Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

Таким чином , нерівність р, >х, , і = \,п неможлива,

умова р

>х.

^ваєвигляду

р,=х,,

і = \,п . (З економічної точки зору це зрозуміло,

зсї країни не можуть водночас одержувати прибуток .)

Уводячи вектор х =

(х\,Х2,...,х„)

національних доходів країн, отримає-

пвняння

Ах

-о задача звелася до знаходження власного вектора матриці А , що відпов-

--:

власному значенню Я =

•

Приклад 5. Структурна матриця торгівлі трьох країн 8

{

, 8

має

ляд

(0,1 0,3 0,2^

А = 0,8 0,6 0

[о,1 0,1 0,8,

Знайти співвідношення національних доходів країн для збалансованої

пвлі.

Розв'язання. Згідно з викладеною вище теорією власним значенням

"гиці А є Я =

•

Перевіримо, чи Я = \ задовольняє характеристичному

-янню

йеІ(А-ЯЕ) = 0 ,

"~:> рівнянню

0,1

-Я 0,3 0,2

0,8 0,6-А 0

0,1 0,1 0,8-Я

Поклавши Я =

та розкривши визначник, впевнюємось, шо це вірно.

Знаходимо власний вектор х, що відповідає власному значенню Я = 1,

в'язавши систему

(А-Е)Х = 0 ,

в розгорнутому вигляді

0,9 0,3 0,2^

0,8 -0,4 0

0,1 0,1 -0,2,

= 0

)

^3,

221

Використаємо метод Гаусса для розв'язування отриманої системи :

-0,9Л-,

+0,3х

+0,2л-

=0 ;

, •

0,8*!-о,4л-

=°;

0,1*!

+0,1*2 -0,2*з =0 .

Знаходимо, що

і=|с; *

=|с;

=С, тобто

Х =

Отриманий результат означає, що для збалансованої торгівлі співвідно-

2 4 ,

шення національних доходів повинно бути —: —:

, або

2:4:3-

5.26. З пункту А до пункту В необхідно перевезти обладнання трьох

типів:

І - 95 од., II - 100 од., III - 185 од. Для перевезення обладнання завод

може замовити три види транспорту. Кількість обладнання кожного типу, що

вміщується на певний вид транспорту, наведена в наступній таблиці:

Тип

обладнання

Вид транспорту

ТІ Т

Тг

4 1 2

III 3 5

Записати в математичній формі умови перевезення обладнання з пунк-

ту А до пункту В .

5.27. За умови задачі 5.26 встановити, скільки одиниць транспорту кож-

ного виду потрібно для перевезення обладнання з пункту А до пункту В . Для

розв'язання системи використати метод Гаусса .

5.28. Підприємство випускає продукцію трьох видів А , В , С . Рівень

випуску лімітується обмеженістю ресурсів. Усі числові дані наведено в на-

ступній таблиці:

Ресурси Запас

Норми витрат на одиницю

ресурсу продукції

Сировина, кг

24 5 1 4

Матеріали, кг

75 10 5 20

Обладнання, од.

10 5 2

222

Записати в математичній формі умови, яким повинен задовольняти

план випуску продукції, припускаючи повне використання ресурсів .

5.29. За умови задачі 5.28 знайти план випуску продукції. Для розв'я-

зання системи використати метод Гаусса .

5.30. Цех випускає три види виробів: 1, II, III. При цьому застосову-

ються три виробничих процеси: штампування, складання і фарбування. Інтен-

сивність (в людино-годинах за період) даних процесів складає відповідно

. 40 і 80 , а трудомісткість кожного процесу при виробництві продукції

гадається матрицею і

(ау) =

ж о

- кількість людино-годин , необхідна для /-го процесу обробки оди-

-иці виробу /-го виду.

Написати в матричній формі систему рівнянь, яка характеризує

пвність потужностей, що використовуються, і наявних для кожного проце-

Нехай потужності кожного процесу обробки використовуються по-

вністю. Який буде при цьому випуск кожного виду продукції ?

5.31.

У наведеній нижче таблиці вказано вміст вітамінів А, В, С в оди-

-нці маси кожного з продуктів П

і П

. Для підтримання здоров'я не-

обхідно споживати 11 од. вітаміну А , 9 од. вітаміну В і 20 од. вітаміну С.

Продукти Вітаміни

А В

п,

1 3

2 ;>

3 0 3

Знайти всі можливі варіанти дієти, що включають продукти П|, П

і містять означену кількість вітамінів А , В, С.

Нехай ціна одиниці продукту П] складає 60 грош. од., продукту П

; грош. од., продукту П

- 10 грош. од. Скласти дієту вартістю 100 грош. од.

і і і

1 4 1

1 6 4

223

5.32. В економіці і господарській діяльності важливу роль відіграє при-

пущення, що механізм ринкової конкуренції змінює ціну на продукт на-

стільки , що попит і пропозиція зрівноважуються . Припустимо, що функція

попиту на холодильники протягом певного часу має вигляд

=12000-0,2*2 , де *\ - ціна холодильника, а х

~ відповідна їхня

кількість. Нехай функція пропозиції має вигляд : х\ = 300 + 0,1х

ГІР

яких

значеннях х\ \ х

настає рівновага? Вирішити систему матричним мето-

дом (методом оберненої матриці).

