Томусяк А.А., Трохименко В.С. Теорія ймовірностей
Подождите немного. Документ загружается.
=
0, y 6 π,
r
y
π
− 1, π < y 6 4π,
1, y > 4π.
F (y)
M(Y ) =
4π
Z
π
yf(y)dy =
2
Z
1
πx
2
f(x)dx =
7π
3
D(Y ) = M(Y
2
) −M
2
(Y ) =
4π
Z
π
y
2
1
√
πy
dy −
49
9
π
2
=
1
2
√
π
·
2
5
p
y
5
¯
¯
¯
4π
π
−
49
9
π
2
=
µ
31
5
−
49
9
¶
π
2
=
34
45
π
2
.
f
1
(z) =
=
0, z < 0,
z, 0 6 z 6 1,
2 − z, 1 < z 6 2,
0, z > 2;
f
2
(z) =
0, z < −1,
1 + z, − 1 6 z 6 0,
1 − z, 0 < z 6 1,
0, z > 1;
f
3
(z) =
(
0, z 6 0,
−ln z, 0 < z 6 1,
0, z > 1;
f
4
(z) =
0, z < 0,
1
2
, 0 6 z 6 1,
1
2z
2
, z > 1.
f(z) =
(
0, z < 0,
λ
1
λ
2
λ
1
− λ
2
(e
−λ
2
z
− e
−λ
1
z
), z > 0.
λ
1
= λ
2
= λ f(z) =
½
0, z < 0,
λ
2
ze
−λz
, z > 0.
f
1
(z) =
1
2
√
π
e
z
2
/4
f
2
(z) =
(
0, z < 0,
1
2
e
−
z
2
, z > 0,
f
3
(z) =
½
0, z 6 0,
ze
−z
2
/2
, z > 0.
(X, Y ) f(x, y)
Z = X + Y f
1
(z) =
+∞
Z
−∞
f(x, z − x)dx
X Y
f
1
(z) =
+∞
Z
−∞
1
√
2π
e
−
x
2
2
1
√
2π
e
−
(z−x)
2
2
dx =
=
1
2π
+∞
Z
−∞
e
−x
2
+zx−
z
2
2
dx =
1
2π
e
−
z
2
4
+∞
Z
−∞
e
−
(
x−
z
2
)
2
dx.
x −
z
2
=
u
√
2
f
1
(z) =
1
2π
e
−
z
2
4
+∞
Z
−∞
e
−
u
2
2
du
√
2
=
1
2
√
2 π
e
−
z
2
4
+∞
Z
−∞
e
−
u
2
2
du =
=
1
2
√
2 π
· 2
r
π
2
e
−
z
2
4
=
1
2
√
π
e
−
z
2
4
.
Z = X
2
+ Y
2
P (Z < z) = 0 z 6 0
z > 0
P (Z < z) = P (X
2
+ Y
2
< z) =
ZZ
x
2
+y
2
<z
1
2π
e
−
x
2
+y
2
2
dxdy =
=
1
2π
2π
Z
0
dϕ
√
z
Z
0
ρe
−
ρ
2
2
dρ = 1 − e
−
z
2
Z
F (z) =
½
0, z 6 0,
1 − e
−
z
2
, z > 0.
f
2
(z)
p =
1
2
P (X = k) = C
k
5
Ã
3
√
3
4π
!
k
Ã
1 −
3
√
3
4π
!
5−k
p =
3
4
p =
1
4
M(X) = 60 M(X) = 20
np = 20 npq = 16
n p σ = 2
√
2 d = 8
M(X) = 0
P (−0, 5 <
X < 0, 5) = 2Φ(2, 5) = 0, 9876 M(X|X > b) = a +
σ
√
2π
e
−
(b−a)
2
2σ
2
D(X|X > b) = σ
2
+
σ
2
√
2πB
µ
b − a
σ
¶
e
−
(b−a)
2
2σ
2
−
σ
2
2πB
2
e
−
(b−a)
2
2σ
2
B =
1
√
2πσ
+∞
Z
b
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx = 0, 5 − Φ
µ
b − a
σ
¶
F (x|X > b) =
P (b 6 X < x)
P (X > b)
x > b F (x|X >
b) = 0 x < b x > b
F (x|X > b) =
1
√
2πσ
+∞
Z
b
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx
−1
1
√
2πσ
x
Z
b
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx =
=
µ
0, 5 − Φ
µ
b − a
σ
¶¶
−1
µ
Φ
µ
x − a
σ
¶
− Φ
µ
b − a
σ
¶¶
.
