Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

351

квазилинейными. Они не содержат нелинейных функций о тносительно

производных. Будем называть характеристиками линии на плоскости xt,

ограничивающие так называемую область влияния. Если возмущение за-

дано на некоторой дуге AB в плоскости xt, то оно влияет на решение

(x , t) системы (14.45) лишь в области, ограниченной характеристика-

ми, проходящими через точки A и B . Поскольку характеристика отде-

ляет возмущенную область от невозмущенной, то, задав все величины

вдоль характеристик (т. е. известны лишь ∂u

/∂s), невозможно с по-

мощью уравнений (14.45) однозначно определить нормальные к характе-

ристикам производные ∂u

/∂n. Исходя из этого будем искать уравнение

характеристик. Обозначая тангенс угла наклона характеристик к оси t

через V , выразим ∂u

/∂t и ∂u

/∂x через ∂u

/∂s и ∂u

/∂n:

∂u

∂t

+ 1

∂u

∂s

−

− 1

∂u

∂n

∂u

∂x

+ 1

∂u

∂s

+ 1

∂u

∂n

После подстановки этих производных в (14.45) имеем

k=1

− V δ

)

∂u

∂n

= −

k=1

(V a

+ δ

)

∂u

∂s

− b

(u) . (14.46)

Это линейная неоднородная система относительно ∂u

/∂n с известной

правой частью. Чтобы из этих уравнений нельзя было определить ∂u

/∂n,

необходимо, чтобы определитель ее равнялся нулю:

Det (a

− V δ

) = 0 (14.47)

(δ

— символ Кронекера). Это и есть искомое уравнение для характе-

ристик. Поскольку это многочлен n-го порядка относительно V , найдем

наклон n семейств характеристик. Если система линейна и a

не зависят

от u, то характеристики — это прямые линии на плоскости xt, наклон

которых равен V

, где V

, (l = 1 , 2 , . . . , n) — корни уравнения (14.47) .

Линеаризованная система (14.45) описывается дисперсионным урав-

нением

Det



−



= 0 , b

∂b

∂u



u=u

. (14.48)

Легко заметить, сравнивая (14.48) с (14.47), что в асимптотике при

k → ∞ наклон дисперсионных кривых совпадает с наклоном характери-

стик.

352

Определим с помощью критерия, основанного на оценке расположения

асимптот, вид неустойчивости в системе из двух взаимопроникающих

двигающихся вдоль x электронных потоков.

Пусть есть две взаимопроникающие заряженные жидкости (в част-

ности, это могут быть два электронных или ионных потока), взаимо-

действие которых определяется общим продольным электрическим полем

пространственного заряда E

пр.з

. Подобно тому как мы поступили при

анализе ЛБВ, будет считать среды консервативными, пренебрегая сила-

ми трения (вязкостью). Потоки, бесконечно широкие, движутся либо в

одном по x направлении (попутные пучки), либо навстречу друг другу

(встречные пучки) с разными по модулю постоянными скоростями |v

| и

Описанная теоретическая модель соответствует довольно хорошо ис-

следованной в СВЧ-электронике двухлучевой лампе [13, 14, 20]. В экспе-

риментальных макетах использовались два катода, разность потенциалов

между которыми обеспечивала различие в скоростях электронных пото-

ков. Конструкция катодов выбиралась такой, чтобы обеспечить хорошее

взаимопроникновение потоков (например, в одной из конструкций катод

был выполнен в виде двух плоских спиралей, размещенных одна перед

другой, так что электроны, эмиттируемые первым катодом, проходят меж-

ду витками другого катода, чем и обеспечивается хорошее смешивание

потоков).

Для введения усиливаемого сигнала в один или о ба пучка обычно

используется о трезок спирали, высокочастотное электрическое поле ко-

торого модулирует электроны. Скорость одного из потоков подбирается

близкой к фазовой скорости волны v

в спирали для того, что бы модуля-

ция потока входным сигналом была эффективной. В результате экспонен-

циального нарастания с координатой переменного тока лучей в выходной

спирали возбуждается сигнал гораздо большей амплитуды, чем подан-

ный на вход лампы (рис.14.10). Поначалу двухлучевая лампа казалась

весьма перспективной, особенно в диапазоне миллиметровых длин волн,

поскольку сочетала длительное взаимодействие с отсутствием замедляю-

щих систем. Однако, как оказалось, переход к высоким частотам требует

уменьшения разности скоростей потоков и увеличения плотности тока к

них. Сближение скоростей потоков ограничено разбросом электронов по

скоростям, который характеризуется функцией распределения электро-

нов по скоростям. Понятно, что при значении |v

| − |v

|, сравнимом с

разбросом по скоростям, два луча практически неразличимы. Двухлуче-

вой усилитель как прибор не используется в СВЧ-электронике. Тем не

менее он стал стандартным примером в те ории волновых неустойчиво-

353

v>v

0202

2 3

5 5

> v

v>v

0202

Рис. 14.10. Схема двухлучевого усилителя: 1 — электрон-

ные пушки; 2,3 — входное и выходное устройства; 4 —

коллекторы; 5 — согласованные нагрузки; H

— фокусиру-

ющее магнитное поле. Пучки показаны разнесенными друг

от друга

стей [6, 21–23].

