Теоретическая механика - теория, задания и примеры решения задач
Подождите немного. Документ загружается.
130
Рис. 90
Пример решения задачи К 3.1
На рис. 91 показана схема плоского механизма.
Исходные данные задачи:
ω
1
= 1,8 c
-1
; ε
1
= 1,4 c
-2
; l
1
= 1,5 м;
AB = 3 м; BC = 2 м.
Для заданного положения механизма требуется определить ско-
рости и ускорения точек
A, B, и C, а также угловую скорость и угло-
вое ускорение звена 2.
Рис. 91
Решение
1) Описание видов движения каждого звена, входящего в плоский
механизм.
131
Звено 1 (кривошип), ведущее звено, совершает вращение вокруг
неподвижной точки
О.
Звено
2 совершает плоское движение, при этом точка A этого
звена перемещается по окружности, радиус которой равен
l
1
, а точ-
ка B – по горизонтальной прямой.
2) Определение скоростей точек механизма способом векторного
сложения.
Расчет плоского механизма всегда начинаем от ведущего звена
1
(рис. 92).
Рис. 92
Скорость точки A, принадлежащей кривошипу 1, определяем по
формуле
11A
v 1,8 1,5 = 2,7
ω
=⋅= ⋅l м/с.
Вектор
A
V
будет перпендикулярен звену 1 и направлен в сторону,
как показывает
ω
1
.
Для вычисления скорости точки
В, направление которой мы зна-
ем, запишем векторное равенство, приняв за полюс точку
A.
/
BABA
vvv
=
+ . ()
B/A
vAB
⊥
.
– + + + – +
132
В точке B показываем три вектора
B
v,
A
v и
B/A
v .
Через точку
B проводим оси координат xBy и на эти оси проеци-
руем векторное равенство.
x:
oo
BA B/A
v = v sin15 + v cos60 ;
y:
oo
AB/A
0 =V cos15 -V sin60 .
Из второго уравнения находим
o
B/A A
o
cos15 0,966
v=v =2,7 3,01м/с.
0,866
sin60
≅
При этом
B/A 2
v= AB,
ω
⋅ откуда
-1
B/A
2
v3,01
== 1с .
AB 3
ω
≅
-1
2
=1с .
ω
Из первого уравнения находим
V
B
.
oo
B
= 2,7 sin15 + 3,01 cos60 2,2м/сv ⋅⋅≅
B
=2,2м/с.v
На схеме показываем
2
ω
около полюса – точки A и направляем в
сторону, как указывает
B/A
v .
Для вычисления скорости точки
C за полюс можно принять точку
B и записать векторное уравнение
/
CBCB
vvv
=
+ (
C/B
BCv ⊥ ).
– – + + + +
Вычислим модуль скорости
C/B
v
.
C/B 2
=BC=12=2м/с.v
ω
⋅
⋅
В точке
C покажем векторы
B
v и
C/B
v .
Через точку
C проводим оси x
1
C
y
1
и на эти оси проецируем вектор-
ное равенство.
1
x
:
1
o
Cx B C/B
=+ cos30;vvv
1
y:
1
o
Cy C/B
=sin30.vv
133
Находим проекции скорости точки
C.
1
1
o
Cx
o
Cy
= 2,2 + 2 cos30 = 3,93 м/с;
= 2 sin30 =1м/с.
v
v
⋅
⋅
Тогда скорость
11
22 2
CCxCy
C
= + = 1+ 3,93 4,06м/с.
4,06м/с.
vvv
v
≅
=
3) Определение скоростей точек при помощи мгновенного центра
скоростей (МЦС).
При известной скорости
V
A
= 2,7 м/с находим МЦС для звена 2.
Для этого восстанавливаем перпендикуляры к вектору
A
v и на-
правлению скорости точки
B, тогда их пересечение (т. P
2
) дает МЦС
звена 2.
Запишем пропорцию
AB
22
=,
AP BP
vv
откуда
2
BA
2
BP
=.
AP
vv
Для определения BP
2
и AP
2
в треугольнике ABP
2
применяем
теорему синусов.
22
ooo
AB BP AP
==.
sin75 sin45 sin60
Тогда
oo
2
oo
sin45 sin45
BP = AB = 3 2,2м;
sin75 sin75
≅
o
2
o
2
BP sin45
= = 0,816;
AP
sin60
o
2
o
sin60
AP = AB = 2,69м;
sin75
B
= 0,816 2,7 = 2,2м/с;v ⋅
B
=2,2м/с.v
При этом
-1
B
2
2
2,2
===1с ;
BP 2,2
v
ω
-1
2
=1с .
