Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАУКОВО-МЕТОДИЧНИЙ ЦЕНТР ВИЩОЇ ОСВІТИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

А.Д. Тевяшев, О.Г. Литвин, Г.М. Кривошеєва,

Л.В.

Обухова, О.Г. Середа

ВИЩА МАТЕМАТИКА

У ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина 2.

Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Диференціальне та інтегральне числення

функцій багатьох змінних

Рекомендовано

Міністерствам освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів

технічних університетів

УДК 517.2 (07) + 517.3 (07)

Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін.

Вища математика у прикладах та задачах. 4.2. Інтегральне числення

функцій однієї змінної. Диференціальне та інтегральне числення функцій

багатьох змінних. - Харків: ХНУРЕ, 2002. - 440с.

Гриф надано заступником Міністра освіти і науки України 10.09.2001 р.

за № 14/18.2-1268.

15ВN 5-7763-1515-8

Навчальний посібник входить до серії "Математика в технічному універси-

теті"

і є другою частиною збірника "Вища матемаї икау прикладах та задачах", який

складається з трьох частин.

Посібник відповідає програмі курсу "Вища математика" з розділів "Інтег-

ральне числення функцій однієї змінної"', "Диференціальне числення функцій бага-

тьох змінних" та "Інтегральне числення функцій багатьох змінних". Структура по-

сібника така, що сприяє розвитку і активізації самостійної роботи студентів. У кож-

ному параграфі містяться короткі теоретичні відомості, питання для самоперевір-

ки,

велика кількість задач з розв'язаннями та задач для самостійного розв'язання,

призначених для практичних занять, як аудиторних, так і домашніх. Наведено та-

кож індивідуальні розрахункові завдання із зразками їх виконання. Довідковий ма-

теріал з вказаних розділів та з елементарної математики складає окрему главу.

Посібник може бути використаний як довідник, розв'язник та як задачник.

Для студентів та викладачів технічних університетів.

Іл.:

75. Бібл.: 13 назв.

Рецензенти: Л.В. Курпа, д-р техн. наук, проф. (НТУ ХПІ);

О.А. Молчанов, д-р техн. наук, проф. (НТУ КПІ).

Надруковано у ТОВ «Фактор-Друк»,

вул Гомоненка, 10

Замовлення № 384

15ВN 5-7763-1515-8 © А.Д. Тевяшев, О.Г. Литвин, Г.М. Кривошеєва,

Л.В.

