Тихоненков В.А. Конструирование и надежность измерительно-вычислительных комплексов летательных аппаратов
Подождите немного. Документ загружается.
101
приведен пример расчета коэффициента простоя (6.30) относительно затрат
времени на защиту при оптимальном периоде контроля, определенном
по выражению (6.31). К
п
[%]
График построен для зна-
чений Т = 1ч и t
1
=0,01 c. 1-
При использовании реаль
ных исходных данных и
при коэффициенте с
3
<0,1 0,5-
коэффициент простоя на
контроль и восстановле-
ние не зависит от с
3
и 0 | | | | | с
3
его величина не превыша- 0,001 0,01 0,1 1,0 10,0
ет 0,3%. При выбранных
параметрах, затраты вре- Рис. 6.13
мени на восстановление
начинают влиять на коэффициент простоя при с
3
>1, при этом, для с
3
= 10 ко-
эффициент простоя увеличивается в несколько раз.
Если обнаруживаемые искажения и затраты времени на контроль и вос-
становление рассматривать как нарушение работоспособности, то есть t
д
= 0 и q = 1, то К
п
соответствует уменьшению коэффициента готовности ПО
в реальном масштабе времени:
nг
KK −=1
. (6.32)
Откуда видно, что связь между коэффициентом готовности и коэффици-
ентом простоя в теории надежности ПО, аналогична с аппаратной надежно-
стью ремонтируемых систем [см. выражения (5.22) и (5.23)].
Для данного предельного случая определение коэффициента готовности
можно производить по выражениям (6.30) и (6.32). В другом предельном слу-
чае при гарантированном восстановлении за время, меньшее t
д
, вероятность
q = 0 и коэффициент готовности ПО равен единице. Таким образом увеличе-
нием инерционности внешних абонентов или сокращением времени восста-
новления (с учетом рекомендаций показанных на рис. 6.13) можно улучшить
показатели надежности ПО и прежде всего коэффициент готовности.
Для оценки наработки на отказ с учетом принятых мер по восстановле-
нию ПО в отказовых ситуациях, следует учесть, что при увеличении t
д
уменьшается число отказовых ситуаций приводящих к отказу. Для оценки
эффективности введения временного резервирования можно взять отношение
коэффициента простоя при t
д
= 0 [тогда вероятность q = 1 и для заданных
параметров восстановления по формуле (6.25), коэффициент готовности К
г
=
k
г
, где k
г
определяется по (6.28)] и выбранном значении t
д
, определяемым по
выражению (6.25) с учетом (6.28), (6.29).
102
г
г
К
k
Э
−
−
=
1
1
. (6.33)
В результате ввод временного резервирования t
д
повышает наработку
на отказ до величины
( )
г
г
д
К
k
TЭTtT
−
−
⋅=⋅=
1
1
. (6.34)
Таким образом для оценки наработки на отказ ПО с учетом введения
временного резервирования необходимо для заданных параметров восстанов-
ления определить коэффициент готовности k
г
без учета временного резер-
вирования [см. выражение (6.28)]. Затем для заданного значения t
д
по фор-
муле (6.25) с учетом выражений (6.28) и (6.29) определить коэффициент го-
товности ПО К
г
с учетом введения временного резервирования. По формуле
(6.34) определяется наработка на отказ ПО с учетом введения временного ре-
зервирования t
д
.
6.4. Задания к выполнению самостоятельной работы
Оценить надежность ПО системы без резервирования и при наличии
временного резервирования. Расчет провести в два этапа.
1. В ходе отладки программы зафиксированы интервалы времени между
отказами t
1
, t
2
, t
3
, t
4
(см. табл. 6.3). Наработка программы в процессе разра-
ботки до начала отладки составила Т
о
(см. табл. 6.3). Определить:
- начальное число ошибок, содержащихся в программе N
o
;
- количество ошибок оставшихся после исправления последней ошибки
n
о
;
- среднюю наработку на отказ до проявления ошибки после последнего
исправления T
i
;
- количество ошибок
∆
n, которые необходимо устранить, чтобы полу-
чить увеличение средней наработки на отказ до Т = 1,5Т
i
;
- затраты времени
∆τ
, необходимые на проведение отладки, для
обеспечения увеличения средней наработки до величины T
i
.
