медленная

— отрицательную. Волнам с отрицательной энергией мы посвятим сле-

дующую главу.

383

§ 4. Что же такое волновая энергия для линейных волн?

Для вычисления волновой энергии линейных волн исходят из линеа-

ризованных уравнений анализируемой системы, умножая из на комплекс-

но сопряженные величины и приводя к дивергентной форме:

∂E

∂t

+ div S

= 0 .

Например, для звуковых волн в жидкости E

= ρ

/2 + p/(2ρ

зв

), S

= pv, где ρ

— постоянная составляющая плотности жидкости, v и p —

малые возмущения скорости и давления, c

зв

— скорость звука. Именно

так получается равенство E = ωL

, поскольку в нем использовано со-

отношение L = 0, которое выполняется лишь при учете дисперсионного

уравнения G(ω, k) = 0, следующего из линеаризованных уравнений зада-

чи. В физическом от ношении такой подход некорректен: E

не есть вся

энергия, связанная с волной.

Действительно, энергетические величины имеют второй порядок по

амплитуде волны, и отброшенные при линеаризации квадратичные члены

(при наличии течений или потоков) могут дать квадратичных же вклад в

энергию, импульс и т.д.

Приведем элементарное пояснение сказанного на примере жидкости, в

которой существует некоторое периодическое волновое д вижение, распро-

страняющееся вдоль оси x в присутствии постоянного сдвигового течения

u(z) (z — поперечная координата). Если ам плитуда волны достаточно ма-

ла, т о общее поле скоростей u можно представить в виде ряда

u = U(z) + A

(z)e

i(ωt−kx)

+ k.c.

+ A

(z) + f

(z)e

2i(ωt−kx)

+ k.c.

где A — амплитуда волны, A

(z) описывает квадратичную поправку к

средней скорости течения, к.с. означает комплексно сопряженную величи-

ну. По определению средняя плотность кинетической энергии, связанной

с волной, может быть представлена в виде:

− U

(z)

= ρ|A



+ uf



черта, как обычно, означает усреднение по времени; считается, что в

окрестности данной точки ρ = const.

Таким образом, плотность энергии состоит из двух слагаемых: E

∼ f

и E

нл

∼ Uf

, имеющих один и тот же порядок |A

|. Очевидно, что E

нл

“не содержится” в пред варительно линеаризованных уравнениях. Окон-

чательный вывод: для вычисления ” истинной” энергии нелинейное волны

384

необходимо знать нелинейное решение с точностью до ч ленов второго

порядка включительно.

§ 5. Импульс волнового пакета

Пусть в среде, которая движется относительно наблюдателя со скоро-

стью |V |  c (c — скорость света), распространяется волновой пакет. Его

энергия в системе координат, движущейся со скоростью V, равна E

в то время как в неподвижной системе координат энергия равна E

= E

. Для дальнейших рассуждений [11] воспользуемся тем, что при

|V |  c имеет место галилеева инвариантность физических процессов:

законы изменения состояний физических систем не зависят от того, в ка-

кой из инерциальных систем отсчета они происходят (для механики это

означает, что уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразо-

вания Галилея). Ответим сначала на вопрос: как связаны E

и 6= E

? Для

этого кроме волнового пакета рассмотрим частицу массы m, которая дви-

жется относительно наблюдателя со скоростью v

= V+v. Величина v —

относительная скорость движения. Кинетическая энергия дополнительно

введенной частицы

+ mv V +

. (15.63)

Поскольку импульс частиц p = mv, а E = mv

/2 — — энергия в системе

координат, движущейся со скоростью V, то E

= E + pV с точностью до

постоянной величины mV

/2. Предположим далее, что частица и волно-

вой пакет обмениваются энергией и импульсом. Следствием галилеевой

инвариантности является следующее соотношение, связывающее энергию

и импульс в движущейся среде:

= E

+ PV . (15.64)

