Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
140
3) Определение ускорений всех точек и угловых ускорений всех
звеньев механизма (рис. 96).
Вычисляем ускорение точки
A, которая перемещается по окруж-
ности радиуса
1
20,42,4Rr м
ρ
=+=+ = .
n
AAA
τ
=+aaa, ()
n
AA
τ
⊥aa.
Модуль
22
2
2
1, 6 7 /
2, 4
n
A
A
V
мс
ρ
== ≅a .
Тогда
22 22 2
() () 1,67 1,8 2,46/
n
AAA
мс
τ
=+=+≅aaa .
Определяем угол
m
наклона вектора
A
a к вертикали.
1, 8
1,078
1, 6 7
A
n
A
tg
τ
µ
== =
a
a
.
47,2
o
µ
= ,
2
2, 46 /
A
мс=a .
Угловое ускорение звена
1 определим по формуле
2
1
1
1, 8
4,5
0, 4
A
с
r
τ
ε
−
== =
a
.
2
1
4,5с
ε
−
= .
Рис. 96
Для определения ускорения точки C за полюс выбираем точку A
и записываем векторное равенство в следующем виде:
141
/
/
n
CACACA
τ
=+aa+a a
;
– – + + + + + +
где
22 2
/11
51,230/
n
CA
R мс
ω
=⋅=⋅=a
;
2
/11
4,5 1, 2 5, 4 /
CA
R мс
τ
ε
=⋅ = ⋅ =a
.
Все три вектора показываем в точке
C, а затем векторное равен-
ство проецируем на оси
xCy.
x:
/
sin
n
Cx C A A
µ
=aa-a
;
y:
/
cos
Cy C A A
τ
µ
=+aa a .
Тогда
2
30 2,46 sin47,1 28,2 /
o
Cx
мс=− ⋅ ≅a ;
2
5,4 2,46cos47,1 7,1 /
o
Cy
мс=+ ≅a .
22 2 2 2
28, 2 7,1 29,1 /
CCxCy
мс=+= +≅aaa .
2
29,1 /
C
мс=a
.
Направление вектора
C
a
: вычисляем косинус угла наклона этого
вектора к оси
Cx.
28,2
cos( ; ) 0,969
29,1
Cx
C
C
∧
== =
a
ai
a
.
(
;
)
14,3
o
C
∠=ia
.
Запишем векторное равенство для определения ускорения точки
B, (полюс – точка A).
/
/
n
BABABA
τ
=+ +aaa a,
– – + + + + + +
где
22 2
/11
50,410/
n
BA
r мс
ω
=⋅=⋅ =a ,
2
/11
4,5 0, 4 1, 8 /
BA
r мс
τ
ε
=⋅= ⋅ =a .
Проецируем векторное равенство на оси
x
1
By
1
, получим:
x
1
:
1
/
sin
n
Bx B A A
µ
=+⋅aa a ;
y
1
:
1
/
cos
By B A A
τ
µ
=aa- a .
Тогда
1
2
10 2,46sin47,1 11,8 /
o
Bx
мс=+ ≅a ;
142
1
2
1,8 2,46cos47,1 0,13 /
o
By
мс=− ≅a .
Ускорение точки
B
11
22 2 2 2
11,8 0,13 11,8 /
BBxBy
мс=+= + ≅aaa
.
2
11,8 /
B
мс=a
.
Косинус угла наклона
B
a к оси
1
Bx .
1
11,8
cos 1
11,8
Bx
B
α
==≅
a
a
; 0
α
=
.
Для определения ускорения точки
D, за полюс выбираем точку B
и записываем векторное равенство в следующем виде:
/
/
n
DBDBDB
τ
=+ +aaa a,
– + + + + + – +
где
22 2
/22
1, 0 5 3 3 , 3 /
n
DB
мс
ω
=⋅= ⋅=al .
В точке
D показываем четыре вектора ускорений и проецируем
векторное равенство на оси
x
2
Dy
2
.
x
2
:
/
cos30
on
DBDB
=+aaa;
y
2
:
/
sin30
o
DDB
τ
=aa.
