Светуньков С.Г. Методы социально-экономического прогнозирования. Том II

Подождите немного. Документ загружается.

Какой же экономический смысл имеют запредельные случаи метода

Брауна, определенные границами условия (1.2.15)? С учетом того, что запре-

дельные случаи соответствуют условию, при котором постоянная сглаживания

всегда не меньше единицы, то можно ввести новую переменную в следующем

виде:

1, 0 1

  

   

. (1.2.16)

Если теперь подставить (1.2.16) в исходную формулу модели Брауна и

осуществить элементарные преобразования, можно получить следующее выра-

жение:

ˆˆ

()

T T T T

Y Y Y Y





  

. (1.2.17)

Так как мы уже неоднократно обозначали ошибку аппроксимации как

T T T





, (1.2.18)

то модель (1.2.17) можно записать так:

T T T







. (1.2.19)

Таким образом, появляется возможность дать смысловое толкование за-

предельным случаям метода Брауна.

Во-первых, следует сразу отметить, что при этом модель полностью адап-

тивна к текущей информации, так как в формуле (1.2.19) текущая информация

Рис. 1.2.2. Модель Брауна при разных значениях постоянной сглаживания

α=0,7

α=0,3

учитывается полностью, поскольку первое слагаемое формулы есть не что

иное, как текущее наблюдение Y

Во-вторых, модель в той или иной степени становится адаптивной к теку-

щей ошибке аппроксимации – отклонению расчетных значений от фактических

. При этом, если постоянная β равна нулю, то прогнозная модель оказывается

совершенно не адаптивна к текущей ошибке, а если постоянная β равна едини-

це, то в соответствии с условием (1.2.19) модель краткосрочного прогноза пол-

ностью учитывает величину текущей ошибки отклонения – модель абсолютно

адаптивна к ошибке прогноза. Случаям, когда постоянная β лежит в пределах

от нуля до единицы, соответствует та или иная степень адаптивности модели к

текущей ошибке отклонения фактических значений от расчетных.

Поскольку постоянная сглаживания определяет то, как описывает модель

Брауна прогнозируемый ряд, а, значит, определяет и то, насколько точным мо-

жет быть прогноз, выполненный с помощью этой модели, возникает необходи-

мость выбора наилучшего значения величины постоянной сглаживания для ка-

ждого ряда.

Для этого используют процедуру ретропрогноза. Исходный ряд данных

} описывают с помощью модели Брауна, предварительно задав некоторое

значение постоянной сглаживания α

, и вычисляют ошибку ретропрогноза на

каждом наблюдении:

t t t





. (1.2.20)

Ошибка ретропрогноза на каждом наблюдении мало информативна с по-

зиций поведения модели в целом. Общее представление о точности модели

Брауна при заданной величине постоянной сглаживания даѐт некоторая обоб-

щѐнная агрегированная величина – среднее абсолютное отклонение, дисперсия

либо некоторая другая статистическая характеристика. Выбор этой характери-

стики определяется, прежде всего, задачами, которые ставит перед собой про-

гнозист. Пусть для определѐнности им выбран критерий минимума дисперсии:

2 2 2

1 1 1

()

t t t



  



. (1.2.21)

Рассчитав для постоянной сглаживания α

дисперсию модели Брауна отно-

сительно исходного ряда, задают другое значение постоянной сглаживания α

≠

, лежащее в пределах (1.2.9), и вновь вычисляют ошибку ретропрогноза:

t t t





(1.2.22)

и дисперсию:

2 2 2

()

t t t



  



. (1.2.23)

Продолжая эту процедуру посредством изменения постоянной сглажива-

ния в пределах еѐ допустимых значений, получают ряд значений

 



. По-

скольку дисперсия представляет собой некоторую таблично заданную функцию

от постоянной сглаживания, задачу поиска оптимального значения постоянной

сглаживания, при которой дисперсия ретроошибки будет минимальной, можно

изобразить графически (рис. 1.2.3)

Таким образом, задача нахождения оптимального значения постоянной

сглаживания сводится к элементарному поиску минимума этой функции. Ре-

шить эту задачу можно и простым перебором, поскольку значения постоянной

сглаживания ограничены, но грамотный специалист будет использовать для на-

хождения минимума неявно заданной функции один из численных методов.

