Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

коренів характеристичного рівняння ; дійсних кратних коренів характерис-

тичного рівняння ; комплексних коренів характеристичного рівняння .

6. Викладіть правило знаходження частинного розв'язку неоднорідно-

го рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами , якщо його права ча-

стина /(х) має вигляд /(х) = е

ах

(х) , де Р

(х) - многочлен и-го

степеня; /(х) =

АсозРх

В&ІПРх

, де Л,£-сталі.

4.4. Ряди

[2,

гл.9, §9.1-9.12, 9.14, гл . 4 , §4.15, 4.16]

ОО

Вираз іц +и

+ «з +... + и„ +... = £и„ називається числовим рядом ,

и=1

а числа

~ членами ряду . Ряд називається збіжним , якщо його частинна

сума 5„=^и, при

л->оо

має скінченну границю Ііт &„=& ; при цьо-

і=і "-

>с0

му величина 5 називається сумою ряду . Якщо границя Ііт 8

не існує

/І-*оо

або нескінченна , то ряд називається розбіжним .

Необхідна ознака збіжності: якщо ряд збігається , то Ііт и

= 0 .

/?—>оо

Наслідок: якщо Ііт и„ *0 , то ряд розбігається .

Л->оо

При дослідженні збіжності рядів з додатними членами (и„>0) вико-

ристовуються наступні ознаки .

Ознака порівняння : нехай задані два ряди ^]и

(1),

(2) і

/1=1 /1=1

нехай кожний член ряду (1) не більше відповідного члена ряду (2), тобто

<У

. Тоді : а) якщо збігається ряд (2), то збігається і ряд (1);

б) якщо розбігається ряд (1), то розбігається і ряд (2).

171

Гранична ознака порівняння: нехай задані два ряди :

ОО

Х>« (1) і

Х>л(2)

, и

>0, у„>0 ;

и=1

л=1

З Ііт ^

А (А*0, АФП)

тоді ряди (1), (2) обидва збігаються, або обидва розбігаються .

Щоб дослідити збіжність заданого ряду за допомогою одної з ознак

порівняння , слід підібрати інший відомий ряд, з яким можна було б його

порівняти . За відомий розбіжний ряд часто використовують гармонічний ряд

V — . В ролі відомого збіжного ряду для порівняння можна використати

нескінченно спадаючу геометричну прогресію - геометричний ряд

^Гадг"

(от* 0, |<7|<1) , або ряд обернених квадратів £ .

П=\

/7=1 п

Ознака Даламбера : нехай для знакододатного ряду існує границя

П+\

Ііт = /

•

Тоді ряд збігається за умови / <

і розбігається , якщо / > І .

и->оо И

Якщо / = 1, питання про збіжність ряду необхідно вирішувати за допомогою

інших ознак.

Радикальна ознака Коші : нехай для знакододатного ряду існує

Ііт

І[И~П

= І • Тоді ряд збігається за умови /<1 і розбігається , якщо / >1 ;

якщо / =

, збіжність ряду встановлюється за допомогою інших ознак .

Інтегральна ознака Коші: якщо для знакододатного ряду ^/(и)

функція Дх)>0 неперервна і не зростає на [1, со), то інтеграл }/(*) сіх

та ряд £/(и) водночас збігаються або розбігаються

П=\

172

Ряд називається знакозмінним , якщо серед його членів є як до-

л=1

датні, так і від'ємні.

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду : якщо збігається ряд

оо

Х|

и | ' складений із абсолютних величин членів вихідного ряду , то даний

"=1

ряд також збігається і називається абсолютно збіжним .

Якщо ряд 2-,и

збігається, а ряд ^| и

| розбігається , то вихідний

л=1

ряд називається умовно збіжним .

Частинним випадком знакозмінного ряду є знакопереміжний ряд ,

члени якого строго чергуються за знаком :

и\-и

+«з-«4

+...

(и„>0).

