Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

Розв'язання.

00 ОО І

/= Г

агс

СІХ=

[агс1:§х </(агсІ§ х) =

—

агсг§

* о

= І(іітагс1

х-агс

1§

0]Л[|] =

Схема побудови інтегральних сум для визначеного інтеграла визначає

велику різноманітність його застосувань у задачах геометрії та фізики . На-

ведемо стислий огляд деяких застосувань визначеного інтеграла .

Обчислення площ плоских фігур :

а) площу фігури, обмеженої кривими у = /\(х) і у = /

(

)

(І\(

) -1

та

ЯМИМИ

х = а і х = Ь , знаходять за формулою

\ШХ)-МХ)]4х

;

б) площа криволінійного сектора , обмеженого кривою р = р (ер) і

полярними радіусами

ср

= а,

<р

= р , визначається інтегралом

в) якщо крива задана параметричними рівняннями х = х(і), у = у(1) ,

1\<(<І2

, то площа відповідної криволінійної трапеції обчислюється за

формулою

5= \у(і) х'(і) сії

І\

Довжина / плоскої кривої обчислюється за формулою :

а) в прямокутних координатах /=|с?я, де сіх =

Л/І

+ у'

•

сіх ;

\ П 2

б) в полярних координатах І = ^сіа , де

сі а

= у р -г р'^ •

сі ер

;

в) при параметричному заданні кривої х = х(() , у = у(і) , і\<і <і

6")1

161

І2

Г~~2 2

^сів , де

ЙІ!

= Л

' + У'

(

•

сії .

Якщо дуга плоскої кривої обертається навколо осі абсцис , то площа

поверхні обертання обчислюється за формулою

2п\У сів

де межі інтегрування та диференціал дуги сів визначаються , як і у випадку

обчислення довжини дуги .

Об'єм тіла , утворений обертанням криволінійної трапеції, обмеже-

ноїлініями У-/(х), х = а, х = Ь і У = 0 , навколо осі Ох, обчислюють

за формулою

я\У

сіх

Приклад 4. Знайти довжину кардіоїди р= а(\+со$<р) .

Розв'язання. З огляду на симетричність кривої відносно осі абсцис

маємо

2Цр

+ Р

%сіср.

сів = ^р

+ р'

сі(р = д/а

(1 + соз(р)

+ а

зіп

<Р

сіср

а^2 +

2со5<р

сі<р

2асо$

— сі<р;

І = 4а Гсоз

—

сі ер

= 8 а зіп

2 2

=8*.

.За допомогою визначеного інтеграла обчислюють статичні моменти і

моменти інерції плоских дуг та фігур , їх координати центра тяжіння , робо-

ту і тиск , шлях , пройдений тілом при заданій швидкості, та інше . При цьо-

му використовують загальну схему побудови визначеного інтеграла і фізич-

ний закон , який описує течію розглядуваного процесу . Наприклад , робота

162

змінної сили Р = / (х), діючої в напрямку осі Ох на відрізку [а, Ь] , визна-

чається за формулою А = |/(х) СІХ ; шлях, пройдений тілом за відрізок

часу

[і\,1

]

при заданій швидкості V = V(^) , буде дорівнювати

|У(0 сії .

Застосування визначеного інтеграла в економіці описано в гл . 5 .

ЗАПИТАННЯ 1 ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Наведіть задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла ;

сформулюйте його означення .

Сформулюйте і доведіть основні властивості визначеного інтеграла .

Доведіть, що коли /(х) - непарна функція , то |/(х) сіх = 0 .

-а

де /(х) - неперервна на відрізку [-а, а] .

Доведіть , що функція ^(х) =

]"/(/)

СІЇ є первісною для неперерв-

ні

ної функції /(х).

5. Виведіть формулу Ньютона - Лейбніцадля обчислення визначеного

інтеграла.

6. Виведіть формулу заміни змінної у визначеному інтегралі.

7. Сформулюйте означення невласного інтеграла з нескінченними ме-

жами і інтеграла від необмеженої функції.