Обухова, О.Г. Середа, 2002

ЗМІСТ

Передмова 5

Основні позначення 8

>| Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної 10

§ 1. Невизначений інтеграл 10

Короткі теоретичні відомості 10

Контрольні питання та завдання 23

Приклади розв 'язання задач № 1 - 29 25

Задачі для практичних занять № 1.1 - 1 .210 45

§ 2. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли 54

Короткі теоретичні відомості 54

^ Контрольні питання та завдання 64

Приклади розв'язання задач № 1 - 18 66

Задачі для практичних занять № 1.211 - 1.260 72

§ 3. Застосування визначеного інтеграла 75

• Короткі теоретичні відомості 75

Контрольні питання та завдання 80

Приклади розв 'язання задач № 1 - ЗО 81

Задачі для практичних занять № 1.261 - 1.352 102

Глава 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних 113

§ 1. Функції багатьох змінних та їх диференціювання 113

Короткі теоретичні відомості 113

Контрольні питання та завдання 121

Приклади розв 'язання задач № 1 - 21 122

Задачі для практичних занять №2.1 - 2.107 135

§ 2. Застосування диференціального числення функцій багатьох

змінних 143

Короткі теоретичні відомості 143

Контрольні питання та завдання 149

Приклади розв 'язання задач № 1-7 149

Задачі для практичних занять № 2.108-2.143 157

Глава 3. Кратні інтеграли 160

§ 1. Подвійні інтеграли 160

Короткі теоретичні відомості 160

Контрольні питання та завдання 165

' Приклади розв 'язання задач № 1-8 166

Задачі для практичних занять № 3.1 - 3.50 170

§ 2. Потрійні інтеграли 175

Короткі теоретичні відомості 175

Контрольні питання та завдання 180

Приклади розв 'язання задач № 1 - 4 181

Задачі для практичних занять № 3.51 - 3.70 185

4 Зміст

§ 3. Застосування кратних інтегралів 188

Короткі теоретичні відомості 188

Контрольні питання та завдання 192

Приклади розв'язання задач № 1 - 13 193

Задачі для практичних занять № 3.71 - 3.129 204

Глава 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля 212

§ 1. Криволінійні інтеграли 212

Короткі теоретичні відомості 212

Контрольні питання та завдання 221

Приклади розв'язання задач № 1 - 14 222

Задачі для практичних занять № 4.1 - 4.75 230

§ 2. Поверхневі інтеграли 238

Короткі теоретичні відомості 238

Контрольні питання та завдання 243

Приклади розв 'язання задач № 1 -9 244

Задачі для практичних занять № 4.76 - 4.122 253

§ 3. Теорія поля 259

Короткі теоретичні відомості 259

Контрольні питання та завдання 266

Приклади розв'язання задач № 1 - 14 267

Задачі для практичних занять № 4.123

—

4.183 284

Глава 5. Типові розрахункові завдання 291

§ 1. Індивідуальне завдання 1. Інтегральне числення функцій

однієї змінної 291

§ 2. Індивідуальне завдання 2. Функції багатьох змінних 312

§ 3. Індивідуальне завдання 3. Кратні інтеграли 319

§ 4. Індивідуальне завдання 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі

інтеграли. Теорія поля 332

Глава 6. Довідковий матеріал 350

§ 1. Основні формули інтегрального числення функцій однієї

змінної 350

§ 2. Диференціальне числення функцій багатьох змінних 358

§ 3. Кратні інтеграли : 362

§ 4. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Теорія поля 366

§ 5. Деякі важливі криві 373

§ 6. Основні формули диференціального числення 378

§ 7. Основні формули елементарної математики 382

Словник ключових слів 390

Предметний вказівник 411

Відповіді 412

Список використаної та рекомендованої літератури 435

ПЕРЕДМОВА

Навчальний посібник призначено для студентів технічних

університетів денної та заочної форм навчання і входить до

збірника під назвою "Вища математика у прикладах та задачах",

що складається з трьох частин, назви яких такі:

Частина І. Алгебра і геометрія. Диференціальне числення

функцій однієї змінної.

Частина II. Інтегральне числення функцій однієї змінної.

Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох

змінних.

Частина III. Диференціальні рівняння. Ряди. Функції

комплексної змінної. Операційне числення.

Вказаний збірник входить до серії "Математика в техніч-

ному університеті" і відповідає програмі курсу "Вища матема-

тика", а розподіл його за частинами - розподілу викладання курсу

за семестрами згідно з учбовим планом.

Розглядуваний посібник є другою частиною вказаного

збірника і його структура аналогічна структурі першої частини.

Даний посібник складається з шести глав, кожна з яких розби-

вається на параграфи. Глава 1 присвячена інтегральному чис-

ленню функцій однієї змінної, глави 2 - 4 - диференціальному

та інтегральному численню функцій багатьох змінних.

Структура перших чотирьох глав така: кожна глава розби-

вається на параграфи. Ця розбивка крупноблочна, кожна глава

має не більше трьох параграфів. Матеріал кожного параграфа

розбивається на чотири пункти.

У п. І - "Короткі теоретичні відомості" - наводяться ос-

новні теоретичні відомості і формули, необхідні для розв'язан-

ня задач.

У п. II - "Контрольні питання та завдання" - містяться

питання з теорії та прості завдання, що добре ілюструють як

вузлові моменти, так і тонкощі теоретичних положень. Врахо-

вуючи, що основна робота над теорією ведеться студентами за

підручником та конспектами лекцій, цей пункт включає питан-

ня для перевірки готовності студента до практичного заняття.