Следует указать на то, что чаще всего зависимость дисперсии ошибки ретро-

прогноза от значений постоянной сглаживания носит характер, изображѐнный

на рис. 1.2.3. Однако встречаются ситуации, когда эта зависимость имеет один

или несколько локальных минимумов (рис. 1.2.4). Такие ситуации крайне ред-

ки, но они могут встретиться на практике.

В такой ситуации прогнозист, использующий численный метод, может

оказаться в сложной ситуации. Например, если задать α=0,01 и постепенно

увеличивать постоянную сглаживания от этого граничного значения, он может

обнаружить локальный минимум, который на рис. 1.2.4 соответствует величине

. Незначительное увеличение постоянной сглаживания в этой точке, как сле-

дует из рисунка, будет отражаться увеличением дисперсии ошибки ретропрог-

ноза. Это может быть воспринято прогнозистом как сигнал о том, что найдено

оптимальное значение постоянной сглаживания, хотя на самом деле обнаружен

один из локальных минимумов.

Рис. 1.2.3. Дисперсия ошибки ретропрогноза

как функция от постоянной сглаживания

Поэтому рекомендуется поступать так. Изменяя величину постоянной

сглаживания с шагом, равным 0,1, можно вычислить соответствующие диспер-

сии ретропрогноза. Анализ этих дисперсий позволяет определить окрестности

оптимальной точки, и уже в этой окрестности, используя любой известный про-

гнозисту численный метод, можно найти оптимальное значение постоянной

сглаживания.

На практике иногда встречаются ситуации, в которых минимум дисперсии

получается при

0



, что противоречит условию (1.2.9). Обычно это происхо-

дит в случаях с процессами, имеющими случайный или хаотический характер.

В таких ситуациях исследователю стоит задать другое начальное расчѐтное

значение

либо использовать для прогнозирования такого ряда вместо метода

Брауна какой-нибудь иной.

Теперь рассмотрим, как влияет на выбор наилучшего значения постоянной

сглаживания критерий выбора еѐ оценки. Будем находить оптимальные значе-

ния постоянной сглаживания, используя два критерия:

1) минимум дисперсии ошибки аппроксимации:

( ) min







, (1.2.24)

2) минимум суммы абсолютных ошибок аппроксимации:

| | min







. (1.2.25)

Исследования показали, что на больших рядах оба критерия отбора дают

примерно одинаковые результаты при поиске оптимального значения постоян-

Рис. 1.2.4. Дисперсия ошибки ретропрогноза как функция

от постоянной сглаживания с несколькими локальными минимумами

ной сглаживания

. Размер этой величины в зависимости от того, какой крите-

рий выбран – (1.2.24) или (1.2.25), изменяется на доли процентов. Поэтому про-

блема выбора критерия отбора в таком случае не стоит – можно выбрать любой

из этих критериев, который прогнозист посчитает удобным для поиска опти-

мального значения α. Конечно, нельзя утверждать, что оценки постоянной

сглаживания, полученные с помощью (1.2.24), равны оценкам, полученным с

помощью (1.2.25), поскольку это не так. Но в подавляющем большинстве слу-

чаев эти оценки настолько близки, что различие между ними является несуще-

ственным.

Но это различие в выборе значений оптимальной постоянной сглаживания

может оказаться весьма существенным при моделировании на малых выборках.

В таком случае оптимальные значения постоянной сглаживания при разных

критериях отбора получаются заметно отличными друг от друга. Так, напри-

мер, если использовать указанные два критерия выбора оптимального значения

постоянной сглаживания модели Брауна на данных индекса потребительских

цен России с января 1998 года по ноябрь 2004 года (82 наблюдения), то первый

критерий (1.2.24) даѐт в качестве наилучшей оценки α=0,01530, а второй крите-

рий (1.2.25) даѐт иную оценку – α=0,2091. Это отличие сказывается и на ре-

зультатах прогнозов, осуществляемых моделями с разными постоянными сгла-

живания.

