Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
101
Х
Y
О
4,54
4
4,5
D
(z)
S
Рис. 3.7
Х
Y
О
4,54
4
4,5
D(z)
Рис. 3.8
Якщо
()
5;5,4∈z
, то пряма
z
y
x
=
+
перетинає прямі
5,2=
x
5,2 i =y
. Область
(
)
zD
лежить нижче від прямої (рис. 3.9).
Х
Y
О
4,54
4
4,5
D(z)
Рис. 3.9
Знайдемо аналітичні вирази для
(
)
.zf
Якщо
,4
≤
z
то
()
0=zF
()
;0 i
=
zf
якщо
5,44
≤
< z
то
() ( )
()
;
4
1
,
2
2
2
∫∫∫∫
−−
==
xzz
zD
dydxdxdyyxfzF
()
;
4
4
4
1
2
2
−
==
∫
−
z
dyzf
z
а якщо 55,4
≤
<
z , то
(
)
(
)
()
=
=
∫∫
zD
dxdyyxfzF ,
()
()
.,1
\
∫∫
−=
zDS
dxdyyxf
Для того щоб зменшити кількість інтегралів, які потрібно об-
числювати, знайдемо ймовірність протилежної події і зінтегрує-
мо за множиною
(
)
zDS \ (на рис. 3.10 її не заштриховано):
102
() ()
.
4
5
4
1
;
4
1
1
5,2
5,2
5,25,2
5,2
z
dyzfdydxzF
zxzz
−
==−=
∫∫∫
−−−
Нарешті, якщо
(
)
(
)
.0 i 1 ,5 ==> zfzFz Запишемо щільність
розподілу:
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
−
≤<
−
≤
=
.5 якщо ,0
554 якщо ,
4
5
;544 якщо ,
4
4
;4 якщо 0,
z
;z,
z
,z
z
z
zf
Приклад 3
. Для підвищення надійності роботи системи парале-
льно приєднуються n елементів, тривалість функціонування яких —
випадкова величина з функцією розподілу
(
)
.xF Знайти закон роз-
поділу для випадкової величини — тривалості роботи системи.
Розв’язання.
Елементи з’єднано паралельно, тому тривалість
безвідказної роботи
{
}
.,...,,max
21 n
XXXZ =
Величина
i
X
— трива-
лість безвідказної роботи i-го елемента. Знайдемо функцію розпо-
ділу для випадкової величини Z. Вона набуває значень, менших від
z, якщо виконується добуток подій
(
)
(
)()
....
21
zXzXzX
n
<<< III
Імовірність добутку цих подій дорівнює добутку їхніх імовірностей:
(
)( )
(
)
(
)
(
)
(
)
=
<
<
<
=
<= zXzXzXPzZPzF
n
III ...
21
()()()
.
1
1
n
n
i
i
zFzXP =<=
∏
=
Щільність розподілу
(
)
zf
дістаємо, диференціюючи функцію
розподілу:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
zfzFnzf
n−
=
У формулі
()
(
)
zfzF
11
i
— відповідно функція і щільність роз-
поділу величин, які входять до системи.
Приклад 4
. Знайти закон розподілу для випадкової величини
Z — тривалості безвідказної роботи системи, в якій послідовно
103
з’єднано 4 елементи, час безвідказної роботи яких розподілено
показниково з параметром
.01,0
=
a
Знайти
(
)
.50≥ZP
Розв’язання.
Випадкова величина Z визначаться співвідно-
шенням:
{
}
.,,,min
4321
XXXXZ
=
Випадкова величина
i
X
— тривалість безвідказної роботи i-го
елемента,
.4,3,2,1=i
Функцію визначено так, бо вихід із ладу до-
вільного елемента виводить систему з робочого стану.