Ознака Лейбніца : якщо в знакопереміжному ряді абсолютні величи-

ни членів ряду спадають и\> и

> "з > ••• > и

... та загальний член прагне

до нуля Ііт и

= 0 , то ряд збігається .

Розглянемо приклади дослідження збіжності числових рядів .

Приклад 1. 2-І

П=\

Розв'язання. Перевіримо , чи виконується необхідна ознака збіжності:

2л-1 , .

Ііт и

= Ііт —-— = 1*0 =>

л-»оо л-»со 2.П

ряд розбігається згідно з наслідком з необхідної ознаки .

Приклад 2. ]Г

Розв'язання. Порівнюючи даний ряд з гармонічним У — , за озна-

ці

кою порівняння отримаємо Ііт — = Ііт —-— = — ФО. Отже, обидва

л->оо у„ л-»°о1 + 10я 10

ряди розбігаються.

173

Приклад

3. X ,.

застосуємо

оз-

Розв'язання. Запишемо

и„~— і и„.\=

пі "

(я+1)!

наку Даламбера:

Ііт •^

?±

= Ііт ——— = Ііт = 0 <

=> ряд

збігається

И->ад

ип

и->оо

(л + 1)!

п->со

л + 1

Приклад

4. 2]

л+1 *

2«-1

Розв'язання. Запишемо

и =

2л-1

і застосуємо радикальну

оз-

наку Коші:

Ііт

"ІЙ^= Ііт

"І

л+1 *

2л-1

Ііт =

—

=> ряд

збігається

л->оо

2я-1 2

Приклад

5. 2-

/,-—':

и=1

л/

+ 1

Розв'язання. Застосуємо інтегральну ознаку Коші:

л і N _І

\/{Х)<ІХ=\-~=

= ± Ііт Г(4* +

1)"^(4*

~ Ііт

2у/4х +

- Ііт (л/4Л'+1 - V?)

* =>

N-+00

11 2

Л?-»оо

невласний інтеграл розбігається

, і

тому вихідний

ряд

також розбігається

Приклад

6. 2 (-1)'

,и+1

л=1

2л-1

Розв'язання. Оскільки

ряд

знакопереміжний,

то

застосуємо ознаку

Лейбніпа:

174

б)

Ііт и„= Ііт —ї— = 0 => ряд

збігається

7)->оо

2/7 — 1

Встановимо

тип

збіжності,

для

чого розглянемо

ОО

2/7-1

за ознакою порівняння, порівнюючи

гармонічним рядом

У — ,

отримаємо

я=і

«В ,. п 1

Ііт

—= Ііт =

—

*0 ,

л->оо

у„

п->оо

2/7 — 1 2

отже

обидва ряди розбігаються

оо ^

Таким чином

, ряд V (-1)"

збігається умовно

Якщо членами ряду

функції незалежної змінної

х, то ряд 2] и

(

)

називається функціональним

Множина значень змінної

х , при

яких

цей

ряд збігається, називається областю збіжності ряду. Сумою ряду називається

функція 5(х),якщо

5(х)=

1іт5„(х),

де 8„(х) =

^и,{х),

а х

нале-

жить області збіжності.

У деяких випадках

для

знаходження області збіжності ряду можна зас-

тосувати відомі ознаки збіжності числових рядів (ознака Даламбера

або

Коші),

вважаючи

фіксованою величиною

Степеневим рядом називається

ряд

вигляду

^а„(х-а)

де

а, а„ -

дійсні числа,

коефіцієнти членів ряду

Зокрема

, при а =

одержуємо степеневий

ряд за

степенями

х :

оо

л=0

175

Областю збіжності степенового ряду є інтервал збіжності | х - а

< К

з центром у точці х = а , "в середині" якого ряд збігається абсолютно ; при

| х - а

> Я ряд розбігається . На кінцях інтервалу збіжності х = а ± К ряд

може або збігатися , або розбігатися ; при збіжності відповідна точка вклю-

чається в область збіжності . Для різних степеневих рядів число Я (радіус

збіжності) може виявитися рівним нулю , скінченному числу або нескінчен-

ності і обчислюється за формулою

К=

Ііт

Л-»со

"п+1

або

Ііт

Л-»СО

де а

и+

- коефіцієнти при и-му і (и + 1)-му членах ряду .