4.3. Диференціальні рівняння

[З,

гл. І, §1.1-1.4, 1.11 ,

1.15-1.18]

Рівняння вигляду

^(х,у(х),/(х),...,у

(л)

(х)) = 0

називається звичайним диференціальним рівнянням ,де Р-відома функ-

ція ; х - незалежна змінна ; у (х) - невідома (шукана) функція .

163

Найвищий порядок похідної функції Дх) , що входить у рівняння ,

називається порядком диференціального рівняння . Наприклад ,

2у' - х

+ у -1 = 0 - рівняння першого порядку .

Розв'язком диференціального рівняння л-го порядку називається п раз

неперервно диференційовна на деякому інтервалі функція у = <р(х) , яка при

підстановці в рівняння замість невідомої функції обертає його в тотожність .

Наприклад , розв'язком рівняння у = у' буде функція у = у(С, х) = Се

. де

- довільна стала, тобто воно має безліч розв'язків .

Загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку

= /(х,у) в області Л називається така функція у = д>(х,С), що :

а) вона є розв'язком рівняння для в°іх значень сталої С з деякої мно-

жини ;

б) для будь-якої початкової умови у(х

) =

Уо

, такої, що точка

(х

)є£), існує єдине значення С=С

при якому розв'язок

у = <р(х, С) задовольняє заданій початковій умові.

Розв'язок у =

(р

( х, С"о), отриманий з загального у = р(х,С) при

С = С

, називається частинним розв'язком .

Задача , в якій вимагається знайти частинний розв'язок рівняння

у'

= /(х, у) при початковій умові у(хо) - У

о <

називається задачею Коші.

Геометрично загальний розв'язок у =

ср

(х,С) визначає на площині

сім'ю кривих , що залежить від параметра С

•

Ці криві називаються інтег-

ральними . Зміст задачі Коші полягає в тому, що слід знайти криву, яка

проходить через задану точку

(хо,Уо) •

Загальний розв'язок диференціального рівняння и-го порядку буде

містити п довільних сталих , тобто має вигляд у = ср(х, С

,...,

) , а

для розв'язку задачі Коші враховується п початкових умов .

Наприклад , для рівняння третього порядку, розв'язаного відносно

старшої похідної, задача Коші формулюється таким чином : знайти частин-

ний розв'язок рівняння у'" = Дх, у, у', у") , що задовольняє початковим

умовам у(х

) = у

У(Ч) =

Уо

У'(Ч) =

У(>-

Процес знаходження розв'язків диференціальних рівнянь називається

інтегруванням диференціальних рівнянь .

164

Якщо цей процес зводиться до алгебраїчних операцій та обчислення

скінченного числа інтегралів і похідних , то кажуть , що рівняння інтегруєть-

ся в квадратурах або в скінченному вигляді. Класи таких рівнянь надзвичай-

но вузькі, тому зважаючи на те, що диференціальні рівняння є одним з ос-

новних математичних апаратів інженера , провідну роль тут відіграють на-

ближені методи розв'язку диференціальних рівнянь , що інтенсивно розроб-

ляються нині.

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними - це най-

простіші диференціальні рівняння першого порядку , що мають вигляд

Якщо жодна з функцій в лівій частині рівняння не дорівннює тотожньо

нулю , то , поділивши ліву та праву частини рівняння на §

(у)/

(х) і вико-

навши інтегрування, отримаємо розв'язок

}

(х)

81(У)

Останнє співвідношення визначає загальний розв'язок вихідного

рівняння .

Приклад 1. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння

ху'

^~,

ІП X

якщо у(е)- \ .

Розв'язання. Перепишемо рівняння у вигляді

сіх Іп х

і розділимо змінні:

сі у _ сіх

у X Іп X

Проінтегрувавши , отримаємо загальний розв'язок рівняння :

Іп 11пх| + 1п|С

]

= Іп |у\ , у

С\пх .

Використавши початкові умови , знайдемо значення сталої:

= С Іпе , С =

Підставивши С в загальний розв'язок , отримаємо частинний розв'язок

ІП X .

