Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ
Подождите немного. Документ загружается.
г) Ііт —.
•сї§дс
8х
г) Ііт
1
- соз 4х
х
_>0
1-соз2х
Д)
ИТ
І 2 4-х
1
+
х-х
31.
а) Ііт —з
х->со5х
-6х +х
х
+ 3
х-2
б) Ііт
X
і
+ 2х +1
л/х - 2 - 2
в) Ііт ——т—
х->б *-О
г)
Х->-1
X +х
1
- соз 1 Ох
Ііт
,0
5х"
Д)
Ііт
х
2
+5
Задача 2. Продиферениіювати задані функції.
У пунктах а), б), в), г), д) знайти похідні у' =
сіх
\
^ ~ -
й
у • „» ^
у пунктах е), є) знайти у = і у = т- .
сіх сіх
Варіанти завдань
1. а) у
б) у
О
3
1
+
Й
агссозх
•у/і + 2 зіп х
в) у = Іп(е
2
* +1) - 2агсі§(е*)
г) у = х
5Шд:
;
2.
а)
у =
(2 +
х)7з-^х
;
б) у = Іп(агсзіп5х) ;
д) е
х
зіп у - е
у
соз х = 0 ,
е) у
=
е
х
;
(х = 2г ;
[у = 3/
3
.
д) ху = агсі§— ;
У
е) у = (агсзіп х)
2
121
в) у = 1п(х +
л/44-х
2
)
г) у = (агсі^хг)* ; -
3.
а) у:
2х
£
-2х + \
б)у = 3 *;
в) у = агсзіп(іпх);
г) у = х
х
;
4.
а) у =
%Іх
+ 4х ;
б) у = агсзіп
X
,\/і4-х
2
)
В)
у =
\/ІПХ4-1
4- 1п(Ух 4- 1)
х
3
г) у = (агссоз х) ;
1 х
8
5
-
а
) У = ~
8 (1-х
2
)
2
Л
4
б) У = ^
у = л/І4-соз х ;
в) у = Іп
І4-7х
2
4-1
г) у = х* ;
6. а) у = хл/х
2
-1
•
4 4
б) У = ЗІП X 4- СОЗ X
е)
х = Зсоз/ ;
у = 3зіп/ .
д) 1пх4-е
х
=5 ;
е) у = (І4-х
2
) агсІ§х
Гх = ґ
—
зіп
г
є)
У =
1
-СОЗ І*
д)
3*4-3'
=зіпу ;
е) у = \/і+х
2
;
є)
|х = /-соз / ;
Іу = зіп
2
г'
д) х = у
4-
агсІ§ у ;
е) у = ї§х ;
|х = 1пг ;
\
З X-у
д) X
і
= і- ;
Х4-у
.
е) у =
х
3
е
х
;
122
в) у =
п
- а) у =
б) у =
В)
у
,
, 1
+ 2х
\-2х
ґ
\
+
х
2
1-х
З 2 .
ЗІП X-СОЗ X ,
= ІП
+ 2х-
х +
1
г) у
=
х
]пх
;
8. а) у =
б) у = агсі§
•\/х + 2л/х ;
1
+ х
П
;
в) у = 1п
1 + 5ІПХ
-81ПХ
9. а) у =
^ 2_.
л/х -ч/х
б) у =
агсІе-хАх
1
*
-1
;
в) у ІП^ЗІП X + а/і + 5ІП
2
.
1
г)у
=
10.
а) у
б) У
=
(іпх)* ;
= (і-2л/х)
4
:
є)
[у = \пґ .
д) ^+^-2^-1
е) у = е-'
2
;
є)
х = /созг ;
у = /5Іт .
Д)
Х8ІП у + у
ЗІП
X =
е) у
=
сі§ х ;
[х = агсзіп
^
;
є)
[У
, 4 4 2 2
Д) X 4-у =ї"/
е) У-
агсзіп
-
2 '
є)
\х
=
\п(\
+
Ґ) ;
и-
1
.
Д) 3* 4-3
у
= соз у
е) у = агссоз2х ;
123
в) у = Іп агссоз 2х ;
г) у = (зіп х)^* ;
П. а) у
= ^1і +
5х
3
;
б) у = агсзіп— ;
X
в) у = 2
,пл:
;
г) у = (зіп Зх)
х
;
12.