Передмова

У п. III - "Приклади розв'язання задач" - наводяться док-

ладні розв'язання типових задач з теми, яка вивчається, що де-

монструє використання на практиці результатів теорії. При цьому

велика увага приділяється не тільки розгляданню "технічних

прийомів", але і дослідженню умов застосовності тієї чи іншої

теореми або формули. Кількість розібраних прикладів змінюєть-

ся в залежності від обсягу та важливості теми. Початок і кінець

розв'язання задач відмічають відповідно знаками • і .

У п. IV - "Задачі для практичних занять" - міститься до-

сить велика кількість різних за змістом задач, що призначені

для практичних занять як аудиторних, так і домашніх. У кінці

книги дано відповіді до задач і вправ цього пункту. Нумерація

задач проводиться у межах глави, тобто номер кожної задачі скла-

дається з номера глави та порядкового номера задачі у цій главі.

Зауважимо, що пункти І - IV кожного параграфа взаємо-

пов'язані однаковою послідовністю викладення навчального

матеріалу, тобто прослідковується лінія: теоретичний матеріал,

відповідні контрольні питання, відповідні приклади з розв'язан-

нями, відповідні задачі для практичних занять. Це підкреслюєть-

ся,

по можливості, виділенням блоків у зазначених пунктах з

однією назвою.

Враховуючи, що кожний параграф містить досить великий

блок питань, така структура полегшує відшукання потрібної теорії

або прикладів з розв'язаннями при самостійному розв'язанні

практичних задач. При наявності великої кількості прикладів з

розв'язаннями у п.Ш, наводиться розподіл цих прикладів за їх

тематикою.

Глава 5 містить чотири параграфи, в яких наведено чотири

індивідуальних розрахункових завдання, які відповідають розді-

лам програми, викладеної в главах 1-4. Кожне індивідуальне

завдання складається з певної кількості задач, представлених у

31 варіанті кожна. Номер варіанта відповідає порядковому номе-

ру студента в журналі групи. Кожна з задач супроводжується по-

силанням на аналогічні приклади з розв'язаннями, які наведені у

відповідних главах у п. III кожного параграфа. Посилання містить

номер глави, номер параграфа та номери прикладів. Зауважимо

Передмова

надзвичайну важливість цих посилань, бо вони є путівником для

відшукання зразка виконання даної задачі, а отже, зразка ви-

конання індивідуального розрахункового завдання.

Глава 6 складається з семи параграфів, які містять довід-

ковий матеріал з усіх наведених розділів вищої математики,

представлених у навчальному посібнику, а також основні фор-

мули диференціального числення функцій однієї змінної та ос-

новні формули елементарної математики.

Для зручності користування навчальним посібником у

змісті до кожного параграфа у відповідних пунктах наведено

номери прикладів задач з розв'язаннями та номери задач для

практичних занять відповідно; введені також основні позначен-

ня та предметний вказівник.

У даному посібнику наведено словник ключових слів, що

містить найбільш важливі терміни з вищої математики, які пред-

ставлені українською, російською та англійською мовами.

З огляду на характеристику змісту цього посібника мож-

на констатувати, що він може бути використаний як довідник,

розв"язник і в той же час як задачник, який містить задачі для

практичних занять та індивідуальні розрахункові завдання із

зразками їх виконання. Це дуже зручно для студентів і надає

їм широкі можливості для активної самостійної роботи як

аудиторної, так і домашньої.

При написанні навчального посібника автори використа-

ли багаторічний досвід викладання курсу "Вища математика"

для технічних спеціальностей університетів.

Автори сподіваються, що даний посібник допоможе студен-

там оволодіти методикою розв'язання практичних задач з вищої

математики, активізує їх самостійну роботу та буде сприяти підви-

щенню фундаментальної підготовки з розглянутих розділів ви-

щої математики.

ОСНОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

ЇЧ,

2, О, К, С - множини натуральних, цілих, раціональних,

дійсних, комплексних чисел відповідно.

К" - арифметичний дійсний п-вимірний простір.

\,п- індекс к приймає всі натуральні значення від

до п.