5.33. З двох заводів поставляються автомобілі для двох автопідприємств,

потреби яких відповідно 200 і 300 автомобілів. Перший завод випустив 350

автомобілів, а другий -150 автомобілів. Відомі витрати на перевезення авто-

мобілів з заводу до кожного автопідприємства, що задані таблицею :

Завод Витрати на перевезення в автопідприємство,

грош. од.

Завод

1 15

Мінімальні витрати на перевезення дорівнюють 7 950 грош. од. Знай-

ти оптимальний план перевезень автомобілів.

5.34. Є три банки, кожний з яких нараховує вкладнику певний річний

відсоток (свій для кожного банку). На початку року

/3 вкладу розміром б 000

грош. од. вклали в банк 1, 1/2 вкладу - в банк 2 і частину, що залишалася - в

банк 3, і до кінця року сума цих вкладів зросла до 7 500 грош. од. Якщо б

спочатку 1/6 вкладу поклали у банк 1, 2/3-у банк2 і 1/6 вкладу - у банк 3, то

до кінця року сума вкладу склала б 7200 грош. од.; якщо б 1/2 вкладу покла-

лиубанк 1, 1/6-у банк2 і 1/3 вкладу-у банк 3, то сума вкладів наприкінці

року склала б 1250 грош. од. Який відсоток виплачує кожний банк ?

5.35. У таблиці наведено дані про виконання балансу за звітний період,

умов. грош. од.:

Споживання Кінцевий [ Валовий

Галузь

1 1 2

продукт

випуск

Виробництво

100 160

240

500

2 275 40 85 400

224

Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо

кінцевий продукт першої галузі повинен збільшитися вдвічі, а другої -

«20%.

5.36. У таблиці наведено дані виконання балансу за звітний період,

«:в. грош. од.

Фірма Постачання фірмі Кінцевий Валовий

1 2

продукт

випуск

200 160

400

320

100

80 500

Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної фірми, якщо :

. «..нцевий продукт фірми 1 дорівнює 70, а фірми 2 - 120 ;

.нцевий продукт фірми 1 дорівнює 60, а фірми 2 - 80 .

5.37. У математичній економіці велику роль відіграють так звані про-

«-півні матриці. Доведено, що матриця А є продуктивною тоді і тільки

ваді, коли всі власні значення матриці А за модулем менші одиниці. Пере-

віряти, чи є матриця А продуктивною, якщо :

а)

А =

0,125 0,125^|

ІЛ,125 0,125

б)

А =

1 0

0,1 0,5

5.6. Економічні задачі, пов'язані з послідовністю та її

границею (елементи математики фінансів)

Розглянемо загальноприйняті в ринковій економіці алгоритми на-

"і

вання відсотку в залежності від терміну позички, типу відсотків, схе-

• :\нього нарахування.

Побудова числової послідовності для знаходження грошових на-

громаджень з урахуванням простих відсотків.

Позначимо через А грош. од. первісну суму. Процентна ставка дорів-

яос 4 відсотків річних. При нагромадженні грошових коштів з ураху-

ванням простих відсотків у кожний тимчасовий період на добавлений

відсоток не нараховуються нові відсотки. Тоді грошові нагромадження

складуть :

225

після першого року А\ = А

-^~ А +Аг , де

ґ =

~^>

після другого року А

= А + Аг + Аг = А(\ + 2г) ;

після п - го року А„ = А(\ + пг).

Отже,

= А(\

пг) .

Побудова числової послідовності для характеристики грошових на-

громаджень з урахуванням складних відсотків.

При позначеннях, уведених у п. 1, отримаємо, враховуючи тепер, що

відсоток прибутку нараховується на всі грошові нагромадження :

після першого року А\ = А + Аг = А(\

г) ;

після другого року Аі =А\ +А

г = А(1

г) ;

після я-го року А

= А

_і+

_\г~

А(\ + г)" .

Отже, при нарахуванні складних відсотків протягом п років кінцева

сума грошових нагромаджень складе

А„=А(\

+ г)

Це основна формула для нарахування складних відсотків .

Величина 5 =

+ /' називається коефіцієнтом складного відсотку .

Нехай відсотки нараховуються рівномірно т разів протягом року,

кожний раз за нормою — на новий залишок вкладу (сума вважається ста-

більною протягом усього розглядуваного періоду), тоді загальний член цієї

послідовності буде мати вигляд

Нехай відсотки тепер нараховуються неперервно, тобто т ->

оо

тоді

отримаємо

Ііт А

= Ііт А

+ —І =Ае

226

Отже, А„=А-е

г, п, де г =

100

, <7 - процентна ставка.

Знаючи три з них, можна легко знайти четверту .

Наприклад, з основної формули для нарахування складних відсотків

А\

±_

100.

