Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

20. а) сіх-ліі-х

сіу = 0

б) / + у = созх, у(0) = 0, У(0) = 2 .

*У У

СІХ X

26.

а) ^-У=х

б) у" + у'-6у = хе

2х

, у(0)=], /(0) = 5 •

27.

а) у'= у Іех + созх ;

б) /-2/ + 5у=е

дґ

со5 2л: , у(0) = 0, у'(0) = 1

ду 2у з

28.

а) -^ = ^-х

;

б) у" + 4у = зіп х, у(0) =

, у'(0) =

29.

а) у' = 4- + Ху[у ;

б) у" + 2/ + у=е* +

<Г*

, у(0) = 1, у'(0) = 2.

30. а) ху' + у-е* =0 ;

б) у"-у' = 2;с-1-3е* , у(0) = 0, у'(0) = 2 .

191

б) / + 4/ + 4у = Зе~

2дг

, у(0) = 0 , у'(0) = 0 .

, х-у

21-

а)

У=^г

;

б) у"-3у' + 2у = х

-х + \ , у(0) = 1, У(0) = 3

22.

а) хуу' = ]-х

;

б) у

"-4у'

4у = х

, у(0)=1, У(0) = 2 .

23.

а) ху'-у = у

;

б) у* + 2у' + у=

2д:

, у(0) = 1, у'(0) = 3.

24. а) / = ^-1 ;

б) у"-у' + у = ;с

+6, у(0) = 0, у'(0) =

25.

а)

/ = -Щ<;

д:

II.

а) у' ^-у = 1+х ;

1-х

б) у"

у'

5х

2е

, у(0)

3, /(0) = 2.

4.7. Зразок виконання індивідуального завдання 4

Задача 1. Знайти інтеграли :

) Г^

*'"* сіх ; б) \е

х2+6х

(х + 3) сіх ; в) |х

зіпх сіх ;

+5х

Розв'язання

а'х ; д) |зіп

х соз

д- сіх ; е) _[

сі

УІХ

+ 3-(І + ІІХ + 3) '

Уводимо під знак диференціала вираз (4 +Іпх) , і враховуючи, що

сі(4 + \пх) = — сіх , маємо

;л

/4 + 1пх

г—— 2-(4+1пх)

/ = ]- сіх =

_]-у/4

+ Іпх • Д4 + Іпх) = —- — + С •

х З

б) /=р

2+6х

(х + 3)ах .

Уводимо під знак диференціала вираз (х

+6х) , і враховуючи, що

сі(х

+6х) = 2 (х + 3) сіх , маємо

І = Іе

х2+вх

(х

3) сіх

^1е

х2+6х

сі (х

+6х) = ^е

х2+Ьх

+С .

в) / = |х

зіп X

СІ

X .

Інтеграл береться з використанням формули інтегрування частинами

|м сі

\> =

и\>

—

|у сій .

и = х ; сіи = 2хсіх

СІУ = зіп х х; V = - соз х

/ = |х

зіпх сіх =

= -х

созх + |2хсозх сіх .

192

Для обчислення вихідного інтеграла формулу інтегрування частинами

потрібно застосувати

ще

раз

( до

інтеграла

правій частині):

= х; сій

= сі х

СІУ

созх

сіх;

зіпх

= хзіпх

|зіпх

сіх-

|хсозх

сіх =

= хзіпх

созх

+ С. '

Підставляючи

отримуємо

/ =-х

созх

+ 2х

зіп

х +

2созх

+С .

г)/=Г *

+ 4

сіх.

+5х

+ 7

Для обчислення інтеграла виділимо повний квадрат

знаменнику

і,

виконавши відповідну заміну

отримаємо

= \—- СІХ = \ -7-у:

—г

СІХ=\

СІХ

х+5х+і

2-|х

(|)

-(|)

х+

х + ^

сіх

сій

И+

, Г и , 3 г сій

=—г-

сіи=

г-

СІІІ +

„гЩ

•У-

2 и

+ ==• агсІ2-т=-

—

Іп

7з А 2

«44

2м

+ л/3

агсі£—т=

лІЗ

„ 1

, І 2 „І IX 2х

С = -1п х

+5х

+ 7 + 43

агсіє—^

+ С

і і 7з

д) |зіп

хсоз

хсіх

|(1

соз

х)

соз

Х5ІП

сіх

-_[(!-

)

сіи = =

-_[(!- Зи

Зи

+ и

)и

сіи

созх

аи

- зіп

х ах

3579

3 5 79

„к „ и і/ соз х

„ соз

х .соз х соз х „

3 — +

—

С =

з +

с .

