Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

5.23.

Заплановано побудувати в декількох галузях народного госпо-

дарства об'єкти чотирьох різноманітних типів . Будівельний обсяг об'єктів

за кожним з типів наступний (у тис. м') :

1-75, II-100, III-50, IV-50.

Визначити обсяг будівельно-монтажних робіт трьох великих комплексів

т,

п, р, які виконуються під час будівництва цих об'єктів. Обсяги кожного

виду робіт на один кубометр обсягу будівель в залежності від типу об'єкта

наведено в наступній таблиці:

Тип об'єкта Обсяги робіт

т п

5 10 5

III

5 5

5.24. При будівництві об'єктів різноманітних типів повинні бути вико-

нані будівельно-монтажні роботи трьох великих комплексів т, п, р відпов-

ідно в обсязі 20 , 100 , 30 одиниць . Визначити потребу в робітничих кадрах

чотирьох професій , необхідних для виконання цих робіт , якщо норми вит-

рат праці робітників кожної професії наведені в наступній таблиці:

Комплекс

Норми витрат праці за професією

Комплекс

1 Н

III

т 2

5 4 5

4 2 10 2

8 4 6

5.25. Виконати розрахунок заробітної платні, яка приходиться на кож-

не замовлення при виробництві різноманітних виробів, користуючись дани-

ми наступних таблиць:

Виріб Витрати робочого часу на кожному з робочих

місць

Виріб

0,8

2,1

1,2

3,0

1,3

0,5

2,8

0,2

1,1

1,0

2,5

1,8

211

Замовлення

Кількість виробів

4 0

2 1

Робоче місце

Годинна заробітна платня

1 1,30

2 1,25

1,40

4 1,45

5.5. Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних

рівнянь

Приклад 1. З деякого листового матеріалу необхідно викроїти 200 за-

готовок типу А , 260-типу В і 290-типу С . При цьому можна застосовувати

три способи розкроювання . Кількість заготовок, одержуваних з кожного листа

при кожному способі розкроювання, наведена в наступній таблиці:

Тип заготовки

Спосіб розкроювання

2 3

4 1 5

Записати в математичній формі умови виконання завдання .

Розв'язання. Позначимо через Х\, х

, х

кількість листів матеріа-

лу , що розкроєні відповідно першим , другим і третім способами . Тоді за

першим способом розкроювання X] листів буде отримано Зх] заготовок

типу А , за другим - 2х

, за третім - 1х

•

Для повного виконання завдання

по заготовкам типу А сума Зх!+2х

+х

повинна дорівнювати 200 , тобто

Зх] +2х

+х

= 200.

Аналогічно одержуємо рівняння

212

х\ + 6х

+2*3

= 260 ,

4х) +х

+ 5х

=290 ,

;ким повинні задовольняти невідомі

\, х

, х

для того, щоб виконати зав-

дання по заготовкам В і С .

Система лінійних рівнянь

Зх\

2x2

+ х

200 ;

< х\

6x2

2х

= 260 ;

Лх\ + х

+ 5х

= 290

виражає в математичній формі умови виконання всього завдання по заготов-

кам А , В , С.

Помітимо, що системи отриманого вигляду можуть бути розв'язані

вивченими методами або використані як обмеження на змінні Х|, х

, х

лрн розв'язанні оптимізаційних задач , пов'язаних з розкроюванням листо-

вого матеріалу .

Приклад 2. За умови прикладу 1 встановити, скільки листів буде по-

трібно для викроювання означеної кількості заготовок . Для розв'язку систе-

ми використати метод Гаусса .

Розв'язання. Систему , отриману в прикладі

X] + 6х

+ 2хз = 260 ;

- Зхі + 2х

+ хз = 200 ;

4х( + х

+ 5х

= 290 .'