Структура соотношения (15.64) определяется тем, что оно должно быть в

точности совпадающим с написанным выше для частицы. Когда волна и

свободная частица взаимодействуют эффективно? При выполнении усло-

вий пространственного резонанса, т, е. когда скорость частицы v равна

фазовой скорости волны v

, это условие удобно записать в виде усло-

вия черенковского излучения ω −kv = 0. Из-за взаимодействия с волной

имеет место изменение (уменьшение) энергии частицы ∆E = ∆(mv

/2) =

= mv∆v = v∆p, связанное с изменением ее импульса. Такое же соот-

ношение вследствие галилеевой инвариантности мы обязаны написать

385

для волнового пакета. Если учесть, что получающиеся изменения энер-

гии ∆E

и импульса ∆P волнового пакета пропорциональны квадрату

амплитуды, то ∆E

и ∆P пропорциональны друг другу, т. е. при про-

странственном резонансе E

= vP. Импульс P направлен вдоль вектора

k, поскольку составляющая скорости частицы, поперечная по отношению

к k, может быть произвольной. Поэтому из условия ω = kv следуе т, что

P = (k/ω)E

, откуда, в свою очередь, видно, что (v

P) = E

) (фазовая

скорость волны есть отношение энергии волны к ее импульсу). Если вве-

сти амплитуду волны соотношением E

= ω|a

| = ωN, где N — число

волн в пакете с данным волновым ч ислом k [11], то P = kN. Используя

два последних выражения для E

и P в (15.64), находим E

= ωN +

+ kVN = ω

N, где ω

= ω + kV — доплеровская частота.

Заметим, что Уизем указывает [3] на существование уравнения со-

хранения “волнового импульса”

∂

∂t

) +

∂

∂x



−k

+ Lδ



= 0 , (15.65)

— символ Кронекера. Из уравнения (15.65) находим плотность им-

пульса

— вектор, направленный вдоль k и имеющий длину E

Задача 15.6. Проверьте справедливость уравнения сохранения (15.65) ис-

ходя из уравнений (15.29)-(15.31).

ГЛ АВА 16

Волны с отрицательной энергией. Связанные

волны

Общие замечания. Волны с положительной и отрицательной

энергией. Связанные волны, синхронизм. Нормальный и ано-

мальный эффектр Допплера.

§ 1. Общие замечания

В предыдущей главе мы столкнулись с тем, что плотность энергии

и плотность потока энергии медленной волны постранственного заряда

в электронном потоке отрицательны (см. (15.62)). Формально это можно

понять, используя соотношения (15.38) и (15.39), которые удобно записать

в виде

E = ω

∂G(ω, k)

∂ω

, (16.1)

F = −ω

∂G(ω, k)

∂k

. (16.2)

Рассмотрим дисперсионое уравнение (15.33) в области действитель-

ных k и ω. Согласно формуле (16.1) знак изменитья в т ех точках оси

k, где меняет зная либо ω либо ∂G/∂ω. Что это значит? Смена зна-

ка ω означает смену знака фазовой скорости относительно групповой:

волна из “прямой” становится “обратной” и наоборот. Второе условие в

общем случае соответствует обращению в бесконечность групповой ско-

рости v

гр

= dω/dk = −L

(L 6= 0). Типичный участок дисперсионной

характеристики ω = ω(k), соответствующий волне с отрицательной энер-

гией отмечен на рис. 16.1 штриховкой. Имеет место смыкание двух вет-

вей дисперсионной характеристики, одна из которых соответствует волне

с отрицательной энергией (ВОЭ), а другая — волне с положительной

энергией (ВПЭ). Связь этих волн приводит к неустойчивости: за точкой

ветвления частота становится комплексной.

На первый взгляд существование волн с отрицательной энергией про-

тиворечит общим принципам.

