Теорія ймовірностей та математична статистика

Подождите немного. Документ загружается.

121

будуть цілими числами. Тоді

∑

∗

— умовні моменти

розподілу. Звичайні моменти розподілу пов’язані з умовними фор-

мулою

()

∗

∆=

hxh

Це дає змогу обчислювати всі числові характе-

ристики з допомогою умовних моментів розподілу:

∗

∆+= xhCx

()

(

)

∗∗

−∆= hhxs

тощо. Дисперсію часто обчислюють за фор-

мулою

()

xxs −=

Якщо розглядається вибірка із двовимірної сукупності

()

,,YX

то за великого її обсягу зручною формою подання даних є коре-

ляційна таблиця. Щоб побудувати її, області реалізацій за обома

змінними розбивають на інтервали. В такому разі, як правило,

. i yyxx

∆=∆∆=∆ Для перетинів відповідних інтервалів визна-

чають частоти

n Коли обчислюють числові характеристики,

то кожний інтервал характеризують його серединою. Крім серед-

ніх значень і вибіркових дисперсій для складових систе-

ми визначають статистичний кореляційний момент

∗

()

∑∑

−−=

ijji

nyyxx

і вибірковий коефіцієнт кореляції

⋅

∗

Побудувавши кореляційну таблицю з xx

∆=∆ і

∆=∆

, для обчислення числових характеристик можна викори-

стати умовні моменти розподілу. З цією метою виконують заміну

змінних

∆

−

∆

−

(

i CC — відповідно деякі зна-

чення

x і

Числові характеристики вибірки можна знайти за

формулами:

() ()

(

)

()

;s ,

x1 u

sxuuxuxCx ∆=−∆=∆+=

(

)

(

)

(

)

(

)

; ,

2 vy

syvvysvyCy ∆=−∆=∆+=

()

;

∗∗

∆∆=−∆∆=

uvxy

yKxvuvuyxK .

∗

Значення середніх величин обчислюють за відомими фор-

мулами.

122

Приклади розв’язування задач

Приклад 1

. У цеху встановлено 5 верстатів. Протягом 25

днів реєструвалась кількість верстатів, які не працювали. Здо-

буто такі значення: 0, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 1,

0, 1, 2, 1, 3, 5, 0. Побудувати статистичну функцію розподілу.

Знайти

max

()

(

)

xFxF

∗

−

, вважаючи, що виконується біноміаль-

ний закон розподілу з

Обчислити

. i

Порівняти знай-

дені значення з

X i

згідно з гіпотезою про закон розподілу,

а також знайти

Розв’язання.

На підставі вибіркових даних складемо статис-

тичний ряд:

0 1 2 3 4 5

Частоти 5 7 7 4 1 1

Запишемо статистичну функцію розподілу, скориставшись

формулою

()

(

)

∑

∗

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

∗

5 якщо ,1

54 якщо,

;43 якщо,

;32 якщо,

21 якщо,

;10 якщо ,

0 якщо ,0

Щоб визначити

() ()

xFxF

∗

−max

, знайдемо функцію розподілу

за біноміальним законом з

i 5

123

Обчислимо ймовірності:

() ()

ppCmXP

−

−==

()

;

243

0 ==XP

()

;

243

1 ==XP

()

;

243

2 ==XP

()

;

243

3 ==XP

()

;

243

4 ==XP

()

243

5 ==XP

Запишемо теоретичну функцію розподілу згідно з формулою

() ( )

∑

xpxF

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

.5 якщо ,1

;54 якщо,

243

242

;43 якщо,

243

232

;32 якщо,

243

192

;21 якщо,

243

112

;10 якщо,

243

;0 якщо ,0

Визначимо модуль максимальної різниці значень теоретичної

та

статистичної функцій розподілу:

() ()

=−

∗

xFxF

max

1215

11;

243

242

;

243

232

;

243

192

;

243

112

;

243

;00max =−−−−−−−=

Істотність знайденого відхилення буде оцінено пізніше, під

час перевірки статистичних гіпотез за критерієм Колмогорова.

Знайдемо числові характеристики вибіркової сукупності.

()

.68,15412147

=++++==

∑

124

Дисперсію визначимо за формулою

()

xxs −=

Знайдемо се-

реднє значення квадрата х:

()

.48,4251636287

=++++=x

Отже,

()

.6576,168,148,4

=−=s

Згідно з гіпотезою про закон розподілу теоретичні числові

характеристики

.11,1 ;67,1

≈

DXMX

Бачимо, що значення ма-

тематичного сподівання і вибіркового середнього різняться

мало, тоді як між теоретичною і вибірковою дисперсією різни-

ця значна.

