Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

Знайдено щільність нормально розподіленої випадкової вели-

чини з нульовим математичним сподіванням і одиничною диспе-

рсією, що й потрібно було довести.

Приклад 5

. Швидкість обробки — випадкова величина Х з

напівнормальним законом розподілу:

()

.0 ,

−

xexf

Знайти закон розподілу випадкової величини Y — часу, потрі-

бного для обробки деталі, якщо сумарний час її обробки дорів-

нює А.

Розв’язання.

З умови задачі випливає, що

Y =

Ця функція

монотонна при додатних значеннях Х. Скориставшись тією са-

мою формулою, яка застосовувалась у попередніх прикладах, ді-

станемо:

() ()()

(

)

yyfyf ψ

′

ψ=

() ()

. ,

yx −=ψ

′

=ψ=

()

2 y

eyf

−

πσ

σπ

Оскільки область зміни Y — множина додатних чисел, то маємо:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

πσ

≤

−

0.y якщо ,

0.y якщо 0,

Приклад 6

. Тріщини всередині пластин листової сталі — від-

різки прямої завдовжки а. Кут φ, утворюваний прямою, що про-

ходить через тріщину, з прямою, яка перпендикулярна до сторо-

ни пластини, розподілений рівномірно на проміжку

(

]

.;0 π

Знайти

закон розподілу Y — ширини смуги, яка вирізується із бракова-

ного металу.

Розв’язання.

Для побудови графіка функції виконаємо

рис. 2.1, з якого легко помітити, що

.sin

Рис. 2.1

Досліджуємо функцію на монотонність:

;0cos ;cos =ϕ

′

aay

. ,

Znn ∈π+

=ϕ

Якщо n = 0, то

=ϕ

Отже, функція не моно-

тонна. На проміжку

(

]

функція набуває значень від 0 до а. По-

будуємо її графік (рис. 2.2).

Y = y

Рис. 2.2

Проведемо пряму

(це найменше значення функції) і уя-

вимо, що вона переміщується в напрямі зростання

паралельно

сама собі. При цьому пряма перетинає графік у двох точках. Тоді

щільність розподілу

(

)

матиме єдиний аналітичний вираз, ко-

ли функція змінюється на проміжку

(

]

.;0 a

Побудуємо функцію

розподілу

()

при деякому значенні y, яке належить області

зміни функції. Пряма

перетинає графік функції у точках

. i

ϕ=ϕϕ=ϕ

Звідси маємо:

() ( ) ( ) ( )

∫∫

+ϕ

=π<ϕ≤ϕ+ϕ<ϕ≤=<= ddPPyYPyF

Знайдемо значення

Із рівняння

sinay

знаходимо:

,arcsin

=ϕ

.arcsin

−π=ϕ

Запишемо функцію розподілу

()

,yF

помінявши місцями у другому інтегралі межі інтегру-

вання:

()

arcsinarcsin

∫∫

−π

−ϕ

ddyF

Знайдемо щільність розподілу

(

)

диференціюванням функції

розподілу, застосувавши таку залежність: якщо

() ()

()

∫

dxxfyG

то

() ()()()

.yyfyG φ

′

φ=

′

()

111

−π

−

Підінтегральна функція в інтегралах дорівнювала одиниці,

тому їхні похідні дорівнювали похідним за верхньою межею ін-

тегрування. Остаточно шукана щільність розподілу функції на-

буває вигляду:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

−π

≤

a.y

a;y

якщо ,0

0 якщо,

;0 якщо ,0

Приклад 7

. Випадкову величину Х задано такою щільністю

розподілу:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

.5 якщо ,0

;50 якщо,

;0 якщо,0

Знайти

. якщо ),(

eYyf

−

Розв’язання.

Побудуємо графік функції. Для цього знайдемо

похідну:

()

;42

−=

′

−

xey

(

)

.2 ;042

==−

−

xxe

При переході

через точку х = 2 похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», тому

х = 2 — точка мінімуму;

(

)

(

)

.5 ;10 ;)2(

eyyey ===

−

Будуємо графік

функції (рис. 2.3).