2. Оценить надежность ПО с учетом введения временного резервирова-
ния, если известно: среднее время наработки на отказ без учета временного
резервирования Т (см. табл. 6.4); длительность проведения контроля t
1
(см.
табл. 6.4); средняя длительность работ по восстановлению t
3
(см. табл. 6.4);
закон распределения Т – экспоненциальный. Определить оптимальный пери-
од контроля t
’
, коэффициент простоя К
п
; коэффициенты готовности ПО для
t
д
равном N
1
t’ и N
2
t
’
; наработки на отказ с учетом временного резервирова-
103
ния в N
1
t’ и N
2
t
’
и эффективности введения временного резервирования Э
для двух значений t
д
.
Таблица 6.3
№
варианта
Исходные данные
t
1
[ч] t
2
[ч] t
3
[ч] t
4
[ч] Т
о
[ч]
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
10
10
10
10
10
10
12
12
12
12
12
12
14
14
14
14
14
14
16
16
16
16
16
16
18
18
18
18
18
18
20
20
20
22
22
22
24
24
24
26
26
26
28
28
28
30
30
30
30
30
30
32
32
32
32
32
32
34
34
34
25
25
-
-
26
26
28
28
-
30
30
-
-
32
32
-
34
34
34
34
-
-
36
36
36
36
-
-
38
38
28
-
-
-
-
30
30
-
-
32
-
-
-
-
34
-
-
36
36
-
-
-
-
38
38
-
-
-
-
40
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
104
Таблица 6.4
№
варианта
Исходные данные
T [ч] t
1
[c] t
3
[c] N
1
N
2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
10
10
10
10
10
10
15
15
15
15
15
15
10
10
10
10
10
10
15
15
15
15
15
15
20
20
20
20
20
20
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,7
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,1
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
Порядок проведения расчета.
Расчет произвести в два этапа.
На первом этапе рассчитать показатели надежности системы в соответ-
ствии с п.1 задания. Произвести оценку надежностных характеристик и со-
гласовать с преподавателем и при низких показателях надежности разрабо-
105
тать мероприятия по ее увеличению и произвести расчет показателей надеж-
ности с учетом этих мероприятий.
На втором этапе произвести расчет показателей надежности системы в
соответствии с п.2 задания. По результатам расчета провести сравнение и
сделать выводы о влиянии продолжительности временного резервирования
на надежность ПО.
7. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ
И РАЗРАБОТКЕ ТЕХНОЛОГИИ ИВК
Точность ИВК характеризует степень приближения истинного значения
выходного параметра к его номинальному значению при отклонении выход-
ных параметров элементов в него входящих, соответствующих производст-
венным погрешностям.
Производственными погрешностями элементов ИВК являются разного
рода отклонения параметров этих элементов от номинального значения, ука-
занного в схемах, чертежах и другой технической документации, которые
возникают за счет нестабильности технологических процессов и неоднород-
ности исходных материалов.
Различают функциональную и технологическую точности.
Функциональная точность – это точность, предъявляемая к выходным
параметрам изделия и обеспечивающая ее нормальное функционирование в
соответствии с техническими условиями.
Расчет функциональной точности ИВК основан на предположении, что
точность выходных параметров изделия является некоторой функцией пара-
метров составляющих ее элементов [1, 3, 4]. Так как требования к выходным
параметрам системы определяется на этапе ТЗ, то задача обеспечения задан-
ной функциональной точности сводится практически к определению функ-
циональной точности составляющих элементов. То есть должно выполняться
условие:
δ
≤
δ
ТУ
;
δ
= f(
δ
1
;
δ
2
; …
δ
m
) ,
где
δ
ТУ
– половина допуска на выходные параметры ИВК по ТЗ;
δ
i
(i=1,2,…m) – половина поля допуска i-ой сборочной единицы элементов
ИВК.
При этом, нахождение реально допустимого значения
δ
ТУ
при заданных
значениях
δ
i
называется прямой задачей. Нахождение допустимых значений
δ
i
, когда в ТЗ задана точность изделия
δ
ТУ
называется обратной задачей.
