Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

Розв’язання.

Подія А — «виготовлено нестандартну де-

таль». Маємо схему з n незалежними випробуваннями, в якій

()

.1,0

= pAP

Скористаємося формулою:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

εΦ≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ε<−

.49865,0 ;9973,02 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

εΦ=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

εΦ

За таблицями знаходимо

.900

===

; n

Визначимо кількість нестандартних деталей у партії за даних

умов, розв’язавши нерівність:

.m; ,

,; ,,

,; -,,

11763130

900

07003010

900

03003010

900

<<<<<−<<−

Отже, у партії із 900 деталей буде від 63 до 117 нестандартних

деталей.

Приклад 7

. Маємо три партії деталей. Перша складається з

9 стандартних і 3 нестандартних; друга — із 12 стандартних і 3

нестандартних; третя — із 18 стандартних і 9 нестандартних де-

талей. Із кожної партії навмання беруть по одній деталі. Знайти

ймовірність того, що в партії буде 0, 1, 2, 3 стандартні деталі.

Розв’язання.

Подія А — «поява стандартної деталі в кожному

випробуванні». Позначимо через

(

)

3,2,1

імовірності узяття

стандартної деталі із і-ої партії. Для обчислення ймовірностей

складемо твірну функцію:

() ( )

+++=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=+=ϕ

∏

zzzzzzqzpz

Отже,

() () () ()

3 ;

2 ;

1 ;

3333

==== PPPP

Вправи для самостійного розв’язування

1.64.

На кожні 30 штампованих виробів у середньому припа-

дає 6 виробів з дефектом. Знайти ймовірність того, що з 5 на-

вмання взятих виробів 3 виявляться без дефекту.

1.65.

Деталі 2-го сорту становлять 2/3 усіх деталей, які є в пар-

тії. Знайти ймовірність того, що з 4 навмання взятих деталей 3

виявляться 2-го сорту.

1.66.

Частка 3-го сорту становить у деякій масовій продукції у

середньому 20 %. Знайти ймовірність того, що з п’яти узятих

примірників продукції не менш як три будуть 3-го сорту.

1.67.

У партії, яка складається із виробів двох сортів, виробів 2-го

сорту в 1,5 раза більше, ніж 1-го. Знайти ймовірність того, що серед

трьох навмання взятих виробів принаймні один буде 1-го сорту.

1.68.

Імовірність виграшу облігації за весь період позики ста-

новить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події:

виграють дві облігації;

виграш випаде принаймні на одну облігацію;

виграють не більш як дві облігації.

1.69.

За один цикл автомат виготовляє 10 деталей. За скільки

циклів імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої де-

талі буде не менш як 0,8, якщо ймовірність виготовлення брако-

ваної деталі для автомата становить 0,01?

1.70.

Для забезпечення роботи на деякому будівельному об’єк-

ті автопідприємство має 6 автомобілів. Імовірність виходу кож-

ного автомобіля на лінію в першу зміну дорівнює 0,8. Знайти

ймовірність нормальної роботи автопідприємства, якщо для цьо-

го в першу зміну потрібно мати на лінії не менш як 4 автомобілі.

1.71.

Автомат штампує вироби 1-го сорту з імовірністю 0,6.

Скільки виробів має містити партія, щоб найімовірніша кількість

виробів 1-го сорту становила 55?

1.72.

Промтоварна база обслуговує 8 магазинів. Заявки на то-

вар на наступний день можуть надходити від кожного магазину з

імовірністю 0,6. Знайти найімовірнішу кількість заявок, які мо-

жуть надходити на базу щодня, а також імовірність надходження

такої кількості заявок.

1.73.

Знайти найімовірнішу кількість зупинок прядильного ве-

рстата протягом години роботи, якщо середня кількість зупинок

за кожні 12 хв дорівнює 4.

1.74.

Яку частку (у відсотках) виробів 1-го сорту має виробля-

ти автомат, щоб у партії із 100 навмання взятих виробів найімо-

вірніша кількість виробів 1-го сорту дорівнювала 80?

1.75.

Частка 2-го сорту деякої масової продукції в середньому

становить 20 %. Навмання взято 100 примірників цієї продукції.

Яка кількість виробів 2-го сорту в утвореній групі найімовірніша

і яка імовірність того, що в цій групі буде саме така кількість ви-

робів 2-го сорту?

1.76.

Частка заготівок із відхиленням від установленого стан-

дарту при обточуванні таких заготівок становить у середньому

0,11 усієї кількості обточених заготівок. Знайти ймовірність того,

що із 70 обточених заготівок 62 відповідають стандарту.