ω
МЦС (точку P
2
) соединяем с точкой C и перпендикулярно CP
2
показываем вектор скорости
C
v
в сторону
2
ω
.
134
Тогда
C2 2
=CPv
ω
⋅ .
Введем угол =CAB.
α
∠
BC 2
tg = = ;
AB 3
α
o
= 33,7 .
α
Тогда
ooo
CAB = 45 + 33,7 =78,7 .∠
Определим
2222
AC = AB + BC = 3 + 2 3,6м.≅
По теореме косинусов вычисляем
2
CP .
22 o
222
CP = AC + AP - 2AC AP cos78,7 =⋅
22 o
= 3,6 + 2,69 - 2 3,6 2,69 cos78,7 4,05м⋅⋅ ⋅ ≅ .
Тогда
C2 2
= CP =1 4,05 = 4,05м/сv
ω
⋅⋅
;
C
=4,05м/с.v
Погрешность по сравнению с первым способом расчета составляет
∆ %
4,06 - 4,05
= 100
4,06
⋅ % ≅ 0,25%.
4) Определение ускорений точек A, B, C и углового ускорения
звена 2.
При определении ускорений расчет также начинаем от ведущего
звена 1 (рис. 93).
Рис. 93
135
Ускорение точки
A, которая перемещается по окружности, будет
,
n
AAA
τ
=+aaa ().
n
AA
τ
⊥aa
2
11
n2 2
A
1,8 1,5 = 4,86м/с ,
ω
==⋅al
11
2
A
1,4 1,5 = 2,1м/с .
τ
ε
==⋅al
Тогда
()
n2 2 2 2 2
AA A
= ( ) = 4,86 + 2,1 5,3м/с .+≅
τ
aa a
Вектор
n
A
a направляем вдоль кривошипа 1 к оси вращения (т. О),
а вектор
A
a
τ
– перпендикулярно кривошипу в сторону
1
ε
.
Вычисляем угол наклона вектора
A
a к кривошипу 1.
A
n
A
2,1
tg = = = 0,4321,
4,86
τ
µ
a
a
.
o
23,4
µ
≅
Запишем векторное равенство для вычисления ускорения точки
B.
,
n
B
n
AAB/AB/A
τ
τ
=++ +aaaa a ().
B/A
AB
τ
⊥a
– + + + + + + + – +
Определим модуль ускорения
n
B/A
a .
n2 2
2
B/A
AB =1 3 = 3м/с .
ω
=⋅ ⋅a
Все пять векторов показываем в точке B.
Проецируем векторное равенство на оси
xBy.
x:
n
B/A B/A
no o o o
BA A
cos15 sin15 cos30 sin30 ;
τ
τ
=+−−aa a a a
y:
n
B/A B/A
no o o o
AA
0 = sin15 cos15 sin30 cos30 .
τ
τ
−+ −aa a a
Из второго уравнения полученной системы определим
/BA
τ
a .
2
/
1
(4,86 sin15 3 sin30 2,1 cos15 ) 0,84 /
cos30
oo o
BA
o
мс
τ
=⋅+⋅−⋅≈a
Но
/2BA
AB
τ
ε
=⋅a , откуда
2
/
2
0,84
0, 28
3
BA
с
AB
τ
ε
−
===
a
.
136
2
2
0, 28с
ε
−
= .
На схеме рис. 93
2
ε
показываем относительно полюса A в сторону
направления вектора
/BA
τ
a .
Ускорение точки
B
2
4,86 cos15 2,1 sin15 3 cos30 0,84 sin30 2,2 /
ooo o
B
мс=⋅ +⋅ −⋅ −⋅ =a
2
2, 2 /
B
мс=a .
Для вычисления ускорения точки
C , за полюс принимаем точку B
и записываем векторное равенство
,
CB
C/B C/B
τ
=+ +
n
aaa a
(
C/B
BC
)
τ
⊥a
.
– – + + + + + +
Определим модуль векторов
C/B
n
a и
C/B
τ
a
C/B
22
2
BC =1 2 = 2 м/с
ω
=⋅ ⋅
n
a
,
2
C/B
2
BC=0,28 2=0,56 м/с
τ
ε
=⋅ ⋅a .
В точке
C показываем три вектора -
B
a ,
C/B
n
a ,
C/B
τ
a . Вектор
C/B
n
a на-
правляем к полюсу (точке
B), а вектор
C/B
τ
a - перпендикулярно BC в
сторону
2
ε
.
Векторное равенство проецируем на оси координат
x
1
Cy
1
.
x
1
:
1
no o
Cx B C/B C/B
sin30 cos30
τ
=+ −aaa a ;
y
1
:
1
no o
Cy C/B C/B
cos30 sin30
τ
=+aa a .
