Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Невизначений інтеграл
21
4.
Розглянемо інтеграл / = |/?(зіп" х, сов
т
х) сіх , де п, т - парні.
Тоді
/=|/?(8ІП
Л
Х, СОЗ™
Х)СІХ
=
х = агсі£ і
сіх =
Т
1+/
2
і
1
ЗІП Х =
-
СОЗ X =
•
1-й
2
( л
\"/2
1+/"
ун/2
1+ґ
5.
Для інтеграла / = |Л(зіп" ;ссоз
т
х) сіх, де п, т -цілічисла, ая/д/н-
тегральна функція залежить від добутку віпх- соз х, розглянемо три випадки:
а) у інтегралі |зіп" х соз"
1
х сіх або п, або т - непарне. Нехай
п = 2 р, т = 2
<7
+1, тоді
|зіп
2р
х соз
2</+1
х сіх - §$іп
2р
х (1 - зіп
2
х)
4
соз х сіх -
ЗІП X = І , „ , „
= //"(1-/
2
)'Л;
соз хах-аі
1
б) нехай п = 2 р, т = 2ц . Застосовуючи формули пониження степеня
. ?
1-соз2х
? 1+соз2х
зіп х- , соз х — , маємо
|зіп
2р
д:
соз
2<?
х сіх - -—^ ]"(1 - соз 2 х)
р
(1 + соз 2 х)
4
сіх .
Підносячи до степеня, розкриваючи дужки, отримаємо члени, які міс-
тять соз2х у парних і непарних степенях. Члени з непарними степенями
інтегруються як у випадку а), з парними - понижують степінь за вищенаве-
деними формулами;
в) якщо п, т - парні, але хоча б один з цих показників від 'ємний, то
застосовується підстановка: 1§ х = / або сі£ х = І;
6. Інтеграли вигляду:
|соз тх соз пх сіх, |зіп тх соз пх ах, |зіп тх зіп пх сіх
22
Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної
реалізуються за допомогою формул тригонометрії:
соз тх соз пх = -^-[соз(т + и)х + соз (т
—
гі)х\,
зіп тх соз пх =-^[зіп(/и +п)х +зіп (т-п)х],
зіп тих зіп пх = [соз (от - п)х - соз (т + п)х]
відповідно.
Інтегрування гіперболічних функцій
Інтегрування гіперболічних функцій аналогічно інтегруванню триго-
нометричних функцій. При цьому слід пам'ятати, що
, е
х
-е~
х
. е
х
+е~
х
, 5ПХ , спх
зпх = ; спх= ; Шх = ; сшх = , х^О;
2 2 сіїх зпх
формули 20 - 23 з основної таблиці інтегралів, а також, основні формули
для гіперболічних функцій:
сл
2
х-зп
2
х = 1;
сп
2
х + зп
2
х = сЬ2х ;
2 зЬ х
•
сп х = зіі 2х ;
і2
сп2х-1
50 = ;
2
,
2
сЬ2х + 1
сп х -;
1-{Ь
2
х
:
сп
2
х
сіЬ
2
х-1=-
зЬ х
Тригонометричні підстановки
Для інтегралів вигляду
/ =
$К^х,лІа
2
-х
2
^аx, І =
\к\^х,4а
2
+ х
2
^
^ , / = \к{х,4х
2
- а
2
^сіх
зручно застосувати тригонометричні функції для відповідних підстановок.
Дійсно,
І = \К^х,лІа
2
-х
2
^сіх =
х =
дані*
сіх -
асо5ісіі
§1,
Невизначений інтеграл
23
: $'т(,лІа
2
-а
2
зіп
2
1
^асоьісії
= а зіп/, а
соз/)соз/Л
;
І
= \к^х,л]а
2
+х
2
^сіх =
х
=
аі&і
ах
- а
соз
2
/
=
[я(аЩІ,^а
2
+а
2
Щ
2
і)-^-
= а
\ц\а\%1,
— 1-^-;
;
^ ) соз / І соз/ І
соз*/
/
=
|л|Х,Л/Х
2
-а
2
^сіх =
соз
/
а
зіп
/ Л
соз
2
/
-І*
соз/'V
соз"
/
а зіп
/ айг
соз
2
/
а
\
зіпІ
Л
-,а
і§/
соз/
соз
2
/
II. Контрольні питання
та
завдання
1.