1.77.

Cтандартних деталей автомат штампує у 5 раз більше,

ніж нестандартних. Навмання вибрано 200 деталей. Знайти ймо-

вірність того, що серед них 30 деталей нестандартні.

1.78.

Знайти ймовірність зупинки 20 верстатів із 80 працюю-

чих, якщо ймовірність зупинки кожного верстата становить 0,8.

1.79.

Посівний фонд містить 92 % насіння 1-го сорту. Навман-

ня взято 150 зерен. Знайти ймовірність того, що серед них 140 зе-

рен 1-го сорту.

1.80.

Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Імовірність обри-

ву нитки на одному веретені протягом 1 хв дорівнює 0,005. Знай-

ти ймовірність того, що протягом 1 хв буде обрив нитки на двох

веретенах.

1.81.

До банку надійшло 5000 пачок грошових знаків. Імовір-

ність того, що пачку неправильно вкомплектовано, дорівнює

0,0004. Знайти ймовірність того, що серед одержаних пачок буде

не більш як одна неправильно укомплектована.

1.82.

Пристрій складається із 2000 елементів, які працюють

незалежно один від одного. Імовірність відказу кожного елемента

дорівнює 0,002. Знайти ймовірність відказу принаймні одного

елемента.

1.83.

Імовірність того, що під час сортування скляний виріб

буде розбито, дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що із

1500 виробів при сортуванні буде розбито 4.

1.84.

Деталі 1-го сорту становлять у середньому 2/3 усіх дета-

лей, що їх виготовляє верстат-автомат. Навмання взято 300 дета-

лей. Знайти ймовірність того, що серед них буде від 190 до 210 де-

талей 1-го сорту.

1.85.

Нестандартних виробів автомат штампує в середньому у

9 раз менше, ніж стандартних. Із продукції цього автомата на-

вмання взято 200 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них

від 170 до 185 стандартних виробів.

1.86.

У результаті автоматичного штампування заготівок ви-

ходить 10 % браку. Узято навмання 300 заготівок. Знайти ймо-

вірність того, що кількість бракованих заготівок відхилиться від

найімовірнішої кількості бракованих заготівок не більш ніж на

шість.

1.87.

Частка 1-го сорту в деякій продукції в середньому стано-

вить 80 %. Скільки примірників цієї продукції треба взяти, щоб з

імовірністю 0,9 можна було стверджувати, що в партії буде не

менш як 75 примірників 1-го сорту?

1.88.

Обстежується 500 проб руди. Імовірність промислового

вмісту металу в кожній пробі дорівнює 0,7. Знайти ймовірність

того, що кількість проб із промисловим вмістом металу буде в

межах від 300 до 370.

1.89.

Автоматичне штампування металевих клем для

з’єднання пластин дає в середньому 12 % відхилень від установ-

леного стандарту. Знайти ймовірність того, що в партії із 600 клем

відхилення відносної частоти появи нестандартних клем від імо-

вірності їх появи не перевищить 0,02.

1.90.

На кожні 30 виготовлених деталей припадає в середньо-

му 20 деталей 1-го сорту. Із продукції вибирається партія з 900

деталей. У яких межах може міститися відносна частота появи

деталі 1-го сорту, якщо відхилення її від імовірності потрібно га-

рантувати з імовірністю 0,95? Визначити також межі частоти для

деталей 1-го сорту.

1.91.

Проводяться n незалежних випробувань, в кожному з

яких деяка подія А настає зі сталою ймовірністю р = 0,8.

Знайти імовірність того, що в 625 випробуваннях відносна

частота відхилиться від імовірності не більш ніж на 0,03.

Скільки потрібно провести випробувань, щоб з імовірністю

0,9 гарантувати, що відхилення відносної частоти від імовірності

настання події А не перевищить 0,01?

У яких межах може міститися відносна частота настання

події А в 1000 випробуваннях, якщо відхилення відносної частоти

від імовірності настання події А в одному випробуванні потрібно

гарантувати з імовірністю 0,7?

1.92.

На трьох верстатах-автоматах виготовляються однакові

деталі. Перший верстат дає 5 % браку, другий — 7 %, третій —

9 %. Із продукції кожного верстата навмання взято по одній дета-

лі. Знайти ймовірність того, що серед них виявилось:

0, 1, 2, 3 придатних;

принаймні одна деталь придатна;

принаймні одна деталь бракована.

1.93.

