Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

1.Знаходимо С\х)={р-а)-ЗХх

•

Знаходимо критичні точки: С'(х)=(р-а)-ЗЯх = 0, звідки

\~3/Г

(другу

р-а

критичну точку

2-~

не розглядаємо за змістом

З Я

Знаходимо С"(х) = -6Лх і визначаємо знак другої похідної при

Іч =

р-а

\ ЗЯ •

р-а

ЗЯ

<0 (в даному випадку С(х)<0 при будь-якому

х>0). отже, при х =

р-а

~зГ

прибуток С(х) максимальний.

Знаходимо максимум функції (тобто максимальний розмір прибутку)

С„

*1 =

р-а

ЗЯ

2(р-а)^

р-а

З^ЗЛ

Приклад 9. Капітал в 1 млрд грош. од. може бути розміщений у банку

*) % річних або інвестований у виробництво, причому ефективність вкла-

ч очікується у розмірі 100 % , а витрати задаються квадратичною за-

- -іСТЮ. Прибуток оподатковується в р % . При яких значеннях р вкла-

-ч у виробництво є більш ефективним, ніж чисте розміщення капіталу у

Розв'язання.

Нехай х (млрд грош. од.) інвестується у виробництво, а

- х - розмі-

іг-сться під відсотки. Тоді розміщений капітал через рік стане рівним

чГі

3 3

(1-х) 1+ = X ,

У Ш) 2 2

капітал, вкладений у виробництво, визначимо за формулою

іооЛ

х\

100

•2х .

Витрати складуть аг, оскільки за умовою вони задаються квадратичною

241

залежністю, тобто прибуток від вкладення у виробництво с = 2х - ах

2 Р

Податки складуть (2х-ах ) , тобто чистий прибуток виявиться

рівним

——

100

(2х-ах ).

Загальна сума через рік складе :

2 2 І 100

2 З

(2х-ах )

—+

з"

1 \оо)

-а\\--В-х

юо;

Треба знайти максимальне значення цієї функції на відрізку [0, 1].

Маємо

А'(х)

= 2\

1—£-|---2в(і-

100І 2 І 100

А'(х)

0 при *о

2 1-

100

х :

2а

—

100

1 -

< 0, тобто х

- точка максимуму.

А"(х)

= -2а

Щоб хд

[о,

], необхідно виконати умову

0<2

100 ;

-<1 , або /?<25 .

Таким чином, якщо р > 25 , то вигідніше нічого не вкладати у вироб-

ництво і розмістити весь капітал у банку. Якщо р < 25, то можна показати,

що при х = х

А(х

)

- +

100

4а

100

А(0),

тобто вкладення у виробництво вигідніше, ніж чисте розміщення під відсотки.

242

5.51.

Розрахувати еластичність даних функцій і знайти значення показ-

*ша

еластичності для заданих х:

а) у

+1 ,

х = 1,

х = 5 ;

б) у

5х

, X =

х = 0 ,

в) у = 5 Іпдг,

дг

= 10 , х

е ,

г) у

3х-6,

де

= 10 ;

Д)

у = \ + 2х-х

х =

;

е) у = хе~

х2

х = 1,

х = 2

5.52. Розрахувати еластичність функцій :

а) у = ах

Ь, де а, 6 -сталі;

б) у = ах'", де а, т - сталі.

5.53.

Крива повних витрат має вигляд у = К = 6 1о§(1+ 3х). Визначи-

ти гриву граничних витрат.

5.54. Задана крива повних витрат К(х). Визначити : а) криву гранич-

«п витрат ; б) розрахувати коефіцієнти еластичності при заданих значен-

их х, де х - обсяг виробництва, якщо :

9 X

1) К(х) = \50х-х

+— , х = 10, х=50 ;

100

2) К(х) = х

-Зх

+10х , х=1, х = 2 .

