Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

§2.

Визначений інтеграл. Невласні інтеграли

• Особлива точка х = 0 . При х

—>

+0 для знаменника підінтеграль-

ної функції маємо еквівалентну нескінченно малу:

Інтеграл |^т= =

о V*

]

сіх 3 т

= —х*

ах

теж збігається.

0 + 0

= — збігається. Тоді і заданий інтеграл

г х-1

Приклад 16. Знайти інтеграл І .— сіх або встановити

-і І/х

його розбіжність.

• На заданому проміжку інтегрування точка х = 0 — особлива, функція

/(х) = .— у цій точці необмежена. Маємо невласний інтеграл другого роду:

гх-1 , г х-1 , г х-1 ,

,— ах = ,— ах+ ,— ах.

!іГТ

Ш Ї\І7

Розглядаємо перший інтефал:

0-0

/ 2

-1 \х -1

5 Л

З _

сіх- Зх

З 1

Цей інтефал розбіжний. Отже і заданий інтефал розбіжний. -4

Приклад 17. Дослідити на збіжність інтеграл

Г С08

X ,

, СІХ.

• Особлива точка х = 1. Представимо підінтефальну функцію у вигляді:

Дх) =

СОЗ X

УГ7 (1-х)

•

Порівняємо заданий інтефал з інтефалом вигляду Г Ц- сіх, який

є збіжним, бо р = — <\. Згідно з фаничною ознакою порівняння, вихідний

інтефал є також збіжним, бо

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

со«"

х 1

Ііт

ЖГ7

ТГТ

со^і

1/3

(1-х)

Приклад 18. Дослідити на збіжність інтеграл

созх .

• Особлива точка х = 1. Заданий інтеграл є абсолютно збіжним, тому

що

С05Х

1 • • г сіх 3. •

.. і інтеграл І ,.. = —(х-1)

1 + 0

= — збігається. М

IV. Задачі для практичних занять

У задачах

1.211-1.231

обчислити визначені інтеграли.

1.211. \4ї+~х~ах.

1.213. \(е

-\)*е

с!х

1.212.

]

1.214.

+ 1§х

сіу.

сіх.

1.215.

хсіх

о(*

+1)

1.216.

І^-сіх

1.217.

]хе'

ііх.

1.218.

хсіх

я/зт х

е-1

1.219.

| х

зіп хсіх.

1.220.

11п(х +

сіх.

§2.

Визначений інтеграл. Невласні інтеграли

„

. \4хсіх . г л/х _,

1.221. |- . 1.222. -т= сіх,

+ Х І л/х-1

1.223.

\-^=гс1х.

1.224.

[л/(1-х

)

ох.

1.225.

[

1.226.

[-^

{ х

- Зх + 2 2 2х^ + Зх - 2

1.227.1-^3-.

1.228.|

аСк

х + х

і :

(х-а)(х-2а)

сіх %

1.229. [ . 1.230. [соз

х-зіп2хах.

І/ 1+ созх і

1.231. | л/созх - соз

сіх

-Я

У задачах 1.232 - 1.240 обчислити невласні інтеграли з не-

скінченними межами інтегрування (або встановити їх розбіжність).

1.232. а,

7*;

б)/*.

-г-оо +со

1.233. а) \е~

ах

сіх (я>0); б) | хе~* ох.

ч7 2ЇА

Г сіх

1.234. а) | -

—; б) )

+Г ' 1 х

+2х + 2

Г сіх

Г хах

1.235.а)

[-= ; б) г-

(1 + х) {(1 + х)

Глава

Інтегральне числення функцій однієї змінної

СІХ "Т СІХ

4Ї

хл/х -1 і х\1 + х

1.237.

а) | х зіп хсіх; б) |е~^*ох.

о о

1.238.

і^сіх.

1.239.

1.240. \

-і(*

+і)

У задачах 1.241 - 1.245 дослідити на збіжність невласні

інтеграли з нескінченними межами інтегрування.

1.241. а) \^—

сіх;

б)

\^р-сіх.

+\ і х

1.242. [—г-^Ц тих. 1.243. [

(Х + ]

сіх.

(х

+х

+ 1)

\ х

"Тхагсійх ,

_._ *7 сіх

] .

сіх. 1.245. ] —

^і+ х

' ' *;

хіпіпх'

У задачах 1.246 - 1.255 обчислити невласні інтеграли від

необмежених функцій (або встановити їх розбіжність).

1.246.

а) ; б) ]

Іл/і^х

Іх

-4х + 3

ах ^

г йх

1.247.

