Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

усієї потужності цеху , що , певна річ , не може бути більш , ніж уся наявна

виробнича потужність цеху , прийнята за одиницю . Цю умову можна запи-

сати так:

1 1

Хі

600

1200

<І

Аналогічної умови необхідно дотриматися і для термічного цеху

• 1 1

-X.

Н X-) <

1400

800

Обмеження з пропускної спроможності третього цеху запишемо у виг-

ляді х\ <400 . З практичних міркувань ясно , що х\ і х

виражаються не-

від'ємними числами, тобто хі>0, х

>0 .

Таким чином , множина допустимих планів описується наступною си-

стемою лінійних нерівностей :

1 1

дгт + х-> <

600 ' 1200

1 1

Хі + Х-> <1 ,

1400

800

х, < 400 ,

х,>0,

>0.

Інакше кажучи , саме записану систему нерівностей необхідно врахо-

вувати при укладанні будь-якого реального (у тому числі і оптимального) плану

випуску деталей А і В в цьому виробництві.

Приклад 2. Побудувати область планів випуску деталей , використо-

вуючи умови прикладу 1 .

Розв'язання. Побудуємо граничні прямі, відповідні записаним вище

нерівностям :

600

х,

1200

" Л"і

Х-)

— 1

1400

800

х, = 400 , хі = 0 , х

= 0 .

Відмітимо півплощини , що є областями розв'язків даних нерівностей .

201

Перетин півплощин - многокутник ОАВСй - є областю планів випуску де-

талей ( рис. 5.1 ).

Рис 5.1

5.15. Трикотажне ательє виробляє жіночі кофточки двох моделей А і

В . Запас прядива, його витрати на один виріб та ціна готового виробу наве-

дені в наступній таблиці:

Прядиво Витрати на виріб, кг Запас, кг

Бежеве

0,05

0,1

Салатне

0,1

0,2

Коричневе

0,3

0,1

Ціна, грош.од.

250 300

Яким умовам повинен задовольняти план випуску виробів , щоб вит-

рати прядива не перевищували наявного запасу , а грошова сума від реалі-

зації готової продукції була не менше ніж 60 000 грош. од.

5.16. Використовуючи умови задачі 5.15 побудувати на площині х^Охі

область допустимих планів випуску продукції .

5.17. Цех випускає трансформатори видів А і В . На один трансформа-

тор виду А витрачається 5 кг трансформаторного заліза і 3 кг дроту , а на

трансформатор виду В - 3 кг заліза і 2 кг дроту . Від реалізації трансформа-

202

тора виду А прибуток складає 12 грош. од., виду 5-10 грош. од. Змінний

фонд заліза - 480 кг , дроту - 300 кг . Записати в математичній формі умови ,

яким повинен задовольняти план випуску трансформаторів , якщо видаток

ресурсів не перевищує виділених фондів , а прибуток складає не менше 900

грош. од. за зміну .

5.18. Використовуючи умови задачі 5.17 , побудувати на площині х^Ох

область допустимих планів випуску трансформаторів .

5.4. Економічні задачі, в яких використовується теорія

матриць

Приклад 1. Два залізобетонних заводи випускають вироби М, N, Р

вищої, першої та другої категорій якості . Кількість випущених кожним за-

водом виробів за кожною категорією якості характеризується наступною таб-

лицею :

Категорія якості Готові вироби Категорія якості

Перший завод

Другий завод

Категорія якості

МИР МИР

Вища

150 240 320 280 300 450

Перша

100 130 175 120 150 170

Друга

25 15 20

30 20 18

Який загальний випуск виробів за означеними категоріями якості ?

Розв'язання. Кількість виробів , випущених першим заводом , мож-

на розглядати як елементи матриці А , а другим заводом - як елементи

матриці В :

А =

150 240

100

130

320^

175

20,

5 =

'280 300

120 150

30 20

450^

170

Додаючи їх , отримаємо матрицю С , яка визначає загальне число ви-

робів за означеними категоріями якості :

'430 540 770Ї

С = А

В= 220 280 345

55 35 38

203

Приклад 2. Відповідно до програми будівельно-монтажних робіт вста-

новлено , що буде споруджено :

а) у галузі Х\ 10 одиниць об'єктів типу 1 і 15 одиниць типу 2;

б) у галузі Х

20 одиниць об'єктів типу 3 ;

в) у галузі

Хт>

100 одиниць об'єктів типу 4 .