Перетворимо розширену матрицю системи :

запишемо у вигляді

\ 6

260"

260'

А =

3 2 1

200 ~

0 -16

-5

-580

4 1

290^

-23

-3

-750

- о

-3+5—

260

580

-750+^-

1 6

260

5 580

0 0

67 1340

0 0

)

16 16 ]

260

580

Ставимо у відповідність розширеній матриці спрощену систему :

213

*1 + 6x2

2*з = 260 ;

16*

+5*3

=580 ;

*3 =20,

х, =260-6-30-2-20 = 40 ;

:30

16 16

20 ,

= 30 , х

= 20 .

_ 580 __5_

2() =

480

~ 16 16 ~ 16

х, =40

Перевірка:

3-40 + 2-30 + 20 = 200 ;

40 + 6-30 + 2-20 = 260 ;

4-40 + 30 + 5-20 = 290 .

Система розв'язана вірно .

Приклад 3. Припустимо, що функція, яка характеризує валовий дохід

підприємства, має вигляд у

=ал-Ьц

л-сц

, де у, - валовий дохід ; Чі -

випуск продукції за період /. Спостереження охоплюють лише два періоди,

для яких значення д, , у, наведені в наступній таблиці:

Період і

Чі

УІ

10 100

2 20 150

Виходячи з матричної форми задання функції валового прибутку

А{а Ь с)

=у

де А

= (1

(

О/),

скласти з урахуванням проведених спостережень систему

рівнянь для визначення параметрів а,Ь,с і розв'язати її.

Визначити всю сукупність функцій валового прибутку , що задоволь-

няють згаданій в п. 1 системі рівнянь .

Розв'язання. Запишемо функцію валового прибутку у вигляді

(і ч, чп

•Уі-

Підставимо задані значення з таблиці:

214

(і 10 іоо)

(і 20 400)

100

= 150 .

Маємо систему

[а + 106 + ЮОс =100 ;

[а + 206 + 400с = 150 .

Розв'язуємо її, використовуючи метод Гаусса:

10 100

100"

'і 10 100

іоо

А =

іоо

}

20 400 150 0 10 300

К&А = К£А = 2 =

г <п

3 =>

Система

сумісна

має безліч

г>.

:з язків :

Га

+ 106 + 100с = 100 ;

{ 10/3 + 300с= 50.

. Ь - базисні змінні; с - вільна змінна ,

Га

+ 106 = 100-100с ; Га = -10 (5-30с) +100- 100с ;

{ 106= 50-ЗООс,

{б = 5-30с,

Га

= 50 + 200 с;

[Ь= 5- 30с, сєК .

Уся сукупність функцій валового прибутку

у,

=(200с + 50) + (5-30с) д, +са) .

До числа задач економіки, які зводяться до систем лінійних рівнянь,

відносяться задачі балансового аналізу. Мета балансового аналізу - відпо-

і стн на питання, що виникає в макроекономіці і пов'язане з ефективністю

клення багатогалузевого господарства : яким має бути обсяг виробництва

сгжної з п галузей , щоб задовольнити всі потреби у продукції цієї галузі ?

іьому кожна галузь виступає , з одного боку , як виробник деякої про-

. • . і , а з іншого - як споживач і своєї і виробленої іншими галузями .

215

Зв'язок між галузями , як правило , відбивається в таблицях міжгалу-

зевого балансу, а математична модель, що дозволяє їх аналізувати, розробле-

на в 1936 р. американським економістом В. Леонтьєвим . Розглянемо док-

ладно модель Леонтьєва багатогалузевої економіки .

Припустимо, що розглядається п галузей промисловості, кожна з яких

виробляє свою продукцію. Частина продукції йде на внутрішньо-виробниче

споживання даною галуззю та іншими галузями, а решта призначена для мети

кінцевого ( поза сферою матеріального виробництва ) особистого і суспіль-

ного споживання .

Розглянемо процес виробництва за деякий період часу (наприклад, рік).

Уведемо наступні позначення :

х, -загальний (валовий-) обсяг продукції /-Ї галузі (/ = 1,л) ;

- обсяг продукції /-Ї галузі, що споживається /'-ю галуззю в процесі ви-

робництва (і,] = \,п) ;

у,

- обсяг кінцевого продукту /-Ї галузі для невиробничого споживання .