Как уже было показано выше, в том случае, когда оптимальное значение

постоянной сглаживания находится в классических пределах, модель адаптив-

на, а в том случае, когда оно находится в запредельном множестве, модель не

только адаптивна, но и самообучаема. Это говорит о том, что оптимальное зна-

чение постоянной сглаживания определяется свойствами исходного ряда. Чем

отличается ряд, для которого наилучшей является постоянная сглаживания, ле-

жащая в классических пределах

0 1,





от другого ряда, для которого опти-

мальное значение постоянной сглаживания лежит в запредельном множестве





? Для ответа на этот вопрос проведѐм модельные эксперименты на ус-

ловных примерах. Ниже приведена таблица результатов расчѐта рядов, генери-

руемых различными моделями, имеющими тенденции различного рода

. Ре-

зультаты расчѐтов приведены в табл. 1.2.1.

Из данных таблицы видно, что критерии отбора постоянной сглаживания

отличаются незначительно, за исключением логарифмической функции, где

разность между полученными значениями постоянной сглаживания составила

14%.

Обращает на себя внимание тот факт, что практически во всех случаях оп-

тимальными значениями постоянных сглаживания являются значения, находя-

щиеся в запредельном множестве от единицы до двух. Исключением является

случай генерации сложного динамического ряда с помощью синусоиды, пара-

Светуньков С.Г. О расширении границ применения метода Брауна // Известия Санкт-

Петербургского государственного университета экономики и финансов. – 2002. – № 3.

Светуньков С.Г., Бутуханов А.В., Светуньков И.С. Запредельные случаи метода Брауна в

экономическом прогнозировании. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006.

болы и экспоненты. Графически эта сумма представляет собой невозрастаю-

щую и неубывающую совокупность значений, и поэтому оптимальные значе-

ния постоянных сглаживания лежат в классических пределах.

Таблица 1.2.1

Оптимальные значения α при различных критериях выбора

для динамических рядов разного типа

Модель, с помощью которой

генерировался динамический ряд

Оптимальное значение α

для критерия (1.2.24)

Оптимальное значение α

для критерия (1.2.25)

Линейный рост

1,54726149

1,55401141

Линейное убывание

1,54726149

1,55401145

Экспоненциальный рост

1,85473133

1,79867905

Синусоида (три периода)

1,49669408

1,54269965

Парабола второй степени

(вогнутая)

1,47241314

1,47222224

Сумма синусоиды, параболы

и экспоненты

0,27746361

0,23485528

Логарифмическая функция

1,27452774

1,45066021

Теперь можно сделать необходимые обобщения, касающиеся запредельно-

го множества Брауна. Если в процессе оптимизации постоянная сглаживания

лежит в классических пределах – от нуля до единицы, то модель Брауна может

использоваться для прогнозирования достаточно эффективно. Если же опти-

мальное значение постоянной сглаживания оказалось находящимся в запре-

дельном множестве, то это диагностирует ситуацию, когда средняя взвешенная

в принципе не может использоваться в качестве хорошей оценки прогнозного

значения моделируемого процесса. В этом случае возможно два варианта дей-

ствий прогнозиста.

Первый. Процесс вышел за рамки простой динамики. У него появилась не-

которая тенденция в развитии. Еѐ математическое описание в наблюдаемый

промежуток времени возможно с помощью одной из эконометрических моделей.

Второй. Процесс находится на грани между эволюционной и хаотической

динамикой, и его математическое описание невозможно с помощью какой-либо

модели. Поэтому такой процесс лучше всего прогнозировать с помощью моде-

ли Брауна, работающей в запредельном множестве.

В случае, если диагностируется первая причина, то модель, которая лучше

всех описывает динамику прогнозируемого экономического процесса, берѐтся за

основу, и с еѐ помощью применяется соответствующая модификация метода

Брауна. Если динамика прогнозируемого процесса не может быть описана ника-

кими сложными эконометрическими моделями, то альтернативы применению

модели Брауна с этим запредельным значением постоянной сглаживания нет.