106
Технологическая точность – это реально достижимая в производстве
точность изделия по выбранной технологии. Она определяется как качеством
материалов и точностью процессов изготовления сборочных единиц, состав-
ляющих изделие, так и точностью используемых комплектующих изделий и
самого процесса сборки.
Таким образом, с учетом производственных погрешностей входные па-
раметры элементов x
j
),...2,1( nj = являются случайными, которые в общем
случае описываются совместной плотностью распределения входных пара-
метров элементов
),...,(
21 n
xxx
ϕ
. В результате преобразования, выходной
сигнал будет иметь случайную величину с плотностью распределения
)(y
ϕ
.
),...2,1(),,...,,...,(
1
mixxxfy
njii
==
. (7.1)
Основными методами анализа точности являются: вероятностный метод,
основанный на разложение в ряды, метод наихудшего случая и метод стати-
стических испытаний.
7.1 Вероятностный метод.
Если предположить, что производственные погрешности системы пред-
ставляют собой сумму систематических и случайных погрешностей состав-
ляющих ее элементов, что среди случайных нет доминирующих, величины x
j
взаимозависимы и функция выходного параметра непрерывна, то есть диф-
ференцируема, то данную функцию можно разложить в ряд Тейлора. При
разложении функции (1) в ряд Тейлора в окрестностях
∆
х = (
∆
х
1
,…,
∆
х
n
)
средних значений параметров
o
n
o
xx ,...,
1
, где
o
j
x
− номинальные значения па-
раметров, то
o
jjj
xxx −=
∆
. Тогда получим выражение:
∑ ∑
= =
+−⋅
∂
∂
⋅+−⋅
∂
∂
+=
n
j
n
j
o
jj
j
o
jj
j
o
n
o
xx
x
f
xx
x
f
xxfy
1 1
2
2
2
1
...)(
2
1
)(),...,(
,
где
),...,(
1
o
n
o
xxf
− функция выходного параметра при номинальных зна-
чениях входных параметров;
j
x
f
∂
∂
− абсолютная чувствительность изделия к разбросам
входного j параметра;
107
∑
=
−
∂
∂
n
j
o
jj
j
xx
x
f
1
2
2
2
)(
2
1
− нелинейная часть функции f;
)(
o
jjj
xxx −=
∆
− диапазон изменения j-ой входной величины (поло-
вина поля допуска).
Пренебрегая нелинейностью как величиной высшего порядка малости,
получим:
∑
=
−⋅
∂
∂
+=
n
j
o
jj
j
o
n
o
xx
x
f
xxfy
1
1
)(),...,(
Математическое ожидание этой функции:
( )
[
]
∑
=
−⋅+=
n
j
o
jj
o
n
o
xxM
dx
df
xxfyM
1
1
),...,()( .
Тогда абсолютная погрешность
( )
( )
[
]
∑
=
−⋅=−=∆
n
j
o
jj
o
n
o
xxM
dx
df
xxfyMy
1
1
),...,()( . (7.2)
Разделив
∆
y на
(
)
o
n
oo
xxfy ,...,
1
=
, получим относительную систематиче-
скую погрешность
∑ ∑
= =
⋅=⋅==
n
j
n
j
jj
o
j
j
j
o
xA
x
x
A
y
y
y
1 1
)(
)(
)(
δ
∆
∆
δ
, (7.3)
где
o
o
j
j
j
y
x
x
f
A ⋅
∂
∂
=
− относительная чувствительность изделия к разбросам j
входного параметра;
o
j
o
jj
j
x
xx
x
)(
)(
−
=
δ
− относительное отклонение j входного параметра.
Дисперсия функции у равна:
∑
=
⋅
∂
∂
=
n
j
j
j
xD
x
f
yD
1
2
)()(
,
108
где D(x
j
) – дисперсия входного j параметра.
Среднеквадратическое отклонение выходного параметра:
∑
=
⋅
∂
∂
==
n
j
j
j
xD
x
f
yDy
1
2
)()()(
σ
, (7.4)
но так как
),()(;)()(
2
jjjj
xxDxDx
σσ
==
тогда
∑
=
⋅
∂
∂
=
n
j
j
x
x
f
y
1
2
2
)()(
σσ
. (7.5)
Таким образом устанавливается связь функции выходного сигнала с по-
грешностями изготовления составляющих элементов.