Рассмотрим далее для определенности д ва ионно-скомпенсированных

электронных потока, описываемых линеаризованными гидродинамически-

ми уравнениями

∂v

∂t

+ v

∂v

∂x

пр.з

∂v

∂t

+ v

∂v

∂x

пр.з

∂ρ

∂t

+ v

∂ρ

∂x

+ ρ

∂v

∂x

= 0 ,

∂ρ

∂t

+ v

∂ρ

∂x

+ ρ

∂v

∂x

= 0 , (14.49)

∂E

пр.з

∂x

= 4π(ρ

+ ρ

) .

В предположении, что все переменные величины изменяются во вре-

мени по закону exp(iωt), преобразуем систему (14.49) к следующему ви-

ду:

пр.з

= −

4π

iω

+ j

) ,

∂

∂x

+ 2i

∂j

∂x

−





= iω

4π

пр.з

∂

∂x

+ 2i

∂j

∂x

−





= iω

4π

пр.з

4πe

, ω

4πe

(14.50)

354

Система уравнений (14.50) соответствует самосогласованной модели

возбуждения электронного волновода электронными потоками. Первое

уравнение системы описывает возбуждение электронного волновода за-

данными потоками, два других описывают группирование электронных

потоков под действием их суммарного поля пространственного заряда.

Такой подход позволяет объяснить физический механизм двухлуче-

вого усилителя с попутными потоками, основываясь на аналогии с уже

известной нам ЛБВ.

Входное устройство модул ирует медленный электронный поток по ско-

рости и по плотности, что приводит к образованию в пространстве дрейфа

электронной периодической структуры чередующихся уплотнений и раз-

ряжении электронов. Такая ситуация, как показано в гл. 12, соответствует

распространению в пучке двух волн пространственного заряда — быстрой

и медленной, фазовые скорости которых v

фб,м

= v

/(1∓ω

/ω). Таким о б-

разом, роль модулированного потока в двухлучевой системе аналогична

роли замедляющей системы в ЛБВ. Второй быстрый поток (v

< v

)

взаимодействует с продольной составляющей замедленной волны в пер-

вом потоке. Тогда, как в ЛБВ, при соответствующем выборе скорости

второго потока последний будет отдавать энергию высокочастотно-

му полю; в результате возможно усиление входного сигнала. Исключая

в (14.50) E

пр.з

окончательно получим

∂

∂x

+ 2i

∂j

∂x

−





−





= −





∂

∂x

+ 2i

∂j

∂x

−





−





= −





(14.51)

Система уравнений (14.51) допускает решение j

= j

= 0, когда потоки

движутся, не взаимодействуя друг с другом. Будет ли такое движение

устойчивым? Будем искать решение (14.51) в виде j

1,2

= Ψ

1,2

exp(−ikx).

Подставляя его в (14.51), получим систему линейных а лгебраических

уравнений для определения коэффициентов распределения Ψ

1,2

(вектор

Ψ(Ψ

, Ψ

) называют также поляризационным вектором). Равенство нулю

определителя этой системы дает дисперсионное уравнение задачи

D(ω, k) = ω

(ω − kv

)

+ ω

(ω − kv

)

−

− (ω − kv

)

(ω − kv

)

= 0 , (14.52)

355

или

(ω − kv

)

(ω − kv

)

= 1 . (14.53)

Задача 14.1. Используя представления гидродинамической теории горя-

чей плазмы главы 12, покажите, что дисперсионное уравнение для горячей

плазмы, пронизываемой холодным э лектронным пучком, имеет вид:

эп

(ω − kv

эп

)

пл

(ω − kv

)

= 1 ,

где ω

эп

— ленгмюровская частота пучка, ω

пл

— ленгмюровская частота плаз-

мы, v

эп

— постоянная скорость электронного пучка, v

— тепловая скорость

электронов плазмы. Напомним, что в гидродинамическом приближении в

обозначениях главы 12 p

= k

Заметим, чт о коэффициенты уравнений — действительные величины,

в то время как корни его (ω или k ) могут быть комплексными. Рассмо-

трим теперь детально различные частные случаи.

Пусть пучки совершенно одинаковые, но встречные, т. е.

