Светуньков С.Г. Методы социально-экономического прогнозирования. Том II

Подождите немного. Документ загружается.

дет наилучшим способом прогнозировать следующее прогнозное значение на

шаге T+1. А если прогнозисту необходимо выполнить прогноз не на один шаг

вперѐд, а, например, на десять, то есть спрогнозировать показатель в момент

времени T+10? Действительно, для такой цели метод Брауна представляется

непригодным. Но на самом деле есть простой способ использования метода

Брауна для поставленной задачи.

Поскольку метод Брауна применим для процессов, не имеющих тенден-

цию к росту или снижению, то есть он использует способ вычисления скользя-

щей средней, то можно с помощью этого метода оценить скользящую среднюю

и через два, и через три, и через десять наблюдений. Но для этого необходимо

определить оптимальное значение постоянной сглаживания.

Пусть перед прогнозистом стоит задача выполнить прогноз не на один шаг

вперѐд, а на два шага. Модель Брауна в этом случае будет выглядеть так:

ˆˆ

(1 )

T T T

Y Y Y





  

. (2.2.1)

Выбор оптимального значения постоянной сглаживания осуществляется

следующим образом. Задаѐтся некоторое значение постоянной сглаживания,

равное, например, 0,1. Подставляя это значение в (2.2.1), рассчитывают про-

гнозные значения ряда на всей имеющейся у прогнозиста базе. От фактических

значений отнимаются расчѐтные, тем самым вычисляются ошибки ретропрог-

ноза. После того, как расчѐты выполнены по всей базе, вычисляется некоторая

обобщѐнная оценка точности прогноза методом Брауна при этой постоянной

сглаживания. Затем задаѐтся другое значение постоянной сглаживания, напри-

мер, 0,2. Вновь запускается процедура ретропрогноза при этой постоянной

сглаживания и вычисляется обобщѐнная характеристика точности прогноза мо-

дели на два шага вперѐд. Проведя расчѐты в допустимой области изменения по-

стоянной сглаживания от нуля до двух, выбирают то значение, при котором

достигается наивысшая точность ретропрогноза. Обозначим для определѐнно-

сти это наилучшее значение постоянной сглаживания как α

. Тогда, подставляя

это значение постоянной сглаживания, с помощью метода Брауна на имеющем-

ся множестве делаем прогноз на два наблюдения вперѐд.

Если перед прогнозистом стоит задача выполнить прогноз на три наблю-

дения, то модель Брауна будет для такого случая иметь вид:

ˆˆ

(1 )

T T T

Y Y Y





  

. (2.2.2)

Здесь оптимальное значение постоянной сглаживания находится точно

также, как это было описано выше. Найдя это оптимальное значение постоян-

ной сглаживания для прогноза на три шага вперѐд α

, прогнозист легко может

по имеющимся у него значениям выполнить прогноз показателя на три наблю-

дения вперѐд.

И вообще, если перед прогнозистом стоит задача выполнить прогноз на η

наблюдений вперѐд, то модель Брауна будет для этого случая записана так:

ˆˆ

(1 )

T T T

Y Y Y







  

. (2.2.3)

Для использования этой модели необходимо описанным выше способом

найти оптимальное значение постоянной сглаживания α

, после чего и выпол-

няется прогноз на заданный период упреждения.

Следует отметить, что оптимальные значения постоянных сглаживания

для прогнозирования методом Брауна на различные периоды упреждения отли-

чаются друг от друга, то есть:

1 2 3



   

  

. (2.2.4)

Этот подход распространим и на различные модификации метода Брауна,

рассмотренные в предыдущей главе, если их применить для задач среднесроч-

ного прогнозирования.

Как видно, при таком подходе принцип адаптивного прогнозирования

«текущая информация более ценна для прогнозирования, чем прошлая» полно-

стью выполняется. Для среднесрочного прогнозирования при таком использо-

вании метода Брауна выполняется дисконтирование прошлых данных.

Желание совместить аппарат математической статистики с новым подхо-

дом к прогнозированию, открытым Брауном, привело к тому, что к началу 70-х

годов ХХ века появился метод дисконтирования оценок МНК, который позво-

ляет при оценивании параметров моделей учесть текущую информацию в

большей степени, чем прошлую, и приспособить модель к более поздним дан-

ным и использовать при дисконтировании веса, заданные по методу Брауна.

Делается это так.