В связи с тем, что в ИВК входит большое число элементов, то распреде-
ление случайных величин можно принять близким к нормальному. Это отно-
сится и к погрешностям составляющих элементов, так как их номинал может
быть получен только с учетом большого числа воздействующих факторов в
процессе производства.
Но так как с учетом нормирования по ширине полосы случайных по-
грешностей интервальным методом можно записать:
∆
x
j
= к
э
⋅
σ
(x
j
) ,
где к
э
– энтропийный коэффициент, при нормальном законе распределения
погрешности к
э
=
е⋅⋅⋅
π
25,0
.
Тогда:
jj
x
l
x
∆
π
σ
⋅
⋅
=
2
)(
.
Если необходимо найти относительное отклонение j параметра, то вме-
сто
∆
x
j
нужно подставить:
j
j
j
x
x
x ⋅=
100
δ
∆
,
где
δ
x
j
– половина относительного поля допуска j параметра.
109
Таким образом, если известны
δ
x
j
или
∆
x
j ,
то по ним, согласно формуле
(7.5), можно определить допустимое значение с.к.о. выходного параметра
(прямая задача). Или наоборот, для заданного в Т.З. значения
σ
(у)
ТУ
из вы-
ражения (7.5) можно найти значения
∆
x
j
или
δ
x
j
из условия
σ
(у)
≤
σ
(у)
ТУ
.
Числовые характеристики (7.2 и 7.4) являются количественными оцен-
ками точности. На их основе рассчитывается показатель серийнопригодности
[3], как вероятность того, что выходной параметр укладывается в заданные
пределы у
min
, y
max
.
( )
1
)(
)(
)(
)(
minmax
maxmin
−
−
−
−
=≤≤
y
yMy
Ф
y
yMy
ФyyyP
σσ
. (7.6)
Для равностороннего допуска:
( )
1
)(
)(
2
max
maxmin
−
−
⋅=≤≤
y
yMy
ФyyyP
σ
,
где Ф(•) – нормированная функция Лапласа, значения которой приведены
например [3].
Если же задан допуск (
δ
(у) в %) и вероятность нахождения выходного
параметра Р(y
min
≤
y
≤
у
max
), то величину аргумента функции Лапласа
Z
y
yMy
=
−
)(
)(
max
σ
можно найти так же в литературе. Значения Z для наиболее употребитель-
ных значений вероятностей используемых при разработке ИВК [15] пред-
ставлены в таблице 7.1.
Таблица 7.1
Р
0.80
0.82
0.86
0.90
0.92
0.94
0.96
0.98
0.99
0.998
Z
1.28
1.34
1.48
1.65
1.75
1.88
2.05
2.33
2.58
3.09
Тогда выразив отклонение выходного параметра через заданный допуск
110
)(100
)(
)(
)(
max
y
yy
y
yMy
Z
o
σ
δ
σ
⋅
⋅
=
−
=
,
можно определить с.к.о. выходного параметра
σ
(у):
Z
yy
y
o
⋅
⋅
=
100
)(
)(
δ
σ
,
и по известному допустимому значению
σ
(у) определить
δ
x
j
или
∆
x
j
– обрат-
ная задача.
7.2. Метод наихудшего случая.
Для упрощенного расчета при разработке конструкции и технологии
ИВК используется метод наихудшего случая. Расчет производится для абсо-
лютных отклонений
o
o
jjj
yyyxxx −=−=
∆∆
,
, или относительных откло-
нений
ooj
o
jjj
yyyyxxxx /)(,/)( −=−=
δδ
входных и выходных парамет-
ров составляющих элементов с использованием линейной аппроксимации за-
висимости (5.1):
– для абсолютных отклонений (см. 7.2)
j
n
j
j
x
x
f
y
∑
=
⋅
∂
∂
=
1
)(
∆∆
.
– для относительных отклонений (см. 7.3)
∑
=
⋅=
n
j
jj
xAy
1
)()(
δδ
.
Если считать, что А
j
> 0 ∀
(j=1,…,n
1
) и A
j
< 0 ∀ (j=n
1
+1,…,n), то наихуд-
шее отклонение выходных параметров с учетом производственных погреш-
ностей входных параметров вычисляются:
– для абсолютных отклонений