Розглянемо загальний випадок для функції
{
}
.,...,,min
21 n
XXXZ =
Функцію
() ( )
zZPzF <=
подамо через імовірність протилежної
події:
()
(
)
(
)
()()( )()
....1
1
21
zXzXzXP
zZPzZPzF
n
≥≥≥−=
=
≥
−
=
<
=
III
Застосуємо теорему множення ймовірностей, ураховуючи, що
() ()
(
)
.11 zFzXPzXP
iii
−=<−=≥
Тоді дістанемо:
()
−= 1zF
()()
∏
=
−−
n
i
i
zF
1
.1
У частинному випадку, якщо всі випадкові величини однаково
розподілені з функцією розподілу
(
)
xF
1
, то маємо:
()
=zF
()()
.11
1
n
zF−−= Диференціюємо функцію розподілу:
() ()()()
.1
1
1
1
zfzFnzf
n−
−=
Повернемося до нашої задачі. Оскільки
()
;1 ;4
1
ax
exFn
−
−==
0,01,=a
то
()
(
)
.0 ,4114
4
3
≥=+−=
−−−
zaeaeezf
azazaz
Виконаємо обчислення:
()() ()
=+=−=−=<−=≥
−−
∫∫
50
0
4
50
0
4
50
0
141150150
azaz
edzeadzzfZPZP
.13534,011
2200
≈=−+=
−−
ee
a
104
Вправи для самостійного розв’язування
3.23.
Знайти
(
)
YXZ ,ϕ=
і область зміни системи
(
)
,,YX
коли
задано:
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<−
≤<−
−≤
=
∫∫
∫∫
−
+
.z
,zdyyxfdx
zdxyxfdy
,z
zF
zx
z
yz
2 якщо 1,
20 якщо,,1
,02 якщо ,,
2 якщо ,0
0
2
0
2
z–
3.24.
Знайти
(
)
YXZ ,ϕ=
і область зміни системи
(
)
,,YX
якщо
задано:
()
() ()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≤
=
∫∫∫∫
+
−
∞
+
+
−
+
−
.zdyx,yfdxdyx,yfdx
z
zF
x
x
z
x
xz
z
z
1 якщо,–1
, 1 якщо,0
1
1
2
1
1
2
1
2
1
3.25.
Знайти
(
)
YXZ ,ϕ=
і область зміни системи
(
)
,,YX
коли
задано
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤<
≤
=
∫∫
∫∫
.z
z ,dxx,yfdy
,,zdyx,yfdx
, z
zF
z
y
zx
1 якщо ,1
,1250 якщо ,
2500 якщо ,
0 якщо ,0
41
0
0
4
0
3.26.
Випадкові величини
YX i
розподілені за такими зако-
нами:
()
,
x
exf
−
=
якщо
()
,ey, fx
y−
=> 0
якщо
.y 0>
Знайти закон
розподілу для випадкової величини
Y
X
Z =
і визначити
()
.51 <≤ ZP
3.27.
Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку
(0, 3]. Знайти закон розподілу для
.
2
YXZ +=
105
3.28.
Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку
(1, 3 ]. Знайти закон розподілу для
.
Y
X
X
Z
+
=
3.29.
Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку
(0, 2]. Знайти закон розподілу для
.
22
YXZ −=
3.30.
Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку
(1, 2]. Знайти закон розподілу для
.
2
X
Y
Z =
3.31.
Випадкові величини рівномірно розподілені на проміжку
(1, 2]. Знайти закон розподілу для
(
)
.ln YXZ +=
3.32.
Тріщини, які утворюються всередині довгих прямокут-
них пластин листового металу, можна розглядати як відрізки
прямої, довжина якої — випадкова величина
,X
рівномірно роз-
поділена на проміжку (0, l]. Вони розміщені в металі довільним
способом. Нехай φ — кут, який утворює відрізок прямої з пря-
мою, що перпендикулярна до сторін пластини. За появи тріщини
необхідно вирізати смугу, обмежену прямими, які перпендикуля-
рні до сторін пластини і дотикаються до обох кінців тріщини.
Знайти закон розподілу випадкової
величини
Z
— довжини кус-
ка, який вирізується.
3.33.
Для підвищення надійності роботи вузла приладу пара-
лельно під’єднано n однакових елементів, тривалість роботи яких
розподілена показниково з параметром
.
a
Знайти закон розподілу
випадкової величини Z — тривалості роботи приладу. Скільки
потрібно взяти елементів, щоб з
9,0>P
гарантувалася безперерв-
на робота приладу протягом 150 год, якщо
01,0
=
a
?
3.34.
В електричній мережі послідовно з’єднано 5 опорів.
Тривалість роботи кожного з них — випадкова величина Х зі
щільністю:
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.x
,xax
,x
xf
5 якщо 0,
50 якщо,
0 якщо ,0
Знайти закон розподілу для випадкової величини Z — трива-
лості безперервної роботи опорів.
3.35.