а) б)}-

1п

X і х

л/1п

ХЙХ

1.248. Г-^=. 1.249.

[ХІПХЙХ.

\у[х^ї

і .250. [ .

х2(к

. 1.251. [ *

^(^-ЗХЗ-х) о1-х

+2л/ї^с

§3.

Застосування визначеного інтеграла

У задачах 1.256 - 1.260 дослідити на збіжність невласні

інтеграли від необмежених функцій.

§3. Застосування визначеного інтеграла

І. Короткі теоретичні відомості

Застосування визначеного інтеграла в задачах геометрії

Обчислення площ плоских фігур

а) дексіртова система координат. Площу фігури, обмеженої лінія-

ми:

/(х) > 0, х = а, х = Ь, у = 0, знаходять за формулою

5 = \/(х)ах. (1.33)

Якщо фігура обмежена кривими у =

/|(х),

у = /

(х)

(х)>

/і(х)),

прямими х - а , х = Ь (рис. 1.4), то формула обчислення площі має вигляд:

5 = ІІ/г(х)-А(х)]<Ь- (1-34)

Глава

Інтегральне числення функцій однієї змінної

О* а Ь х

Рис.

1.4

б) полярна система координат. Площа криволінійного сектора,

об-

меженого кривою, заданою

полярних координатах рівнянням

р = р(ф), і

двома променями

ф = а, ф =

(а < Р),

обчислюється

за

формулою

-}р

(

)#.

(1.35)

в) якщо крива

у = у(х), х є [а, Ь]

задана параметричними рівняннями

Гх

*(/),

\у

= у(0,

а</<р,

причому

х(ос) = а, уф) = Ь , то

площа криволінійної трапеції, обмеженої

цією кривою, прямими

х = а, у = Ь і

віссю

Ох,

виражається формулою

= х(і),

= у(0,

\у(х)сіх=

ах =

х'(1)сІІ,

= а, / = а,

Ь,

/ = р.

де

а і 3

визначаються зрівнянь

а = х(а), Ь = хф) [у(і) > 0 при а < / < р].

= ІУІ1)х\і)(&,

(1.36)

Обчислення довжини

плоскої кривої

а) крива задана

прямокутних координатах рівнянням

у = /(х),

а<х<Ь:

= \<£,

(1.37)

де

сі8 = ф + у'

ах -

диференціал дуги кривої;

б) крива задана

полярних координатах рівнянням

р = р(ф), а < ф < р :

= \05, де

й?5

/р

(ф)

р'

(ф)

<*р;

§3.

Застосування визначеного інтеграла

. .. \х = х(1),

в)

при

параметричному заданні кривої

< :

\у

= у(і),

а<і<$

= ](Ш, де сі5 =

л]х'

(1)

у'

(1)

сії.

(1.38)

Довжину дуги гладкої просторової кривої, заданої рівняннями

- х(і),

•у

ЛО,

і(і),

а<?<р,

обчислюють

за

формулою, аналогічною формулі (1.38):

= \4х'

(і) +

у'

(1)

+ 2

(1) Л.

(1.39)

Обчислення об'ємів

тіл

а) об'єм тіла

за

площами паралельних перерізів обчислюється

за

фор-

мулою

У=\$(х)сіх, (1.40)

де

5(х) -

площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною

осі Ох,

а<х<Ь;

б) об'єм

тіл

обертання.

Об'єм тіла, отриманого

від

обертання криволінійної трапеції, обме-

женої кривою

у = Дх),

прямими

х = а, х

—

Ь, у = 0,

навколо

осі Ох,

вира-

жається формулою

п]у

(х)ах, (1.41)

а об'єм тіла, отриманого

від

обертання тієї

криволінійної трапеції навколо

осі

Оу ,

обчислюється

за

формулою

2к\ху(х)сіх

Аналогічно об'єм тіла, отриманого

від

обертання криволінійної тра-

пеції, обмеженої кривою

х =

ф(і'), прямими

у = с, у = сі, х = 0,

навколо

осі

Оу

знаходять

за

формулою

=п\х

(у)сіу.

(1.42)

Глава 1, Інтегральне числення функцій однієї змінної

Якщо фігура, обмежена кривими _у, = /\(х) і у

= /

(х)

[0</|(х) ^ /

(х)]

та

прямими х=а,х=Ь, обертається навколо осі Ох, то

об'єм тіла обертання

=к\[/

{х)-/

{х)]ах. (1.43)

Для фігури, обмеженої кривими х

=ф,(>') і х

=<р

(у)

[0<ф,(>')<ф2(>')]

та прямими у=с, у=сі, яка обертається навколо осі Оу ,

формула об'єма тіла обертання має вигляд

=п\[^

{у)-^

{у)]ау.