- невизначений інтеграл від функції /(х).

|/(х)йх -визначений інтеграл від функції /(х) на відрізку [а,Ь].

^Х

)|а - подвійна підстановка.

х = (х,,

,...,

) - точка п -вимірного простору.

/(х,,

,..

•,

) = /(х) - функція багатьох змінних.

Ііш /(Р) = Ііт /(х) - границя функції багатьох змінних.

Р ->

Ро

х->а

Ах

- приріст змінної х

Хк

/ - частинний приріст функції / по змінній х

= - частинна похідна функції / по змінній х

—2

ї*,х, ~

частинна

похідна другого порядку по змінній

дх, ' '

дх

(

дx

= /"

- мішана частинна похідна по змінних х

(

, х

йи - повний диференціал функції и.

и - частинний диференціал функції и позмінній х

Ки

\м

-знач

єння к-то диференціала в точці М

Основні

позначення

- похідна функції и за напрямом І.

§,гайи-~

градієнт функції и.

|| /(х,

у) Ж

подвійний інтеграл від функції

/ (х,

у) по області О.

пр

ЮУ

= £>- область £) є проекцією поверхні о на площину хСТу.

|||/(х,_у,.г)б?Г

- потрійний інтеграл від функції /(х,^) по

області С.

^/{х,у)сІІ - криволінійний інтеграл першого роду від функції

АВ

/(х,у) по кривій АВ.

І Р(х, у)

сіх

+ (2(х, у) йу - криволінійний інтеграл другого роду

АВ

від вектор-функції

Р(х,у)7

<2(х,у)і

по дузі АВ.

§Р(х,у)ах + ()(х,у)а'у - криволінійний інтеграл другого роду

по замкненому контуру С.

||/(х, у, і)

сіа

- поверхневий інтеграл першого роду від функції

/(х,у,г) по поверхні а.

^^Р(x,у,2)с^уа'2

^(x,у,2)с^2с^x

+ К(х,у,2)сЬссІу - поверхневий

інтеграл другого роду від вектор-функції Р

(х,

у, г)

£>(х,

у, г) } +

+ К(х,у,г)к по вибраній стороні поверхні а.

§гас1

и = V» - градієнт скалярного поля и.

сііуа = V

•

а - дивергенція векторного поля а.

тої

а = V х а - ротор векторного поля а.

Аи - лапласіан функції и.

ГЛАВА

1. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ

ЗМІННОЇ

§1.

Невизначений інтеграл

І. Короткі теоретичні відомості

Основні поняття. Функція Р(х) називається первісною для функції

/(х) на проміжку (а,6),якщо Р'(х) = /(х) \/хє(а,Ь).

Властивості первісних

1°.

Якщо Р(х) - первісна для функції /(х) на проміжку

(а,Ь),

то

Г(х) + С, ц,е С - довільна стала, також первісна цієї функції на

(а,Ь).

2°.

Якщо /^(х) та Р~

(х) будь-які первісні для функції /(х) на про-

міжку

(а,Ь),

то

Р\(х)-

(х) = С , С = соті.

Невизначеним інтегралам від функції /(х) на проміжку (а,Ь) нази-

вається сукупність всіх первісних для цієї функції на

(а,Ь).

Позначення: ^/{х)ах.

Отже, за означенням

}/МА = ^(х) + С (1.1)

Із означення невизначеного інтеграла безпосередньо випливає, що

$0ах = С.

Властивості невизначеного інтеграла

1°.

сі\/(х)сЬс = Дх)сіх .

2°.

\аТ(х) = Г(х) + С, С =

сотії.

3°.

\А /(х) ах = А ах, де А є К.

4°.

ДАх)+г(*)]л

/Д*)А

/г(д)Л.

5°.

Якщо

/-"(я)

- первісна для функції /(х),то

[/(ах+

6) А =— ^(ах + ^О + С,

С-сотІ.

6°.

Якщо | /(х) ах = /*"(х) + С і и = ф(х) - диференційовна функція, то

_[/(«)<&

= /Чи) + С.