1.3. Интерпретация модели Брауна

Итак, модель Брауна, или, как еѐ иногда называют, «модель экспоненци-

альной сглаживающей», оказывается очень удобной в практическом использо-

вании для целей краткосрочного прогнозирования нестационарных процессов,

в том числе и необратимых. Богатство этой модели определяется и разнообра-

зием интерпретаций еѐ свойств.

Действительно, в общем виде модель Брауна принято записывать так:

ˆˆ

(1 )

T T T

Y Y Y





  

. (1.3.1)

И эта формула даѐт очевидную интерпретацию еѐ свойств: если постоян-

ная сглаживания равна нулю, то модель не адаптивна, а если она равна едини-

це, то модель полностью адаптивна к текущей информации и совершенно не

инерционна.

Именно в таком виде модель Брауна и стала популярной, и именно в таком

виде появляется соблазн дать постоянной сглаживания следующую экономиче-

скую интерпретацию (которая превалирует в среде экономистов): α представля-

ет собой некоторую среднюю взвешенную, служащую для формирования про-

гнозного значения. То есть прогноз складывается из двух частей: из части фак-

тического значения, полученного на наблюдении t, и части, спрогнозированной

на это же наблюдение t. В такой трактовке очевидно, что

 

0;1α 

, так как под-

разумевается наличие средней между двумя значениями, и именно этой трак-

товки модели придерживаются многие экономисты.

Графически формирование прогнозного значения в соответствии с формулой

(1.3.1) представлено на рис. 1.3.1: точка III считается как средневзвешенная фак-

тического значения I и прогнозного II, еѐ значение как раз и становится прогно-

зом – точкой IV. Далее берѐтся средневзвешенная между точками IV и V, получа-

ется новая средняя (точка VI) и новый прогноз (точка VII) и так далее. Причѐм α в

данной интерпретации регулирует распределение весов между фактом и прогнозом.

Рис. 1.3.1. Графическое представление механизма формирования

прогноза в модели (1.3.1)

- Модель

- Факт

VIII

1-α

III

VII

Однако в данном случае мы сталкиваемся с ситуацией, в которой трактов-

ка модели еѐ только ограничивает.

Если раскрыть скобки во втором множителе правой части равенства (1.3.1)

и перегруппировать слагаемые, то можно получить иную форму записи модели

Брауна:

 

TTT+T

YYα+Y=Y

ˆˆˆ



. (1.3.2)

В таком виде у неѐ более явно видны адаптивные черты: прогнозное зна-

чение



формируется на основе предыдущего спрогнозированного, а α вы-

ступает некоторым коэффициентом адаптации модели к новой поступающей

информации. В этом случае степень адаптации вообще-то может быть любой:

модель может адаптироваться незначительно и отсеивать поступающие «шу-

мы» (когда α мала, например, составляет 0,3) или достаточно быстро адаптиро-

ваться к поступающей информации в случае, когда в процессе происходят ка-

чественные изменения (когда α больше 1, например, составляет 1,7).

Более того, поскольку выражение в скобках второго слагаемого правой

части равенства (1.3.2) есть не что иное, как текущая ошибка аппроксимации,

то есть:

TTT

=YY





, (1.3.3)

то модель Брауна может быть записана и так:

TT+T

α+Y=Y



ˆˆ

. (1.3.4)

Первая составляющая модели Брауна представляет собой среднюю взве-

шенную предыдущих значений, то есть она несѐт в себе информацию о всех

предыдущих значениях изучаемого ряда. Второе слагаемое, представляющее

собой произведение постоянной сглаживания на текущую ошибку аппроксима-

ции, характеризует способность модели учитывать текущую ошибку аппрок-

симации. Таким образом, модель Брауна обладает способностью адаптировать-

ся к текущим отклонениям от некоторого сложившегося уровня ряда.