Пристрій складається із 4 елементів, які працюють неза-

лежно. Імовірність відказу кожного з елементів протягом зміни

відповідно дорівнює 0,1, 0,2, 0,3, 0,4. Знайти ймовірність того, що

упродовж зміни не буде відказу жодного елемента; відкажуть 1,

2, 3, 4 елементи.

Розділ 2

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

2.1. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ І ЧИСЛОВІ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Випадковою називається величина, яка може набувати різних

числових значень. Строгіше означення випадкової величини

пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано

простір елементарних подій Ω. Однозначна числова функція

()

,Ω= fX

яку задано на просторі елементарних подій, називаєть-

ся випадковою величиною. Якщо простір Ω дискретний, то випа-

дкова величина дискретна. Неперервному простору елементар-

них подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми

ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть

задаватися множиною

значень, що їх набуває випадкова величи-

на, і ймовірностями цих значень.

Якщо

()

xXPp ==

то

∑

або, якщо величина набуває

зліченної множини значень, то

∑

∞

Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються

у табличній формі (подаються значення випадкової величини і

їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою об-

числюються ймовірності для заданих значень випадкової вели-

чини), графічній (у прямокутній системі координат задається на-

бір точок

()

;;

сполучивши точки відрізками прямих, дістане-

мо многокутник розподілу ймовірностей). Універсальним

способом задання закону розподілу ймовірностей є функція роз-

поділу

() ( )

.xXPxF <=

Для дискретних величин

(

)()

∑

xpxF

Функція розподілу — неспадна, неперервна зліва,

()

,0lim =

−∞→

()

.1lim =

∞→

Для довільних

(

)

(

)

(

)

.α

−

≤

FFXP

Якщо

— неперервна випадкова величина, то

(

)

— непе-

рервна і диференційована; її похідна

(

)

(

)

xFxf

′

називається

щільністю розподілу ймовірностей

. При цьому

(

)

— не-

від’ємна функція, для якої

()()

∫

=β<≤α ;dxxfXP

()

;1=

∫

+∞

∞−

dxxf

() ()

∫

∞−

dttfxF

Математичним сподіванням

, або середнім значенням,

МХ

випадкової величини, називається ряд

∑

(для дискретних ви-

падкових величин) і інтеграл

()

∫

∞

∞−

dxxxf

(для неперервних випад-

кових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне спо-

дівання має такі властивості:

C =

(

— стала);

CMX

CX =

;

(

)

;MYMXYXM

XY ⋅= якщо Х і Y — незалежні випадкові вели-

чини.

Дисперсія

(позначається через

) випадкової величини

визначається за формулою:

(

)

(

)

MXMXMXXMDX −=−=

Основні властивості дисперсії:

;0=D

;

DXCDCX =

(

)

,DYDXYXD

якщо випадкові величини незалежні.

Середнє квадратичне відхилення

(позначається літерою σ) є

квадратним коренем із дисперсії.

Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне спо-

дівання, то дістанемо центровану випадкову величину, матема-

тичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової вели-

чини на її середнє квадратичне відхилення називається

норму-

ванням

цієї випадкової величини.

Випадкова величина

−

∗

MXX

має нульове математичне

сподівання й одиничну дисперсію.

Початковий, центральний і абсолютний початковий мо-

менти порядку

величини Х визначають відповідно за такими

формулами:

(

)

. , ,

XMMXXMMX =α−=µ=υ

Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то іс-

нують усі моменти нижчих порядків.

Медіаною

()

випадкової величини є Х будь-який корінь рі-

вняння

()

.5,0=xF

Мода дискретної величини

(

)

— це таке її значення, імо-

вірність якого найбільша.

Модою неперервного розподілу

є значення випадкової вели-

чини, за якого щільність розподілу має максимум.

Асиметрія

випадкової величини визначається за формулою:

Ексцес

випадкової величини обчислюють за формулою:

−

Приклади розв’язування задач

Приклад 1

. Маємо 4 заготівки для виготовлення деталей.

Ймовірність виготовлення придатної деталі дорівнює 0,75. Знай-

ти закон розподілу випадкової величини

— кількість заготівок,

що їх буде використано для виготовлення придатної деталі. Знай-

ти

, i DXMX

а також імовірність того, що із цих заготівок буде

виготовлено стандартну деталь.

Розв’язання.