Тогда
2
2, 7 /
1
oo
Cx
2,2 2 sin30 0,56 cos30 мс=+⋅ − ⋅ =a ;
2
2/
1
oo
Cy
2 cos30 0,56 sin30 мс=⋅ + ⋅ =a .
Модуль ускорения точки
C
22 22 2
2, 7 2 3, 36 /
11
CCxCy
мс=+= +=aaa .
2
3,36 /
C
мс=a .
137
Направление вектора
C
a .
2, 7
cos
()
0,8036
3,36
1
Cx
1
C
i
∧
== =
a
a;
a
;
(
;
)
36,5
o
C1
i∠=a
.
Все полученные результаты сводим в таблицу 8.
Таблица 8
v
A
v
B
v
C
w
2
a
A
a
B
a
C
e
2
м/с
м/с
м/с
с
-1
м/с
2
м/с
2
м/с
2
с
-2
2,7
2,2
14,06
1
5,3
2,2
3,36
0,28
Пример решения задачи К 3.2
В плоском механизме (рис. 94) двухступенчатое колесо
1 может
катиться без скольжения по неподвижной цилиндрической поверх-
ности
4.
Заданы следующие величины:
v
A
= 2 м/с;
A
τ
a = 1,8 м/с
2
; R
1
= 3r
1
;
r
1
= 0,4 м; R = 2 м; l
2
= 3 м.
Рис. 94
Для заданного положения механизма требуется определить ско-
рости и ускорения точек
A, B, C, D, а также угловые скорости и угло-
вые ускорения звеньев
1 и 2.
138
Решение
1) Описание видов движения каждого звена, входящего в плоский
механизм.
Звено
1 (двухступенчатое колесо), ведущее звено (
A
v ,
A
τ
a - из-
вестные величины), совершает плоское движение по неподвижной
цилиндрической поверхности.
Звено
2 находится в плоском движении, при этом точка D этого
звена перемещается по прямолинейной траектории.
Звено
3 перемещается поступательно по прямой, имеющей уклон
в 30
О
к горизонту.
2) Определение скоростей всех точек механизма способом мгно-
венного центра скоростей (МЦС).
Так как звено
1 может катиться без скольжения по неподвижной
цилиндрической поверхности
4, то точка контакта P
1
у них общая,
скорость этой точки равна нулю. Значит точка
P
1
– есть МЦС звена
1 (рис. 95).
Рис. 95
Тогда скорость
11A
vr
ω
=⋅, откуда
1
1
1
2
5
0, 4
A
v
с
r
ω
−
== =
.
1
1
5с
ω
−
= .
139
Точку P
1
соединяем с точкой B и перпендикулярно BP
1
, в сторону
1
ω
, показываем вектор
B
v . По модулю
11B
BPv
ω
=
⋅ , при этом
11
20,420,57BP r м== ≅ . 50,57 2,83 /
B
V мс
=
⋅≅ .
2, 83 /
B
мсv
=
.
Точку
C соединяем с P
1
и перпендикулярно CP
1
, в сторону
1
ω
,
показываем вектор скорости
C
v . Модуль этой скорости
11C
CPv
ω
=⋅ .
22
1111
10 0,4 10 1,265 /CP r R r мс=+= = ≅ .
Тогда
5 1,265 6,32 /
C
мсv =⋅ ≅ . 6,32 /
C
мсv
=
.
Для определения МЦС звена
2 нужно в точке B восстановить
перпендикуляр
BP
2
к скорости
B
v , и в точке D восстановить пер-
пендикуляр
DP
2
к наклонной траектории точки D, а пересечение этих
перпендикуляров дает МЦС звена
2 (P
2
).
Запишем соотношение
22
BD
BP DP
vv
=
,
2
2
DB
DP
BP
vv=
.
При известных углах в треугольнике
DP
2
B, вычислим стороны
треугольника по теореме синусов.
22
sin75 sin 45 sin60
ooo
AB DP BP
==
,
2
AB = l .
Откуда
2
2
sin 45
0,8165
sin60
o
o
DP
BP
==
,
22
sin60 sin60
32,7
sin75 sin75
oo
oo
BP м=⋅=⋅≅l .
Тогда
0,8165 2,83 2,31 /
D
мсv =⋅≅ . 2, 31 /
D
мсv
=
.
Угловая скорость звена
2
1
2
2
2, 83
1, 0 5
2, 7
B
с
BP
v
ω
−
== ≅
.
1
2
1, 0 5 с
ω
−
= .