Эта адаптация происходит так. В случае, когда фактическое значение на-

блюдаемого ряда выше расчѐтного, ошибка аппроксимации имеет положитель-

ный знак и средняя арифметическая увеличивается на откорректированную с

помощью постоянной сглаживания величину этого отклонения.

В том случае, когда текущая ошибка аппроксимации отрицательна, сред-

няя взвешенная уменьшается на откорректированную величину ошибки ап-

проксимации.

Таким образом, расчѐтные значения как бы «подтягиваются» к текущему

значению. В этом и проявляется суть адаптации модели Брауна. Графическое

представление этой трактовки дано на рис. 1.3.2.

Здесь расчѐтное значение II берѐтся за базу для прогноза на следующем

наблюдении и переносится в точку III, которая затем корректируется на вели-

чину отклонения фактического значения I от расчѐтного II. В итоге прогнозное

значение из точки III «переходит» в точку IV, которая, в свою очередь, стано-

вится базой для следующего прогноза (точка VI) и так далее.

Модель Брауна можно представить также и в другом виде. Так, если рас-

крыть скобки в формуле (1.3.1):

 

TTTTT+T

YαY+αY=Yα+αY=Y

ˆˆˆ



, (1.3.5)

после чего прибавить и отнять фактическое значение в правой части в (1.3.5), то

получим:

TTTTT+T

YYYαY+αY=Y 

ˆˆˆ

. (1.3.6)

Если теперь в (1.3.6) вынести за скобки

1



, то мы придѐм к новой форме,

по-прежнему математически тождественной формам (1.3.1) и (1.3.2):

 

TTT+T

YYαY=Y



. (1.3.7)

Однако благодаря такому представлению полученную модель можно в

очередной раз трактовать несколько иначе. Удобней всего это сделать, если

вместо

1α

ввести коэффициент

1 α



и использовать формулу (1.3.3), тогда

формула (1.3.7) может быть преобразована к виду:

TT+T

Y=Y





. (1.3.8)

Графически представить механизм формирования прогноза в соответствии с

- Модель

- Факт

VIII

III

VII

Рис. 1.3.2. Графическое представление механизма адаптации в модели (1.3.2)

(1.3.8) можно так, как это показано на рис. 1.3.3.

По своей логике этот механизм напоминает описанный для рис. 1.3.2, одна-

ко у него есть некоторые отличия. Так модель изначально формируется исходя

из предыдущего фактического значения, а не из предыдущего расчѐтного (зна-

чение точки I переносится на следующее наблюдение в точку III), которое затем

корректируется на величину отклонения факта (точка I) от прогноза (точка II) на

предыдущем наблюдении пропорционально значению коэффициента β.

Для классических пределов изменения постоянной сглаживания от нуля до

единицы коэффициент

1 α



лежит в пределах

 

1; 0

. При положительном

знаке текущей ошибки аппроксимации фактическое значение, выступающее в

качестве ориентира для прогноза, уменьшается на откорректированную вели-

чину текущей ошибки аппроксимации ε

. Это значит, что прогноз по модели

Брауна при постоянной сглаживания, лежащей в классических пределах, обла-

дает свойством инерционности – следующее прогнозное значение никогда не

достигнет уже имеющегося текущего.

В случае запредельного множества (1.2.15) коэффициент β лежит в преде-

лах

 

0;1

. В таком случае при положительном отклонении фактического значе-

ния от расчѐтного модель предполагает дальнейшее увеличение показателя,

превышающее достигнутый уровень. Поэтому фактическое значение увеличи-

вается на величину текущего отклонения, скорректированного на поправочный

коэффициент β.

Значит, в классических границах изменения постоянной сглаживания мо-

дель Брауна инерционна, а в запредельных случаях свойство инерционности

исчезает. Необратимые процессы мы разделили на две группы эволюционные и

хаотические. Зная свойства каждой из этих групп процессов, можно дать ин-

терпретацию модели Брауна.

Рис. 1.3.3. Графическое представление механизма адаптации в модели (1.3.8)

- Модель

- Факт

VIII

III

VII