Оскільки валовий обсяг продукції будь-якої /-Ї галузі дорівнює сумарно-

му обсягу продукції, що споживається п галузями , і кінцевого продукту, то

І = Е

УІ'

/=1

>" •

7=1

Записані рівняння називаються співвідношеннями балансу . Будемо

розглядати вартісний міжгалузевий баланс , коли всі величини , що входять у

ці рівняння , мають вартісне вираження .

Уведемо коефіцієнти прямих витрат

Ц • • і

а,, =— , /, 7=1, п ,

що показують витрати продукції /-Ї галузі на виробництво одиниці продукції

/-Ї галузі.

Можна вважати, що в деякому проміжку часу коефіцієнти а

будуть

сталими і залежатимуть від технології виробництва, що склалася . Це озна-

чає лінійну залежність матеріальних витрат від валового випуску , тобто

Ху = ауХ

}

, /, 7 =

1,п

216

-і;лідок чого побудована на цій підставі модель міжгалузевого балансу от-

узла

назву лінійної .

Тепер співвідношення балансу набудуть вигляду

, = X

.і

Уі '

/ = 1

•

'«11 «12 •

• «і/

Позначимо : X =

• А =

«21 «22 •

• «2л

; у =

У2

п)

««1 ««2 •

_г V - вектор валового випуску ; У - вектор кінцевого продукту : А - матри-

прямих витрат.

Тоді співвідношення балансу можна записати в матричному вигляді:

Х=АХ+У.

Основна задача міжгалузевого балансу полягає у відшуканні такого

аектора валового випуску X, який при відомій матриці прямих витрат А за-

"гзпечує заданий вектор кінцевого продукту У.

Перепишемо співвідношення балансу у вигляді

У=(Е-А)Х .

Маємо систему лінійних рівнянь відносно X . Якщо матриця (Е-А)

-евироджена, тобто сієї (Е - А)

0 , то існує єдиний розв'язок системи, який

знаходимо матричним способом

Х = [Е-А)~

-У •

Матриця 5 = (Е-А) називається матрицею повних витрат.

Щоб з'ясувати економічний зміст елементів матриці 8 = (8

), будемо

їздаватися одиничними векторами кінцевого продукту у

=(і,0,0, ... ,0)

=(0,1,

... ,0)

, ...,

У„

= (0, 0, ...,

)

. Тоді з огляду на те, що Х = 8-У,

відповідні вектори валового випуску будуть

• 1

(^11'^гі'-.^лі)

' Х

($І2>$22>-~>5п2У>

•••. Х

Іп

2п

,...,8

пп

У.

Отже, кожний елемент 8

матриці 5 є валовий випуск продукції

-і

галузі, необхідний для забезпечення випуску одиниці кінцевого про-

217

дукту /-Ї галузі у

}

= 1, у = 1,л .

Відповідно до економічного змісту задачі значення х, повинні бути

невід'ємними при невід'ємних значеннях у,, «

, де і,} = \,п •

Матриця А(сіу > 0) називається продуктивною, якщо для будь-яко-

го вектора У (у, ^0) існує розв'язок Х(х, >0) системи X = Л X + X. У

цьому випадку і модель Леонтьєва називається продуктивною.

Існує декілька критеріїв продуктивності матриці А . Один з них гово-

рить про те, що матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її

стовпців не перебільшує одиниці, причому хоча б для одного стовпця сума

елементів строго менша одиниці , тобто матриця А продуктивна, якщо

сіу>0 V і,і = \,п, іпах У_/г„ 21. існує номер у такий, що

-« ,=1

.,- <ї •

Приклад 4. У таблиці наведено дані про використання балансу за

звітний період , умов. грош. од. :

Споживання Кінцевий

Валовий

Галузь

Енерге-

тика

Машинобу-

дування

продукт

випуск

Вироб-

Енергетика

7 21

72 100

ництво Машинобудування

15 73 100

Обчислити необхідний обсяг валового випуску в кожній галузі, якщо

кінцеве споживання енергетичної галузі збільшиться вдвічі, а машинобуду-

вання залишиться на колишньому рівні.