3579

3 5 7 9

7 8

я->

193

е)

/ = }

сіх

^х+г-(\+Чх~+ї)

Інтеграл

має

ірраціональність

Позначимо

х +

= (

, сіх =

6і

сіі.

'-І-

сіх

7Л

+3(1

УЛ

+3)

х+3=Ґ

СІХ=6(

СІІ

ІЗ 2

Ні

б\сіі-6ї-^

= 6(-6агсі§[ +

бГс1^-6агсЩ^хТз+С

+ ґ

Задача

2. У

пункті

а)

знайти загальний розв'язок диференціального

рівняння

; у

пункті

б)

знайти частинний розв'язок диференціального рівнян-

ня

, що

задовольняє заданим початковим умовам

а)

у йу

= -\а

-у

сіх \

б)

у"-2у'

= е

(х

+х-3),

у(0)

2, /(0) = 2 •

Розв'язання.

а)

у сіу

= ^а

-у

-сіх

сіу

сіх; Г

Л;

С-^а

-у

=х,

1а

-у

-^а

- у

=х-С ;

-у

(х-С)

, або

остаточно

звідки одержуємо

(х-С)

+у

=а

б)

у"-2у'

= е

(х

+х-3)

, у(0) = 2,

У(0)

= 2 .

І. у" -2у'

0 .

Частинні розв'язки цього рівняння шукаємо

вигляді

кх

у =

е .

Підставляючи

цей

передбачуваний роз'язок

рівняння

та

скоро-

чуючи

на е

кх

приходимо

до

характеристичного рівняння к

-2к =

0 ,

звідки

= 0,

к-і

= 2 .

2 х

Одержуємо

два

частинних розв'язки

: у\=е =1 ;

Уі=е

Це

у і

фундаментальна система розв'язків

, бо —

СОПЗІ

Тому

на їх

основі

бу-

У2

194

дуємо загальний розв'язок однорідного рівняння у = С] + С

Оскільки права частина заданого рівняння має вигляд е

ах

(х) ,

то частинний розв'язок шукаємо в такій формі (к\

а , к

*•«) '•

у = е

(ах

+Ьх

с) ;

/ = е*(ал:

+/3д: + с) + е*(2ал: + 6) ;

у"

= е

(ах

Ьх

с)

2е

(2ах

Ь) + 2ае

•

Підставляємо ці значення в задане рівняння і приходимо до тотожності

( котру заздалегідь скоротимо на е

0 ) :

2 2

-ах -Ьх

2а-с

х-3-

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х ліворуч і право-

руч , приходимо до системи рівнянь для визначення а, Ь,с: -а =

; -Ь =

;

2а - с = -3 , звідки а--\, Ь = -\, с = 1; частинний розв'язок приймає

вигляд

у*

=е

(-х

-х + \) .

Складаємо загальний розв'язок неоднорідного рівняння

у = С\+С

2х

+е

(-х

-х + 1).

Визначаємо С\ , С

із початкових умов :

у'

= 2С

2х

+ е

(-х

-х + \)-е

(2х

\) ,

у\

х=0

= С

+\ ,

/и=2 = 2С

2 +

1-1,

або

Сі+С

= 1;

2С

=2.

З останньої рівності С

= 1. Тоді С\=0 і частинний розв'язок нео-

днорідного рівняння , що задовольняє заданим початковим умовам , одер-

жуємо у вигляді

у = е

2х

+ е

(-х

-х

\) = е

(е

-х

-х + 1) .

195

ГЛАВА

5. ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИКИ В ЕКОНОМІЦІ

5.1. Економічні задачі, пов'язані з використанням лінійної

функціональної залежності

Розглянемо деякі приклади застосування лінійної залежності в еко-

номіці :

Якщо через Іс позначити тариф перевезення вантажу на одиницю

відстані, Ь - витрати при перевезенні вантажу , що не залежать від відстані

х , то загальну вартість у перевезення вантажу на відстань х можна обчис-

лити за формулою у = к х + Ь.

Якщо позначити через у витрати підприємства впродовж місяця

при випуску х одиниць однорідної продукції, то у може бути визначено за

формулою у = кх +

, а величина кх буде визначати змінні витрати , що

залежать від обсягу випуску (де к - витрати підприємства впродовж місяця

на одиницю продукції). Величина Ь визначає постійні витрати підприєм-

ства , які не залежать від обсягу продукції, що випускається ( витрати за ра-

хунок амортизації будинку , заробітної платні охорони , службовців і допо-

міжних робітників , опалення будинку і т . п .).