Критерий МНК, как известно, имеет вид:

 

min

Q Y Y  



. (2.2.5)

В соответствии с ним находятся такие оценки прогнозной модели, при ко-

торых минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений от

расчѐтных. Но, как уже отмечалось, для прогнозиста в случае прогноза эволю-

ционно протекающих процессов важнее более точно описать последние наблю-

дения, нежели те, которые убывают в прошлое. Поэтому и ошибка аппроксима-

ции последних наблюдений должна минимизироваться в большей степени, чем

ошибки аппроксимации в начале ряда. Логично поэтому задать этим ошибкам

аппроксимации некоторые веса v

так, чтобы их значения уменьшались с убы-

ванием наблюдений в прошлое:

... ...

T T t

v v v v



    

. (2.2.6)

Веса могут задаваться в числовой форме или в виде функциональной зави-

симости, но так, чтобы по мере продвижения в прошлое веса убывали.

Для удобства часто вводят дополнительное условие:





, (2.2.7)

но его выполнение, в отличие от ситуации метода Брауна, не является обяза-

тельным.

Возможно два варианта дисконтирования оценок МНК.

Первый вариант – когда взвешивается каждая ошибка аппроксимации, и

эта взвешенная величина подставляется в сумму квадратов МНК. Тогда крите-

рий взвешенного МНК будет иметь вид:

 

( ) min

t t t

Q v Y Y  



. (2.2.8)

Применение этого критерия, например, для простой однофакторной ли-

нейной модели приведѐт к необходимости решать такую систему уравнений:

2 2 2

2 2 2 2

t t t t t

t t t

t t t t t t t

t t t

v Y a v a v x

v Y x a v x a v x















  

(2.2.9)

Такой способ взвешивания данных о наблюдении при построении адапти-

рованных моделей используют не очень часто, поскольку в полученной системе

уравнений не ясен смысл взвешивания различных сумм, т. к. веса везде пред-

ставлены квадратами.

Значительно чаще используется другой метод взвешивания, а именно

взвешиваются не сами ошибки аппроксимации, а их квадраты. Тогда критерий

МНК, взвешенного таким способом, имеет вид:

 

min

t t t

Q v Y Y  



. (2.2.10)

Использование этого критерия, например, для линейной однофакторной

модели приведѐт к необходимости решения системы двух таких уравнений:

t t t t t

t t t

t t t t t t t

t t t

v Y a v a v x

v Y x a v x a v x















  

(2.2.11)

В этом случае уже появляется возможность смыслового толкования урав-

нений системы. Левая часть первого уравнения, как легко заметить, при выпол-

нении равенства (2.2.7) означает вычисление взвешенной средней переменной

, а второе слагаемое этого же уравнения представляет собой произведение ко-

эффициента a

на взвешенную среднюю переменной x

. В качестве дополни-

тельного «плюса» такого метода взвешенного МНК является и то обстоятельст-

во, что в правой части первого уравнения системы коэффициент a

умножается

на сумму весов, а она в силу (2.2.7) равна единице. Поэтому система (2.2.11)

ещѐ и упрощается.

Как задавать веса v

? Ответ на этот вопрос напрашивается сам собой – так,

как это сделано для краткосрочного прогнозирования Брауном, то есть:

, (1 ),... (1 ) ,...

T T t

v v v

    



    

(2.2.12)

Вспомним, что этот способ задания весов позволяет получить взвешенную

среднюю:

ˆˆ

(1 )

T T T T

Y Y Y Y





   

, (2.2.13)

которая в краткосрочном прогнозировании используется как лучшая прогноз-

ная оценка данного показателя Y на шаг вперѐд.

Этот же способ взвешивания, как легко убедиться из первого уравнения

системы (2.2.11), применяется и для факторной переменной x

ˆˆ

(1 )

T T T T

x x x x





   

. (2.2.14)

Поскольку для метода Брауна сумма весов равна единице, подставляя та-

кой способ взвешивания наблюдений в (2.2.11) и используя обозначения сред-

ней взвешенной, получим:

0 1 1

1 1 0 1 1 1

T T T T

Y a a x

Y x a x a x



   















(2.2.15)

где

(1 )

T T T T T T

Y x Y x Y x





  

, (2.2.16)

2 2 2

(1 )

T T T

x x x





  

. (2.2.17)

Такой способ более интересен и удобен, как видно не только тем, что по-

зволяет построить адаптированную к последним наблюдениям модель, но и при

появлении новых наблюдений t=T+1 легко пересчитывать коэффициенты мо-

дели.