= ρ

, ω

= ω

, v

= −v

= v

. (14.54)

С учетом (14.54) дисперсионное уравнение (14.52) принимает вид

D(ω, k) = (ω − kv

)

(ω + kv

)

− ω

(ω − kv

)

− ω

(ω + kv

)

= 0

или

= (k

+ ω

) ±

4ω

+ ω

. (14.55)

Из (14.55) видно, что ω могут быть комплексными, если k

+ ω

, т. е. при условии, когда

k <

√

2ω

. (14.56)

Из (14.56) следует, что λ

√

2λ (k = 2π/λ, w

= 2π/λ

), т.е.

неустойчивы лишь длинноволновые возмущения. Подчеркнем, что k здесь

действительные. Дисперсионные характеристики, определяемые форму-

лой (14.55), приведены на рис. 14.11.

Для понимания рис. 14.11 проследим за цепочкой переходов: один пу-

чок — два невзаимодействующих пучка — два взаимодействующих пучка

356

Рис. 14.11. Модель двух идентичных встречных пучков и

дисперсионные характеристики, определяемые уравнени-

ем (14.55). При ω = 0 имеем k = ±

√

2ω

; если же

k = 0, то ω = ±

√

2ω

; в случае больших k и малых ω

ω ≈ ±v

k; заштрихована полоса действительных значений

k, при которых имеют место комплексные значения ω

(рис. 14.12). Как следует из (14.52) (это известно нам и из гл. 12), в одном

возмущенном электронном потоке существуют две волны пространствен-

ного заряда — медленная и быстрая. Если v

= −v

= 0, ω

= 0,

= ω

, т о из (14.52) имеем (ω − kv

)

= ω

, ω = kv

± ω

, а в случае

= v

= 0, ω

= ω

имеем (ω + kv

)

= ω

, ω = −kv

±ω

. Из

анализа рис. 14.12,в и его сравнения с рис. (14.12),a,б следует, что ветви

1 дисперсной характеристики взаимодействующих пучков соответствуют

медленным волнам, а ветви 2 — быстрым волнам. Из рис. 14.11 видно, что

для быстрых волн неустойчивости быть не может: любым действительным

значениям волнового ч исла k для них соответствуют действительные зна-

чения частоты ω.

Для медленных волн в области значений волновых чисел |k| <

√

2ω

(на рис. 14.11 эта область выделена штриховкой) частота ω будет ком-

плексной величиной и при Im ω < 0 возмущения будут нарастать во вре-

мени.

Таким образом, в анализируемой консервативной системе существует

неустойчивость. Это сам по себе замечательный факт. Энергия, необхо-

димая для поддержания этой неустойчивости, черпается из “неволнового”

движения равномерно движущихся по- токов.

Исследуем теперь одинаковые попутные пучки, т. е. случай, когда

= ρ

(ω

= ω

), v

> 0. При этих условиях из (14.52)

получаем



(ω − kv

)

(ω − kv

)



= 1 . (14.57)

357

à á

Рис. 14.12. Модели двух пучков и дисперсионные харак-

теристики одного модулированного во входном устройстве

пучка (другой отделен от него экраном A (а,б); модель

двух взаимодействующих пучков и их дисперсионные ха-

рактеристики (в). Штриховыми линиями показаны диспер-

сионные характеристики невзаимодействующих потоков.

Дисперсионная характеристика этой системы изображена на рис. 14.13,в.

Качественный вид ее ветвей легко получить, переходя от случая невзаи-

модействующих пучков, один из которых неподвижен (v

= 0, v

> 0),

к случаю их взаимодействия, а затем и к случаю взаимодействия попут-

ных пучков, когда v

> 0, v

> 0. Дисперсионное уравнение (14.57)

по-прежнему имеет четыре корня, и каждое возмущение будет содержать

четыре слагаемых, например v

1,2

k=1

1,2m

exp[i(ω

t − k

x)]. Два из

них (ветви 1 дисперсионной характеристики на рис. 14.13 в) не нарастают

во времени, а два других (ветви 2) могут нарастать, поскольку действи-

тельным k в заштрихованной области соответствуют комплексные значе-

ния ω. Но неустойчивость зде сь другого типа, чем в задаче о встречных

пучках. Поскольку пучки движутся в одну сторону, возмущение будет

сноситься вместе с пучком, т. е. в данной точке пространства возмуще-

ние может затухать.