Наведіть означення первісної для функції
/(х) на
про-
міжку
(а, Ь).
2.
Наведіть кілька прикладів функцій,
які
мають первісні.
3.
Чи
кожна функція
має
первісну? Розглянути приклад:
|
1, *>0,
[-2,
х<0.
4.
Відомо,
що дві
первісні
для
функції /(х)-е
х
у
точці
х
=
1
відрізняються
на 2. На
скільки відрізняються
ці ж
первіс-
ні
у
точці
х
= 100
?
5.
Графік якої первісної для функції
/(х)
=
•
1
1
+
х^
пройде
через точку
з
координатами (1,2тс)
?
6. Поясніть зміст операції "підведення під знак диференціала".
7.
За
яких умов формула заміни змінної буде вірною?
24
Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної
8. Запишіть формулу інтегрування частинами. За яких умов
ця формула вірна?
9. Які класи функцій інтегруються частинами?
10.
Дайте означення раціонального дробу.
11.
Чи всякий раціональний дріб можна проінтегрувати в
елементарних функціях?
12.
Чому досліджується питання про інтегрування тільки
правильного дробу?
13.
Що означає термін "виділити цілу частину неправиль-
ного дробу"?
14.
На які найпростіші множники можна розкласти много-
член з дійсними коефіцієнтами?
15.
Відомо, що число 2
1
-2-і є корінь многочлена з дійс-
ними коефіцієнтами. Чи є вірним, що число г
{
= 2 +і також
корінь того ж многочлена?
16.
Наведіть типи найпростіших дробів.
17.
Як інтегруються дроби першого типу, другого типу, тре-
тього типу?
18.
На які найпростіші дроби розкладається дріб
х +
1
?
(х + 1)
2
(х
2
+х + 1) '
19.
Знайдіть методом задання частинних значень невизна-
X
чені коефіцієнти у розкладі дробу на суму най-
(х + 2)(х + 3)
простіших дробів.
20.
Наведіть приклади інтегрування ірраціональних функ-
{
Іі Ні ^
цій вигляду К
X,
X
Щ
,
X
*
2
, ..., х"
5
"
V
21.
Які ви знаєте способи знаходження інтегралів вигляду
/ = |і?(х,л/ах
2
+Ьх + с )сіх7
22.
Запишіть вираз для диференціального бінома.
§1.
Невизначений інтеграл
25
23.
Якими способами раціоналізуються інтеграли від дифе-
ренціальних біномів?
24.
Як раціоналізується інтеграл |./?(5Іпх,созл:)с£с? Чому
підстановка і = і§
—
називається універсальною?
25.
Як обчислюється інтеграл вигляду Гзіп" хсоз
т
х сіх в
залежності від парності та непарності показників піт?
26.
Як обчислюється інтеграл вигляду | зіп тх
•
соз пхсіх?
27.
За допомогою яких тригонометричних підстановок зна-
ходять інтеграли:
///. Приклади розв'язання задач
У цьому пункті розглянуто 29 прикладів розв'язання за-
дач,
які за своєю тематикою розподілились так:
1.
Безпосереднє інтегрування: приклад 1.
2.
Метод підведення під знак диференціала: приклад 2.
3.
Метод заміни змінної: приклад 3.
4.
Інтегрування частинами: приклади 4, 5.
5.
Метод виділення повного квадрата: приклади б, 7.
6. Інтегрування раціональних дробів: приклади 8-14.
7.
Інтегрування ірраціональних функцій: приклади
15-21.
8. Інтегрування тригонометричних
функцій:
приклади 22 - 28.
9. Тригонометричні підстановки: приклад 29.
Приклад 1. Обчислити безпосереднім інтегруванням:
2
зіп
2
х соз
2
X
26
Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної
( \_
X
2
+ х
V
.2
3 1
сіх =^- + ^~~ + С =-х
2
+ 2х
2
+ С ;
2 1 з
б) П соз—+ зіп— 1 ах = N соз
2
— + 2зіп—соз— + зіп
2
— \сіх -
}
\ 2 2) Ч
2 22 2
і
= |(1 + зіпх) сіх - х~соз х + С ;
сіх
51П
2
х СОЗ
2
X
зіп.
х + соз х
ЗІП
2
X СОЗ
2
X
ох
соз
2
х зіп
2
х
= 1§ х - СІ§ х + С .