Приклад. Валова продукція на 1 га сільськогосподарських угідь за

чотири роки збільшилась на 24, 4 % . Скласти рівняння прямої, яка відобра-

жує зміну валової продукції на 1 га протягом чотирьох років за умови , що

валова продукція у відсотках змінюється пропорційно часу .

Розв'язання. Валову продукцію , випущену у перший рік , приймемо

за 100 % і будемо шукати рівняння прямої у вигляді у = кх +

24 4

=^~

6,\ ; 100 = 6,1-1 + 6 ; 6 = 93,9 .

Отже, у =

6,їх+

93,9

О-рік).

5.1.

Витрати виробництва на 10 одиниць деякого товару складають 1000

грошових одиниць , 50 одиниць товару - 2 000 грошових одиниць . Визначи-

ти витрати виробництва на ЗО одиниць товару за умови , що витрати зале-

жать від обсягу продукції лінійно .

5.2.

Скласти рівняння прямої, яка відображує зміну врожайності 1 га

протягом сімнадцяти років, якщо у перший рік з 1 га було зібрано 9,1 ц.

196

зернових культур , а в останній рік - 21 ц .

5.3.

Припускається , що перенесення вартості машини на продукцію ,

що виготовляється за її допомогою , залежить від часу І . Нехай первісна

вартість у = 25 тис. грош. од., а термін служби до повного зносу - 10 років .

Побудувати лінію залежності перенесеної на продукцію частини вартості

машини від терміну її служби . Якою буде ця величина через 8 років ?

5.4. Витрати на перевезення двома видами транспорту відображують-

ся функціями : у = 50х + 150 , у = 25x4-250 , де х - відстань перевезень ,

км ; у - транспортні витрати , грош. од. При яких відстанях економічніше

користуватися першим видом транспорту ?

5.5. Перевезення вантажу від даного міста до першого пункту , який

знаходиться на відстані 100 км , коштує 200 грош. од., а до другого., що зна-

ходиться на відстані 400 км - 350 грош. од. Встановити залежність вартості

перевезення у від відстані х, якщо вартість є лінійною функцією від

відстані (якість доріг не враховується ).

5.2.

Економічні задачі, пов'язані з використанням рівнянь

кривих другого порядку

Приклад 1. Два однотипних підприємства А та В виробляють продук-

цію з однією і тією ж оптовою відпускною ціною т за один виріб . Однак

автопарк , що обслуговує підприємство А , оснащений новішими та потужні-

шими вантажними автомобілями . Тому транспортні витрати на перевезення

одного виробу складають за 1 км : для підприємства А 10 грош. од., а для

підприємства5-20 грош. од. Відстань між підприємствами300 км .Якте-

риторіально має бути поділений ринок збуту між двома підприємствами для

того , щоб витрати споживача на відвантаження виробів та їх транспортуван-

ня були мінімальними ?

Розв'язання. Позначимо через 5] та 5

відстані до ринку від пунктів

А та В відповідно .

Тоді витрати споживачів складуть

/(Л) = яі + 10Я, ;

197

Р(В) = т + 208

•

Знайдемо множину точок , для яких 8

=28

, тобто ті випадки розмі-

щення ринку , коли /(А) = /(В):

=^х

+у

; 8

=7(300 -х)

+у

;

УІх

+у

=2^/(300- х)

+ у

;

+ у

= 360000 - 2400* + 4х

+ Ау

;

(х-400)

+у

=200

Це коло . Таким чином , для споживача всередині круга вигідніше ку-

пувати у пункті В , поза кругом - у пункті А , на колі - однаково .

Приклад 2. Нехай в момент і = о почалося виробництво певного типу

машин , що раніше не вироблялися . Припустимо , що їхній випуск відбу-

вається рівномірно за часом , річний обсяг продукції складає

млн грош. од.,

а повний термін експлуатації машин дорівнює 10 рокам . Визначити вартість

машинного парку (за винятком суми зносу) на кінець

1-го року , припускаючи , що / є[0,10].

Розв'язання. Позначимо шукану вартість через у . Завдання полягає

в тому , щоб знайти у = /(і). Вартість машинного парку на кінець / - го року

без урахування зносу складає /

•

, але фактично вартість машинного пар-

ку буде меншою внаслідок фізичного та морального зносу . Враховуючи , що

машини були введені у виробництво не одночасно , будемо вважати , що се-

1 _. „ 1 ...

редніи вік машини складає

—

і . Річний знос машини дорівнює — її вар-

тості . Тому в г-му році вартість зносу машинного парку буде

10 2

Таким чином , у І - му році фактична вартість буде дорівнювати

у = 10

г-5-10

тобто функція залежності вартості машин від часу є квадратичною , а її граф-

іком є парабола.