Разрешим уравнение (14.57) относительно k = k(ω), полагая ω дей-

ствительной величиной. Вводя величины [13] полуразности скоростей δ =

= (v

− v

)/2, средней скорости v

ср

= (v

+ v

)/2 и волнового числа

358

à á

Рис. 14.13. Дисперсионные характеристики двух невзаимо-

действующих (а) и взаимодействующих (б ) электронных

пучков, один из которых неподвижен (v

= 0) и двух

взаимодействующих попутных пучков (в); заштрихована

область действительных значений k, при которых имеют

место комплексные значения ω

k = ω/v

ср

+ iγ, можно переписать (14.57) в виде



γv

ωδ

ср



−2



γv

−

ωδ

ср



)

−2

= 1 . (14.58)

Если δ мало по сравнению с v

и v

, т о можно считать, что γv

/ω

≈

γv

≈ γv

ср

/ω

. Тогда из (14.58) находим



γv

ср



1−4

= ±









ωδ

ср



+ 1 ±



ωδ

ср



+ 1

1/2







1/2

(14.59)

Из анализа (14.59) следует, что максимальное значение инкремента на-

растания волны составляет Im k = γ

max

= ω

/(2v

ср

) и достигается при

ωδ/ω

ср

√

3/2; при ωδ/ω

ср

≥

√

2 значения γv

ср

/ω

становятся чи-

сто мнимыми и все четыре волны имеют постоянные амплитуды. Итак,

гармоническое возмущение возрастает вдоль x.

Задача 14.2. Пусть плотность одного из потоков мала по сравнению с

плотностью другого: ρ

 ρ

. Покажите, что такая двухпотоковая система

неустойчива. Для простоты предположите, что v

= 0, т.е. более плотный

поток неподвижен. Дисперсионное уравнение в этом случае удобно записать

в виде:

αω

(ω − kv

)

= 1 .

359

где ω

= 4πe/mρ

, α = ρ

/ρ

 1. Используйте малость параметра α и

рассмотрите случаи,

1) когда kv

не близка к ω

;

2) kv

≈ ω

Определите характер неустойчивости.

Задача 14.3. Предположим, что электронная компонента плазмы движется

относительно неподвижной ионной со скоростью v

. В этом случае диспер-

сионное уравнение выглядит так:

(ω − kv

)

= 1 ,

где ω

, ω

— ленгмюровские частоты электронной и ионной компонент.

Докажите, что имеет место неустойчивость (неустойчивость Бунемана). Ис-

пользуйте, что m

 m

§ 4. Неустойчивость Гельмгольца.

Проанализируем теперь неустойчивость Гельмгольца

[5]. При рас-

смотрении взаимодействия течений жидкости обычно приходится решать

двумерную задачу: скорость потоков должна зависеть не только от про-

дольной координаты x, но и от поперечной координаты y (рис. 14.14,а).

Однако в частном случае, когда границу, через которую взаимодействуют

потоки, можно считать неразмытой, задач у удается свести к одномерной.

Предположим, что д ва слоя жидкости скользят друг относительно

друга с постоянными скоростями v

и v

, участок поверхности разрыва

скорости плоский, плотности жидкостей постоянны и равны ρ

и ρ

поскольку жидкости не смешиваются (рис. (14.14),a). Пусть на границе

раздела возникло слабое возмущение y

самой границы, скорости v

давления p жидкости. Причем y

, v

и p

пропорциональны exp[i(ωt−kx)].

Для несжимаемой жидкости с одной стороны от поверхности разрыва из

уравнений Эйлера и непрерывности (см. гл. 11 ) в линейном приближении

имеем

∂v

∂t

+ v

∂v

∂x

= −

grad p

, div v

= 0 (14.60)

Неустойчивость границы раздела движущихся жидкостей при ρ

6= ρ

называют

иногда неустойчивостью Кельвина — Гельмгольца.

360

à á

0,1

v=0, r

0,2

+ +

0,20,2

0,2

0,1

Рис. 14.14. Неустойчивость Гельмгольца [5]: a — возмуще-

ния границы раздела нет — два слоя жидкости скользят

по границе раздела навстречу д руг другу; б —граница раз-

дела возмущена — схематическое изобразение формы ли-

ний тока и распределение давления вблизи возмущенной

поверхности тангенциального разрыва скорости; в — ис-

ходная модель для анализа системы поверхностный ветер

(I) — неподвижная вода (II).

(в первом уравнении учтено, что постоянная скорость направлена вдоль

оси x).

Применяя к обеим частям (14.60) операцию div и используя условие

несжимаемости жидкости, получаем

∂

∂x

∂

∂y

= 0 . (14.61)

Решение (14.61) естественно искать в виде

= p

(y)e

i(ωt−kx)

. (14.62)

Тогда для жидкости, занимающей пространство над разрывом y > 0,

из (14.61) и (14.62) находим

(y) = Ae

−ky

i(ωt−kx)

. (14.63)

Обозначим смещение границы через y

= y

(x, t). Тогда для попереч-

ной составляющей скорости v

на самой границе справедливо соотноше-

ние

= dy

/dt = i(ω − kv

. (14.64)

Из уравнения Эйлера для v

-компоненты скорости с учетом (14.64) на-

ходим связь между давлением p

и смещением границы y

= −(ω − kv

)

/k . (14.65)