Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

Розв’язання.

Щільність рівномірного розподілу

()

−

Отже, потрібно визначити область зміни випадкової величини.

Складаємо систему рівнянь:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

∫

;4,0

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

;4,0

⎩

⎨

⎧

−=

;34,06,0

.3 ,7 −

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

. x

;x -

;-x

7 якщо ,0

73 якщо,1,0

3 якщо ,0

Приклад 7

. Випадкова величина розподілена показниково з

параметром а. При якому значенні параметра ймовірність пот-

рапляння випадкової величини на відрізок

[

]

;

буде найбіль-

шою?

Розв’язання.

Нехай параметр а — неперервна й диференці-

йована величина. Знайдемо ймовірність потрапляння випадко-

вої величини на відрізок і дослідимо здобуту функцію на екст-

ремум:

()

;

β−α−

−

−==β<≤α

∫

aaax

eedxaeXP

(

)

;

β−α−

−=

eeaP

(

)

+α−=

′

α−a

eaP

lnln

;ln–ln ; ;0e– ;

α−β

=α−α=ββα=β=β+αβ+

α−β−β−β−

aaaeeee

aaa-aαa

Покажемо, що при даному значенні а досягається максимум

()

. Знайдемо другу похідну:

()

;

22 β−α−

β−α=

′′

eeaP

=β−α=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−β

′′

α−βα−β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−

lnln

eeP

β−

α=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α=β−α=

α−β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−β

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

α−β

()

,0<β−α

α−β

оскільки

β.α

Друга похідна у критичній точці

від’ємна, тому

()

в ній досягає максимуму.

Приклад 8

. Висунуто гіпотезу про те, що відхилення розміру

деталі від номіналу є випадковою нормально розподіленою вели-

чиною з

25 i 0

= DXMX

мкм

. Чи відповідає заданій гіпотезі те,

що в перевірених 6 деталей відхилення належало проміжку

[

)

13;5

? Рівень значущості

= 0,0005.

Розв’язання.

Розглянемо подію А — «відхилення в 6 деталей

належить проміжку

[

)

13;5

». Обчислимо ймовірність цієї події і зі-

ставимо її з рівнем значущості α. Якщо ймовірність буде мен-

шою за α, то результат випробування не відповідатиме висунутій

гіпотезі. Імовірність події А знайдемо за теоремою множення

ймовірностей:

()

,pAP

де

(

)

.XPp

135

≤

Обчислимо цю ймовірність:

() () ()

.154,03413,04953,016,2

013

135 =−=Φ−Φ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Φ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Φ=<≤ XP

Тоді

()

.000064,02,0154,0

=<=

Імовірність події А менша

від рівня значущості. Отже, гіпотеза про закон розподілу не від-

повідає значенням випадкової величини у випробуваннях.

Приклад 9

. Похибка спостереження Х при вимірюванні дов-

жини розподілена нормально з

мм. 4 і мм 5

Знайти ймові-

рність того, що виміряне значення відхилиться від істинного

більш ніж на 10 мм.

Розв’язання.

Згідно з умовою потрібно знайти

(

)

.10≥

Ви-

разимо цю ймовірність через ймовірність протилежної події:

()()

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Φ−=<<−−=<−=≥

510

11010110110

XPXPXP

()()

.1057,04999,03944,0175,325,11

510

=−−=Φ−Φ−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−

Φ+

Вправи для самостійного розв’язування

2.20.

Брак при виготовленні деталей становить у середньому

5 %. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання взятих деталей:

а) не виявиться жодної бракованої; б) буде дві браковані деталі.

2.21.

На регістр ЕОМ надходить команда щодо округлення

числа у більший чи менший бік до найближчого цілого числа.

Знайти ймовірність того, що при обробці шести чисел половину

буде округлено у більший , а половину — у менший бік.

2.22.

Робітник обслуговує 6 однотипних верстатів. Імовірність

того, що верстат потрібно обслуговувати протягом часу Т, дорів-

нює

Знайти ймовірність того, що за час Т:

а) потрібно буде обслуговувати 3 верстати;

б) кількість вимог на обслуговування за час Т буде від 2 до 5.

2.23.

В електромережу ввімкнено 4 прилади, потужність кож-

ного з них 660 Вт. Знайти ймовірність того, що мережу буде зне-

струмлено, якщо напруга в ній 220 В, запобіжник розрахований

на 10 А і ймовірность для кожного приладу бути ввімкненим ста-

новить 0,5.

2.24.

Імовірність відказу при випробуванні кожного приладу

дорівнює 0,2. Скільки приладів треба випробувати, щоб з імовір-

ністю не менш як 0,9 дістати не менш як 3 відкази?

