Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ
Подождите немного. Документ загружается.
Приклад
2.
Знайти інтеграли, використовуючи властивість
4°
про
незалежність вигляду формули інтегрування
від
характеру змінної інтегру-
вання (метод підведення під знак диференціала):
2
З
ч
Г -.\ л ^
г(агсіях)
, г X +х ,
а) Ісоз
(їх+ 2) сіх ; б) Р ^~йх; в) І— =
т
сІх.
*
1
1
+ х
2
\х
4
+2х
2
+1)
2
Розв'язання.
а) ]т;05 (Зх
+ 2) сіх =у
|сок(Зх
+ 2)
</(Зх
+ 2) =
уЗІп(Зх
+ 2) + С ;
-
г
(агсі2х)
, г. ч2 // . ч
(агсшх)
б) р
сіх=
](агсі§х)"а
г
(агсІ§х) = - ^
у
+С ;
л
г
х
3
+х
, 1
с
сі(х
4
+2х
2
+1)
1
в)
І—-
л
ї
т
сІх
=
-\—. г ±
=
-: =
+ С.
•
|
(х
4
+2х
2
+1)
2
4
•'(х
4
+2х
2
+1)
2
4(х
4
+2х
2
+1)
Основними методами інтегрування
є
інтегрування частинами
і
заміна
змінної.
Метод інтегрування частинами полягає
в
наступному . Якшо
и(х) і
у(х)
-
диференційовні функції,
то
має місце формула інтегрування части-
нами
:
|иЛ = и • V -
|УГІИ
.
Приклад
3.
Знайти
/=
|хзіпх
сіх .
Розв'язання.
{
и =
х,
СІУ
=
зіпх
сіх
г
1= хзіпхах
= =
-хсо5х+ созх
ах =
'
сій
= сіх, у
=-созх
:
=
-ХС05Х+5ІПХ
+ С .
Якщо підінтегральна функція має вигляд
Р„(х)соз
ах ,
/
>
„(х)зіп
ах ,
Р
п
{х)-е
ах
,
то
за и
приймають многочлен
Р„(х) .
Якщо підінтегральна функція
є
добутком логарифмічної або оберненої
тригонометричної функції
та
многочлена
, то за и
приймають
ці
функції.
151
Метод заміни змінної полягає в тому , що якщо функція /(х) непе-
рервна , то вважаючи х =
(р
(і) ,де
ір
(і) та
ср'(і)
неперервні, одержуємо
ІДх)сІх=\А<р(1)]<р'(1)
сії.
Приклад 4. Знайти
СІ X
(1
+ х)4х
Розв'язання .
сіх х = 1
2
' е 21-сіі
(1 + х)л/х
сіх
= 2і-сіі \\+1
2
)і
2агсг§/
+ с = 2жсщ4х +С .
Похідні елементарних функцій легко обчислюються за допомогою де-
яких простих правил , тобто диференціювання виконується майже автома-
тично . Інакше з інтегруванням: тут зустрічаються з різноманітними , інколи
штучними , прийомами , причому в багатьох випадках не відразу видно , який
прийом приведе до мети . Крім того , важливим є той факт , що інтеграли ,
хоча вони й існують , далеко не для всіх елементарних функцій можуть бути
виражені у вигляді скінченної комбінації елементарних функцій , наприклад :
] сіх, \соз х сіх, \е сіх та інші. Такі інтеграли називаються не-
елементарними або спеціальними функціями . Тому для оволодіння техні-
кою інтегрування важливо розрізняти класи елементарних функцій , первісні
яких є також елементарні функції, а відповідний процес інтегрування вико-
нується згідно зі стандартними правилами .
(?„(•*) - многочлени відповідно степенів т та п (з дійсними коефіцієнта-
ми) . Якщо т < п , то дріб називається правильним , у протилежному випад-
ку - неправильним .
х
4.1.1. Інтегрування раціональних дробів
Функція
називається раціональним дробом , якщо Р
т
(х) і
152
Шляхом виділення цілої частини неправильного дробу задача інтегру-
вання зводиться до знаходження первісної правильного дробу . Будь-який
правильний раціональний дріб можна розкласти в суму найпростіших дробів
вигляду
А А Ах + В Ах+ В
Х
~" ' ' ' (хЧрх +
д)"
'
де
А:
= 2,
З,...;
А,
Втсі,
р, д-сталі, причому р
2
-4о<0.
Це розкладання здійснюється слідуючим чином . Нехай знаменник
£>„
(х) = Ь„х"
+Ь
п
_
х
х"
-1
+...