Из первого уравнения находим
D
a .
2
1
(11,8 3,3) 17, 4 /
cos30
D
o
мс=+≅a .
2
17,4 /
D
мс=a .
Из второго уравнения вычисляем
/
DB
τ
a .
2
/
17,4 sin30 8,7 /
o
DB
мс
τ
=⋅ =a .
Но
/22DB
τ
ε
=⋅al, откуда
2
/
2
2
8,7
2, 9
3
DB
с
τ
ε
−
===
a
l
.
2
2
2, 9с
ε
−
= .
Все полученные результаты сводим в таблицу 9.
Таблица 9
v
B
v
C
v
D
w
1
w
2
a
A
a
B
a
C
a
D
e
1
e
2
м/с м/с м/с с
-1
с
-1
м/с
2
м/с
2
м/с
2
м/с
2
с
-2
с
-2
2,83 6,32 2,31 5 1,05 2,46 11,8 29,1 17,4 4,5 2,9
143
Задача К.4. Сложное движение точки
В вариантах (рис. 98 – 100), при известном законе переносного
вращения тела (σ)
ϕ
e
=
ϕ
e
(t) и уравнении относительного движения
точки S
r
= S
r
(t), для момента времени t
1
, определить модуль и на-
правление вектора абсолютной скорости (
V ) и абсолютного ускоре-
ния (
a ) точки M.
Необходимые данные для вычислений приведены в таблице 10.
1. Сложное движение точки
На рис. 97 изображен общий случай движения тела (σ), который
состоит из поступательного движения вместе с полюсом
A и мгно-
венного вращения вокруг оси AΩ , на которой лежит вектор угловой
скорости
e
ω
. Ось AΩ называется мгновенной осью вращения.
Рис. 97
По собственной траектории N
1
N
2
, принадлежащей телу (σ), переме-
щается точка
M. Эта кривая N
1
N
2
называется относительной тра-
екторией
точки M. С телом (σ) связаны оси координат
ξ
A
ηχ
, кото-
рые перемещаются в пространстве вместе с телом. Система
144
Рис. 98
145
Рис. 99
146
Рис. 100
147
Таблица 10
Исходные данные
Номер
вари-
анта
(рис.
98-100
)
Уравнение
вращения
тела 1
ϕ
=
ϕ
(t), рад
Уравнение относи-
тельного движения
точки
OM = S = S(t), cм
t
1
,
с
b,
cм
R,
cм
α,
град.
1
2t
3
– t
2
6sin(π t/4)
2/3 8 – –
2
t + t
2
4 +4sin(π t/6)
1 – – –
3
4t – t
2
10
π
cos(
π
t/3)
1 10 20 –
4
t
2
+ t
10 sin(
π
t/6)
1 – 20 –
5
2t
2
– t
8 cos(
π
t/3)
1 10 – –
6
5t – 2t
2
(15/8)
π
t
3
2 10 30 –
7
2t + 0,5t
2
10t
3
1 10 – –
8
3t
2
– 3t
36
π
t
2
1/3 – 16 –
9
4t – 2t
2
3 + 14sin(
π
t)
1/4 – – 60
10
0,6t
2
10 sin(
π
t/6)
1 – – 60
11
t – 0,5t
2
20 sin(
π
t/3)
1/2 20 – –
12
0,5t
2
8t
3
+ 2t 1
4
√
5
– –
13
t – t
2
10t + t
3
2 – – 30
14
3t – 0,5t
2
40
π
cos(
π
t/6)
2 – 30 –
15
t + t
2
30 cos(
π
t/6)
2 – – –
16
0,2t
3
+ t
5
√
2 (t
2
+ t)
2 60 – 45
17
t + t
2
30
π
cos(
π
t/3)
1 – 30 –
18
2t – 4t
2
25
π
(t + t
2
)
1/2 – 25 –
19
t + 1,5t
2
30
π
t
2
1/3 – 10 –
20
4t – 2t
2
10
π
sin(
π
t/3)
1/2 – 30 –
21
2t – 0,25t
2
3t
2
+ 4t 2 – – 30
22
2t – 0,3t
2
75
π
(0,1t + 0,3t
2
)
1 – 30 –
23
0,5 t
2
20
π
cos(
π
t/3)
1 R/2 40 –
24
3t – t
2
15 sin(
π
t/3)
1 – – –
25
– 2t
2
8 cos(
π
t/3)
1 – – 45
26
1 – 0,5t
3
10
π
cos(
π
t)
1/3 – 15 –
27
t
3
– 8t 6(t + 0,5t
2
) 2 – – 30
28
2t
2
– 5t
2,5
π
t
2
2 – 30 –
29
0,6t
2
6
√
6 sin(
π
t/4)
4 30 – 30
30
2t
2
– 3t (5/2) t
3
2 – 30 30
148
координат
ξ
A
ηχ
называется неинерциальной системой отсчета (т.е.