Якщо криволінійний сектор, обмежений кривою р = р(ф) і променя-

ми ф, = а, ф

= Р , обертається навколо полярної осі, то об'єм тіла обертан-

ня визначається так:

V =— л|р

зіпфаф. (1-44)

Обчислення площі поверхні обертання. Нехай крива, задана не-

перервною функцією у = /(х) > 0, а < х < Ь , обертається навколо осі Ох .

Тоді площа поверхні, утвореної обертанням кривої у = /(х) навколо осі

Ох, знаходиться за формулою

=2%\у(х)Л8, (1.45)

де «"5 - диференціал дуги кривої.

Для кривої, заданої у прямокутних координатах, формула (1.45) має вигляд

2л\у{х)4\+у'

ах; (1.46)

для полярної системи

=2л|р5Іпф

/р

(ф)

+ р'

(ф)йф; (1.47)

•

якщо крива задана параметрично, то

=2п]у(і)уІх'

(і) +

у'

(і)сІі.

(1.48)

§3.

Застосування визначеного інтеграла

Застосування визначеного інтеграла в задачах фізики

Маса неоднорідного стрижня, розташованого на відрізку [а, Ь],

якщо лінійна густина стрижня дорівнює р(х), обчислюється за формулою

м = |рО)<&.

Статичні моменти М

, М

та моменти інерції

,І

плоскої

кривої у = /(х) обчислюються за формулами:

* ь

а) відносно осі Ох: М

= ]усі8, І

= |у

сі8 ,

а а

Ь Ь

б) відносно осі Оу : М

= ^хсі8, І

\х

сБ,

а а

де сІ8 = \\\ + у'

сіх - диференціал дуги кривої.

Статичні моменти та моменти інерції криволінійної трапеції,

обмеженої кривою у = /(х), прямими: у = 0, х = а, х = Ь , обчислюються за

формулами:

1 * 1 * 1

а) відносно осі Ох : М

=—^усЕ-—^у

сіх, І

=—|у

Л;

а а а

Ь Ь Ь Ь

б) відносно осі Оу : М

= ^хсі8 = ^хусіх, 1

= |х

аК = ^х

усіх.

а а а а

У цих формулах сі8 = усіх - диференціал площі криволінійної трапеції.

Координати центра ваги:

а) плоскої кривої у = /(х) (о < х <Ь)

І, .„ і"

=-\хсі8,

Ус

=-\усі8,

де / - довжина кривої, сі8 - диференціал дуги кривої;

б) криволінійної трапеції

1 * 1 *

=-\х<&,

Ус

=—\усі8,

а а

де сі8 = уск, 8 - площа фігури.

Глава 1, Інтегральне числення функцій однієї змінної

Мають місце такі теореми.

Теорема (перша теорема Гульдіна). Площа поверхні обертання, яка

утво-

рюється від обертання дуги АВ навколо осі, що її не перетинає і розташована в

площині дуги АВ, дорівнює добутку довжини кола, яке отримується від обер-

тання центра ваги дуги АВ навколо цієї осі, на довжину 1

АВ

дуги АВ.

Якщо віссю обертання є вісь Ох, відповідна формула має вигляд:

?х = 2пу

АН

Теорема (друга теорема Гульдіна). Об'єм тіла обертання, яке утворю-

ється від обертання плоскої області £> навколо осі, що її не перетинає і розта-

шована в площині області О, дорівнює добутку довжини кола, яке отримується

від обертання центра ваги області £> навколо цієї осі, на площу 8

області О.

Якщо віссю обертання є вісь Ох, відповідна формула має вигляд:

=2ку

Обчислення роботи. Робота змінної сили Р = Р(х), яка діє у на-

прямку осі Ох на відрізку [а, Ь], визначається формулою

А = \р(х)ах. (1.49)

6. Довжина шляху 5, який проходить матеріальна точка, що рухаєть-

ся зі швидкістю у = У(І) за проміжок часу [/, ,і

], обчислюється за формулою

II. Контрольні питання та завдання

Як обчислити площу плоскої фігури при різних формах

її задання?

Як обчислити довжину дуги кривої:

а) у декартовій системі координат?

б) у полярних координатах?

в) у випадку, коли крива задана параметричними рівняннями?

Наведіть формулу для обчислення об'єму тіла за площа-

ми його паралельних перерізів.