+
Ь
{
х + Л
()
має дійсні корені сі\ ,
а
2
,...,
а
к
кратностей л'
ь
а
2
,...,
х
к
та комплексно-спря-
жені пари коренів Р\, Р\Ре кратностей
і\,і
2
,...,1/
.
Тоді Я
п
(х) має вигляд :
О
п
(х)
=
Ь„(х-а
{
У
і
•...•(х-а
к
)
і
'
к
-(х
2
+ р
х
х + ц
х
)'' (х
2
+
р,
х + д
е
)'' , •
де л'5 +л-
2
+... +
л'д
+2(іі +Ь + ... +
*,
) = п ,
' х
2
+р
у
х + д
г
= (х-р
г
)(х-Р
;/
) , / =
1,
? .
Тоді розкладання дробу ^"'^ на суму найпростіших дробів отримує
СУ*)
вигляд :
Р„,(х) /1, Л
2
/)
•
+
..
1 1
(х-о,)'
5
'
(х-я,/
І_І Л
'-
й
«1 5, ^>
-
•
+
...
+ -
(х-а
к
У«
(х-^)^
1
х~а
к
С,х + 0| С
2
х+Й
2
С
ц
х+О
ц
(х
2
+ рух + ду)'
1
{х
2
+
р\Х
+ с)\)''
1
х"
+/>(Х
+ ц)
+
+ +
М
{
х +
И\
|
М
2
х+/У
2 | +
^^і
х
^_'
І
(Х^ + /5,-Х + С/^ )'' (X
2
+ р
с
Х +
<7(
)'' ' X
2
+ р/Х +
С/і
153
Коефіцієнти А, В,, С,,
0,,...,М,,
/V, знаходяться таким чином .
Після приведення до загального знаменника правої частини, отримуємо
рівність двох многочленів . Із цієї рівності вказані коефіцієнти знаходять або
прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах (ме-
тод невизначених коефіцієнтів); або надаючи х значення коренів знамен-
ника , що особливо'зручно у випадку дійсних та різних коренів (метод за-
дання частинних значень); або використовуючи обидва методи .
Приклад 5. Обчислити / =
^—І*—*—^±—1
д
х
.
-
1
х
3
-5
х
2
+ 6х
Розв'язання. Підінтегральна функція - неправильний дріб , тому , под-
іливши чисельник на знаменник, запишемо функцію у вигляді (виділення
цілої частини)
х
4
~4х
3
+
х
2
+
6х + ї 1
=
Х +
1
+
х
3
-5
х
2
+ 6х х
3
~5х
2
+ 6х
Розкладемо знаменник на прості множники :
х
3
-5
х
2
+ 6х = х(х~2) (х-3).
1
Дріб розкладемо на найпростіші (у даному випадку корені
х(х - 2)(х - 3)
знаменника дійсні і різні):
1 А В С
х(х-2)(х-3) х х-2 х-3 '
де А , В
„
С - невизначені доки коефіцієнти .
Звідси 4х-2)(х-3) + Вх(х-3) + Сх(х-2) =
1
.
Використовуючи метод задання частинних значень для знаходження
коефіцієнтів А, В, С, маємо :
,
1
при х = 0 6А =
]
, б >
/
при х = 2 -25 =
1
,
в
= ~\ ;
при х = 3 ЗС =
1
, С =- .
154
Повертаючись до вихідного інтеграла , одержуємо
1
1 1 1
Х
+
1
+
6х 20-2) 30-3)
л (*
+ 1
)
2 1
і І І
сіх
=
~
—+
—
Іп
х -
—і-1п|х-2|
+
у!п|х-3|
+ С .
Істотною є та обставина, що інтегрування широких класів тригоно-
метричних та ірраціональних функцій , як правило , за допомогою спе-
ціальних підстановок зводиться до інтегрування раціональних дробів ("рац-
іоналізація" підінтегральної функції).
4.1.2. Інтегрування тригонометричних функцій
Тут слід засвоїти прийоми інтегрування функцій вигляду
і?(зіп х, соз х), тобто розглянути інтеграли |Л(зіп х, созх) сіх ,
де К(и, у) - раціональна функція двох змінних . Такі інтеграли приводять-
ся до інтегралів від раціональної функції нового аргументу і підстановкою ,
яку називають універсальною :
х її І—/
2
2
Щ— =
1
, тоді зіпх = -, созх = -, йх = -сії.