2 3

Y = y

Рис. 2.3

Якщо

−

пряма

перетинає графік функції в точ-

ках

. i

Знаходимо функцію розподілу:

() ( ) ( )

122

∫∫∫

−==<<=<=

dxdxdxxXxPyYPyF

Щоб виразити

i xx

через y, розв’яжемо рівняння

−

відносно х, попередньо прологарифмувавши обидві його частини:

.ln42 ;ln42 ;0ln4 ;4ln

yxyxyxxxxy ++=+−==−−−=

Підставляємо здобуті вирази у функцію розподілу:

()

ln42ln42

∫∫

+−++

−=

dxdxyF

Диференціюємо функцію розподілу:

()

ln45

ln42

yyyyyy

Якщо

(

]

,,1

ey ∈

то функція монотонно зростає і =)( yf

(

)()()

;

yyf ψ

′

ψ=

()

;ln42 yy ++=ψ

()

;

ln42

=ψ

′

()

=yf

ln410

yy +

Отже, остаточна щільність розподілу набуває вигляду:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

−

.ey

;ey

;ye

;e y

якщо ,0

1 якщо,

ln410

1 якщо ,

ln45

якщо ,0

Приклад 9

. Під час сортування сталевих кульок за їхніми ро-

змірами до групи з номінальним розміром діаметра 10 мм потра-

пляють кульки, які проходять через отвір діаметром 10,1 мм,

і ті, що не проходять через отвір діаметром 9,9 мм. Кульки виго-

товлені зі сталі, густина якої 7,85 г/см

. Знайти математичне спо-

дівання і дисперсію маси кульок, вважаючи розподіл діаметра

кожної кульки в полі допуску рівномірним.

Розв’язання.

Згідно з умовою щільність розподілу Х — діаме-

тра кульки:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

.01,1 якщо 0,

1;01990 якщо,50

990 якщо ,0

)(

,x,

; , x

Маса кульки

γπ

де γ — густина сталі. Якщо

()

XY ϕ=

то математичне сподівання обчислюємо за формулою:

() ()

∫

∞

∞−

ϕ= dxxfxMY

Отже,

11,4|85,7

01,1

99,0

01,1

99,0

≈π=γπ=

∫

xdxxMY

г.

Дисперсію обчислюємо так:

()()()

∫

∞

∞−

ϕ= dxxfxMY

звідки

;903,16|85,7

126

01,1

99,0

722

01,1

99,0

6222

≈π=πγ=

∫

xdxxMY

(

)

.0105,011,4903,16

≈−=DY

Приклад 10

. Знайти функціональне перетворення, за допомо-

гою якого з послідовності випадкових величин, розподілених рі-

вномірно на проміжку

(

]

,1;0

можна дістати послідовність вели-

чин, розподілених показниково з параметром

Розв’язання.

Шукаємо монотонно зростаючу диференційовну

функцію. Щоб визначити її, запишемо формулу для відшукання

щільності

()

за даною щільністю

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

yyfyf

′

Згідно з умовою

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

.1 якщо0,

10 якщо ,1

0 якщо,0

Тоді

()( ) () () ()

y; y; xaey; fyf

′

===

−

ψψ1ψ

Дістали ди-

ференціальне рівняння

−

Розв’яжемо його:

∫

+−=+==

−−−

. ; ; CexCdyaexdyaedx

ayayay

Розв’яжемо здобуте співвідношення відносно у:

()

.ln

Y −−=

Якщо Х = 0, то й

Тоді С = 1 і

()

.1ln

Y −−=

Знайдене перетворення дає змогу діставати з послідовності рі-

вномірно розподілених на проміжку

(

]

1,0

випадкових величин

послідовність випадкових величин, розподілених показниково з

параметром

Вправи для самостійного розв’язування

2.50.

Робітник обслуговує 16 однотипних верстатів, розмі-

щених у 4 ряди по 4 верстати в ряду. Відстань між рядами вер-

статів дорівнює

а між верстатами — .a Події — «робітник

перебуває біля довільного верстата» і «довільний верстат пот-

ребує обслуговування» — рівноможливі. Знайти математичне

сподівання відстані, яку проходить робітник між двома обслу-

говуваннями.

2.51.

Довести, що сума двох випадкових величин, розподі-

лених за законом Пуассона, має також закон розподілу Пуас-

сона.

2.52.

Кількість відказів телевізора протягом гарантійного

строку розподілена за законом Пуассона з

.5,0

У разі і-го від-

казу витрати на ремонт

(

)

ciiy

Знайти математичне споді-

вання і дисперсію витрат упродовж гарантійного строку.

2.53.

Залежно від умов зберігання кількість придатної продук-

ції через період

визначається за формулою:

(

)

AetY

−

де, А — кількість продукції, закладеної на зберігання; Х — випа-

дкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку

(

]

.;dc

Визначити закон розподілу для

(

)

.tY

Знайти для нього матема-

тичне сподівання та дисперсію.

2.54.

Закон розподілу похибок при вимірюванні радіуса

ко-

ла — нормальний з параметрами

,100

.25,0

Знайти закон

розподілу і числові характеристики похибок при обчисленні до-

вжини кола та площі круга.

2.55.

Залишок матеріалу А на початок місяця становив 300 оди-

ниць. Витрати матеріалу за день роботи — випадкова величина,

яка рівномірно розподілена на проміжку (10; 15]. Знайти закон

розподілу та математичне сподівання:

а) для тривалості періоду

на який вистачить матеріалу;

б) для залишку матеріалу Z після 20 днів роботи.

