Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
210
Рис. 132
211
Рис. 133
212
Рис. 134
213
Таблица 13
Номер
варианта
(рис. 132
- 134)
m
1
m
2
m
3
m
4
F
M
R
2
R
3
R
4
α
β
γ
кг кг кг кг Н Нм м м м
град град град
1
10 6 4 8 80 2 0,8 - 0,4 30 45 40
2
8 6 4 2 60 3 0,9 0,5 - 45 - 30
3
6 8 6 4 70 2 0,8 - 0,6 30 - 45
4
4 8 6 8 60 3 1,2 - 0,5 30 30 30
5
6 8 6 4 40 2 0,9 - 0,4 - - 45
6
4 6 4 6 50 3 1,2 - 0,3 - - 30
7
5 8 4 4 60 2 0,8 - 0,4 60 - 20
8
8 6 5 4 80 3 0,9 0,6 - 30 60 20
9
6 8 4 4 40 2 0,6 0,8 - - - 30
10
4 6 8 4 60 3 0,5 0,6 - 30 - 45
11
6 8 4 4 80 2 0,8 - - 45 - 30
12
8 10 4 6 60 3 1,2 - 0,6 30 30 20
13
6 8 4 5 40 2 0,8 - 0,5 30 - 45
14
4 8 4 6 60 3 0,9 - 0,4 45 60 30
15
8 8 4 6 80 2 1,2 0,6 - 30 - 20
16
10 8 4 5 60 3 1,0 - 0,6 30 - 30
17
8 10 6 4 80 2 0,9 0,5 - 45 -
18
6 8 4 6 40 3 1,2 - 0,4 30 - 30
19
8 10 4 8 60 2 0,8 - 0,5 30 - 20
20
6 8 6 4 80 2 0,6 0,8 - 30 - 45
21
10 6 4 6 80 3 0,8 - 0,6 30 45 30
22
8 10 6 4 60 2 0,9 0,6 - 45 60 30
23
6 8 4 6 60 3 1,2 0,4 0,6 45 - 20
24
8 10 6 4 80 2 0,8 - 0,4 - - 30
25
6 8 6 4 80 3 0,9 0,5 - - - 20
26
8 10 4 6 70 2 1,2 0,4 0,6 30 - 20
27
8 6 8 4 80 3 0,6 0,8 - - - 30
28
10 8 6 4 60 2 1,2 0,8 - 45 - 20
29
6 4 8 4 40 3 0,8 - 0,4 - - 30
30
8 6 10 4 60 2 0,8 - 0,4 - - 20
214
k
r - радиус-вектор k – ой точки.
Рис. 135
Для A
k
точки запишем основное уравнение динамики:
ei
kk k k
mFF
=
+a (1,)kn= ; (2)
где
k
a - вектор ускорения точки.
Но
2
2
k
k
dr
dt
=a , поэтому
22
22
()
k
kkk
dr d
mmr
dt dt
= .
Для системы материальных точек будем иметь n – уравнений (2).
Суммируем эти уравнения
111
nnn
ei
kk k k
kkk
mFF
===
=+
∑∑∑
a . (3)
Но
22
22
() ( )
k k kk kk
dd
mmrmr
dt dt
==
∑∑ ∑
a . Используя соотноше-
ние (1), можно записать
2
2
()
kk c c
d
mmrm
dt
==
∑
aa.
Кроме этого
1
n
ee
k
k
FR
=
=
∑
- главный вектор внешних сил;
215
1
n
ii
k
k
FR
=
=
∑
- главный вектор внутренних сил.
Но
0
i
R = , поэтому равенство (3) будет иметь вид
e
c
mR=a
; (4)
где
c
a - вектор ускорения центра масс механической системы.
Векторное равенство (4) называется теоремой о движении центра
масс механической системы.
Спроецируем (4) на оси декартовой системы координат xOyz,
получим
(5)
Система (5) характеризует дифференциальные уравнения дви-
жения центра масс механической системы.
1. Поступательное движение твердого тела
Абсолютно твердое тело – это система материальных точек,
расстояния между которыми остаются постоянными при любом его
кинематическом состоянии. При этом главный вектор внутренних
сил
0
i
R = .
При поступательном движении все точки тела имеют одинако-
вые скорости и ускорения. Такое же ускорение будет иметь центр
масс тела
c
a
. Поэтому дифференциальные уравнения (5) можно
применять для поступательного движения абсолютно твердого тела.
;
;
.
e
ckx
e
cky
e
ckz
mx F
my F
mz F
⎧
=
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎩
∑
∑
∑
216
2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Запишем теорему об изменении кинетического момента при вра-
щении тела (σ) вокруг неподвижной оси:
()
e
z
zk
dK
MF
dt
=
∑
;
где
zz
K
ω
=
I
- кинетический момент тела (σ) относительно не-
подвижной оси Oz;
()
e
zk
MF
∑
- сумма моментов всех внешних сил, действую-
щих на тело, относительно той же оси.