2
1
+ /
2
1
+ /
2
Однак саме внаслідок своєї універсальності ця підстановка часто при-
зводить до складних викладок . Більш зручні, наприклад , наступні підста-
новки :
а)г = созх, якщо Л(-зіп х, соз х) = —У?(зіп х, соз х) ;
б)/
= зіпх, якщо (зіп х, -соз х) = -Л(зіп х, соз х) ;
в)г = 1§х, якщо Л(-зіп х,-соз х) = Л(зіп х, соз х) .
4.1.3. Інтегрування деяких ірраціональних функцій
І. Інтеграл вигляду
сіх І—
Ф
—
с й
п
\ах
+ Ь
раціоналізується підстановкою І =
СХ
+
СІ
155
2.
Інтеграл вигляду
^К^х, -^ах
2
+
Ьх
+
с\^ сіх
виділенням повного квадрата в квадратному тричлені і заміною змінної
Ь
и = х
+
— приводиться до одного з наступних типів :
2а
а) \*[и,
л/«
2
-м
2
)^и
;
б)
\К[ІІ,
4и
2
~а
2
^сІи ;
в) \К{и , 7и
2
+ а
2
) сій .
Для обчислення останніх інтегралів застосовують тригонометричні
(X
підстановки : а) и = а зіп / ; б) и = ; в) и = а і§ і , що приводять
зіп і
інтеграли до вигляду |Л(зіп /, соз і) сії •
ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
1. Сформулюйте означення первісної функції
і
невизначеного інтеграла .
2.
Напишіть таблицю основних інтегралів .
3.
Доведіть основні властивості невизначеного інтеграла.
4.
Обчислити |(5х +1)
2
с/х двома способами : 1) за допомогою влас-
тивості 4° інтеграла ; 2) за допомогою властивості 3° лінійності інтеграла .
Покажіть , що результат один і той же .
5.
Виведіть формулу інтегрування частинами в невизначеному інтег-
ралі і вкажіть типи інтегралів , для яких доцільно застосування цієї формули .
6. Виведіть формулу заміни змінної в невизначеному інтегралі.
7.
Виведіть формули інтегрування найпростіших дробів .
8. Викладіть способи обчислення інтегралів від тригонометричних
функцій .
9. Викладіть способи обчислення інтегралів від деяких ірраціональних
функцій .
156
4.2. Визначений інтеграл
[2,
гл. 6, §6.1 -6.4, 6.8-6.11.; гл.7, §7.1-7.3, 7.5, 7.7, 7.8]
Нехай функція /(х) визначена на відрізку [А, Ь] і нехай
а
~х
0
<*[ <х
2
<...<Х
І
<*,
+1
<•••<*„_] <х
п
=Ь . довільне розбиття
цього відрізка на п частинних відрізків [х,-\,х,], і = \,п . Виберемо на
кожному відрізку [х,-\,х,] довільну точку 41 і складемо суму :
п
І
п = £/(£/)
Л
*7 , Де Дх, =х, -х,_,.
1=1
Число І„ називається інтегральною сумою функції /(х), що відпо-
відає даному розбиттю відрізка [А, Ь] і вибору точок 41 • Позначимо
Л = тах Дх,, / = 1, п .
Означення. Якщо існує границя інтегральної суми /„ при Я -» 0 ,
яка не залежить від способу розбиття відрізка [А, Ь], та від вибору точок
%І
, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції /(х)
на відрізку [А,Ь] і позначається |/(х) сіх :
А
)ДХ)с/х=\\т
І„= Ііт
£ж,.)Дх,
•
А
'-'
Число а називається нижньою , число ь - верхньою межею інтегру-
Ь
вання визначеного інтеграла . Якщо інтеграл |/(х) сіх існує , то кажуть ,
А
що функція /(х) інтегровна на відрізку [А, Ь] . Можна показати , що непе-
рервна на відрізку [а, Ь] функція /(х) буде інтегровна .
Геометрична інтерпретація : якщо /(х) > 0 на проміжку [а, Ь] , то
Ь
інтеграл |/(х) йх (а<Ь) являє собою площу криволінійної трапеції-
А
157
фігури ,обмеженоїлінією
у
=
/(х) ,
прямими
х-а та х
= Ь ,віссю
Оу .
У загальному випадку визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі
площ фігур
,
обмежених лініями
у
=
/ (х) , х
=
а , х
=
Ь , у
=
0 ,
причому
площі, розташовані вище
осі Ох,
входять
в цю
суму
зі
знаком
«+» , а
площі, розташовані нижче
осі Ох, - зі
знаком
«-» .