Приклад 2. Знайти інтеграли, використовуючи властивість
6° про незалежність формули інтегрування від характеру змін-
ної інтегрування (метод підведення під знак диференціала):
а) \соз(Зх + 2)ах; б) \(х
4
+ 1)х
3
сіх\ в)[^Ц^-<&.
•' -
1
1
+ х
2
• Для обчислення цих інтегралів використаємо формулу (1.2)
|/(ф(х))^(х) = ,Р(ф(х)) + С.
а) / = |соз(Зх + 2) сіх .
Функцією ф(х) у цьому випадку вважаємо ф(х) = Зх + 2 . Цю функ-
цію підводимо під знак диференціала:
сі(р(х) = сі(3х + 2) = 3сіх, сіх = ^ сі(3х + 2),
тоді
/ = |соз(Зх + 2) сіх = ~|соз(Зх + 2) сі(3х + 2) = ^зіп(3х + 2) + С ;
б) / =
|(х
4
+1)х
3
ох.
Підводимо під знак диференціала вираз х
4
+1, і враховуючи, що
а*(х
4
+1) = 4х
3
сіх ,
X
і
сіх
=
—
<і(х
4
+1), маємо
4
/ - |(х
4
+ 1)х
3
сіх = -|(х
4
+1)сі(х
4
+1) = -(х
А
+1)
2
+ С ;
§1.
Невизначений інтеграл
27
в) 1 = 1
(агс<§ х)
2
1
+ х
2
сіх .
Під знак диференціала підводимо функцію агсІ§ х , тоді
а(агсІ§ х) = ^
>
отже,
1
+
(агс!§ х)
2
1
+ х
2
ах = |(агсІ§ х)
2
о"(агсІ§ х) =
(агсі£ ху
+ С.<
Приклад 3. Використовуючи відповідні заміни змінних,
обчислити інтеграли:
сіх
*
(1
+ х)4х
1
(2ІПХ + 3)
3
сіх;
лГ
е
2
А лГ
^/з + 5сг§х
в) ш:; г) ах.
зіп
2
X
• Для обчислення інтегралів скористаємося формулою (1.3) заміни
змінної
|/(х)ах
=
|Яф(0)ф'(0<Л.
а) /=|-
ох
(1
+х)4х
У цьому прикладі функцію ф(0 доцільно вибрати у вигляді ф(/) = і
2
,
тоді
<р'(/)
сії = 21 сії, отже
,2
' = 1:
ох
(1
+
х)л/х
=! і - -Ух | =2 агсї§ Тх + С;
б)/ =
Г(2 »пх
+
3)
3
А;
х = ґ
ох = 2; аї
г 21 сії сії
-. , - 2 агсіе ґ + С =
(1
+ /
2
)/ М + г
2
21п х +
3
= /
2ах
= Л = Л
X
ох _
X
2
2
і
8
= \і = 2 Іпх + 3| =-(21пх + 3)
4
+С;
8
28
Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної
а) 1=[
1 = е<
= 1п
е
х
-\
е
2
-1
е
2
+1
-сіх = х = 2 Іпг
2 дї
ах =
-
= 2|- Іп
?
2
-1
/-1
г
+
1
+ С =
+ С;
,З/3 + 5СІ§Х
51П X
3 + 5 сІ§х = ?
5 сіх
зт х
4
1 /
3
5-
1
5 4
4 4
.Л/3
+ С=|' =
3
+
5сІ8х|
= -—(3 +
5с*в
х)
з
+с.<*
20
1 1
20
Приклад 4. Інтегруванням частинами обчислити інтеграли:
а)|х 5Іпхах ; б)|іпх<&; в) | х агсІ§ х
<іх;
г)|х
2
зіпхйіх.
• Інтеграли знаходять з використанням формули (1.4) інтегрування
частинами
|к сЬ = и
V
- |у ом.
и = х ; сій
—
сіх
о\> = зіпхах; V = |зіпх ах = -созх
= -хсозх + |созх ах = -хсозх + зіпх + С;
сіх
а) / = |х зіп х ах:
б) / = |іпх ах =
и =
1п
х ; аи :
х
ау = ах; V = |ах = х
= х Іпх- Гх— = х1пх-[ах = х1пх-х + С =
х(1пх-1)
+ С;
•' X
ах
в) / = |х агсІ§ х ах =
и = агсІ§ х ; сій =
•
1
+ х'
ОУ
= ХОХ; V = |х ах =
-
§
1.