F (x|X > b)
f(x|X > b) =
1
B
Φ
0
µ
x − a
σ
¶
=
1
√
2πBσ
e
−
(x−a)
2
2σ
2
,
x > b f(x|X > b) = 0 x 6 b
M(X|X > b) =
+∞
Z
−∞
xf(x|X > b)dx =
+∞
Z
b
x
1
√
2πBσ
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx =
=
+∞
Z
b
(a + x − a)
1
√
2πBσ
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx =
=
a
B
+∞
Z
b
1
√
2πσ
e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx +
1
√
2πB
+∞
Z
b
(x − a)e
−
(x−a)
2
2σ
2
dx
σ
=
= a +
σ
√
2πB
+∞
Z
b−a
σ
te
−
t
2
2
dt
µ
x − a
σ
= t
¶
=
= a +
σ
√
2πB
µ
−e
−
t
2
2
¶
¯
¯
¯
+∞
b−a
σ
= a +
σ
√
2πB
e
−
(b−a)
2
2σ
2
.
Φ
µ
t
σ
1
¶
Φ
µ
t
σ
2
¶
λ =
1
2
X Y
f(x, y) =
1
2π
e
−
x
2
+y
2
2
Z = X
2
+ Y
2
F (z) = P (Z < z) = 0
z < 0 F (z) =
ZZ
x
2
+
y
2
<z
1
2π
e
−
x
2
+y
2
2
dxdy =
1
2π
2π
Z
0
dϕ
√
z
Z
0
ρe
−
ρ
2
2
dρ
x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ = −e
−
ρ
2
2
¯
¯
¯
√
z
0
= 1 − e
−
z
2
U =
√
X
2
+ Y
2
F (u) = P (U <
u) =
ZZ
√
x
2
+y
2
<u
1
2π
e
−
x
2
+y
2
2
dxdy = 1 − e
−
u
2
2
u > 0 F (u) = 0
u 6 0 f(r) =
r
2
σ
3
√
2π
e
−
r
2
2σ
2
r > 0 f(r) = 0
r 6 0
(X, Y, Z)
f(x, y, z) =
1
2π
√
2πσ
3
e
−
(x−a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
2σ
2
.
U =
p
(X − a)
2
+ (Y −b)
2
+ (Z − c)
2
F (r) =
= P (U < r) = 0 r 6 0 F (r ) =
=
ZZZ
√
(x−a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
<r
1
2π
√
2πσ
3
e
−
(x−a)
2
+(y−b)
2
+(z−c)
2
2σ
2
dxdydz.
x − a = ρ cos ϕ sin θ, y − b = ρ sin ϕ sin θ, z − c = ρ cos θ,
dxdydz = ρ
2
sin θdϕdρdθ
F (r) =
1
2π
√
2πσ
3
2π
Z
0
dϕ
r
Z
0
ρ
2
e
−
ρ
2
2σ
2
dρ
π
Z
0
sin θdθ =
=
1
2π
√
2πσ
3
4π
r
Z
0
ρ
2
e
−
ρ
2
2σ
2
dρ =
2
√
2πσ
3
r
Z
0
ρ
2
e
−
ρ
2
2σ
2
dρ.
e
−
1
2
− e
−
9
8
≈ 0, 2819 4
µ
Φ
µ
3
2
¶
− Φ(1)
¶
2
≈ 0, 0338
4
µ
Φ
2
µ
1, 5
√
2
¶
− Φ
2
µ
1
√
2
¶¶
≈ 0, 2348
(X, Y )
f(x, y) =
1
√
2π 2
e
−
x
2
8
1
√
2π 2
e
−
y
2
8
=
1
8π
e
−
x
2
+y
2
8
.