5.55. Функцією середніх витрат називається функція 5 = , де

/(і) - повні витрати виробництва, х - кількість одиниць продукції. Нехай

•прати на виробництво х одиниць однорідної продукції виражаються фор-

3 2

•чаюю у = х +3х +10х. Необхідно знайти: а) обсяг виробництва, при

ию«у середні витрати будуть мінімальними ; б) побудувати криві повних,

апхлніх і граничних витрат.

243

5.56. Цукровий завод виробляє х одиниць продукції в місяць, а су

244

марні витрати виробництва К(х)

— +

х + 300. Залежність між питомок

ціноюр і кількістю одиниць продукції*, що можна продавати за цією ціною

така : р(х) = 40- —. Розрахувати, за яких умов прибуток буде максималь-

ним (валовий прибуток (7(х) = хр(х), прибуток г(х) = 1/(х)-К(х)) .

5.57. Крива повних витрат має вигляд /С(х) = х

-6х

+15х (х - об-

сяг виробництва). Розрахувати, при якому обсязі виробництва середні витра-

ти мінімальні.

5.58. Залежність між витратами виробництва у (грош. од.) і обсягом

продукції, що випускається х (од.), виражається функцією у =

х - 0,04 х

Визначити середні та граничні витрати при обсязі продукції, рівному 5 од.

5.59. Залежність попиту я від ціни р виражається функцією

д(р) = -2р

+Зр + 8 -

Знайти еластичність Е

(ц) попиту д відносно ціни р і значення

показника еластичності при р = 1. Зробити висновки.

5.60. Функції попиту о і пропозиції 5 від ціни р задаються відповід-

но рівняннями : ц = 1 - р і 8 = р + ]. Знайти : а) ціну рівноваги ; б) елас-

тичність попиту і пропозиції для цієї ціни ; в) зміну прибутку (у відсотках)

при збільшенні ціни на 5 % від ціни рівноваги .

5.61.

Дана функція К(х) повних витрат виробництва . Знайти:

а) обсяг виробництва, при якому середні витрати будуть мінімальні;

б) побудувати криві повних, середніх і граничних витрат виробництва ;

в) розрахувати коефіцієнти еластичності при заданих значеннях х,

де х - обсяг виробництва, якщо :

1) К(х)

\00 , х

2, х = 50 ;

2) К(х) = 100 + — , х = 5, х = 25 .

5.62. Загальна вартість вироблених ц одиниць продукції визначається

.і(_Ю

с (д) = 100000 + 1500д + 0,2д

Середня вартість одиниці продукції

ї(а)=

-Ш.

Визначити, скільки одиниць продукції д слід випускати, щоб мінімізу-

середню вартість одиниці продукції.

5.8. Економічні задачі, в яких використовуються функції

багатьох змінних та їх частинні похідні

Наведемо економічну інтерпретацію частинних похідних.

Нехай задана виробнича функція 2 = /(х, у), що виражає, наприк-

. зитрати виробництва в залежності від кількості двох видів продукції х

що випускаються. Припустимо, що чинник х змінився на Ах, тоді ви-

А 2

-нча функція зміниться на А „ 2 = /(х + Ах, у)- /(х, у). Отже, —

—

Ах

' - *ає середній приріст виробничої функції на одиницю приросту чинника

- "о середні витрати виробництва на одиницю продукції х . Перейшовши

гзниці при Дх->0, отримаємо граничні витрати виробництва на оди-

«ІДО продукції х:

2 дт.

Ііт =

Дл:-»0 Ах дх

Аналогічно за чинником у :

2 ді

Ііт -^— =

Дх-»0 Ау ду

Еластичність виробничої функції г-/(х,у) відносно чинників ви-

. . „ , . х дг ,

[швоництва х і У встановлюється таким чином: Е

(г) = і вказує

2 дх

риблизно відсотковий приріст виробничої функції (підвищення, понижен-

ій відповідно до приросту чинника х на 1 % за умови, що чинник у не

245

міняється ; £ (г) =

—

і вказує приблизно відсотковий приріст виробки

іду

чої функції відповідно до приросту чинника у на 1 % за умови, що чинн

х не міняється.