198

5.6. Два підприємства , що віддалені одне від одного на 100 км , вироб-

ляють деякі однакові вироби . Ціна реалізації одиниці виробу для обох

підприємств однакова і дорівнює р. Нехай транспортні витрати на переве-

зення одиниці виробу від підприємства А до споживача складають

грош. од.

на 1 км , а від В - 2 грош. од. Для яких споживачів витрати на придбання

одиниці виробу в підприємств А і В повинні бути однаковими ? Як доціль-

ніше прикріпити споживачів до підприємств ?

5.7. Розв'язати задачу 5.6 за умови , що транспортні видатки на 1 км

шляху при перевезенні одного виробу від підприємств А та В до споживача

однакові і складають 1 грош. од. на 1 км , а ціна реалізації кожного виробу

на підприємствах А та В дорівнює 200 і 225 грош. од. відповідно .

5.8. Розв'язати задачу 5.6 за умови , що транспортні витрати на переве-

зення одного виробу від підприємства А до споживача складають 9 грош. од.

на 1 км , а від підприємства В - 3 грош. од. на 1 км .

5.9. Відстань від кар'єру , який забезпечує сировиною підприємство ,

до залізничної станції, що відправляє споживачам готову продукцію підприє-

мства , дорівнює 20 км . Відомо , що підприємство повинно знаходитися вдвічі

ближче від джерела сировини, ніж від станції - відправника готової про-

дукції . Знайти рівняння множини всіх можливих місцезнаходжень підприєм-

ства , прийнявши за вісь абсцис пряму , яка проходить через точки , що відпо-

відають кар'єру та залізничній станції; за початок координат взяти точку ,

що ділить відрізок між кар'єром та станцією навпіл .

5.10. При випробуванні судна на підводних крилах експериментальні

дані показали , що витрати пального зростають приблизно пропорційно квад-

рату швидкості судна . Скласти аналітичну залежність між витратами паль-

ного і швидкістю судна у, якщо відомо , що при швидкості 40 км/год витра-

ти пального за

год. складають 20 л . Визначити орієнтовно витрати пально-

го за годину при швидкості 60 км/год .

5.11.

Для випуску х одиниць продукції витрати виробництва склада-

ють 4 + 0,5* . Знайти собівартість одиниці продукції (тобто суму витрат на

одиницю продукції). Побудувати графік , відповідний залежності собівартості

від обсягу продукції, що випускається .

199

5.12. Відстань між двома торговими організаціями дорівнює 8 км .Знай-

ти рівняння множини всіх можливих місцезнаходжень баз , які обслуговують

ці організації, якщо відомо , що сума відстаней від бази до них повинна

бути постійною та дорівнювати 20 км .

5.13.

Відстань між двома заводами , що виробляють однакову продук-

цію,

дорівнює 300 км . Транспортні витрати на транспортування продукції

від заводу А вдвічі більші, ніж від В . Визначити лінію - межу районів , на

якій однаково вигідно одержувати продукцію від заводів А та В .

5.14. Відстань між двома заводами , що виробляють однакову продук-

цію , дорівнює 400 км . Транспортні витрати на перевезення продукції від

заводу А складають 2 грош. од. за 10 км , а від заводу В - 3 грош. од. за 10 км .

Визначити межу районів , для яких однаково вигідно придбання продукції як

на підприємстві А , так і на підприємстві В .

5.3. Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних

нерівностей

Приклад 1. Механічний цех може виготовити за зміну або 600 деталей

А , або 1200 деталей В , або будь-яку їхню комбінацію у межах своєї потуж-

ності . Виробнича потужність термічного цеху, куди ці деталі надходять для

гартування, дозволяє обробити або 1400 деталей А, або 800 деталей В ,

або допустиму їхню комбінацію . Деталі А надходять після цього у третій

цех , пропускна спроможність якого не перевищує 400 деталей . Записати в

математичній формі умови, котрі слід враховувати при укладанні плану

випуску деталей А та В.

Розв'язання. Позначимо через х\ і х

відповідно кількість деталей

А і В , що плануються до випуску за зміну . Аналізуючи можливості механіч-

ного цеху , потужність якого приймемо за одиницю , необхідно врахувати ,

що при одночасному випуску деталей А і В повинна виконуватися умова

пропорційності кількості деталей даного виду частці виробничої потужності

цеху , зайнятої її випуском . Так , на виготовлення однієї деталі А буде при-

ходитися 1/600 усієї потужності цеху , а однієї деталі В -

1/1200

усієї по-

тужності . Для реалізації плану (х\, х

) потрібно зайняти ~^г^

\ +

^ х

200