Розглянемо приклади на знаходження області збіжності степеневих

рядів .

Л-1 я-1

Приклад 7. а) £ 2"~х

б) І

п=1

(х-2)"

Розв'язання, а) Запишемо а

~2"

, а

= 2", тоді

К =

Ііт

Ц-»оо

ап

л+1

= Ііт =

—

п-»оо

2" 2 '

1 11

отже, | х | <

—

, або -

—

< х <

—

- інтервал збіжності. Досліджуємо збіжність

ряду на кінцях знайденого інтервалу збіжності. При х = -~ отримаємо ряд

]Г (-1) "

_І

, що є розбіжним , а при х =

—

отримаємо числовий ряд 1,

що також розбігається . Таким чином , область збіжності степеневого ряду

має вигляд

- —<х<—, або хє -—,—

2 2 І. 2 2

176

б) Запишемо

- ~ , а„,

= ,

тоді

л +

У "

+ 1

к = Ііт =

л->оо

отже,

—1

< х

—

2 <

, або

д:

інтервал збіжності. Збіжність ряду

на

кінцях інтервалу

: за

умови

х =

отримаємо

ряд

У(-1)"

—

що

збігається

п=\

оо

умовно (ознака Лейбніца)

; при х =

3 отримаємо числовий

ряд

У" — , що

розбігається

Таким чином

область збіжності степеневого ряду

що

дослі-

джується

має

вигляд

1<х<3

, або

хє[1,

3) .

Степеневий

ряд

можна почленно диференціювати

інтегрувати всере-

дині його інтервалу збіжності.

При

цьому степеневі ряди

що

будуть отри-

мані

мають

той же

інтервал збіжності,

що і

вихідний

ряд

Якщо функція

/(х)

має

похідні всіх порядків

околі точки

то

для

неї

формально можна записати розкладання

степеневий

ряд (ряд

Тей-

лора)

Гіх)=±^р^(х-а)

Однак

кожному випадку необхідно досліджувати

, за

яких значень

ряд збігається

коли його сумою буде саме функція

/"(х) .

Якщо

о = 0,

одержимо частинний випадок ряду Тейлора,

що

назива-

ють рядом Маклорена

Наведемо розкладання деяких важливих елементарних функцій

сте-

пеневі ряди

вказівкою областей збіжності

е*=У

— ,

(-оо<х<+оо);

«=0

п1

°° х

2и+1

5ІПХ=

(-1)"—

(-оо<х<+оо);

4Ь

(2и

1)!

177

2л

п=0

•

чш ^ /и

(от-1)...

(тя-л +

„ , ,

(і+х)=Е—

^—7

(-1<х<1)

;

и=0

л!

Іп

+ х)=

У(-1)

и+1

— (-1 < х <

1)*

„=1

Інколи

при

розкладанні потрібної функції

в ряд

використовуюють

по-

членне диференціювання

та

інтегрування відомих рядів

або

геометричної

прогресії.

Подання тієї

або

іншої функції

вигляді степеневого ряду часто вико-

ристовується

наближених обчисленнях

, а

також

при

розв'язанні диферен-

ціальних рівнянь

5ІП X

Приклад

Обчислити наближено інтеграл

( сіх .

Розв'язання. Використовуючи розкладання

для

зіпх

одержуємо

зіпх

_ У( \)

п х

^ (2,7 +

1)!

•

Ця рівність інтегрується

межах

від 0 до а :

".СІП

„2/7

+ 1

р!Н

йх =

У(-і)"

» ;

п~0 (2и + 1)(2и + 1)!