Для успешного применения с помощью весов метода Брауна взвешенного

МНК необходимо оптимизировать постоянную сглаживания α. Эта задача ре-

шается также, как и в случае краткосрочного прогнозирования методом Брауна.

Поскольку критерий (2.2.10) является универсальным для использования

оценок взвешенного МНК, его можно использовать для оценивания коэффици-

ентов нелинейных и многофакторных прогнозных моделей.

Теперь воспользуемся выводами первого параграфа этой главы для того,

чтобы понять суть взвешенного МНК. Систему уравнений (2.2.11) можно полу-

чить с помощью общей схемы оценивания методом z-множителей (2.1.11), если

задать z-множители так:

ot t

t t t

z v x











(2.2.18)

Это означает, что решая систему (2.2.11), мы получаем такие оценки ко-

эффициентов прогнозной модели, для которой выполняются условия (2.1.10),

которые применительно к рассматриваемому случаю будут иметь вид:

t t t



















(2.2.19)

Смысл первого уравнения системы (2.2.19) очевиден, поскольку веса зада-

ны по методу Брауна и они убывают в прошлое – прогнозная модель будет опи-

сывать исходный ряд данных так, что ошибки аппроксимации, убывающие в

прошлое, будут больше, чем ошибки аппроксимации последних наблюдений.

При этом модель обязательно будет иметь как положительные, так и отрица-

тельные ошибки аппроксимации, иначе сумма взвешенных ошибок аппрокси-

мации не будет равна нулю. Модель, как следует из сказанного, хорошо описы-

вает текущие наблюдения и плохо – прошлые.

Смысл второго уравнения системы (2.2.19) менее ясен. Будет равна нулю

сумма взвешенных произведений фактических значений фактора на ошибки

аппроксимации.

Но метод z-множителей не только позволяет получить дополнительное

толкование оценкам взешенного МНК, но и, используя общий принцип учѐта

текущих наблюдений в большей степени, чем более ранние, получить новые

оценки. Например, можно задать такие z-множители:

ot t

t t t

z vY











(2.2.20)

Тогда будет получена такая система уравнений:

t t t t t

t t t

t t t t t t t

t t t

v Y a v a v x

v Y a v Y a v xY















  

(2.2.21)

Решая эту систему, прогнозист получит оценки адаптированной модели –

ведь текущая информация используется в большей степени, чем прошлая, но

эти оценки будут отличаться от оценок взвешенного МНК и, возможно, в неко-

торых случаях будут давать более точные прогнозы. Ряд различных способов

дисконтирования данных, который открывает метод z-множителей, довольно

широк. Это вооружает прогнозиста новым дополнительным инструментом по-

строения адаптивных моделей среднесрочного прогнозирования.

Недостатком этого способа получения оценок прогнозной модели с помо-

щью взвешенного МНК является показательный способ задания весов ошибок

аппроксимации. Зачастую в экономике встречаются ситуации, когда наилуч-

ший способ задания весов не соответствует правилу (2.2.12), например, когда

после некоторого периода использования новых технологий предприятие воз-

вращается по различным причинам к старым технологиям. Тогда вес наблюде-

ний в прошлом, когда использовались старые технологии, не будет менее важен

для прогнозирования, чем текущие. В этом случае возможен и такой способ за-

дания весов:

1 1 1

... ...

T T t t

v v v v v



     

. (2.2.22)

Это тем более важно для случаев, когда прогнозные ряды имеют лаги – за-

держки во времени. Например, инвестиции в новые технологии дадут отдачу

только через период, связанный с внедрением инноваций и началом их исполь-

зования. В этой ситуации вес наблюдения в год инвестиций для прогноза может

быть больше, чем вес наблюдения в последний год. Метод z-множителей по-

зволяет устранить этот недостаток, подбирая к каждому ряду свой наилучший

способ задания множителей, но эта задача не формализована, поэтому широко

еѐ использовать на практике нельзя – еѐ успех зависит от личных качеств про-

гнозиста.

2.3. Метод стохастической аппроксимации

для адаптации эконометрических моделей

В технической кибернетике часто приходится решать задачи такого типа.