Вибірковий розподіл має два значення з найбільшою часто-

тою, розподіл двомодальний, медіана розподілу

.2=

Розмах

варіації R = 5 – 0 = 5.

Приклад 2

. Із генеральної сукупності зроблено вибірку обся-

гом n = 32. Здобуто такі реалізації випадкової величини: 2,2; 7,1;

6,3; 3,9; 5,9; 5,6; 5,6; 4,7; 7,9; 3,2; 6,1; 5,5; 6,4; 6,0; 6,9; 4,7; 6,4; 6,9;

6,7; 7,9; 4,2; 6,7; 6,0; 9,2; 5,5; 6,5; 3,5; 4,9; 7,2; 4,9; 8,9; 5,7. Склас-

ти інтервальний ряд і побудувати гістограму. Запропонувати гі-

потезу про вигляд

()

у сукупності. За допомогою умовних мо-

ментів розподілу знайти

. ,As , ,

∗∗

Eksx

Розв’язання.

Для побудови інтервального ряду розбиваємо

область реалізацій на 7 інтервалів з однаковими довжинами інте-

рвалів:

()

(

)

;

minmax

−

=∆

2,22,9

−

=∆x

Частоти кожного

інтервалу знайдемо, визначивши для кожного значення інтервал.

Якщо значення

потрапляє на межу, то збільшуємо на 1 часто-

ту нижнього інтервалу.

Інтервал 2,2—3,2 3,2—4,2 4,2—5,2 5,2—6,2 6,2—7,2 7,2—8,2 8,2—9,2

Частота 2 3 4 9 10 2 2

Згідно зі знайденим рядом будуємо гістограму (рис. 5.1).

На підставі побудованої гістограми можна висунути гіпотезу

про нормальний закон розподілу в сукупності.

125

mm/n

2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8,2

9,2

Рис. 5.1

Для обчислення умовних моментів розподілу складемо табли-

цю, в якій запишемо середини інтервалів

1 ii

−

, їхні часто-

ти

і нові змінні

∆

−

Візьмемо С, що дорівнює

.7,5

У наступних стовпцях обчислені значення

, , , ,

432

iiiiiiii

nvnvnvnv

а в

останньому рядку таблиці — їхні суми.

2,7 2 –3 –6 18 –54 162

3,7 3 –2 –6 12 –24 48

4,7 4 –1 –4 4 –4 4

5,7 9 0 0 0 0 0

6,7 10 1 10 10 10 10

7,7 2 2 4 8 16 32

8,7 2 3 6 18 54 162

Сума 32 — 4 70 –2 418

Знайдемо умовні моменти розподілу від першого до четверто-

го порядків включно:

;125,0

===

∑

∗

;1875,2

===

∑

∗

;0625,0

−=

−

∑

∗

.0525,13

418

===

∑

∗

126

Визначимо числові характеристики за допомогою умовних

моментів розподілу:

()

;172,2125,01875,2

;825,51125,07,5

≈−=−∆=

=⋅+=∆+=

∗∗

∗

hhxs

xhCx

()

(

)

(

)

()

;332031,0125,02125,01875,2

0625,023

1123

−≈+⋅−

−−=+−∆=µ

∗∗∗∗∗

hhhhx

()

(

)

(

)

(

)

+⋅⋅+=−+−∆=µ

∗∗∗∗∗∗∗

125,00625,040625,13364

12134

hhhhhhx

()()

()

;1037,0

172,2

332031,0

;29809,13125,03125,01875,26

−≈−=

=≈−⋅+

∗

()

.1812,03

172,2

29809,13

−≈−=−

∗

Отже, асиметрія та ексцес близькі до нуля, чим підтвер-

джується припущення про нормальний закон розподілу в су-

купності.

Приклад 3

. Було виміряно чутливість відео- Х і звукового Y

каналів телеприймачів. Дані вимірювань наведено в таблиці.

X 5,8 1,2 4,8 1,8 0,9 2,2 5,3 3,6 4,4 3,0

Y 1,2 1,7 0,7 4,9 4,2 1,2 1,6 1,5 1,5 2,0

Х 3,6 5,7 4,2 4,0 4,1 5,8 5,5 4,2 3,2 3,3

Y 1,5 1,8 1,7 1,5 1,5 1,3 1,7 1,0 0,7 2,3

X 1,7 3,0 4,5 4,8 3,8 4,2 4,5 3,7 3,6 5,0

Y 3,5 1,4 0,9 0,8 1,8 1,8 1,4 1,5 2,7 1,2

Визначити числові характеристики вибіркової сукупності.