165

Однорідним відносно змінних диференціальним рівнянням пер-

шого порядку називається рівняння

У = /(х, у) ,

де /(Ях, Яу) = /(*, у) для будь-якого я .Поклавши Я = — , отримаємо ,

д:

що /(х,у) =

/^1,

— ^ , тому підстановкою

их

де и = , у' = и'х

и, вихідне рівняння приводиться до рівняння з

відокремлюваними змінними.

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок рівняння ху' = х$іп—

у.

Розв'язання. Поділивши обидві частини рівняння на х, отримаємо

, • у у . . . ,

у =8іп —+ однорідне відносно змінних диференціальне рівняння пер-

X X

шого порядку . Після підстановки у = их, у' -и' х + и будемо мати

сій .

и х

и =

&\п

и + и ; х— = зіпи .

сі х

. . сій сіх

Розділимо змінні: = — .

зіп и х

Проінтегруємо : 1п

ІПІДГІ

+ ІПІСІ => 12— = Сх

І І І І в

Повернемося до вихідної змінної, враховуючи , що и =

—

, і знайдемо за-

гальний розв'язок : 1§ — = Сх , у = 2х агсІ§ Сх .

2х

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бер-

нуллі. Рівняння

у'

р(х)у

д(х)

називається лінійним . Одним із методів інтегрування лінійного рівняння є

метод Бернуллі. Загальний розв'язок шукають у вигляді добутку двох не-

відомих функцій и = и(х) і

У(Х)

, тобто у = иу .

166

Звідси У' = и'у + иу' . Вихідне рівняння перетворюється до вигляду

и'у + уу' +

Р'Х)и\

= Д(Х) або

И'У

[V +

Р{Х)у]

= Д(Х) .

За функцію у беруть будь-яку функцію , що анулює вираз у квадрат-

них дужках , тобто розв'язують рівняння з відокремлюваними змінними :

у+р(х)у = 0 => у = е

]И

(С = 0 , бо у - будь-який частинний розв'язок останнього рівняння) . Вихід-

не рівняння приймає після цього вигляд

м'у = (5г(х)

або

и = Д(Х) Е '

С І \ \Р(Х)сіх , р-,

звідки и =

\Д(Х)Е'

АХ + С .

Остаточно ^ = м-у = М?(ж)в'^ '

СІХ

С\Е

ІИУ

При інтегруванні конкретного рівняння останньою формулою, як пра-

вило , не користуються , а послідовно виконують усі операції за означеною

схемою . За цією ж схемою інтегрують і рівняння Бернуллі:

У' + Р(Х)У = Д(Х)У

(т*0, тФ\) •

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого по-

рядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння

У' + РУ' + ДУ = 0 ,

де Р , Я - дійсні числа . Для його розв'язку складають характеристичне

рівняння

+ РК + Д = 0

та знаходять його корені , К

• Загальний розв'язок

У-СР(Х.С\

, С

)

рівняння має такий вигляд :

а) У = С] е*

* +С

е*

*, якщо корені дійсні та різні (К\ *К

)

к х

б) У = Е (С) + С

Х) , якщо корені кратні (К\

=К

=К)

;

в) У -

АХ

(С\

со5/?х

+ С

соз/?лг) , якшо корені комплексні (К\

167

Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого

порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння

У' + РУ'+ЯУ = /(х) ,

де /(х) - задана функція .

Рівняння

у'

ру'

ЯУ

називається відповідним йому однорідним рівнянням .

Структура загального розв'язку неоднорідного рівняння :

у = у + у*

де у - загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння ; у* - будь-

який частинний розв'язок вихідного неоднорідного рівняння .

Якщо права частина /(х) рівняння має вигляд

Дх) = е

ах

[Р(х)со5/1х +

С!(х)5т/]х]

де а, (і - сталі, Р(х) і С;(х) - многочлени , найбільший степінь яких до-

рівнює п , частинний розв'язок у* можна підібрати за виглядом правої час-

тини .

У цьому випадку

У*

=Х

е"

[и

(х)

С05/?Х

у„

(х)

зіп/?х]

де

(х),

(Х) - многочлени степеня п з невизначеними коефіцієнтами ;

г - показаник кратності кореня а ± і р в характеристичному рів-нянні (г = 0 ,

якщо а ± іР не є коренем характеристичного рівняння ; г =

, якщо

а ± і/3 є коренем характеристичного рівняння).