а) у
=
1-х
4
б) у = агсзіп—— •
X
і
-
в) у = Іп
УГх
7
Зх
Г)
у =
у = х
5111^
X
13.
а) у--
1
2х-1 х
б) у =
л
/агсї§х - агсзіп х ,
N Зі
в) у
=
х
Іп
х ;
є)
X
= е
-З/
у = е
З/
д) у = 5х + агсІ§ у
. 5
Є)
у
=
;
х + 3
(х = Іп/ ;
є) 1
Гі^7-
Д)
5ІП(Х
у) +
СОЗу
е) у =
УІ4-Х
2
;
є)
х = агсІ§/ ;
->
г
д) V = хзіпу ;
е) у = ф&3х ;
|х = соз2ґ ;
є)
у = зіп І
г) у = (2х + 1)*
124
14.
а) у
:5£±і •
Ь-2 '
=
зіп
2
(х
3
) ;
= л/)п
2
х + 5 ;
= (л-
2
+4)
5,ПЇ
;
1 1
10х
5
4х
4
'
•
хагссозх-
=
—ІП12Х + ІПС08Х ;
2
х + 5
-л/4 + х
2
2
1
агсгг -
=
1п
7
зіп 2х ;
=
(со5х)
5,ПЇ
;
5
(х
2
-х + 1)
4
5Іп
3
(соз4х) ;
в) У
=
тт- ;
1п
X
г) у = х
5,п(л
'
+5)
;
д) хІпу + ^—= 3 ;
х
е) у = е^;
є)
]х = 5Г +( ;
д) у зіп у - соз (х - у) = 0
,2
е)
г>
= хе ;
є)
х = соз ґ ;
[у =
зіп
3
1
.
д) х + ^ху+у = 5 ;
1
е) у =
1+х
3
І
х = а
(І
-зіп /) ;
[у = а(\ -соз/) .
Д) х
2
- 2ху + у
3
=
1
1
е) у
є)
7 + л/х '
х = агсіе; і
[у
=
\п
(1
+ Г)
125
б) у
в) у
Г)
у.
15.
а) у-
б) у--
в) у-
г)
^
16.
а) у-
б) V
і
в) у
=
г) у,
17.
а) у
=
б) у
=
18.
а) у =
б)
У
=
л/х^
+ 7
4х
агсзіп х
агссоз х
1. х~-2х + 1
г) у =
0Г+3)
•з х"+х + 1
7
„,5х .
19.а) у = — ;
х"(х —2)
б) у = х1п|2х +
—
І 2
в
) З' = (агсзіп х + 2х
2
)
7
;
г) у = (х
2
+7)
5
20.
а) у =
ґ
, ^
6
Ух +-
V
Ух і
б) у =
созх
Іп
зіп X
в) у
=
е~
х
•
Іп х ;
г) у = (созх)
Іпх
;
21.а) у = х
6
У4-х
2
;
б) у = зіпх-е
С08д:
:
в) у = Іп 1
созх )
Д) х
2
+ Зху + у
3
+1 = 0
е) у = Уі-х
2
|х = Іпґ ;
агсзіпх
є)
у = г
Д) у
3
-Зу + 10х = 0
е) у = 1о§
7
х
є)
|
х = 2 соз І ;
[у = зіп;
д) у = соз(х + у) ;
е
) у =
Іп
(х + \/і + х
2
)
є)
х =
Іп г
;
1
>•
=
- •
д) х - у +
7
соз у = 0 :
е) у
=
е
а
є)
\х
=
е
2і
[у
=
е
г) у = х-
4
126
+ 1
ІП5ІПХ
ІПС05Х
2зіп
2
х
соз2х
(х
2
+2)
3с05х
;
22.
а) у
=
7Л/49 +
Х
2
ЗСОЗХ
= 1п|
З
+ х + л/бх + х
2
х"л/х°-8 ;
і
п
|і+—1
СОЗ
X )
Г) у
25.
а) у
б) у
= X
^
5 ^х
2
(Ух
3 7
=
-х/зіп >/х ;
д) 5
х
+$У=5
х+у
\
е) У =
є)
л
2
-1
х = е
-
' ;
у = /'
д) ху~ -
_у 1п
х = З
е) у = лмх - х
2
;
х = агссоз
л
є)
у
=
^
2
д) е
2х
+е
3
>'=7ху ;
Є)
у
=
СОЗ Є
Х
+ ЗІП Є
Х
|х = 2 соз
г
;
є)
_у
= ЗІП
І
д) х + у
+
7 соз у = 0
е) у
=
е
1
127
б) У -
в) у
--
г) у-.