У разі профілактичного обслуговування обладнання май-
стер оглядає і за потреби ремонтує k верстатів. Відомо, що трива-
лість ремонту одного верстата — випадкова величина, розподі-
лена показниково з параметром
a
. Знайти закон розподілу
загальної тривалості ремонту.
106
3.36. Систему випадкових величин
(
)
YX
,
задано законом роз-
поділу:
Y
Х
0 1
–1 0,1 0,15
0 0,15 0,25
1 0,2 0,15
Знайти
.2 якщо ,
22
YXZDZ +=
3.37.
Систему випадкових величин
(
)
YX
,
рівномірно розподі-
лено в області, що являє собою багатокутник з вершинами
()
,0,4
A
()
,2,4
B
()
,2,0
C
()
.0,0
O
Знайти
(
)
.
XYD
3.38.
Тривалість безперервної роботи ЕОМ розподілено пока-
зниково з
,01,0
=
a
Тривалість ремонту розподілено рівномірно на
проміжку (0,2; 2]. Вартість виконання ремонту залежить від три-
валості ремонту і пов’язана з ним співвідношенням
.5,0
2
TXY =
У
цій формулі
Y
— витрати на ремонт;
X
— тривалість ремонту;
T
— тривалість безперервної роботи машини. Знайти математи-
чне сподівання витрат на ремонт за період 720 год.
107
Розділ 4
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ
ТА ТЕОРІЇ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
Теорія випадкових процесів — це розділ математичної науки,
який вивчає закономірності випадкових явищ у динаміці їхнього
розвитку.
4.1. ОЗНАЧЕННЯ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ
ТА ЙОГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Випадковим процесом
(
)
tX
називається процес, значення
якого за будь-якого значення аргументу t є випадковою вели-
чиною.
Реалізацією випадкового процесу називається детермінована
функція
()
tx
, на яку перетворюється випадковий процес
()
tX
внаслідок випробування, тобто його траєкторія.
Кілька реалізацій певного випадкового процесу зображено на
рис. 4.1. Нехай переріз цього процесу при даному t є непере-
рвною випадковою величиною. Тоді випадковий процес
()
tX
при
даному t визначається щільністю ймовірності
(
)
.,txϕ
Очевидно, що щільність імовірності
(
)
tx,ϕ
не є вичерпним за-
данням випадкового процесу
(
)
tX
, оскільки вона не виражає за-
лежності між його перерізами в різні моменти часу.
Випадковий процес
(
)
tX
являє собою сукупність усіх перерізів
за всіх можливих значень t, тому для його задання необхідно розг-
лядати багатовимірну випадкову величину
(
)
(
)()
(
)
,,...,,
21 n
tXtXtX
утворену з усіх перерізів цього процесу.
Таких перерізів нескінченно багато, але для задання випадко-
вого процесу вдається обмежитись порівняльно невеликою кіль-
кістю перерізів.
108
Х
О
t
t
Рис. 4.1
Випадковий процес має порядок п, якщо він повністю визна-
чається щільністю спільного розподілу
(
)
nn
tttxxx ,...,,;,...,,
2121
ϕ
п
довільних перерізів процесу, тобто щільністю п-вимірної випад-
кової величини
()
(
)
(
)()
,,...,,
21 n
tXtXtX
де
(
)
j
tX
— переріз випадко-
вого процесу
()
tX
у момент часу
.,...,2,1, njt
j
=
Випадковий процес може бути заданий числовими характе-
ристиками.
Математичним сподіванням випадкового процесу
()
tX
на-
зивається детермінована функція
(
)
,ta
x
яка за будь-якого значен-
ня змінної t дорівнює математичному сподіванню відповідного
перерізу випадкового процесу
(
)
tX
, тобто
(
)
(
)
[
]
.tXMta
x
=
Дисперсією випадкового процесу
(
)
tX
називається детерміно-
вана функція
()
tD
x
, яка за будь-якого значення змінної t дорівнює
дисперсії відповідного перерізу випадкового процесу
()
tX
, тобто
() ()
[]
.tXDtD
x
=
Середнім квадратичним відхиленням
(
)
t
x
σ
випадкового
процесу
()
tX
називається арифметичне значення квадратного ко-
реня з його дисперсії, тобто
(
)
(
)
.tDt
xx
=σ
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує
середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дис-
персія або середнє квадратичне відхилення — розкид реалізацій
відносно середньої траєкторії.