2.25.

За один цикл автомат виготовляє 10 деталей. За скільки

циклів імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої де-

талі буде не меншою за 0,8, коли ймовірність того, що довільна

деталь бракована, становить 0,01?

2.26.

У процесі роботи ЕОМ час від часу виникають збої. Середня

кількість збоїв за добу дорівнює 3. Знайти ймовірності таких подій:

а) за дві доби не буде жодного збою;

б) за тиждень роботи буде не менш як 4 збої.

2.27.

Імовірність виготовлення бракованого свердла дорівнює

0,02. Свердла пакуються в коробки по 100 штук. Знайти ймовір-

ність того, що в коробці:

а) не буде бракованих свердел;

б) бракованих свердел буде не більш як три.

2.28.

У деякій місцевості на кожні 100 кавунів припадає в се-

редньому один, маса якого не менша за 10 кг. Знайти ймовірність

того, що в партії із 400 кавунів буде:

а) 3 кавуни масою не менш як 10 кг;

б) не менш ніж 2 такі кавуни.

2.29.

За певного типу зварювання в металі незалежно одна від

одної утворюються тріщини, в середньому по дві на зварне

з’єднання. Яка ймовірність того, що у зварному з’єднанні буде не

більш як дві тріщини?

2.30.

Партія виробів приймається, якщо дефектні деталі стано-

влять не більш як 2 %. Скільки деталей треба випробувати для

того, щоб партію, в якій 3 % дефектних деталей, не було прийня-

то з імовірністю P > 0,95, а партію, в якій 1 % дефектних деталей,

було прийнято з імовірністю не менш як 0,95?

2.31.

Верстат-автомат за нормального налагодження випускає

браковану деталь з імовірністю 0,02. Переналагодження викону-

ється після випуску першої бракованої деталі. Знайти математич-

не сподівання кількості деталей, виготовлених між двома перена-

лагодженнями.

2.32.

П’ять із шести космічних кораблів виводяться на орбіту

без екіпажу. Якщо всі п’ять запусків будуть успішними, то

останній корабель буде запущено з екіпажем. За якої ймовірності

успішного запуску корабля ймовірність невдалого шостого запу-

ску буде найбільшою? Знайти цю ймовірність.

2.33.

Для контролю партії, що містить 1000 виробів, з неї роб-

лять вибірку обсягом 50. Знайти ймовірність того, що у вибірці

не буде бракованих деталей, якщо в цій партії 4 вироби бракова-

ні. Зіставити точне значення цієї ймовірності з наближеним, здо-

бутим за формулою Пуассона.

2.34.

Із партії обсягом 500 валів привода взято 50 з метою кон-

тролю діаметра. Із попередніх досліджень відомо, що в серед-

ньому 2 % валів браковані. Яка ймовірність того, що серед 50 ви-

браних валів буде не більш як один бракований?

2.35.

Із партії, в якій 25 електронних ламп, вибрано для ви-

пробувань на довговічність 5 ламп. Партія приймається, якщо

вийде із ладу не більш як одна з випробуваних ламп. Яка ймо-

вірність того, що партію буде прийнято, якщо із 25 ламп 4 де-

фектні?

2.36.

Час відправлення міжміського автобуса рівномірно роз-

поділений на часовому проміжку від 0.00 до 20.00. Визначити

ймовірність того, що пасажир, який прибув на станцію о 16.00,

встигне на автобус.

2.37.

Шкала секундоміра має ціну поділки 0,2 с. Яка ймовір-

ність відлічити час за цим секундоміром із похибкою, більшою за

0,04 с, якщо відлік здійснюється з точністю до цілої поділки з

округленням у найближчий бік?

2.38.

Випадкова величина Х розподілена показниково. Яка з

подій більш ймовірна: випадкова величина набула значення, бі-

льшого чи меншого за своє математичне сподівання?

2.39.

Час безперервної роботи автоматичного верстата розпо-

діляється за показниковим законом. При якому значенні параме-

тра а з ймовірністю не менше 0,98 буде гарантована неперервна

робота верстата протягом 4 годин?

2.40.

Час між двома збоями ЕОМ розподіляється показниково

з параметром а. Щоб розв’язати деяку задачу, потрібна безвідка-

зна робота ЕОМ протягом часу

τ.

Якщо в цей період буде збій,

який виявиться наприкінці розв’язування задачі, то її доведеться

розв’язувати заново. Знайти закон розподілу Y — часу, за який

задачу буде розв’язано, і його математичне сподівання.

2.41.