387

ÂÏÝ

ÂÎÝ

Рис. 16.1. Иллюстрация к объяснению существования ВОЭ

Действительно, например, на возбуждение электромагнитного волно-

вого пакета в среде с дисперсией нужно затратить энергию; поэтому,

когда подкачка энергии извне прекращается, существующая в диспер-

гирующей среде диссипация (хотя бы и малая) заставит перейти всю

энергию

hE(t)i =

16π



d(ωε)

dω

h|E|

i +

d(ωµ)

dω

h|H|



(см (15.54) в тепло. Поскольку согласно принципу возрастания энтропии

тепло должно выделяться, а не поглощаться, получаем (см. [1])

hW (t)i > 0 ,

d(ωε)

dω

> 0 ,

d(ωµ)

dω

> 0 . (16.3)

Однако сказанное верно л ишь для равновесных сред. Для неравновесных

же сред соотношения (16.3)) могут н не выполняться — в таких средах

действительно возможно возбуждение и распространение волн с отрица-

тельной энергией. Физический: смысл этого будет ясен из дальнейшего.

Причины неравновесности могут быть самыми разнообразными [2], в

частности нескомпенсированные направленные движения, внешние поля,

градиент плотности, температуры и т. д. Примеры неравновесных сред

хорошо известны: электронный пучок, взаимодействующий с полями за-

медляющей системы (ЛБВ, ЛОВ), плазма с многогорбой функцией рас-

пределения заряженных частиц по скоростям (частным случаем является

взаимодействие электронного потока с плазмой), среды с о трицательной

проводимостью или вязкостью (туннельные и ганновские полупроводни-

ки), пограничный слой и другого рода сдвиговые течения в гидродина-

мике. Почему в подобных средах возбуждаются полны с отрицательной

энергией? Как возбудить волну с энергией определенного знака и ка ков

результат взаимодействия связанных волн с энергиями разных знаков?

Ответы на эти вопросы мы и постараемся здесь дать.

388

§ 2. Волны с положительной и отрицательной

энергией

Понятие о волнах с отрицательной энергией, впервые появилось в

СВЧ-электронике в виде известной теоремы Чу о кинетической мощно-

сти [3]. Именно Чу показал, что с медленной волной пространственного

заряда в электронном пучке связан поток “отрицательной кинетической

мощности”. Следующий принципиально важный шаг в понимании волн

с отрицательной энергией был сделан П.А. Стэрроком [4], кот орый, не

конкретизируя природы волн, показал, что в среде, движущейся со ско-

ростью u, энергия быстрой и медленной волн, измеряемая неподвижным

наблюдателем, выражается соотношениями

= W

(1 + u/v

), W

= W

(1 − u/v

) , (16.4)

где v

и −v

— скорости воли в подвижной системе координат, a W

—

энергия в этой системе. Из (16.4) видно, что при v

< u величина W

от-

рицательна, в то время как групповая скорость о беих волн положительна.

Более простой, но менее строгий, чем в [4], вывод формул (16.4) приве-

ден в книге [5]. В дальнейшем волны с отрицательной энергией широко

обсуждались как в периодической печати (см. обзор [6] и библиографию

к нему), так и на страницах книг [7–10].

По физическому смыслу волны с отрицательной энергией — это такие

волны, с ростом амплитуды которых суммарная энергия системы “среда

– волна” уменьшается. Помимо волн в неравновесных средах отрица-

тельной энергией обладают также продольные электростатические вол-

ны, спектр которых расположен в области аномальной дисперсии среды

dε/dω < 0; для них средняя плотность энергии

эл

i =

16π

dε

dω

hEi

< 0 .