подвижной). Орты этих осей
1
e ,
2
e ,
3
e , как векторы, являются функ-
циями времени
123
1;ee e===
11
()eet=
;
22
()eet=
;
33
()eet= .
Неподвижная система отсчета xOyz называется инерциальной сис-
темой отсчета, которая связана с Землей. Орты ее осей
,,ijk
- еди-
ничные векторы, которые не меняются по модулю и направлениям.
Движение точки
M по своей траектории N
1
N
2
, принадлежащей
телу (σ), относительно подвижной системы отсчета
ξ
A
ηχ
, называет-
ся
относительным движением. В этом виде движения векторам
скорости и ускорения присваивается индекс
r:
r
v - относительная
скорость;
r
a
- относительное ускорение.
Движение тела (σ) вместе с точкой
M (движение подвижной сис-
темы отсчета
ξ
A
ηχ
) называется переносным движением, и кинема-
тическим характеристикам присваивается индекс
e:
e
v
- переносная
скорость;
e
a - переносное ускорение.
Движение точки
M относительно инерциальной системы отсчета
xOyz называется абсолютным движением точки. Следовательно,
абсолютное движение точки
M состоит из совокупности переносного
и относительного движений.
Переносное движение тела (σ) может быть произвольным: посту-
пательным, вращательным, плоским и т.д., а относительная траек-
тория точки
M – прямой или кривой.
2. Формула Бура
1
Рассмотрим радиус-вектор R (рис. 97) в подвижной системе
координат
ξ
A
ηχ
. Разложим его по ортам осей.
1
Бур Жак Эдмон Эмиль (5.1832 – 8.3.1866). Французский математик и механик.
Написал “Трактат по кинематике” (1865).
149
12 3
Re e e
ξη χ
=⋅ +⋅ +⋅ .
Продифференцируем левую и правую часть равенства по времени
2
3
1
12 3
de
de de
dR
ee e
dt dt dt dt
ξη χ ξ η χ
=⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅
.
Из рисунка видно, что
1
1
de
dt
v
=
,
2
2
de
dt
v
=
,
3
3
de
dt
v
=
- векторы скоро-
стей точек на конце ортов
1
e
,
2
e
и
3
e при вращательном движении
тела (σ) вокруг полюса
A. Используя формулу Эйлера ( rv
ω
=×),
можно записать:
1
1
1e
de
e
dt
v
ω
==×;
2
2
2e
de
e
dt
v
ω
=
=×;
3
3
3e
de
e
dt
v
ω
=
=×.
Тогда
12 3 12 3
()()
ee
dR
ee e ee e
dt
ξη χ ωωξη χ
= ⋅ +⋅ +⋅ + + × ⋅ +⋅ +⋅
.
Величину
12 3
()
e
dR
ee e
dt
ξη χ ω
⋅+⋅+⋅+ =
- называют локальной
производной радиус-вектора
R (производной относительно под-
вижной системы отсчета);
dR
x
iyjzk
dt
=
⋅+⋅+⋅
- абсолютная
производная того же вектора (производная относительно неподвиж-
ной системы отсчета).
Окончательно можно записать
. (1)
Это равенство называют формулой Бура.
dR dR
R
e
dt dt
ω
=
+×