Вантажі із залізничної станції вивозять автомобілями за

кільцевими маршрутами. Визначити вантажопідйомність автомо-

біля на маршруті МХ, якщо обсяг перевезень розподіляється за-

показниковим законом, коли

.25,0

Яка ймовірність того, що

всі вантажі буде вивезено? Як зміниться ця ймовірність, якщо

взяти вантажопідйомність автомобіля

(

)

XMXq

2.42.

Технічними умовами передбачено, що довжина заготівки

деякої деталі має бути між 24 і 25 см. Якщо довжина деталі роз-

поділяється нормально з

,cм0,4 і см 6,24

то яка частка за-

готівок матиме довжину, що виходить за межі, задані технічними

умовами?

2.43.

Визначити ймовірність того, що нормально розподілена

величина потрапляє у проміжок

[

)

скориставшись таблицями

функції

()

∫

−

=Φ

dtex

2.44.

Відхилення розміру деталі від номіналу — нормально

розподілена величина з нульовим математичним сподіванням

та дисперсією, що дорівнює 36. Скільки потрібно виготовити

деталей, аби з імовірністю не менш як 0,96 можна було ствер-

джувати, що серед них буде принаймні одна придатна, коли

допускаються відхилення розміру деталей від номіналу на

проміжку

[

)

4;2−

2.45.

Кульки для підшипників відбраковують таким способом.

Якщо кулька проходить через отвір з

але не проходить

через отвір з

то її розмір вважається допустимим. Діаметр

кульки — нормально розподілена величина з

Пере-

налагодження обладнання виконують, якщо частка браку пере-

вищує 10 %. Визначити допустимі межі для дисперсії.

2.46.

Знайти зв’язок між центральним абсолютним моментом

першого порядку нормально розподіленої величини та її середнім

квадратичним відхиленням.

2.47.

Випадкова величина розподілена нормально і має нульо-

ве математичне сподівання. Задано проміжок

[

)

який не міс-

тить початку координат. Визначити значення середнього квадра-

тичного відхилення, при якому ймовірність потрапляння

випадкової величини на заданий проміжок найбільша.

2.48.

Завод виготовляє кульки для підшипників. Діаметр куль-

ки — нормально розподілена величина з

.мкм 16 i 10

DXMX

Побудувати графік, що відбиває залежність між відхиленням і

ймовірністю того, що фактичні розміри не перевищать заданих

відхилень.

2.49.

Розмір деталі — нормально розподілена величина з

.10

=MX

Деталь вважається стандартною, якщо її відхилення від

математичного сподівання не перевищує 0,8. Побудувати графік

залежності між значеннями

і часткою (у відсотках) бракованих

деталей.

2.3. ФУНКЦІЇ ВИПАДКОВОГО АРГУМЕНТУ.

ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ТА ЇХ ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Важливою задачею в теорії ймовірностей є визначення за-

конів розподілу та числових характеристик функцій випадко-

вих аргументів, закони розподілу яких відомі. Нехай Х — дис-

кретна випадкова величина, яку задано табличним законом

розподілу.

…

Відомо, що

()

ϕ=

тоді закон розподілу Y має такий вигляд:

()

xϕ

(

)

xϕ

….

(

)

xϕ

…

Числові характеристики функції можна знайти за її законом

розподілу або за формулами:

() ()() ()

. ;

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ−ϕ=ϕ=

∑∑∑

===

iii

pxpxDYpxMY

Довільні моменти розподілу подаються аналогічними формулами:

() ( )()

∑

ϕ=ν

pxY

;

() ( )()

∑

−ϕ=µ

pMYxY

Якщо випадкові величини

задано законами розподілу:

…

і задано функцію

(

)

YXZ

то закон її розподілу визначається

так. Множина значень, що їх набуває Z, подається у вигляді:

(

)

{

}

jiij

yxz

,ψ=

mjni

,...2,1;,...,2,1

. При цьому

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

jijijiij

qpyYxXPyxzZP

ψ==

Нехай Х — неперервна випадкова величина, яку задано щіль-

ністю розподілу

()

Якщо

(

)

і ϕ — диференційована фу-

нкція, монотонна в області значень Х, то щільність розподілу цієї

функції подається у вигляді

(

)

(

)

(

)

(

)

yyfyf ψ

′

ψ=

де

— функ-

ція, обернена до ϕ. Якщо ϕ — не монотонна функція в області

зміни аргументу, то обернена функція неоднозначна і щільність

розподілу

()

визначається як сума стількох доданків, скільки

значень має обернена функція:

() ()()()

∑

′

ψ=

yyfyf

де

()

—

функції, обернені до ϕ.