Якщо виробнича функція встановлює залежність випуску у від п вв

робничих чинників де

,...,

х„ у вигляді у = /(Х\, Х

,... , х„),і

диференціальними характеристиками такої функціїє : - граничнаефе*

дх,

ду х,

тивність чинника х, ; Е

{у) = еластичність випуску у відносм

дх, у

чинника х, та інші.

Приклад 1. Потік пасажирів г виражається функцією г= —

де х - число жителів ; у - відстань між містами. Знайти частинні похідні

і пояснити їхній зміст.

2х

Розв'язання. Похідна г'

= — показує, що при одній і тій же відстав

між містами збільшення потоку пасажирів пропорційне подвоєному числ}

жителів. Похідна 2

= —- показує, що при одній і тій же чисельності ж*

телів збільшення потоку пасажирів обернено пропорційне квадрату відстані

між містами.

Приклад 2. Для випуску деякого товару визначена виробнича функції

/(х,

у) = 20х

\0у-2у

+4х

+3ху, де х, у - чинники виробництва.

Визначити : а) закон зміни виробничої функції; б) еластичність функціїз^

кожним чинником ; в) коефіцієнт еластичності за чинниками при х = 1, у =

Розв'язання, а) Щоб визначити зміну виробничої функції за чинни-

ками х і у відповідно, необхідно знайти —— і :

дх ду

246

^- = 20

8х + Зу . ££ = 10.-4^ + 3*

дх ' ду

б) За означенням еластичність функції за кожним з чинників така :

х дг _ х

і дх г

у дг _ у

іду 2

(г)

- ^г-

- (20 + 8х + 3>>) ;

(2)

= + ^ =

+-(\0-4у

Зх),

г =

20д:

+ Юу - 2у

+ 4х

+ Зху

•

в) Обчислимо коефіцієнти еластичності при я: = 1, у = 1. Врахуємо,

г(1,1) = 20 + 10-2 + 4 + 3 = 35:

„ , 20 +

31 " ...

(2)

= = — «0,89

35 35

(2)

= ^^ = — «0,26,

10-4 + 3

35 35

Таким чином, із зростанням чинника х на І % відбудеться відносне

««остання заданої виробничої функції приблизно на 0,89 % (за умови стабіль-

ності чинника у).

При зростанні чинника у на 1 % і незмінності чинника х виробнича

флкція зросте приблизно на 0,26 % . Отже, найбільше впливає на вироб-

і> функцію 2 = /(х, у) чинник х.

Відзначимо, що від'ємне значення коефіцієнта еластичності показує

•шіення виробничої функції при зростанні відповідного чинника . Наприк-

якщо Е

(г) = -0,08 і 2 = /(х, у) - функція випуску продукції, то

фостання чинника х на 1 % призводить до зниження випуску продукції на

ОЦЮ

Приклад 3. Нехай г = 2х

3ху

+х

- виробнича функція, де х -

•втрати живої праці, у - витрати уречевленої праці. Знайти Е

(2) і Е

{2)

і точці О, 1).

Розв'язання. Наближений відсотковий приріст функції 2 , що відпові-

дає приросту незалежних змінних х і у на 1 % , визначимо за формулами

247

с- ( \

д* С ґ \ У

і ах ' 2 ду

Знайдемо частинні похідні по х і у :

д 2 ? о д 2 і

= 4ху

3у'+3х

; = 2х

+6ху

дх ду

Тоді

х(4ху + 3у

+3х

) _

у(2х

+6ху)

2х^у + 3х;/+х^ 2х у + Зх/+х^

У заданій точці (1,1) £

(г) = — «0,67; Е

{г) =

—

«1,33

6 "" ' 6

Зі зростанням витрат живої праці на

% обсяг виробництва збільшить^

приблизно на 0,67 % , а зі зростанням витрат уречевленої праці на 1

обсяг виробництва збільшиться приблизно на 1,33 % .