Розв’язання

. Складемо на основі наведених даних кореляцій-

ну таблицю. За кожною змінною область реалізацій розбивається

на 7 інтервалів:

{} {}

{

}

{

}

.6,0 ;9,4max ;7,0min ;7,0 ;8,5max ;9,0min =∆===∆== yyyxxx

iiii

127

0,7—1,3 1,3—1,9 1,9—2,5 2,5—3,1 3,1—3,7 3,7—4,3 4,3—4,9

0,9—1,6 1 1 2

1,6—2,3 1 1 1 3

2,3—3,0 1 1 1 2

3,0—3,7 1 3 1 1 6

3,7—4,4 6 7

4,4—5,1 4 1 5

5,1—6,1 2 3 5

9 15 2 1 1 1 1

Обчислюючи частоти

, розглядають пари значень

(

)

yx ,

і за

кожною змінною визначають інтервал, в який вони потрапляють,

та збільшують на 1 частоту

Якщо значення змінної потрапляє

на межу інтервалу, то збільшують частоту нижнього інтервалу.

Додаючи частоти

за рядками і стовпцями, дістанемо відпо-

відно

. i

Щоб знайти числові характеристики, перейдемо

до середин інтервалів за обома змінними і обчислимо змінні u та

v за формулами

. ;

∆

−

∆

−

При цьому

;05,14

.6,1

Перейдемо до нової таблиці.

–1 0 1 2 3 4 5

– 4 1 1 2

–3 1 1 1 3

–2 1 1 2

–1 1 3 1 1 6

0 1 6 7

1 4 1 5

2 2 3 5

9 15 2 1 1 1 1

128

Знайдемо середні значення величин

vu ,

, їхніх квадратів і до-

бутку.

∑

−=

++−−−−

== ;4,0

10564981

∑

;267,3

2056827321

;2333,0

543229

≈

+++++

≈

−

∑

;,nv

1672

251694291

≈

+++++

∑

.,nvu

ijji

6331

4421121593161

−≈

−−−−+−−−+−

∑∑

Відшукуємо числові характеристики сукупності:

;74,12333,06,06,1

;77,34,07,005,4

=⋅+=∆+=

⋅

−

∆

vyCy

uxCx

()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

;522,14,0267,37,0

222

≈−−=−∆= uuxs

()

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

()

≈⋅+−⋅=−∆∆=

≈−=−∆=

∗

2333,04,0633,16,07,0

;7604,02333,0167,26,0

222

vuuvyxK

vvys

.6012,0

112,2107,3

2333,04,0633,1

;6468,0 −≈

⋅

⋅+−

−

==−≈

∗

vuyx

vuuv

Вправи для самостійного розв’язування

5.1.

Кількість деталей, потрібних для ремонту обладнання на

тиждень, визначалася на підставі спостережень, здійснюваних

протягом 20 тижнів. У результаті було здобуто такі значення: 0,

1, 1, 1, 0, 0, 2, 3, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 5, 2, 3. Побудувати статис-

тичну функцію розподілу і знайти

() ()

,max xFxF

∗

−

вважаючи,

що кількість використовуваних деталей має розподіл Пуассона з

Обчислити

i sx

за вибірковими даними і зіставити їх зі

значеннями

X i

, згідно з висунутою гіпотезою про закон

розподілу у сукупності.

129

5.2.

Для оцінювання ймовірності настання події було проведе-

но 10 серій послідовних випробувань до першого успішного ви-

пробування. У результаті здобуто такі значення: 4, 3, 5, 3, 4, 4, 3,

5, 3, 4. Побудувати статистичну функцію розподілу і знайти

() ()

,max xFxF

∗

−

вважаючи, що справджується геометричний роз-

поділ з р = 0,25. Знайти

i sx

, а також

DXi

для відповідно-

го геометричного розподілу.

5.3.

У вимірювальному приладі установлено 5 однотипних

опорів. Під час експлуатації 15 приладів протягом року кількість

опорів, які довелося замінити, була такою: 1, 3, 2, 0, 4, 1, 5, 5, 5, 4,

3, 4, 2, 1, 2. Побудувати статистичну функцію розподілу. Знайти

() ()

,max xFxF

∗

−

вважаючи, що кількість замінених опорів має

розподіл Пуассона з

Знайти вибіркові середню величину та

дисперсію і зіставити їхні значення з числовими характеристика-

ми відповідного розподілу Пуассона.

5.4.

Для контролю якості продукції, що належить певній суку-

пності, було зроблено серію вибірок обсягом n = 20. У результаті

10 серій дістали такі значення кількості бракованих деталей: 1, 3,

2, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 1. Побудувати статистичну функцію розподілу і

знайти

() ()

,max xFxF

∗

−

наблизивши гіпергеометричний розподіл

розподілом Пуассона з

Знайти

i sx

, зіставивши їхні зна-

чення зі значенням

5.5.