K = {(x, y) |2 6
p
x
2
+ y
2
6 3} P ((X, Y ) ∈
K) =
ZZ
K
f(x, y)dxdy =
1
8π
2π
Z
0
dϕ
3
Z
2
ρe
−
ρ
2
2
dρ
= −e
−
ρ
2
8
¯
¯
¯
3
2
= e
−
1
2
− e
−
9
8
D = {(x, y) |2 6 min(|x|, |y|), max(|x|, |y|) 6 3} =
= {(x, y) |2 6 x 6 3, 2 6 y 6 3} ∪
∪{(x, y) | − 3 6 x 6 −2, 2 6 y 6 3} ∪
∪{(x, y) | − 3 6 x 6 −2, −3 6 y 6 −2} ∪
∪{(x, y) |2 6 x 6 3, −3 6 y 6 −2},
f(x, y) P ((X, Y ) ∈ D) =
= 4
ZZ
2 6 x 6 3
2 6 y 6 3
f(x, y)dxdy = 4
1
√
2π 2
3
Z
2
e
−
x
2
8
dx
1
√
2π 2
×
×
3
Z
2
e
−
y
2
8
dy = 4
µ
Φ
µ
3
2
¶
− Φ(1)
¶
2
.
D = {(x, y) |2 6 |x|+ |y| 6 3}
Q
1
= {(x, y) ||x| + |y| 6 3} Q
2
=
{(x, y) ||x|+ |y| 6 2} P ((X, Y ) ∈ D) =
=
ZZ
D
f(x, y)dxdy =
ZZ
Q
1
f(x, y)dxdy −
ZZ
Q
2
f(x, y)dxdy.
x + y = u −x + y = v
x =
1
2
(u − v), y =
1
2
(u + v),
∂(x, y)
∂(u, v)
=
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
−
1
2
1
2
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
2
P ((X, Y ) ∈ D) =
=
1
8π
ZZ
Q
1
e
−
x
2
+y
2
8
dxdy −
1
8π
ZZ
Q
2
e
−
x
2
+y
2
8
dxdy =
=
1
2
1
√
2π 2
3
Z
−3
e
−
u
2
16
du
1
√
2π 2
3
Z
−3
e
−
v
2
16
dv −
−
1
2
1
√
2π 2
2
Z
−2
e
−
u
2
16
du
1
√
2π 2
2
Z
−2
e
−
v
2
16
dv =
= 4
µ
Φ
2
µ
3
2
√
2
¶
− Φ
2
µ
2
2
√
2
¶¶
.
a =
∞
X
n=1
x
n
p
n
=
X
n: x
n
6α
x
n
p
n
+
X
n: x
n
>α
x
n
p
n
> α
X
n: x
n
>α
p
n
a =
∞
Z
0
xf(x)dx =
α
Z
0
xf(x)dx +
+∞
Z
α
xf(x)dx > α
+∞
Z
α
f(x)dx.
P (|X − a| < ε) =
= P ((X − a)
2
< ε
2
) P (X 6 2000) > 0, 75
2
3
P (|T − 20| < 4) > 0, 75
T
M(T ) = 20
◦
C σ(T ) = 2
◦
C
P (|T −20| < 4) > 1 −
D(T )
16
= 1 −
4
16
X M (X) = 50
D(X) = 0, 04
2
P (49, 5 6 X 6 50, 5) = P (|X − 50| 6 0, 5) > 1 −
0, 04
0, 25
= 0, 84
µ
n
A
n M(µ
n
) = np D(µ
n
) = npq
P
µ
¯
¯
¯
¯
µ
9000
9000
−
1
3
¯
¯
¯
¯
6 0, 01
¶
= P (|µ
9000
− 3000| 6 90) >
> 1 −
9000 ·
1
3
·
2
3
90
2
= 1 −
20
81
≈ 0, 753
P
µ
¯
¯
¯
¯
µ
150000
150000
−
1
3
¯
¯
¯
¯
6 0, 01
¶
= P (|µ
150000
− 50000| 6 1500) > 0, 96
P
³
¯
¯
¯
µ
9000
9000
¯
¯
¯
6 0, 01
´
= 2Φ
Ã
0, 01
√
9000 · 3
√
2
!