Розв'язання. Маємо :

Х|=100, А-

=100,

хц=7, х)т =21, х

1 =12, х

=15;

=72, з/

=73.

Знаходимо коефіцієнти прямих витрат за формулою

х„

«,,=—,

м=1,2

іцу

= 0,07 ;

ау

= 0,21; «

, = 0,12; л

= 0,15 ; тобто матриця прямих витрат

218

(0,07 0,2П

А= .

{0,\2 0,\5)

Матриця А має невід'ємні елементи і задовольняє критерію продук-

тшяості:

шах {0,07 + 0,12; 0,21 + 0,15}= тах {0,19; 0,36} = 0,36 < 1.

Тому для будь-якого вектора кінцевого продукту

можна знайти необ-

уті обсяг валового випуску X за формулою

X =

(Е-А)~

-У.

Знайдемо матрицю повних витрат 5 = (Е - А

)

( 0,93 ,

-0,21

—

А =

[-0,12 0,85 ,

Оскільки йеі(Е-А) = 0,7653*0, то

8 =

(Е-А)-

0,7653

0,85 0,21^

0,12 0,93

(\ лл\

За. умовою вектор кінцевого продукту У =

144

Тоді вектор валового випуску X визначиться так :

= -

0,7653

0,85 0,21

0,12 0,93

144

'137,73^

85,17

179,99"|

111,28

0,7653

Отже, валовий випуск в енергетичній галузі треба збільшити до

"9.

99 умов, од., а в машинобудівній - до 111,28 умов. од.

Відомо, що задача знаходження власних векторів і власних значень

катрнць зводиться до розв'язку однорідних систем лінійних рівнянь.

Як приклад математичної моделі економічного процесу, що приводить

ю поняття власного вектора і власного значення матриці, розглянемо лінійну

«одель обміну (модель міжнародної торгівлі).

Нехай є п країн 5|,

,...,

5„, національний дохід кожної з яких дор-

шнює відповідно х\, х

•••, *

• Позначимо коефіцієнтами а

І}

частку на-

лонального доходу, яку країна 5

}

витрачає на закупівлю товарів у країни 5,.

219

Будемо вважати, що весь національний дохід витрачається на закупівлю то-

варів або всередині країни, або на імпорт з інших країн, тобто

Г>у =1. І = 1. П .

/ = 1

Розглянемо матрицю

22 "•

2п

п\

п2 '"•

ял/

що отримала назву структурної матриці торгівлі. Враховуючи попередню

рівність, сума елементів будь-якого стовпця матриці А дорівнює одиниці.

Для будь-якої країни 5, , і = \,п виручка від внутрішньої

зовніш-

ньої торгівлі складе

р,

=а,]Х

+ а

і2

+ ...

+а

•

Для збалансованої торгівлі необхідна бездефіцитність торгівлі кожної

країни 8,, тобто виручка від торгівлі кожної країни повинна бути не мен-

шою її національного доходу :

р,

>х, , і = \,п .

Якщо вважати, що р, > х, V;, то одержуємо систему нерівностей .

+а

+... + а

1п

>х

;

«21*І+

- +

"2п

п>

п\

га

п2

—

+ а

пп

>х

п •

Додавши ліві і праві частини нерівностей, отримаємо після перегрупу-

вання :

\\+

+ - + а

пХ

) + х

(а

+ а

г2

+... + а

п2

) + ... + х

{а

1п

+а

2п

+...+ а

пп

>Х\ +х

+... +

Враховуючи, що вирази в дужках дорівнюють одиниці, приходимо до

суперечливої нерівності:

Х\ +Х

+... + Х„ > Х\ +х

+... + х

220