Визначити витрати будівельних матеріалів видів р і д в кожній га-

лузі , якщо норми витрат матеріалів (у відповідних одиницях вимірів) наве-

дені у наступній таблиці :

Тип об'єкта

Норма витрат матеріалів

1 2 15

2 10

3 10

100

Розв'язання. Уведемо матриці: М- матриця вихідних даних за об'єк-

тами будівництва , А - матриця норм витрат матеріалів :

(2 15 ї

(10 15 0 0 ^

Л/

100

А =

Тоді матриця витрат матеріалів р і

Г170

П = М-А= 200

500

10 20

10 100

5 50

має вигляд

450

2000

5000

тобто витрати матеріалу р у галузях Х\, Х

, Х^ відповідно складають

170,200,500 одиниць, а матеріалу ц - відповідно 450, 2 000, 5 000

одиниць.

Приклад 3. При виготовленні деталей чотирьох видів витрати матер-

іалів , робочої сили та електроенергії задаються наступною таблицею

(в умовних одиницях ):

Ресурси

Витрати на одну деталь кожного виду

Ресурси

12 3 4

Матеріали

Робоча сила

Електроенергія

1 3 0,5 2

1,5 2 3 1

2 1 1 0,5

204

Обчислити загальну потребу в матеріалах у\, робочій силі у

та елек-

троенергії уз для виготовлення заданої кількості х, деталей кожного виду :

Х]=10;

= 2 ; *з = 8 ; *4 = 4.

Розв'язання. Загальна потреба в матеріалах , робочій силі та електро-

енергії для виготовлення кількості х, деталей кожного виду визначається

рівнянням

де Г =

Уг

АХ,

матриця загальної потреби в ресурсах ;

А =

1 3 0,5 2 ^

1,5 2 З 1

2 1 1 0,5

матриця норм витрат ресурсів ;

Х-і

1^4.

матриця кількості виробів (за видами).

При Х =

'10^

ч4у

із рівняння У = АХ отримаємо

У =

У2

1,5 2 З 1

2 1 1 0,5

Г28^

)

ТОБТО

ДЛЯ ВИГОТОВЛЕННЯ ЗАДАНОЇ КІЛЬКОСТІ ДЕТАЛЕЙ кожного виду необхідно 28

одиниць матеріалів , 47 одиниць робочої сили , 32 одиниці електроенергії.

205

Приклад 4. Виконати розрахунок заробітної платні, яка припадає на

кожне замовлення при виготовленні різних деталей, якщо відомі такі дані.

Витрати робочого часу в годинах на кожному робочому місці і на

кожний виріб :

у табличній формі

Виріб Витрати на робочому місці Виріб

1 2 3

2 1

1 4

2 5

0 1 0 3

у матричній формі

(2 1 4 5 ОЛ

14 2 5 2

0 10 3 4

Кількість виробів (у штуках) у кожному замовленні:

у табличній формі

Замовлення

Кількість виробів

А В С

0 2 4

1 0

у матричній формі

ГО 4 2

0 2 4

5 1 0

Годинна заробітна платня (у грош. од.) на кожному робочому місці

у табличній формі

Робоче місце

Годинна заробітна платня

1 1,25

1,50

3 1,40

1,40

5 1,25

206

у матричній формі

у =

Розв'язання. Оскільки матриця

задає лінійну залежність

між

роз-

міром заробітної платні і витратами робочого часу

на

кожному робочому місці,

а матриця

Р - між

витратами часу

на

кожному робочому місці

випуском

виробів,

то

добуток

РУ

задає лінійну залежність

між

випуском виробів

розміром заробітної платні. Оскільки матриця

визначає кількість виробів

у кожному замовленні,

то

добуток

<2{РУ),

таким чином

визначає розмір

заробітної платні,

що

припадає

на

виконання кожного замовлення. Розраху-

нок добутку

<2{РУ)

((2Р)У

виконаємо

за

наступною схемою

Тоді маємо

1,25

1,50

і 4

5 0

1,40

5 2

1,40

0 3

1,25

4 2 4 18 8

26 16

99,60

4 2 12 4 22

20 81,90 X

5 1

0 11 9

ЗО 2 102,55

Таким чином

заробітна платня

, що

припадає

на

замовлення

К,

скла-

дає 99,60 грош.

од., на

замовлення /1-81,90 грош.

од., на

замовлення

М -

102,55 грош.

од.