Визначаючи числові характеристики функцій неперервних ар-

гументів, операцію підсумовування, виконувану для дискретних

величин, заміняють операцією інтегрування:

() ()

∫

∞

∞−

ϕ= ;

dxxfxMY

()()

∫

∞

∞−

−ϕ=

dxxfxDY

()()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∫

∞

∞−

dxxfx

Приклади розв’язання задач

Приклад 1

. Робітник обслуговує 4 верстати, які розміщено в

одну лінію на відстані а один від одного. Знайти закон розподілу

для випадкової величини Z — відстані, яку проходить робітник

між двома обслуговуваннями, вважаючи, що події — «робітник

перебуває біля будь-якого з верстатів» і «довільний верстат пот-

ребує обслуговування» — рівноможливі.

Розв’язання.

Розглянемо випадкові величини: Х — номер вер-

стата, біля якого перебуває робітник; Y — номер верстата, який

потребує обслуговування. Якщо верстати перенумерувати у тій

послідовності, в якій їх розміщено (1, 2, 3, 4), то закони розподілу

Х i Y наберуть такого вигляду:

1 2 3 4

0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 3 4

0,25 0,25 0,25 0,25

При цьому

YXaZ

−=

Складаючи закон розподілу Z, обчис-

лимо значення функції для всіх можливих комбінацій значень Х

і Y. Таких комбінацій буде 16. Імовірності для всіх цих комбіна-

цій однакові і дорівнюють

(за теоремою множення ймовір-

ностей).

0 a 2a 3a a 0 a 2a 2a a 0 a 3a 2a a 0

У таблиці значення z

повторюються. Складаємо нову табли-

цю, в якій такі значення запишемо один раз, а їхні ймовірності

додамо.

0 а 2а 3а

0,25 0,375 0,25 0,125

Приклад 2

. Кількість елементів ЕОМ, які виходять з ладу за

деякий проміжок часу, розподілена за законом Пуассона з пара-

метром а. Час ремонту машини залежить від кількості Х елемен-

тів, які вийшли із ладу, і визначається за формулою

(

)

eTY

γ−

−=

Знайти математичне сподівання часу ремонту і збитків,

пов’язаних із простоєм машини, якщо збитки пропорційні до

квадрата часу ремонту:

(

)

22 X

ekTkYS

γ−

−==

Розв’язання.

Випадкова величина Х має такий закон розподі-

лу:

()

mXP

−

m = 0, 1, …. Скориставшись формулою для

знаходження математичних сподівань функцій випадкових аргу-

ментів дістанемо:

()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−=

∑∑∑

γ−

∞

−

∞

−γ−

!!!

Tee

eTMY

(

)

(

)

(

)

γ−γ−

−−−

−=−=

eaaeaa

eTeeTe

()

() ()

() ( )

()

.21

112

γ−γ−

−−−−

γ−

∞

γ−

∞

−

∞

−λ−

+−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−=

=−=

∑∑∑

∑

eaea

eekT

ekT

ekTMS

Приклад 3

. Випадкову величину Х задано щільністю розподілу:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

.2 якщо ,0

;21 якщо,

10 якщо ,

0 якщо ,0

;х

Знайти щільність розподілу

(

)

.XYyf

якщо , =

Розв’язання.

Дослідимо задану функцію на монотонність:

,02 ,2 ==

′

xxy

х = 0. Отже, критична точка міститься на мережі

зміни Х. Функція монотонно зростає в області зміни аргументу х.

Тому можна застосувати формулу:

() ()()

(

)

yyfyf ψ

′

ψ=

де

() ()

yyyx =ψ

′

=ψ=

Щільність розподілу для Х має два відмінні від нуля аналітич-

ні вирази. Стільки ж виразів матиме і щільність розподілу Y.

Якщо

(

]

(

]

,1;0,1;0 ∈∈ yx

то

()

=xf

()

yf =

Якщо

(

]

(

]

,4;1,2;1 ∈∈ yx

то

()

xxf =

()

=yf

Звідси маємо:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

; y

4 якщо 0,

41 якщо ,

;10 якщо,

0 якщо ,0

Приклад 4

. Довести, що в результаті центрування та норму-

вання нормально розподіленої випадкової величини дістанемо

нормально розподілену випадкову величину з нульовим матема-

тичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Розв’язання.

Нехай випадкова величина Х має щільність роз-

поділу

()

;

−

πσ

exf

−

Отже, центрування і нормування полягає в лінійному перетво-

ренні випадкової величини. Лінійна функція завжди монотонна,

тому скористаємося наведеною щойно формулою:

() ()()

(

)

yyfyf ψ

′

ψ=

де

(

)

(

)

. ,

′

yayyx

Маємо

()

aay

eeyf

−

−+σ

−

πσ