Если
ω
ϕ
=
, то
ε
ωϕ
==
,
z
z
dK
dt
ϕ
=
I
. С учетом этих соотно-
шений получаем дифференциальное уравнение при вращении те-
ла вокруг неподвижной оси:
. (6)
В уравнении (6) величина I
z
= const.
3. Плоское движение твердого тела
При плоском движении фигура (σ) перемещается поступательно
вместе с центром масс (точка C) и вращается вокруг центра масс
(рис. 136).
Рис. 136
()
e
zzk
MF
ϕ
=
∑
I
217
Запишем уравнения плоского движения:
x
c
= x
c
(t); y
c
= y
c
(t); z
c
= z
c
(t).
Действующие силы
{
}
12
,,
ee e
n
FF F… вызывают плоское движение фи-
гуры (σ).
Так как плоское движение состоит из поступательного и враща-
тельного движений, то нужно записать три дифференциальных
уравнения:
(7)
где m – масса фигуры (σ);
I
cz
– момент инерции фигуры относительно оси Cz, перпендику-
лярной плоскости чертежа.
Пример решения задачи
На рис. 137 представлена механическая система, состоящая из
четырех твердых тел, соединенных между собой при помощи не-
растяжимых нитей. Заданы
следующие величины: m
1
= 8 кг; m
2
= 10
кг; m
3
= 4 кг; m
4
= 6 кг – массы тел; F = 80 Н – сила, приложенная к
телу 1; f
1
= 0,2 – коэффициент трения скольжения между телом 1 и
поверхностью;
α
= 30
о
- угол наклона поверхности к горизонту;
γ = 20
о
– угол наклона силы F к траектории движения тела 1; M = 2
Нм – момент пары, приложенной к шкиву 2; r
2
= 1/2R
2
; R
2
= 0,8 м –
малый и большой радиусы шкива 2;
ρ
2
= 0,6 м – радиус инерции это-
го шкива; R
3
= 0,4 м; R
4
= 0,6 м – радиусы колеса 3 и цилиндра 4;
g = 9,8 м/с
2
. Цилиндр 4 катится по плоскости без скольжения.
Определить
ускорение тела 1 (a
1
).
;
;
();
e
ckx
e
cky
e
cz z k
mx F
my F
MF
ϕ
=
=
=
∑
∑
∑
I
218
Решение
Обозначим цифрами все нити в системе и найдем кинематиче-
ские соотношения между всеми телами системы, выразив их через
ускорение тела 1 –
a
1
.
22
11 3 1 13
12 2
,, 2,
3
3
RR
rr
τ
τ
τ
=====
a
aa a a aaa
a
;
угловое ускорение шкива
11
22 1
2
2,5
0, 4r
ϕε
=== =
aa
a
(с
-2
).
Рис. 137
Ускорение центра масс цилиндра 4
431
1
2
τ
=
=aaa;
угловое ускорение
41
44 1
4
1, 6 7
0, 6R
ϕε
== = =
aa
a
(с
-2
).
Ускорение центра масс колеса 3
31
2
τ
=aa
;
угловое ускорение
3
1
33 1
3
2
5
0, 4R
τ
ϕε
== = =
a
a
a
(с
-2
).
Для применения дифференциальных уравнений (5), (6) и (7) не-
обходимо разрезать нити и рассмотреть отдельно движение каждо-
го тела.
219
Тело 1
Схема движения тела 1 показана на рис. 138. На тело 1 дейст-
вуют силы: F = 80 Н; F
Тр
= N
1
⋅
f
1
– сила трения скольжения, которая
всегда направлена в обратную сторону от направления скорости
тела; P
1
= m
1
g = 8
⋅
9,8 = 78,4 Н – сила тяжести тела 1; N
1
– реакция
нормального давления
1
()
Тр
NF⊥ , T
5
– сила натяжения нити.
Рис. 138
Тело 1 находится в поступательном движении, поэтому применяем
дифференциальные уравнения (5):
1
1
11
11
;
.
e
kx
e
ky
x
F
my F
m =
=
∑
∑
Так как y
1
= const, то
1
0y =
, поэтому
11 5 1
11
cos sin ,
0cossin.
Тр
xF TF P
NP F
m
γ
α
αγ
=−−+
=− −
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
Из второго уравнения
11
cos sin 78,4 cos 30 80 sin 20 95,3 .
oo
NP F Н
αγ
=+= + =
По закону Кулона находим
11
95,3 0,2 19
Тр
FNf Н
=
=⋅≅.