сля нескладних перетворень, отримаємо наступні формули :

Іп А

-іпА

І 100

д = 100

А = А„\1 +

100

Відмітимо, що операція знаходження первісного вкладу А називається

лисконтуванням

Значення А називають також сучасним значенням для А „.

Приклад 1. Нехай 3 млн грош. од. видано в кредит на 6 місяців під

гості відсотки за ставкою 10 % за місяць. Знайти нарощуване значення

боргу наприкінці кожного місяця .

Розв'язання. Позначимо А

- нарощуване значення боргу наприкінці

100

місяця к . Оскільки Л = 3 млн грош. од., г

л А

= А(і + кг), маємо

=3{\

0,\ к) , *=йб .

Отриманий результат представимо у вигляді таблиці

= 0,1, то виходячи з форму-

0 1 2

3 4

3,3 3,6

3,9

4,2 4,5 4,8

Ми бачимо, що послідовність А§ = А, А\, А

і,...,

- це арифме-

тична прогресія з початковим членом Ло = 3 млн грош. од. і різницею 300

тис.

грош. од.

227

Цю формулу можна використати для будь-яких розрахунків, пов'яза-

зі складними відсотками .

Наведені в п. 1 - 4 формули зв'язують чотири змінні величини :

Приклад 2. Нехай первісний вклад А = 250 тис. грош. од. вкладено на

4 роки під складні відсотки за ставкою 100 % річних . Знайти нарощуване

значення вкладу за роками .

Розв'язання. Позначимо А

~ нарощуване значення вкладу наприкінці

к-го року. Оскільки Л = 250-10

грош. од., г

|Щ| = 1, то за формулою

= А (1 + г) маємо

Л*=25(

Складемо таблицю

А £=250-10

(1 + 1)* = 250 10

-2

, £ = 1,4.

к, років

2 3

250-10

5-Ю

2-Ю

4-Ю

Як видно, при ц = 100 % зростання вкладу відбувається дуже швидко.

Приклад 3. 10 млн грош. од. інвестовані на 2 роки за ставкою 120 %

річних . Треба знайти нарощувану за цей час суму і її приріст при нараху-

ванні : а) щорічно ; б) по півріччям ; в) щокварталу ; г) щомісяця .

Розв'язання. Скористаємось формулою

\ІПП

А„ = А\

+ —

120

де п = 2, Л = 10 млн грош. од., ц = 120 %,

-^— = — = \,2 , т = 1, 2 , 4

100 100

12 відповідно для випадків а), б), в), г).

Позначимо А - А

- А -прирістсуми . Результати зведемо до таблиці.

Випадок

Н)

( л

т2

=А\1+-

млн

грош. од.

-А,

МЛН фОШ. од.

1 2 3 4 5

а) 1

+ у^ =4,8400 48,400

38,400

228

Продовження таблиці

1 2

4 5

б) 2

[^ + ~^ =6,5536

65,536 55,536

в)

+ -^ =8,1573

81,573 71,573

г)

12 =9,8497 98,497 88,497

Приклад 4. Потрібно знайти сучасне значення боргу (первісний борг),

:зна сума якого через 3 роки складе 7 млн грош. од. Відсотки нараховують-

за наступними ставками : а) 140 % наприкінці кожного року ; б) 20 %

-іприкінці кожного кварталу ; в) 120 % річних наприкінці кожного місяця .

Розв'язання.

А и

а) А =

+ -*-

100

:е А - первісний борг або сучасне значення боргу ; и = 3, Л

= 7•10

грош.

л;

^ = 1^ = 1,4;

100 100

А=-

7-Ю

(1 + 1.4)

13,824

= 506 366

б) А--

(\ + г)

тп

:г « = 3, А

= 7

•

грош. од.; т = 4 ; г = = = 0,2 ;

3 к

100 100

Л =

7-10° 7-Ю

(і + 0,2)

8,916

= 785 105 '.

229

де п = 3 , Ах = 7

•

грош. од., т = 12; г = — = — = 1,2 ;

100 100 ,

А=

1Л

°\

(

= ^ = 226 442.

(и-£)

30,913

Приклад 5. Сума 2 000 грош. од. покладена в банк за схемою неперерв-

ного нарахування відсотків за ставкою 10 % за рік. Знайти нарощену на-

прикінці року суму А

при « =

1,2,3,5

і 10.

Розв'язання.

А„=А-е

гп

'' = 7^ = 0.1, А

= 2000-е'

Результати обчислень зведено до таблиці.

п,

років 0

2 3 5

грош. од.

2000

2210,34

2442,81 2699,72

3297,44

5436,56

Приклад 6. При одній

тій же відсотковій ставці за схемою неперервно-

го нарахування відсотків вкладник С через 2 роки одержує

000 грош. од.,

вкладник Б через 4 роки одержує 600 грош. од. Знайти відсоткову ставку <у,

якщо первісний вклад вкладника С вдвічі більше, ніж вклад вкладника й .

Розв'язання. Скористаємось формулою

=А-е

Тоді

=А«>.е

; А

А«>-е'-\

де-

А^\ А^

- початкові вклади вкладників С та £> відповідно,

А^

= А

.е-

2г

; А^=А

-е^

230