Маємо дані про строк служби радіоламп (у тисячах го-

дин): 0,45; 0,21; 0,14; 0,15; 1,52; 0,1; 0,52; 1,59; 3,38; 2,25; 0,8;

1,26; 2,31; 0,84; 3,72; 2,11; 1,02; 4,2; 2,53; 0,78; 2,92; 0,71; 4,7;

3,02; 1,58; 4,12; 2,59; 0,88; 0,96; 1,76; 1,93; 4,9; 2,82; 1,14; 5,7;

1,21; 1,47; 3,52; 0,36; 0,64. Cкласти інтервальний ряд і побудувати

гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу в сукупності.

Знайти

i sx

5.6.

Із генеральної сукупності зроблено вибірку обсягом n =

= 30. Здобуто такі вибіркові значення: 4; 4,3; 5,68; 6,2; 5,64; 5,8;

4,25; 5,4; 5,3; 5,2; 4,55; 5,32; 6; 6,15; 4,56; 6,64; 6,5; 4,7; 6,8; 6,15;

5,6; 5,1; 4,2; 4,8; 6,9; 7; 4,9; 5; 5,25; 6,2. Скласти інтервальний ряд

і побудувати гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу в

сукупності. Обчислити

i sx

5.7.

У результаті свердління отворів тим самим свердлом та

вимірювання діаметрів дістали такі дані, у мм: 40,25; 40,29;

40,46; 40,33; 40,37; 40,27; 40,39; 40,34; 40,33; 40,35; 40,38; 40,32;

40,28; 40,41; 40,45; 40,39; 40,29;40,3; 40,44; 40,37; 40,41; 40,33;

40,35; 40,35; 40,35; 40, 40; 40, 40; 40,3; 40,28; 40,34; 40,45; 40,44.

130

Скласти інтервальний ряд і побудувати гістограму. Висунути гі-

потезу про закон розподілу сукупності. Знайти

. i

5.8.

У ВТК було виміряно глибину паза 40 плашок. Результати

вимірювання, мм: 2,41; 2,62; 2,73; 2,52; 2,54; 2,41; 2,81; 2,53; 2,64;

2,61; 2,72; 2,45; 2,52; 2,1; 2,64; 2,52; 2,5; 2,33; 2,24; 2,4; 2,72; 2,51;

2,4; 2,61; 2,42; 2,43; 2,65; 2,54; 2,35; 2,54; 2,62; 2,9; 2,75; 2,24;

2,65; 2,45; 2,53; 2,32; 2,24; 2,55. Скласти інтервальний ряд і побу-

дувати гістограму. Висунути гіпотезу про закон розподілу в су-

купності. Знайти вибіркове середнє, дисперсію, асиметрію і екс-

цес розподілу.

5.9.

Вимірявши вміст кремнію

у чавуні за різних темпера-

тур Х шлаку, дістали такі значення:

X 1330 1460 1335 1340 1340 1345 1405 1400 1395 1440 1445

Y 0,27 0,8 0,38 0,45 0,42 0,32 0,33 0,52 0,4 0,55 0,65

X 1450 1365 1410 1455 1415 1375 1380 1420 1470 1475 1425

Y 0,92 0,28 0,44 0,7 0,52 0,37 0,38 0,47 0,9 1,1 0,53

X 1385 1390 1430 1482 1340 1410 1420 1460 1470 1340 1350

Y 0,4 0,51 0,43 1,23 0,38 0,5 0,53 0,58 0,81 0,49 0,62

X 1410 1430 1415 1440 1340 1360 1365

Y 0,8 0,74 1,02 1,12 0,48 0,6 0,62

Визначити числові характеристики вибірки.

5.10.

Під час аналізу 40 проб руди дістали такі результати про

вміст свинцю Х і срібла

у відсотках:

X 1 1,3 27,3 5,3 10,9 34,6 1,4 16,8 5,9 29,8 1,3

Y 0,7 3,3 21,6 4,9 8,6 17,3 3,2 11,5 6,3 21,2 2,6

X 19,4 11,8 2,6 27,8 4,8 3,4 4,2 23,5 6,8 14,5 7,5

Y 17,2 10,7 3,4 23,1 3,6 2 5,8 22,4 9,7 13,2 6,7

X 4,7 24,3 18,7 4,6 14,8 9,3 32,6 8,6 8,8 21,4 13,7

Y 16,8 19,6 18,2 3,5 15,8 7,2 21,3 7,4 10,2 19,3 12,1

X 4,5 7,8 4,1 6,2 7,4 22,4 4,5

Y 3,1 22,3 3,6 5,8 7,3 19,5 3,6

Знайти числові характеристики вибірки.