Троян В.Н. Принципы решения обратных геофизических задач
Подождите немного. Документ загружается.
Q
n×n
P
S×S
QQ
T
= I
n×n
, P P
T
= I
S×S
.
Σ
n×S
Σ
ij
=
σ
i
i = j, i = 1, . . . , n,
0 i 6= j, j = 1, . . . , S,
Σ =
σ
1
. . . 0
. . . . . . . . .
0 . . . σ
S
0 . . . 0
. . . . . . . . .
0 . . . 0
|
{z }
S
n.
Q
ψψ
T
P
ψ
T
ψ
Σ
ψ
T
ψ
σ
1
≥ σ
2
≥ . . . ≥ σ
S
≥ 0.
ε
ˆ
~
θ = arg min λ(
~
θ),
λ(
~
θ) = (~u − ψ
~
θ)
T
(~u − ψ
~
θ) = (~u − QΣP
T
~
θ)
T
QQ
T
×
× (~u − QΣP
T
~
θ) = (~y − Σ
~
b)
2
,
~y = Q
T
~u
~
b = P
T
~
θ
λ
ˆ
~
b = Σ
+
~y
ˆ
~
θ = P Σ
+
Q
T
~u.
Σ
+
Σ
+
=
S
z
}| {
σ
−1
1
. . . 0
. . . . . . . . .
0 . . . σ
−1
S
0 . . . 0
. . . . . . . . .
0 . . . 0
|
{z }
n−S
.
|
{z }
n
ΣΣ
+
Σ = Σ
Σ
+
ΣΣ
+
= Σ
+
ΣΣ
+
Σ
+
Σ
Σ
+
σ
ii
6= 0
b
i
=
y
i
σ
ii
, i = 1, 2, . . . , i
0
.
σ
ii
α
σ
ii
α
σ
ii
≥ α b
i
= y
i
/σ
ii
i = 1, 2, . . . , i
0
σ
ii
< α b
i
= 0 i = i
0
+ 1, i
0
+ 2, . . . , S
~
θ
h
~
θi = 0 and R
θ
= σ
2
θ
I.
~ε
R
ε
= σ
2
ε
.I
~ε
~
θ
ψ
~y = Σ
~
b + ~e,
~e = Q
T
~ε
ˆ
~
b = Γ~y,
Γ [S ×n]
Γ =
n
z
}| {
γ
1
0 . . . 0
0 γ
2
. . . 0
0 0 . . . γ
S
|
{z }
S
0 . . . 0
0 . . . 0
0 . . . 0
|
{z }
n−S
S
γ
1
γ
1
− ?.
γ
s
ˆ
~
b
γ
1
, . . . , γ
S
~
ξ =
ˆ
~
b −
~
b = (ΓΣ − I)
~
b + Γ~e,
h
~
ξ
~
ξ
T
i = (ΓΣ − I)h
~
b
~
b
T
i(ΓΣ − I)
T
+
+ Γh~e~e
T
iΓ
T
= (ΓΣ − I)R
b
(ΓΣ − I)
T
+ ΓR
e
Γ
T
.
σ
2
ξ
= Sp(h
~
ξ
~
ξ
T
i) =
S
X
j=1
[(γ
j
σ
j
− 1)
2
σ
2
b
j
+ γ
j
σ
2
e
j
].
R
b
= P
T
h
~
θ
~
θ
T
iP = σ
2
θ
I
R
e
= Q
T
h
~
ξ
~
ξ
T
iQ = σ
2
ε
I,
σ
2
ξ
=
S
X
j=1
[(γ
j
σ
j
− 1)
2
σ
2
θ
+ γ
2
j
σ
2
ε
].
σ
2
ξ
γ
j
∂σ
2
ξ
∂γ
j
= 0, j = 1, . . . , S,
2σ
j
(γ
j
σ
j
− 1)σ
2
θ
+ 2γ
j
σ
2
ε
= 0
ˆγ
j
ˆγ
j
=
σ
j
(σ
2
j
+ σ
2
ε
/σ
2
θ
)
,
ˆ
~
b
σ
θ
→ ∞
ˆγ
j
=
1
σ
j
.
λ(i
0
) = hkξk
2
i = σ
2
θ
(S − i
0
) + σ
2
ε
i
0
X
j=1
1/σ
2
j
.
λ(i
0
) i
0
σ
i
0
≥ σ
2
ε
/σ
2
θ
= α
σ
i
0
+1
< σ
2
ε
/σ
2
θ
= α,
γ
j
=
1/σ
j
j = 1, 2, . . . , i
0
σ
i
0
≥ α,
0 j = i
0
+ 1, . . . , S σ
i
0
+1
< α
Γ σ
j
~u = ψ
~
θ + ~ε.
ˆ
~
θ = L~u.
R = Lψ ⇒ I
S
.
ˆ
~
θ
ε→0
⇒ R
~
θ.
L
L = (ψ
T
ψ)
−1
ψ
T
, R = Lψ = I
S
.
ψ = QΣP
T
.
R = LQΣP
T
= CP
T
.
~c
j
λ(~c
j
) = (P~c
j
−
~
δ
j
)
T
(P~c
j
−
~
δ
j
),
~
δ
j
= kδ
ij
k
S
i,j=1
, δ
ij
=
1 i = j,
0 i 6= j,
~c
j
= (P
T
P )
−1
P
T
δ
j
= P
T
~
δ
j
,
C = P, R = P P
T
.
θ(t)
u
1
, u
2
, . . . , u
n
θ ϕ
i
(t)
u
i
=
T
Z
0
ϕ
i
(t)θ(t)dt + ε
i
, ε
i
∈ N(0, R
ε
), i = 1, 2, . . . , n,
ε
i
θ(t)
θ(t
0
)
hθ(t
0
)i =
T
Z
0
C(t
0
, t)θ(t)dt,
C(t
0
, t) δ
C(t
0
, t) = δ(t − t
0
) ⇒ hθ(t
0
)i = θ(t
0
).
C(t
0
, t)
T
Z
0
C(t
0
, t)dt = 1.
C(t
0
, t)
ϕ
i
(t)
C(t
0
, t) =
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ρ
i
(t
0
),
ρ
i
(t
0
)
hθ(t
0
)i
hθ(t
0
)i =
n
X
i=1
ρ
i
(t
0
)f
i
,
f
i
=
T
Z
0
ϕ
i
(t)θ(t)dt.
u
i
= f
i
+ ε
i
.
h
ˆ
θ(t
0
)i =
n
X
i=1
ρ
i
(t
0
)u
i
.
ρ
i
(t
0
)
s(t
0
) = 12
t
0
+L/2
Z
t
0
−L/2
(t − t
0
)
2
C
2
(t
0
, t)dt,
C(t
0
, t) =
1/L for t ∈ [t
0
− L/2 ≤ t ≤ t
0
+ L/2]
0 for t 6∈ [t
0
− L/2 ≤ t ≤ t
0
+ L/2].
C(t
0
, t)
C(t
0
, t)
s(t
0
) = (12/3L
2
)((L/2)
3
− (−L/2)
3
) = L.