109
Кореляційною функцією випадкового процесу
(
)
tX
називаєть-
ся детермінована функція:
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
221121
, tatXtatXMttK
xxx
−−=
двох змінних
1
t
і
2
t
, яка для кожної пари змінних
1
t
і
2
t
дорівнює
коваріації відповідних перерізів
(
)
1
tX
і
(
)
2
tX
випадкового процесу.
Кореляційна функція
(
)
21
,ttK
x
характеризує не лише ступінь
близькості лінійної залежності між двома перерізами, а й розкид
цих перерізів відносно математичного сподівання
(
)
.ta
x
Тому розглядається також нормована кореляційна функція ви-
падкового процесу.
Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу
()
tX
називається функція
()
(
)
() ()
.
tt
,ttK
,tt
xx
x
x
21
21
21
ρ
σσ
=
Приклад. Випадковий процес визначається формулою
()
=tX
,ωcos t
X
=
де
Х — випадкова величина. Знайти основні характе-
ристики цього процесу, якщо
(
)
,axM
=
()
.
2
σ=XD
Розв’язання
. Згідно з властивостями математичного сподіван-
ня і дисперсії маємо:
() ()
[]
[
]
(
)
;ωcosωcosωcos taXtMtXMtXMta
x
=
=
=
=
() ()
[]
[
]
(
)
taXtDtXDtXDtD
x
ωcosωcosωcos
22
====
.
Знаходимо далі кореляційну функцію
(
)( )
(
)
[]
=
−
−
=
221121
ωcosωcosωcosωcos, tatXtatXMttK
x
(
)
(
)
[
]
()
=
⋅
=
−
−
⋅= XDttaXaXMtt
2121
ωcosωcosωcosωcos
,ωcosωcos
21
2
ttσ=
а також нормовану кореляційну функцію
()
()()
.1
ωcosωcosσ
ωcosωcosσ
ρ
21
21
2
21
≡=
tσt
tt
,tt
x
Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, пла-
вно чи стрибкоподібно змінюються стани системи, в якій вони від-
буваються, скінченна чи нескінченна множина цих станів. Серед
випадкових процесів особливе місце посідають марковські випадко-
ві процеси, що становлять основу теорії масового обслуговування.
110
4.2. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ
МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
На практиці часто доводиться стикатися із системами, призна-
ченими для багаторазового використання під час розв’язування
однотипних задач. Процеси, які при цьому відбуваються, нази-
вають
процесами обслуговування
, а відповідні системи — сис-
темами масового обслуговування (СМО).
Прикладами таких систем є телефонні системи, ремонтні май-
стерні, обчислювальні комплекси, каси, де продаються залізничні
чи авіаквитки, магазини, перукарні тощо.
Кожна МСО складається з певної кількості обслуговуваних
одиниць (пристроїв, пунктів, станцій), які називатимемо
канала-
ми
обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв’язку, робочі
точки, обчислювальні машини, продавці і т. п. За кількістю кана-
лів СМО поділяються на одно- та багатоканальні.
Заявки надходять до СМО звичайно не регулярно, а випадко-
во, створюючи так званий
випадковий потік заявок
(посилань)
.
Обслуговування заявок також триває протягом певного випадко-
вого часу. З огляду на випадковість потоку заявок і часу обслуго-
вування СМО завантажуються нерівномірно: у певні періоди на-
громаджується дуже багато заявок (вони або стають у чергу, або
залишають СМО не обслуговуваними), в інші періоди СМО пра-
цює з недовантаженням або простоює.
Предметом теорії масового обслуговування
є побудова ма-
тематичних моделей, що пов’язують задані умови роботи СМО з
показниками її ефективності, які описують здатність цієї системи
обробляти потоки заявок.
Показниками ефективності СМО є такі:
―
середня кількість заявок, що їх вона обслуговує за одиницю
часу;
―
середня кількість заявок у черзі;
―
середній час очікування обслуговування;
―
імовірність відмови (відказу) в обслуговуванні без очіку-
вання;
―
імовірність того, що кількість заявок у черзі перевищує пе-
вне значення тощо.
СМО поділяються на два основні класи:
СМО з відмовами і
СМО з очікуванням (чергою).
У СМО з відмовами заявка, яка надійшла в момент, коли всі
канали були зайняті, отримавши відмову, залишає СМО і в пода-
льшому процесі обслуговування не бере участі.