суму ряду легко обчислити

необхідною точністю

при

заданому

а .

Приклад

Знайти наближений розв'язок диференціального рівняння

у'

ху

+ 1

при у(1)

0 .

Розв'язання.

Цей

розв'язок запишемо

вигляді ряду Тейлора

за

сте-

пенями

(х-1) :

УІ

)=1

^ <*-!)*. ,

к=0

•

За умовою

у(1) = 0 .

Поклавши

рівнянні

х =

.знайдемо

у\\) = \ .

178

созх=

У(-1) —

(-оо<х<+°о);

' (2л)!

Продиференціюємо вихідне рівняння та отримаємо у" = у

+ 2ху у' , звідси

при х =

У(1) = 0

•

Далі знову диференціюємо рівняння другого порядку і

одержуємо у" = 2уу' + 2уу' + 2х у'

+2ху у" ; при

= \ у^(1) = 2

•

Ана-

логічно у(

) = б/

+6уу" + 6х'у'у" + 2хуу

; при

= \ отримуємо

(4)

(

1) = 6 і т. д.

З урахуванням знайдених значень розв'язків у і його похідних у точиі

х =

матимемо

л / ,ч

(Х-1)

6(х-1)

у(х) = (х-1) + — —+ — —+ ... ,

3 ! 4 !

або

1 ЗІ

ДХ)

(Л--1)

-(Д;-1)

+-(Х-1)

..,

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Дайте означення числового ряду , загального члена ряду , частинної

суми ряду , суми ряду , збіжності і розбіжності рядів .

Дослідіть збіжність ряду, складеного з членів геометричної про-

фесії .

Сформулюйте і доведіть основні властивості числових рядів .

Сформулюйте і доведіть необхідну ознаку збіжності ряду і наслідок

з цієї ознаки .

5. Сформулюйте і доведіть ознаки порівняння рядів з додатними чле-

нами .

6. Сформулюйте ознаки Даламбера і Коші ( радикальну та інтеграль-

ну ) збіжності рядів , наведіть приклади застосування цих ознак .

7. Дослідіть за допомогою інтегральної ознаки Коші збіжність узагаль-

неного гармонічного ряду.

Дайте означення знакозмінного ряду .

9. Сформулюйте достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду .

10.

Дайте означення абсолютно і умовно збіжного знакозмінного ряду

і сформулюйте основні властивості цих рядів .

11.

Дайте означення знакопереміжного ряду .

12.

Сформулюйте ознаку Лейбніца збіжності знакопереміжних рядів і

наведіть приклади застосування цієї ознаки .

179

13.

Дайте означення функціонального ряду , його області збіжності.

14.

Дайте означення загального члена, частинної суми і залишку фун-

кціонального ряду , сформулюйте умову збіжності ряду .

15.

Дайте означення степеневого ряду та інтервалу його збіжності.

16.

Сформулюйте теорему Абеля про характер області збіжності сте-

пеневих рядів .

17.

Виведіть формулу для обчислення радіуса збіжності степеневого

ряду.

18.

Запишіть ряд Тейлора для функції /(х). Розкладіть функції

у = зіп х , у = соз х у степеневий ряд .

19.

На основі теореми про інтегрування степеневих рядів виконайте

розкладання в ряд Маклорена функцій у = агсзіп х , у =агсІ§ х .

20.

Викладіть метод наближеного обчислення визначених інтегралів за

допомогою степеневих рядів .

21.

Викладіть метод наближеного інтегрування диференціальних

рівнянь за допомогою степеневих рядів .

4.5. Задачі для практичних занять

У задачах 4.1 -4.-51 знайти невизначені інтеграли :

сіх СІ 2 .

4.8. \

сіх

4.11.

}

(агсзіп х)

\1 - х

4.12.

х Іпх

сіх

4.16. \

(х + 1)(2х-3) •

сіх

4.17.

180