Объект управления представляет собой сложную систему, структура и взаимо-

связи между элементами которой исследователю неизвестны. Поэтому объект

представляется в виде «чѐрного ящика» (рис. 2.3.1).

Объект

исследования

Входное

воздействие

Результат

Рис. 2.3.1. Объект исследования как «чѐрный ящик»

Перед исследователем стоит задача найти такое управляющее воздействие

x на систему из допустимого множества X, чтобы на выходе из нее было дос-

тигнуто некое оптимальное значение Y, численно равное наперѐд заданному U.

Как найти это управляющее воздействие? Можно использовать метод простого

перебора. Но при этом нет никакой гарантии, что решение будет найдено –

простой перебор может привести к случайному нахождению этого решения, а

может и не привести к этому. Поэтому надо использовать процедуры целена-

правленного перебора. Но поскольку зависимость между входной переменной и

выходной в явном виде неизвестна, не каждая процедура целенаправленного

перебора может использоваться для решения этой задачи. Поскольку чаще все-

го стоит задача скорейшего поиска оптимального управляющего воздействия

на объект, например, для корректировки полѐта ракеты, то надѐжность алго-

ритма и скорость поиска этого наилучшего управленческого решения являются

превалирующими.

Одним из лучших методов, приспособленных для этого, является метод

стохастической аппроксимации, суть которого впервые была опубликована в

1951 г. Г. Роббинсом и С. Монро

. Этот метод и стал формальным основанием

для целого ряда задач адаптации в технической кибернетике. Области примене-

ния и разновидности решения различных задач технической кибернетики с по-

мощью метода стохастической аппроксимации разнообразны. В отечественной

науке наиболее полно методы решения таких задач адаптации и управления

представлены в работах Я.З. Цыпкина

Суть метода стохастической аппроксимации заключается в следующем.

В допустимой области Х выбираем произвольное значение x[0], проводим

эксперимент с данным значением входа в систему и наблюдаем на выходе не-

которое значение Y(x[0]). Таким образом, перед исследователем есть первая па-

ра взаимосвязи между входной переменной и выходной. Если бы объект был

стационарен, можно было бы с помощью конечного множества наблюдений со-

брать такое достаточное множество пар значений {x[n],Y(x[n])}, чтобы постро-

ить регрессионную зависимость между переменными. Тогда, зная коэффициен-

ты регрессионной зависимости, можно легко решить поставленную задачу –

найти такое значение входного управляющего воздействия x, при котором на

выходе из объекта наблюдается заданное U. Но объект не стационарен и его

динамика необратима, он меняет во времени не только свои количественные

характеристики, но и собственную структуру, состав элементов и взаимосвязь

между ними, поэтому такой статистический подход не приведѐт к нужному ре-

зультату. Кроме того, если система отклоняется от некоторой траектории раз-

вития, необходимо срочно откорректировать еѐ поведение для того, чтобы вер-

нуть еѐ на прежний путь или близкий к нему. Поэтому возможности собирать

статистические данные и их анализировать на предмет выявления вида и степе-

ни взаимосвязи нет.

Robbins H., Monro S. A stochastic aррroximation method // Annual mmanhematics statistics. –

1951. – V. 22. – Р. 400-407.

См. например: Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. – М.: Наука,

1968. – 400 с.

В методе стохастической аппроксимации выделяют две разновидности:

- процедура Роббинса–Монро,

- процедура Кифера–Вольфовица (в приращениях)

Применительно к задачам адаптации прогнозных моделей используется

процедура Роббинса–Монро. В соответствии с еѐ положениями, для поиска оп-

тимального управляющего значения x* выбираем убывающую с ростом n (чис-

ла испытаний) последовательность положительных чисел [n]. Необходимо за

конечное число шагов испытаний определить такое значение x*, принадлежа-

щее множеству Х, чтобы:

( *)Y x U

. (2.3.1)

Для выбора значения x в следующем эксперименте используется рекур-

рентное соотношение Роббинса–Монро:

[ ] [ 1] [ ]( ( [ 1])x n x n n U Y x n



    

). (2.3.2)

Разность в скобках иногда называют «функцией невязки».

Здесь положительное число [n] получило название «параметр демпфиро-

вания колебаний». Именно способ задания параметров демпфирования колеба-

ний определяет характеристики алгоритма метода стохастической аппроксима-

ции, в первую очередь, скорость его сходимости к оптимальному значению.