Основні властивості визначеного інтегралу:
а
іО
\Дх) сІх
=
0
а
Ь
а
2
0
\/(Х)СІХ
= ~\Г(Х)СІХ
а
Ь
3°.Якщо
/(х) і £(х)
інтегровні
на [а, Ь], С
х
і С
2
-сталі,то
*
Ь ь
\[с
і
/(х)
+
С
2
8(х)]сіх = СіІДх)
сіх
+
Сг
а
а а
( властивість лінійності інтеграла).
дО.Якщо
/(х)
інтегровна
на [а, с] і [с,Ь] , то
вона інтегровна також
на
[а,
Ь] ,
причому
Ь
С Ь
\/(Х)СІХ=:\/(Х)СІХ+і/(Х)СІХ
а
а С
( властивість адитивності інтеграла
).
Зауважимо
, що
точка
с
може бути довільно розміщена відносно
то-
чок
а , Ь
-
5О.ЯКЩО
т</(х)<М на [а, Ь] ,то
Ь
т(Ь-а)<\ї(х) с!х<М(Ь-а)
а
( оцінка визначеного інтеграла).
6°.
Якщо
/(х)
неперервна
на [а, Ь] , то
існує така точка
с є [а, Ь], що
Ь
ІДх)сіх = Дс)(Ь-а)
а
158
(теорема про середнє значення ). Число /"(с) називається середнім значен-
ням функції
./(-Ї)
на [а,Ь].
Якшо Р(х) - первісна для ,/(х) . тобто Г'(х ) = / ( х) на [а. Ь] .
то має місце формула Ньютона - Леґібніца :
Ь
\Дх) СІх = Р(Ь)-Р(а)
А
Останню формулу інколи називають основною формулою диферен-
ціального та інтегрального числення . Різницю 1г(Ь)-[
7
(а) записують
Ь
також у вигляді Р
(
х) .
А
•
8ї
Приклад 1. Обчислити / = | ——сіх .
0
| + л
"
Розв'язання. Маємо
.\
2хс!х ,\ сі( х
1
)
/=4 г =
4
——~
т
= 4мхІ»х-
I
1+д-
4
. І
1
+ (л-)
2
1 Л
= 4 (агсій
І
- агс!і> 0) = 4
•
— = л
0 4
Основними методами обчислення визначеного інтеграла с інтегруван-
ня частинами і заміна змінної.
Якщо и(х) і
у(х)
- неперервні днференціновні функції на відрізку
[а, Ь] , справедлива формула інтегрування частинами :
\
а сі
V
=
її
г
\ - \ у а и .
а
а
1
а
Заміна змінної у визначеному інтегралі :
Ь
Р
А
А
де х = ср(І) («підстановка») - функція , неперервна разом зі своєю похідною
(р'{г)
на відрізку [а, /?] , <р(а)
=
а, <р(Р)
=
Ь, а / [ (р{і) \ неперервна на
[а. Я •
Істотною є та обставина , що , виконавши заміну змінної у визначено-
му інтегралі, згодом не повертаються до старої змінної, а знаходять нові
межі інтегрування .
159
пЗ х
е
г е
Приклад 2. Обчислити інтеграл / = | — сіх .
Розв'язання.
ШЗ
е
х
СІ X =
е
х
+1
е
х
СІХ = сії
х
=
0,
1
=
2
е
х
+ \
V'
і І
4
= —= 1п І \ =
2
і 2
х = 1пЗ, / = е"
,3
+
1
= 4
= 1п4-1п2 = 1п2
Звідси можна зробити висновок , що для обчислення визначених інтег-
ралів за допомогою первісних необхідно володіти методами обчислень не-
визначених інтегралів .
Невласні інтеграли бувають двох типів : а) з нескінченними межа-
ми ; б) від необмежених функцій .
Невласний інтеграл ^/(х)сіх визначається за ДОПОМОГОЮ гранично-
му
со Ь
го переходу : [/(х) сІх = Ііт ї/(х) сіх . Якщо остання границя існує і є
А->°о
:
а а
скінченною , невласний інтеграл називається збіжним , у протилежному ви-
а
падку - розбіжним . Аналогічно визначаються інтеграли |У(х) сіх .
]/(х)
сіх
Якщо Р(х) - первісна для /(х) на розглядуваному проміжку , то .
наприклад,
СО Ь
ЇДх)сіх= Ііт \/(х)сіх= \іт[Р(Ь)-Е(а)] = р(х) °°
Приклад 3. Обчислити / = |
агс
Ц.* ^
х
1
+ х
160