23.
а) у
б) у
=
в) у-
г) у = (агсі§х)* ;
24.
а) у
б) у =
$'тх-е
в) у
в)
у = 1о§
2
(Іпх)
г)
у = (созх)* ;
5-г-Тх
26 а) у
б)
у
5-л/х
зіп х-созх
ЗІП Хт созх
в)
у=
1п(л/х+л/х
+ і) ;
г)
у =
(зіп
х)
„5
1п5л-
8х
ч
27.
а) у =
б)
у=т+ш
х +
—
і
;
в)
у =
є)
X
= в
Лі
\у = е
З/
Д)
х + у + е
у
•
агсг§
х = 0
е) у =
е
агсс
°«
;
!х
=
соз2/
;
О І
1
[у = зіп З/
Д)
(х +
у)сОЗХ
+ 5Іп(ху) = 0
е) у = |^х + \/х
2
+П
І
х =
(1
+ соз/)/
1
;
є) 1 ,
Іу
= (1-соз/)Г .
Г)
у
= х
х~ ;
28.
а) у =
д/хл/х
;
б)
у =
агсзіп-
2х
1
+ х*
в) у = 1о§
5
| х +
\/х
2
~+
г)
у = [х"+4)
х
;
д)
зіп (х + у) =
соз(х
+ у):
е) у =
Іо£
7
х ;
у-
}
+
1
4
'
128
29.
а) у =
5
б) у = агссоз-
в) у = 1п
/х+1
2-х
7Г
•9х
ч
г) у =
(х
&
с)
х
;
ЗО.
а) у = хлі] - х
4
1п
зіп Зх
1п
зіп х
,5,
б) У
в) у = Іп (1 + созх) ;
і
г) у = х
8
31.
а) у = х
2
-
3
УІТ7;
б) у = соз
4
(5х + 2) ;
х
в) у-
зіп(х
2
+3)
д) агсІ£.у = х +
>>
;
є)
у
=
соз /
д) З.у
2
х = є
х
є) У-
х + 4
є)
X = соз /
V = ЗІП /
д) 5у^х
=•
соз(ху)
е) у = 1п(10х + 1) ;
є)
|х = / + зіп / ;
[у
=
-
соз/
.
г) у = (зіпх)
г
;
Задача 3. Знайти границі, використовуючи правило Лопиталя
Варіанти завдань
,а) Ііт
х
_>0
х-зіпх
2.
а) Ііт —
\-»со X
б) Ііт х
\->0
б) Ііт *
4+1пд
•
\->0
129
е) у
=
1п(5х + 9) ;
[х = /-зіп/ ;
3.
а) Ііт
х - агсзіп х
. з
х->0 ЗІП X
б) ііт*
1
-*
х->1
4.
а) Ііт
зіпх-зіпа
х->а х
—
а
5.
а) Ііт
Є' +
5ІПХ-1
х-»0 Іп(1 + х)
6. а) Ііт
х-*от
е* - е
х
7.
а) Ііт
ІпзіпЗх
8.
а) Ііт
х-^о
Іпзіпх
ІпІг7х
9.' а) Пт
х-зіпх
х->0 X
Ю.а) Ііт^з^;
х->0 X
11.
а) Ііт хУ~*
;
X—>оо
Є
Х
-
е~
х
12.
а) Ііт
13.
а) Ііт
14.
а) Ііт
х->0 х ,
1п(1 + х)
х->о
агсг§х
їв-
1
б) Ііт (сг^х)
1
'
1
*.
х->0
б) Ііт
х-»Оч.Х,
б) Ііт (с1§х)
ЬІІ1л
'.
х->0
1
6) Ііт х
1
.
Х->со
б) Ііт (і&х)
2х
~*
к
х->—
2
1
б) Ііт х
\->0
Іп(е
1
-І)
б) Ііт (зіпхр*.
х->()
б) Ііт (агсзіп х)
1]
х->0
б) Ііт (е
х
+х)
и
>\
х->0
б) Ііт (созх)-
х->—
2
15.
а) Ііт
хн
>о
1п(1 + х)
б) Ііт
зіп X
х->0І
х )
130