Теоретическим исследованиям процессов адаптации на основе алгоритма Роб-

бинса–Монро посвящено значительное число работ специалистов в области ма-

тематики и технической кибернетики. Доказано

, что если

[ ] , [ ] ,nn



   



(2.3.3)

то x стремится к x*.

В зависимости от способа задания параметров демпфирования колебаний

различают три различных алгоритма:

1) алгоритм адаптации с постоянным шагом:

[ ] 1n





. (2.3.4)

Например:

[]





;

2) алгоритм адаптации с переменным шагом, когда параметры демпфиро-

вания колебаний изменяются в зависимости от числа испытаний n:

[ ] ( )n f n





. (2.3.5)

Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация // Математическая энциклопедия. Т. 5. –

М.: Советская энциклопедия, 1984. – С. 235-236.

Вазан М. Стохастическая аппроксимация. – М.: Наука, 1972. – 295 с.

Например:

[]







;

3) алгоритм адаптации с нелинейным шагом, когда параметры демпфиро-

вания колебаний определяются таким образом, чтобы в зависимости от

конкретных величин Y[n] и x[n] при данном испытании наискорейшим

путем приблизиться к оптимуму (2.3.1):

[ ] ( , , )n F Y x n





. (2.3.6)

Например, алгоритм Качмажа для линейной многофакторной модели:

[ ] [ ]

[]

Y n a x n









где i – число входных переменных объекта.

Первыми были использованы и исследованы на практике алгоритмы

адаптации с переменными шагом. Здесь можно предложить самые различные

способы задания параметра демпфирования колебаний, например:



[n]=1/n или



[n]= 1/n

и т.п.

В качестве преимущества такого подхода следует указать на его простоту

и формализм – параметр меняется только в зависимости от шага аппроксима-

ции, но не от его итогов.

Пусть перед нами стоит задача найти корень:

9x 

Задаѐм функцию невязки:

9 [ ]F x n

Будем считать, что нас устраивает такое значение корня, когда функция

невязки по своему абсолютному значению не превышает η=0,1. Выберем такой

способ задания параметра γ:

1 n







Пусть на первом шаге исследователь задаѐт x[0]=2. Тогда в соответствии с

алгоритмом Роббинса–Монро следующее значение x[n] определится так:

[1] [0] (9 [0]) 2 (9 8) 2,5

x x x      

Возводим x[1]=2,5 в третью степень и вычисляем модуль невязки:

|9-15,625|=6,625. Она больше заданной η=0,1, поэтому продолжаем вычисле-

ния. Следующее значение входной переменной вновь вычислим, используя ме-

тод Роббинса–Монро:

[2] 2,5 (9 15,625) 0,292

x    

Возводим x[2]=0,292 в третью степень и вновь считаем невязку: |9-0,025| =

8,975, которая больше допустимой, поэтому вычисляем новое значение корня:

[3] 0,292 (9 0,025) 2,536

x    

Возводим новое значение искомой переменной в третью степень и считаем

невязку: |9-16,305|. Она оказалась больше допустимой, поэтому вычисляем но-

вое значение корня на четвѐртом и последующих шагах до тех пор, пока невяз-

ка не станет меньше допустимой величины:

[4] 2,536 (9 16,305) 1,075.

x    

Невязка |9-1,242|>η.

[5] 1,075 (9 1,242) 2,368.

x    

Невязка |9-13,277|> η.

[6] 2,368 (9 13,277) 1,757.

x    

Невязка: |9-5,424|> η.

[7] 1,757 (9 5,424) 2,204.

x    

Невязка: |9-10,71|> η.

[8] 2,204 (9 10,71) 2,014.

x    

Невязка: |9-8,174|> η.

[9] 2,014 (9 8,174) 2,096.

x    

Невязка на этом шаге: |9-9,208|> η=0,1

[10] 2,096 (9 9,208) 2,076.

x    

Невязка: |9-8,95|< η=0,1, что нас вполне

устраивает.

Итак, окончательное решение поставленной задачи: x*=2,076.

В том, что параметр демпфирования колебаний не зависит от величины

невязки и вообще определяется только шагом аппроксимации, видится недоста-

ток алгоритма с переменным шагом – моделируемые процессы могут быть са-

мыми различными по сложности, отличаясь друг от друга; первое приближение

x[0] в одном случае может быть достаточно далѐким от оптимума, а в другом –

близким к нему, а алгоритм этих особенностей не учитывает.