Зокрема, якщо

Ях)

(х)е

ах

то

У* = х

Я„{х)е

ах

де К

(х) - многочлен степеня п з невизначеними поки коефіцієнтами ; г -

показник кратності кореня а в характеристичному рівнянні (*~ може прий-

мати значення 0, 1 або 2).

Якщо

Дх) =

Асоврх

В$\прх

А,

В - константи , то

168

у*

= х

(Ссоз/Зх + Лзіп /іх) ,

де С, £> - невизначені коефіцієнти ; г

—

показник кратності кореня ± ір в

характеристичному рівнянні .

Невизначені коефіцієнти знаходять з системи лінійних алгебраїчних

рівнянь , яка отримується з умов рівності коефіцієнтів подібних членів у

правій та лівій частинах неоднорідного рівняння після підстановки в нього

у замість У.

Приклад 3. Знайти загальний розв'язок рівняння

у"-5у'

+ 6у = е

2х

•

— *

Розв'язання. Загальний розв'язок має вигляд у = у + у Знаходимо

у . Характеристичне рівняння к

- 5к + 6 = 0 має корені к\ = 2 , к

= 3 , тоді

~У

С\е

2х

Сіе

3х

'•

Знаходимо у*. Оскільки /(х) = е

2х

і а = 2 збігається з одним із ко-

ренів характеристичного рівняння , то у* = Ахе

2х

. Обчислюємо у*', у*"

та підставляємо у вихідне рівняння :

у =Ахе

;

у*'=

Ае

2х

2х) ; у*"

=4Ае

2х

х) ;

4Ае

2х

х)-5Ае

2х

2х)+ 6Ахе

2х

=е

2х

;

(-5А

4А)е

2х

= е

2х

У правій частині коефіцієнт при е

2х

дорівнює одиниці, у лівій дорів-

нює -5А

4А , тому -5А

4А = \ , звідки А--\ , тобто у* = -хе

2х

тоді загальний розв'язок даного рівняння має вигляд

у =

2х

3х

-хе

2х

•

Наведемо приклад розв'язання задачі геометрії за допомогою дифе-

ренціальних рівнянь .

Приклад 4. Знайти криві, в яких точка перетину будь-якої дотичної з

віссю абсцис має абсцису , що дорівнює 3/4 абсциси точки дотику .

169

Розв'язання. Нехай у = /(х) - рівняння шуканої кривої і точка

М(х, У) - довільна точка на кривій . Рівняння дотичної до лінії У = /(х) у

точці М, як відомо , має вигляд У -

= У'(Х - х) , де X, У- поточні коор-

динати точок дотичної. Знаходимо точку перетину дотичної з віссю абсцис ,

тобто вважаємо У = 0 , тоді Х = х-^ • За умовою Х = —х , тому

у 3 , 4у

х-—

—

х або у =— . Для визначення рівняння шуканих кривих отри-

у 4 х

мали рівняння з відокремлюваними змінними . Інтегруючи його , маємо

^у_4у

сі

у _4сіх

сіх х ух'

1п|у |= 41п| х

+ 1п|С|;

1п у =

1п

Сх

Слід накреслити графіки кривих , вибравши декілька значень с •

Приклади розв'язання задач економіки за допомогою диференціаль-

них рівнянь розглянуті в главі 5 .

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

Наведіть означення загального розв'язку для диференціального

рівняння першого порядку . Сформулюйте задачу Коші для цих рівнянь .

Сформулюйте теорему існування і єдиності розв'язку задачі Коші

для рівнянь першого порядку .

Назвіть класи диференціальних рівнянь першого порядку , що інтег-

руються в квадратурах , і викладіть методи їх розв'язання.

Сормулюйте і доведіть основні властивості частинних розв'язків

лінійних однорідних диференціальних рівнянь п-го порядку.

Виведіть формулу загального розв'язку однорідного рівняння дру-

гого порядку зі сталими коефіцієнтами для таких випадків : дійсних різних

170