Приклад

5. У

наступній таблиці

вибраних одиницях наведено склад

вітамінів

харчових продуктах

Пі, П

, П

1,50

1,40

207

Продукти Вітаміни Продукти

А В С

п,

0,5

0,3 0 0,2

0,1

0,2 0,5

Скільки вітамінів кожного виду міститься в раціоні, що включає 5

одиниць продукту П|, 10 одиниць продукту П

і 8 одиниць продукту П

Враховуючи тільки вартість вітамінів у кожному продукті з розра-

хунку відповідно 10 , 20 , 25 і 50 грош. од. за одиницю кожного вітаміну .

встановити вартість одиниці кожного виду продукту .

Підрахувати вартість раціону , склад якого наведено у п . 1.

Розв'язання. Уведемо матриці :

А = (5 10 8), щ, - кількість одиниць продукту (-го виду в раціоні,

0,5 0,5 0 0

0,3 0 0,2 0,1

0,1 0,1 0,2 0,5

~ кількість вітамінів/-го виду в одиниці

продукту /-го виду, у = 1,4, / = 1,3;

(\0)

^50

- вартість одиниці вітаміну /-го виду, у =1,4

Позначимо Б =

сі

«з,

сі

}

\ -кількість вітамінів

7-го

виду, що містить-

ся в раціоні, і =1,4

Тоді АВ = й,

208

«4!

£>

= (5 10 8)

0,5 0,5 0 0 ^

0,3 0 0,2 0,1

0,1 0,1 0,2 0,5

^2,5 +

+ 0,8

2,5 + 0,8

2 + 1,6

+ 4

Гб,з^

3,6

)

Ь і

Позначимо Р =

Тоді ВС = Р,

/пї

/21

І/з

і,

//і - вартість одиниці продукту 7-го виду,

Р =

(0,5 0,5 0 0'

0,3 0 0,2 0,1

0,1 0,1 0,2 0,5

'і(Л

+ 10

3 +

+ 5

+ 25

із

Позначимо через £ - вартість раціону, склад якого наведено у п. 1.

Тоді 8 = АР,

8=(5 10 8)

'15^

= 75 + 130 + 264 = 469 .

5.19. Три підприємства випускають 4 види виробів. Задана матриця

випуску продукції

'1150 1250 1020 1384"

А=(а

ік

)= 2030 3700 2700 1856 ,

1500 990 1058 720}

де а

ік

(і = 1,3 , к = 1,4) - накопичений з початку року на кінець деякого

місяця обсяг випуску виробів к-го виду одного підприємства . Знайти місяч-

ний обсяг випуску виробів на кожному підприємстві, якщо аналогічна матри-

ця через місяць мала вигляд

'2370 1980 1790 1880

В=(Ь

ік

) = 3500 4736 4015 2750

2220 2112 2010 1830

209

5.20. Три типи транспортних літаків розподілено між чотирма авіалін-

іями . Задані матриці обсягу перевезень :

'15

А={а

Ік

) =

10 20 50^

25 10 17

50 30 45

'97

102

210

75 200'

49 79

150 180]

де

ік , Ьік (/ = 1,3, к = 1,4) - накопичені з початку року обсяги переве-

зень одним літаком /-го типу на авіалінії А>го виду відповідно 30 квітня і 1

вересня деякого року. Знайти обсяги перевезень, здійснених літаками кожно-

го типу на кожній авіалінії за минулий період .

5.21.

Підприємство випускає три види продукції, які характеризуються

матрицею - планом ^=(10 7 4). При випуску продукції використовують

5 видів сировини . Задана матриця витрат сировини

'5 10 3 9 2>

А=(а

ік

)= 4 8 5 6 8

^6 12 4 3 10,

де а

ік

- витрати к-го виду сировини на одну одиницю /-го виду продукції.

Матриця С=(7 4 5 10 2) задає вартість однієї одиниці кожного виду сиро-

вини .

Визначити : а) необхідну кількість одиниць сировини кожного виду

для забезпечення плану ; б) вартість сировини для одиниці кожного виду

продукції; в) загальну вартість сировини при виконанні плану випуску х

•

5.22. У наведеній нижче таблиці вказана кількість одиниць продукції,

яка відвантажується щодня на заводах 1 , 2 , 3 до пунктів призначення 1, II,

III,

IV , причому доставлення одиниці продукції із кожного заводу до пункту І

коштує 90 грош. од., до пункту II- ПО^до пункту III- 120 , до пункту IV - 140

грош. од. Скласти матрицю витрат на перевезення .

Завод

Пункт пр

изначення Завод

11 III IV '

8 12 8

3 6

22 17

210