= 2Φ(2, 01) = 0, 9556
P
³
¯
¯
¯
µ
150000
150000
¯
¯
¯
6 0, 01
´
= 2Φ(8, 2) ≈ 1 n > 222223 n > 14792
µ
n
A n
P
µ
¯
¯
¯
¯
µ
n
n
−
2
3
¯
¯
¯
¯
> 0, 01
¶
= P
µ
¯
¯
¯
¯
µ
n
−
2
3
n
¯
¯
¯
¯
6 0, 01n
¶
>
> 1 −
D(µ
n
)
(0, 01 n)
2
= 1 −
2
0, 0009 n
> 0, 99
n >
2
0, 0009 · 0, 01
n > 222223
P
µ
¯
¯
¯
¯
µ
n
n
−
2
3
¯
¯
¯
¯
6 0, 01
¶
≈ 2Φ
Ã
0, 01
r
9n
2
!
> 0, 99
Φ(t) = 0, 495 0, 03
r
n
2
> 2, 58 n > 14792
P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
1
2134
2134
X
k=1
X
k
−
1
2134
2134
X
k=1
M(X
k
)
¯
¯
¯
¯
¯
< 0, 5
!
>
> 1 −
D
µ
2134
P
k=1
X
k
¶
(0, 5 · 2134)
2
> 1 −
2134 · 16
0, 25 · 2134
2
= 1 −
64
2134
= 0, 97.
k
p
k
= 0, 8 · 0, 99
k−1
¯p =
1
100
100
X
k=1
0, 8 · 0, 99
k−1
=
0, 8
100
1 − 0, 99
100
1 − 0, 99
≈ 0, 507.
¯p
P
³
¯
¯
¯
µ
100
100
− ¯p
¯
¯
¯
< α
´
= 0, 85
P
³
¯
¯
¯
µ
100
100
− ¯p
¯
¯
¯
< α
´
= P (|µ
100
− 100¯p| < α · 100) >
> 1 −
100 · ¯p(1 − ¯p)
α
2
· 100
2
= 1 −
0, 507 · 0, 493
α
2
· 100
= 0, 85.
0, 507 · 0, 493
α
2
· 100
= 0, 15 α = 0, 129 P (|µ
100
−
50, 7| < 12, 9) = P (37, 8 < µ
100
< 62, 9) = 0, 85
3200
P
k=1
X
k
− M
µ
3200
P
k=1
X
k
¶
s
D
µ
3200
P
k=1
X
k
¶
=
3200
P
k=1
X
k
− 9600
√
3200 · 2
P (2, 95 < Y < 3, 075) = P
Ã
2, 95 <
1
3200
3200
X
k=1
X
k
< 3, 075
!
=
= P
Ã
2, 95 · 40 <
1
80
3200
X
k=1
X
k
< 3, 075 · 40
!
= P
³
2, 95 · 40 −
−3 · 40 <
1
80
3200
X
k=1
X
k
− 3 · 40 < 3, 075 · 40 − 3 · 40
´
=
= P
−2 <
3200
P
k=1
X
k
− 9600
80
< 3
≈ Φ(3) − Φ(−2) =
= 0, 4986 + 0, 4772 = 0, 9758.
X
k
k
a
n
P
k=1
X
k
−
n
P
k=1
M(X
k
)
s
D
µ
n
P
k=1
X
k
¶
=
n
P
k=1
X
k
− na
√
n 80
P
Ã
¯
¯
¯
¯
¯
1
n
n
X
k=1
X
k
− a
¯
¯
¯
¯
¯
< 10
!
= P
Ã
−10 <
1
n
Ã
n
X
k=1
X
k
− na
!
< 10
!
=
= P
Ã
−
10
√
n
80
<
1
√
n 80
Ã
n
X
k=1
X
k
− na
!
<
10
√
n
80
!
= 2Φ
µ
√
n
8
¶
.
2Φ
µ
√
n
8
¶
= 0, 9876
√
n
8
= 2, 5 n = 400