Троян В.Н. Принципы решения обратных геофизических задач
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ln p(
~
θ)
~
θ
p(
~
θ)
p(
~
θ) = const
~u = ψ
~
θ + ~ε
~ε
~
θ
~ε ∈ N(0, R
ε
),
~
θ ∈ N(h
~
θi, R
θ
).
ln p(
~
θ/~u) = −
1
2
(~u − ψ
~
θ)
T
R
−1
ε
(~u − ψ
~
θ) −
1
2
(
~
θ − h
~
θi)
T
R
−1
θ
×
×(
~
θ − h
~
θi) −
n + S
2
ln(2π) −
1
2
(ln |R
θ
| + ln |R
ε
|) − ln p(~u).
∂ ln p(
~
θ/~u)
∂θ
s
= 0, s = 1, 2, . . . , S
ln p(
~
θ/~u)
(ψ
T
R
−1
ε
ψ + R
−1
θ
)
~
θ = ψ
T
R
−1
ε
~u + R
−1
θ
h
~
θi.
˜
~
θ
MAP
= (ψ
T
R
−1
ε
ψ + R
−1
θ
)
−1
(ψ
T
R
−1
ε
~u + R
−1
θ
h
~
θi),
R
˜
~
θ
MAP
= (ψ
T
R
−1
ε
ψ + R
−1
θ
)
−1
.
(ψ
T
R
−1
ε
ψ + R
−1
θ
)
−1
= R
θ
− R
θ
ψ
T
(ψR
θ
ψ
T
+ R
ε
)
−1
ψR
θ
,
(ψ
T
R
−1
ε
ψ + R
−1
θ
)
−1
ψ
T
R
−1
ε
= R
θ
ψ
T
(ψR
θ
ψ
T
+ R
ε
)
−1
,
˜
~
θ
MAP
= h
~
θi+ R
θ
ψ
T
(ψR
θ
ψ
T
+ R
ε
)
−1
(~u − ψh
~
θi)
R
˜
~
θ
MAP
= R
θ
− R
θ
ψ
T
(ψR
θ
ψ
T
+ R
ε
)
−1
ψR
θ
.
~ε
R
ε
= σ
2
ε
I
n
,
~
θ
R
θ
= σ
2
θ
I
S
˜
~
θ
MAP
= (ψ
T
ψ + αI
S
)
−1
(ψ
T
~u + αh
~
θi)
˜
~
θ
MAP
= h
~
θi + ψ
T
(ψψ
T
+ αI
n
)
−1
(~u − ψh
~
θi),
α = σ
2
ε
/σ
2
θ
R
˜
θ
MAP
= σ
2
ε
(ψ
T
ψ + αI
S
)
−1
R
˜
θ
MAP
= σ
2
θ
(I
S
− ψ
T
(ψψ
T
+ αI
n
)
−1
ψ).
α
α
α
˜
~
θ
MAP
ˆ
~
θ
MLS
˜
~
θ
MAP
= h
~
θi+ R
θ
ψ
T
(ψR
θ
ψ
T
+ R
ε
)
−1
(~u − ψh
~
θi)
R
˜
~
θ
MAP
= R
θ
− R
θ
ψ
T
(ψR
θ
ψ
T
+ R
ε
)
−1
ψR
θ
h
~
θi
R
θ
~
θ
(0)
= h
~
θi, R
(0)
θ
= R
θ
.
R
ε
= (σ
2
1
, σ
2
2
, . . . , σ
2
n
).
~
θ
(1)
=
~
θ
(0)
+ γ
(1)
∆
~
θ
(1)
,
∆
~
θ
(1)
= R
(0)
θ
~
ψ
T
1
, γ
(1)
= N
1
/δ
2
1
,
N
1
= u
1
−
~
ψ
1
~
θ
(0)
, δ
2
1
= σ
2
ε 1
+
~
ψ
1
∆
~
θ
(1)
,
~
ψ
1
= kψ
11
, ψ
12
, . . . , ψ
1S
k.
R
(1)
θ
= R
(0)
θ
−
∆
~
θ
(1)
∆
~
θ
(1) T
δ
2
1
.