Невизначений інтеграл
29
= — агс1
8
х--|
1 г х
2
ах х
2
2'\+х
г
2 (] + Х
2
, [СІХ
х атсіех -
т
сіх + Г-
3
\ + х
2
М + х
2
1
{
(х
г
+ \)-і
= — ^х--\
ах--
= -^-(х
2
агст§ х-х + агсї§ х) + С =
1 ?
=
—
(агсІ§х(х + 1)-х) + С;
и = х ; сій = 2х сіх
«/у = зіпх ох; V = 1ЗІП х сіх —
— СОВ X
Г)
/ = |х
2
ЗІПХ
Й&Г
=
= -х
2
созх + |2хсозх сіх .
Для обчислення початкового інтеграла формулу інтегрування части-
нами треба застосувати ще один раз до інтеграла у правій частині:
|х сов х сіх -
и = х; сій = сіх
СІУ
= со&х сіх; V = |созх сіх
—
зіпх
=
X зіпх
—
|зіпх сіх = х зіпх + созх + С .
Підставляючи, знаходимо
/ = -х
2
созх + 2(х зіпх + созх)+ С = (2 -х
2
)созх + 2хзіпх + С .
Приклад 5. Знайти інтеграл / = | е
х
зіп 2х
сіх
,
и = е
х
; сіи = е
х
сіх
• / - |е*зіп2х сіх '
Л = зіп2хах; у = |зіп2хйх = -
соз2х
Є 1 е
= соз2х +
—
\е
х
соз2х сіх =
2 2
і
и = е ;
= соз2х аЬс; V =
сіи = е
х
сіх
зіп2х
соз2х + — \е —зіп2х—\е зіп2х ах =
2 2( 2 2-
1
^
=
-—е
х
со52х
+
—
зіп2х- — \е
х
зіп2х ОХ .
Таким чином, у правій частині рівняння ми знову прийшли до почат-
інтеграла з коефіцієнтом - —, тобто маємо таке рівняння відносно
4
то інтеграла:
зо
Глава 1, Інтегральне числення функцій однієї змінної
/ •=—-е
х
соз 2х +—е
Л
зіп2х- —/,
2 4 4
звідси / = |е*зіп2х сіх =
—
е
х
(зіп2х-2соз 2х) + С.
Зауваження. Треба мати на увазі, що при повторному застосуванні
формули інтегрування частинами треба зберігати вигляд для функції и(х).
У нашому прикладі и(х) = е
х
. А
Приклад 6. Знайти інтеграли:
сіх „ . е сіх
-; б)і = \-
х
2
+4х + 14' ' •'5-4х-х
2
• Застосуємо прийом виділення повного квадрата у знаменнику:
сіх г сіх г сі(х + 2)
а)/
= |
—і= агсіе ,—
л/10 л/Ю
х
2
+4х+14
}
(х + 2)
2
+\0 -
1
(х + 2)
2
+10
х + 2
-
+ С;
6)1 = 1
сіх
-і:
сіх
сіх
5-4х-х
2 }
9-(х
2
+4х + 4)
і
9-(х + 2)
2
= Г ^
х + 2)
-
1
іп
і
9-(х + 2)
2
2-3
З + х + 2
З-х-2
+ С=-1п
6
5 + х
+ С.«*
Приклад 7. Обчислити інтеграли:
а)/
= |
ЗХ
~
2
сіх; 6)1 = 1-
ЗХ
'
1
х
1
+4х + 13
л/х
2
-4х + 8
•йх,
• Для обчислення інтегралів виділимо повний квадрат у знаменнику
і, застосувавши відповідну заміну, отримаємо:
,
)/ =
| 3£±_
А
гЛ£^_
4в
•
І
х
2
+4х + 13 •
)
(х + 2)
2
+9
х + 2 = /
х = /-2
сіх =
сії
г
Зг-8 , 3 (• 21 ,
о[
Ж 3 , .
2
„. 8 / ^
= ої =-К
аї-8|-,
= -1п(Г+9)—агсІ§- + С =
•
І
/
2
+9 2^
2
+9 ^
2
+9 2 З З
= \і = х + 2І = —1п|х
2
+4х+ 13І--агсіе^І^ + С ;
І
1
2 І І З З