Подамо закон розподілу для випадкової величи-

ни

у табличній формі. Очевидно, що випадкова величина може

набувати значень 1, 2, 3, 4. Значення

= 1, буде тоді, коли з пер-

шої заготівки виготовлено стандартну деталь, а ймовірність цьо-

го дорівнює 0,75. Випадкова величина набуває значення 2, якщо з

першої заготівки виготовлено браковану деталь, а з другої —

придатну. За теоремою множення імовірностей ймовірність цієї

події

()

2 =⋅==

Аналогічно,

= 3, якщо деталі, вигото-

влені з першої та другої заготівок, браковані, а деталь, яку виго-

товлено з третьої заготівки — придатна.

()

=⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==XP

Нарешті,

= 4, якщо деталі, виготовлені з перших трьох заготі-

вок, браковані.

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

==XP

Запишемо закон розподілу:

1 2 3 4

()

0,75 0,1875 0,046875 0,15625

Легко перевірити, що сума ймовірностей у законі розподілу

дорівнює 1. Знайдемо математичне сподівання та дисперсію ви-

падкової величини за наведеними щойно формулами.

;

1 =⋅+⋅+⋅+⋅=MX

;

139

=⋅+⋅+⋅+⋅=MX

4096

1671

139

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=DX

Якщо подія

— «із чотирьох заготівок виготовлено одну

придатну деталь», то

()

256

255

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=AP

Приклад 2

. Задано функцію

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<+

≤

.4 якщо1,

;41 якщо,

1 якщо,0

x bxax

Довести, що можна дібрати такі значення

, i ba

при яких

()

буде функцією розподілу ймовірностей випадкової величини

Знайти

()

.32 <≤ XP

Розв’язання.

Щоб знайти

, i ba

скористаємося неперервністю

функції розподілу в точках

= 1 і

= 4. Дістанемо систему рівнянь:

⎩

⎨

⎧

.1416

⎩

⎨

⎧

−=

.1416

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=

.12

Отже,

()

xxxF −=

якщо

(

]

4;1∈x

Доведемо, що на цьому

проміжку функція монотонно зростає. Відшукуємо похідну фун-

кції:

()

−=

′

xxF

Похідна дорівнює нулю при

На про-

міжку

(

)

4;0 похідна функції

(

)

додатна, а значить, ця функція

зростає. Отже,

()

задає закон розподілу випадкової величини

Х. Обчислюємо ймовірність:

()()

)2(332 =⋅+⋅−⋅−⋅=−=<≤ FFXP

Приклад 3. Випадкову величину Х задано на інтервалі

()

4;a

зі щільністю розподілу

(

)

Axxf =

Знайти

, i Aa

якщо МХ = 0.

Розв’язання. Невідомі значення двох параметрів. Тому потрі-

бно скласти систему двох рівнянь, до яких вони входять. Скорис-

тавшись властивістю щільності розподілу і означенням матема-

тичного сподівання, дістанемо:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∫

dxAx

Другий інтеграл узято від непарної функції. Він може дорів-

нювати нулю, якщо

Очевидно, що

−

Із першого рів-

няння знаходимо А:

128

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Приклад 4. Графік щільності розподілу ймовірностей — три-

кутник АВС. Вершина В лежить на осі ординат, координати ін-

ших вершин А(–2; 0), С(4; 0). Знайти аналітичний вираз для

щільності розподілу ймовірностей, МХ,

,DX

(

)

xF і

(

)

.21 <≤

−

Розв’язання. Використаємо властивість щільності розподілу

ймовірностей

()

∫

∞

∞−

dxxf і геометричний зміст визначеного інте-

грала. Площа трикутника АВС дорівнює 1. Висоту трикутника

h = ОВ знайдемо за формулою:

;

S =

отже, 6h = 2,

За-

пишемо рівняння прямих у відрізках:

)(

−

xxf

;

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

)(

xxf

)(

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

Аналітичний вираз для щільності розподілу:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<−

≤<−+

−≤

. x

;x x

4 якщо ,0

40 якщо,4

02 якщо,2

;2 якщо ,0

Знайдемо математичне сподівання:

() ()

∫∫

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=−++=

xxdxxxdxxxMX

366

=−++−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

Для обчислення дисперсії скористаємося формулою

−=

()

MX− :

() ()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=−++=

−

∫∫

xxdxxxdxxxMX

=−+−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+ xx

Тоді

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=DX

Функцію розподілу

(

)

знайдемо за формулою

()

=xF

()

∫

∞−

dttf

Щільність розподілу має кілька аналітичних виразів.

Стільки ж аналітичних виразів матиме й функція розподілу.

Якщо

,x 2≤

то

()

.dtxF

00 =⋅=

∫

∞−