(i − 1)
~
θ
(i−1)
, R
(i−1)
θ
,
i
~
θ
(i)
=
~
θ
(i−1)
+ γ
i
∆
~
θ
(i)
,
∆
~
θ
(i)
= R
(i−1)
θ
~
ψ
T
i
, γ
(i)
= N
i
/δ
2
i
,
N
i
= u
i
−
~
ψ
i
~
θ
(i−1)
, δ
2
i
= σ
2
ε i
+
~
ψ
i
∆
~
θ
(i)
R
(i)
θ
= R
(i−1)
θ
− ∆
~
θ
(i)
∆
~
θ
(i) T
/δ
2
i
.
u
i
= ~ϕ
i
~
θ
i
+ ε
i
, ε
i
∈ N(0, σ
2
ε
i
),
~
θ
i
= F
ii−1
~
θ
i−1
+
~
Gδ
i−1
, δ
i
∈ N( 0, σ
2
δ
i
),
~
θ
i
=
θ
(1)
i
θ
(M)
i
,
~
θ
i−1
=
θ
(1)
i−1
θ
(M)
i−1
,
~
G =
1
0
0
.
θ
i
θ
i−1
θ
(2)
i
= θ
(1)
i−1
···
θ
(M)
i
= θ
(M−1)
i−1
.
~ϕ
i
= [ϕ
(1)
i
, . . . , ϕ
(M)
i
]
~
θ
i−1
~
θ
i
F
ii−1
=
r
i−1
(1) r
i−1
(2) . . . r
i−1
(M − 1 ) r
i−1
(M)
1 0 . . . 0 0
0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 0
,
r
i−1
(µ)
~
θ
i
ln p(
~
θ
i
/~u)
ε
i
δ
i
l(
~
θ
i
) =
−1
2σ
2
εi
(u
i
− ~ϕ
i
~
θ
i
)
2
−
1
2
(
~
θ
i
−
ˆ
~
θ
i
′
)
T
R
−1
θ
′
i
(
~
θ
i
−
ˆ
~
θ
i
′
),
ˆ
~
θ
i
′
= F
ii−1
~
θ
i
R
−1
~
θ
′
i
= h
~
θ
i
~
θ
T
i
i = F
ii−1
R
θ
i−1
F
T
ii−1
+
~
Gσ
2
δ
i−1
~
G
T
.
l(
~
θ
i
)
˜
~
θ
i
=
~ϕ
T
i
~ϕ
i
σ
2
εi
+ R
−1
θ
′
i
−1
~ϕ
T
i
u
i
σ
2
εi
+ R
−1
θ
i
′
ˆ
~
θ
′
i
˜
~
θ
i
=
ˆ
~
θ
i
′
+ R
θ
′
i
~ϕ
T
i
(~ϕ
i
R
θ
′
i
~ϕ
T
i
+ σ
2
εi
)
−1
(u
i
− ~ϕ
i
ˆ
~
θ
i
′
)
R
θ
i
= R
θ
′
i
− R
θ
′
i
~ϕ
T
i
(~ϕ
i
R
θ
′
i
~ϕ
T
i
+ σ
2
εi
)
−1
~ϕ
i
R
θ
′
i
.
~
θ
0
=
0
0
, R
θ
0
=
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
.
~u = ψ
~
θ + ~ε, ε ∈ N(0, σ
2
ε
).
ψ
T
ψ
β = G/g,
G = max
θ
kψ
T
ψ
~
θk
1
k
~
θk
1
, g = min
θ
kψ
T
ψ
~
θk
1
k
~
θk
1
, k
~
θk
1
=
S
X
s=1
|θ
s
|.
ψ
T
ψ g
β
β ≥ 1 G ≥ g.
ψ
T
ψ
β =
max |(ψ
T
ψ)
ii
|
min |(ψ
T
ψ)
ii
|
.
β = kψ
T
ψkk(ψ
T
ψ)
−1
k.
ψ
T
ψ
β = ∞.
ψ
ψ = QΣP
T
,