Поясним смысл понятия “отрицательная энергия” на уже знакомом нам

примере распространения волн пространственного заряда в дрейфующем

электронном потоке. Линеаризованные уравнения задачи в использован-

ных уже ранее обозначениях имеют вид

∂v

∂t

+ v

∂v

∂x

−

пз

= 0 , (16.5)

∂ρ

∂t

+ ρ

∂v

∂x

+ v

∂ρ

∂t

= 0 , (16.6)

∂E

пз

∂x

= 4πρ

. (16.7)

389

Пусть все переменные величины изменяются по закону exp[i(ωt −

− kx)]. Тогда из условия совместности уравнений (16.5)-(16.7) следует,

что (ω − kv

)

= ω

= 4πρ

e/m и ω − kv

= ω

соответствует быстрой

волне пространственного заряда, а ω −kv

= −ω

относится к медленной

волне. Из уравнений (16.5) и (16.7) находим v

= (e/m)E

пз

/[i(ω − kv

)],

пз

= −4πρ

/(ik), откуда имеем v

= (4πe/m)ρ

/[k(ω − kv

)] или

(ω − kv

)

. (16.8)

С учетом того, что ω − kv

= ±ω

и kv

= ω ∓ ω

, из соотношения (16.8)

получаем формулы, связывающие переменные составляющие скорости и

плотности объемного заряда для медленной и быстрой волн соответствен-

но:

= −

ω + ω

ω − ω

, (16.9)

Из соотношений (16.9) видно, ч то в медленной волне возмущения ско-

рости находятся в противофазе с возмущениями плотности (знак “-” в

первой из формул (16.9), а в быстрой — в фазе (знак “+” во второй

из формул (16.9). Соотношения (16.9) можно еще более упростить, ес-

ли считать ω

 ω (что характерно, например, для вакуумной СВЧ-

электроники [11]). В этом предположении

= −

, (16.10)

Полученные выражения (16.9) (или (16.10)) сразу проясняют, почему у

быстрой волны энергия положительна, а у медленной отрицательна. Дей-

ствительно, например, из (16.10) следует, что для быстрой волны в обла-

сти, где возмущение приводит к увеличению плотности ρ

, скорость дви-

жения частиц больше v

, а на уч астках, где плотность уменьшилась, ско-

рость электронов меньше v

. Поэтому при возбуждении быстрой волны в

потоке преобладают ускоренные по сравнению с v

электроны и резуль-

тирующая кинетическая энергия, переносимая пучком, больше энергии

невозмущенного пучка. Если же возбуждена медленная волна, то в тех

областях, где образуется сгущение (увеличение ρ

, скорость электро-

нов, наоборот, меньше v

и больше v

там, где возникает разрежение

(уменьшение ρ

). В результате при возбуждении в электронном пото-

ке медленной волны в нем преобладают замедленные по сравнению с v

390

электроны, и энергия, переносимая таким пучком, меньше, чем энергия

пучка без волны.

Поскольку для анализируемой системы дисперсионное уравнение име-

ет вид

ε(ω, k) = 1 − ω

/(ω − kv

)

= 0 . (16.11)

то видно, что на ветви ω −kv

= −ω

, соответствующей медленной волне,

∂ε

∂ω

= 2ω

/(ω − kv

)

= −2/ω

< 0 , (16.12)

т. е. энергия этой волны отрицательна. В то же время для быстрой волны

∂ε/∂ω > 0 и энергия этой волны положительна.

Очевидно, что в противоположность медленной волне волнам с по-

ложительной энергией соответствуют те, с ростом амплитуды которых

полная энергия системы “среда – волна” увеличивается.

Попытаемся получить выражения для плотности потока энергии в

электронном пучке, исходя непосредственно из одномерного уравнения

движения пучка в продольном электрическом поле ∂v/∂t + v∂v/∂x =

= (e/m)E

выражения j = ρv для плотности тока и одномерного уравне-

ния непрерывности ∂j/∂x + ∂ρ/∂t = 0. Рассмотрим, следуя [12], произве-

дение E

j; используя уравнение движения и формулу для j, находим

j = (m/e) (∂v/∂t + v∂v/∂x) ρv . (16.13)

Уравнение (16.13) с учетом уравнения непрерывности принимает вид

∂W

∂t

∂S

∂x

− E

j = 0 . (16.14)

где плотность кинетической энергии электронного пучка

mρv

(16.15)

и плотность потока кинетической энергии

mρv

, (16.16)

причем отношение S

= v, т. е. полной скорости пучка.