2.56.

Урожайність зернових, ц/га, — випадкова величина, рів-

номірно розподілена на проміжку (15; 45]. Знайти закон розподі-

лу та математичне сподівання випадкової величини

— собіва-

ртості виробництва 1 ц зерна, якщо витрати з виробництва зерна

на 1 га становлять b грн.

2.57.

Залежно від режиму температур випадкова величина

опору

розподілена за законом, який задається щільністю роз-

поділу

()

.0,

)(

πσ

−

xexf

Знайти закон розподілу величини

І — сили струму у мережі, якщо напруга в ній 220 В.

2.58.

Знайти закон розподілу та математичне сподівання дов-

жини хорди

яка сполучає задану точку кола радіусом а з ін-

шою точкою, усі положення якої на колі рівноможливі.

2.59.

Знайти функціональне перетворення, за допомогою яко-

го рівномірно розподілена на проміжку (0; 1] випадкова величина

Х перетворюється на нормально розподілену величину

,0=a

1.=σ

2.60.

Яким функціональним перетворенням випадкова вели-

чина

що розподілена показниково

() ( )

(

)

0>=

−

xaexf

, перет-

ворюється на випадкову величину

, що розподілена за законом

Коші

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+π

2.4. ХАРАКТЕРИСТИЧНІ ФУНКЦІЇ

Закон розподілу випадкової величини Х може бути заданий

характеристичною функцією

()

(

)

.1 −== iMetg

itX

У загальному

випадку ця функція набуває комплексних значень. Визначають

характеристичну функцію залежно від типу випадкової величини

підсумовуванням або інтегруванням. Розглянемо властивості ха-

рактеристичної функції.

()

;10 =

2) якщо

baXY +=

і відома

(

)

,tg

то

() ( )

;atgetg

itb

3) характеристична функція суми двох незалежних випад-

кових величин дорівнює добутку їхніх характеристичних фу-

нкцій;

4) якщо існує абсолютний момент порядку n для випадкової

величини Х, то

(

)

диференційовна принаймні n раз і

()

g ν=

Розглянемо характеристичні функції деяких законів роз-

поділу.

1) біноміальний закон розподілу:

(

)

(

)

ppetg −+=

2) закон розподілу Пуассона:

(

)

(

)

;

etg

−−

3) рівномірний закон розподілу на проміжку

(

]

ba;

()

;

abit

itaitb

−

4) показниковий закон розподілу:

()

;

ita

−

5) нормальний закон розподілу:

()

;

ita

etg

−

= якщо

,1 i 0 =

то

()

etg

−

Розглянемо граничні теореми, які виконуються для послідо-

вності

()

і відповідної їй послідовності характеристичних

функцій.

Пряма теорема. Якщо послідовність функцій розподілу

()

збігається до функції

(

)

у всіх точках неперервності останньої,

то послідовність характеристичних функцій

(

)

збігається, як-

що

∞

→n до функції

(

)

, яка буде характеристичною функці-

єю, що відповідає

()

Обернена теорема. Якщо послідовність характеристичних

функцій

()

збігається на всій осі до неперервної функції

()

то послідовність функцій розподілу

(

)

, якщо ,

∞

→n збігається

до

(

)

, причому

(

)

буде функцією розподілу, яка відповідає

характеристичній функції

(

)

Приклади розв’язування задач

Приклад 1

. Задано графік функції розподілу

(

)

(рис. 2.4).

Знайти

()

.tg

)

1/2

Рис. 2.4

Розв’язання. Випадкова величина Х неперервна, тому для ви-

значення

(

)

застосуємо формулу

() ( )

∫

∞

∞−

= dxxfetg

itx

Щоб

знайти

()

,xf

насамперед потрібно записати аналітичний вираз

для функції розподілу. При недодатних значеннях

функція ро-

зподілу дорівнює нулю. Коли

змінюється від нуля до одиниці,

то

()

.axxF =

Щоб знайти а, скористаємося тим, що

()

1 =F

Тоді

Для визначення функції розподілу на проміжку

(

]

3,0∈x

скористаємося неперервністю

(

)

.xF

Аналітичний вираз її на ньо-

му такий:

()

.baxxF +=

Дістаємо систему рівнянь:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

.13

;

., b, aa

2 ===

Очевидно, що для x > 3 функція розподілу дорівнює одиниці.

Остаточно маємо:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<+

≤<

≤

. x

;xx

3 якщо 1,

3;x1 якщо,

10 якщо ,

0 якщо 0,

Диференціюванням функції розподілу знайдемо щільність ро-

зподілу:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

. x

3 якщо0,

;31 якщо,

10 якщо,

0 якщо0,