Приклад 4. Фірма виробляє два види товарів Су і С

\ продає їх зг

ціною 1000 грош. од. та 800 грош. од. відповідно . Обсяги випуску товарів -

бі

£?2

•

Функція витрат має вигляд

с =

2о\

+2д

+д

Треба знайти такі значення Я\ і

£?2,

за яких прибуток, отриманні

фірмою, максимальний , і знайти цей прибуток .

Розв'язання. Сумарний прибуток від продажу товарів С\ і С

/Є = 1000 0, +800 02 .

Прибуток П являє собою різницю між прибутком К і витратами С,

тому

або

я-с =(іооо е, +800 д

)-(2д

+2д,д

+д

щд,,

)

= юоо

д, +800 д

-2д,

-гд,д

-д

Це і є функція, максимум якої слід знайти .

Для знаходження стаціонарних точок знаходимо частинні похідні пер-

шого порядку від функції

ПСбьбг)

і прирівнюємо їх до нуля:

248

пе,(е,,

) = іооо-4е,-202;

П£

Ші, 0

) = 8ОО-20,-20

;

000-46,-202=0;

800-20,-202=0.

Розв'язок системи : 0, =100, 02 =300. Таким чином, стаціонарна

.а

Л/

(100;

300).

Знаходимо частинні похідні другого порядку :

п-

-4;

В =

30,

502

= -2; С

302

= -2,

А<0, А=АС-В

=-4-(-2)-4 = 4>0 .

Отже, точка Л/о (100; 300) є точкою максимуму.

Максимальний прибуток досягається при обсягах виробництва

= 100, 02 = 300. Знайдемо суму максимального прибутку :

П(100; 300) = 1000•

100

+ 800• 300-2•

ОО

-2•

100•

300-300

" і 000 грош. од.

Приклад 5. Фірма реалізує частину товару на внутрішньому ринку, а іншу

«тину поставляє на експорт. Зв'язок ціни товару Р, і його кількості 0,, про-

явного на внутрішньому ринку, описується кривою попиту за рівнянням

/>,+Є,

=500 .

Аналогічно для експорту ціна Рі і кількість 02 також зв'язані

пзвідношенням (рівнянням кривої попиту)

2/>2

+30

=72О.

Сумарні витрати визначаються виразом

С = 50000 + 20 (0, +0

Яку цінову політику повинна проводити фірма, щоб прибуток був мак-

симальним ?

249

Розв'язання. Сумарний прибуток

Л,=/>,-Єі

=(500

0,)

=500

0,-0

2 Яг

=(360-1,5

) Є2

=360

-1,5

•

В обох випадках ціна береться

відповідних кривих попиту

К = К

+К

= 500

<2і -Є,

+360

-1,5

Одержуваний фірмою прибуток

п(Єі,

)

/г-с=(5ОО0,-0,

+збО02-і,50

)-5ОООО-2О(0,+0

4800,-0,

34002-1,5^1

-50000

Знаходимо частинні похідні першого порядку

Пе,(Єі.

Єг) =

480-2Єі;

п^(бі,

)

з4о-з02;

Ґ48О-20,=О;

[340-302=0.

0,=24О,

=340/3.

Стаціонарна точка Л/

(240; 340/3).

Обчислюємо частинні похідні другого порядку

= -2;

В:

Л/п

ЗЄі

302

С =

= -3

л/

Л<0,

А=АС-В

=6>0.

Отже,

стаціонарній точці має місце максимум.

Знайдемо оптимальні ціни для продажу

на

внутрішньому ринку

і по

експорту, підставляючи координати точки максимуму

криві попиту

=500-0,

=500-240 = 260

;

=360-1,5

=360-1,5-^°-

190.

250

де

Кі , К

прибутки від продажу

на

внутрішньому ринку

та

експортни-

постачань відповідно