Светуньков С.Г. Методы социально-экономического прогнозирования. Том II

Подождите немного. Документ загружается.

Как видно из (1.6.7) – (1.6.8), там таким параметром выступил коэффици-

ент пропорциональности а

. Как предложенный подход применить, например, к

квадратичной зависимости? Запишем вначале уравнение этой зависимости:

0 1 2t t t

Y a a x a x  

. (1.6.12)

Если от этой модели, построенной для момента времени t, отнять эту же

модель, построенную в предыдущий момент времени t-1, получим:

1 1 1 2 1

( ) ( )

t t t t t t

Y Y a x x a x x

  

    

. (1.6.13)

Разделив левую и правую части полученного равенства на приращение ар-

гумента, получим некоторую оценку первой производной функции в проме-

жутке времени между t и t-1:

1 2 1

()

a a x x



  



. (1.6.14)

Как и следовало ожидать, эта оценка представляет собой линейную функ-

цию. Если теперь от левой и правой частей полученного значения (1.6.14) от-

нять левые и правые части этого же равенства, но вычисленного в предыдущий

промежуток времени между t-1 и t-2

1 2 1 2

()

a a x x





  



то коэффициент a

сокращается и получаем формулу для вычисления единст-

венного коэффициента модели (1.6.12):

1 1 2

( ) /( )

t t t t

Y Y Y Y

a x x

x x x x

  



  



  



. (1.6.15)

Теперь можно сформулировать простую процедуру краткосрочного про-

гнозирования квадратичной факторной зависимости с помощью метода Брауна.

Значение коэффициента a

, вычисленное в соответствии с (1.6.15) для лю-

бого реального ряда социально-экономической динамики, отражает текущие

изменения в этой динамике и представляет собой некоторый динамический ряд

}. Само значение коэффициента будет меняться относительно некоторого

среднего значения, которое и будет являться лучшей прогнозной оценкой этого

коэффициента на краткий срок. При этом, поскольку ряд эволюционный, то те-

кущая информация о значении коэффициента важнее, чем прошлая, поэтому

усреднение следует осуществлять с помощью скользящей взвешенной средней,

а из множества возможных способов такого вычисления средней мы отдаѐм

предпочтение методу Брауна:

. (1.6.17)

1 1 2

2 1 2 2

1 1 2

ˆˆ

( ) /( ) (1 )

T T T T

Y Y Y Y

a x x a

x x x x



  



  



    



. (1.6.16)

Для того чтобы спрогнозировать экономический показатель Y

t+1

по извест-

ному значению показателя x

t+1

и прогнозному значению a

2t+1

, воспользуемся

формулой (1.6.15), из которой следует:

1 2 1 1 1 1

( ) ( )

t t t t t t t

Y Y a x x x x



    









    











Вновь, как видно, оптимизируется только одно значение постоянной

сглаживания, что логично, поскольку именно этот параметр корректирует по-

ведение модели в условиях меняющихся внешних условий, способствуя соот-

ветствующему изменению параметров модели. Применительно к временному

ряду, когда в качестве объясняющего фактора выступает время, алгоритм ещѐ

более упрощается. Действительно, если вместо x

поставить t, а вместо x

t-1

подставить t-1, то формулы (1.6.15) – (1.6.17) будут преобразованы следую-

щим образом:







ttt

yyy

. (1.6.18)

Прогнозное значение коэффициента a

на следующий шаг наблюдения бу-

дет вычисляться по методу Брауна в соответствии с формулой (1.6.16), а все ос-

тальные коэффициенты (при необходимости) так:

1, 1 1 2, 1

ˆˆ

(2 1)

t t t t

a y y a t

  

   

. (1.6.19)

Свободный член модели (1.6.12) определяется ещѐ проще:

0, 1 1, 1 2, 1

ˆ ˆ ˆ

t t t t

a y a t a t

  

  

(1.6.20)

Зная прогнозные значения всех трѐх коэффициентов модели (1.6.12), мож-

но спрогнозировать значение временного ряда на следующий шаг:

1 0, 1 1, 1 2, 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

( 1) ( 1)

t t t t

y a a t a t

   

    

(1.6.21)

Можно выполнить прогноз на два, три и т.п. шагов прогнозирования.

Предложенный подход легко распространить и на авторегрессионные мо-

дели. Покажем теперь, как его применить к нелинейным моделям, которые

представлены в мультипликативной форме, например, к экспоненциальной мо-

дели типа:

y a e

(1.6.22)

Для этого следует линеаризовать модель, прологарифмировав левую и

правую части модели:

ln ln

y a a x

(1.6.23)

Для полученной линейной модели типа (1.6.3) необходимо применить ло-

гику, изложенную в (1.6.6) – (1.6.8). В соответствии с ней сначала находится

коэффициент а

ln ln









(1.6.24)

Затем рассчитываются экспоненциально взвешенные значения коэффици-

ента a

по методу Брауна:

1 1 1

ln ln

ˆˆ

(1 )







  



(1.6.25)

После чего выполняется прогноз самого показателя на следующий шаг на-

блюдения (t+1).

1 1 1 1

ln ln ( )

t t t t t

y y a x x

  

  

. (1.6.26)

Или

1 1 1

()

t t t

a x x

y y e









. (1.6.27)

Если перед прогнозистом стоит более простая задача, а именно прогнози-

рование временного ряда, описываемого экспоненциальным трендом, то задача

эта решается с помощью следующих формул, которые со всей очевидностью

вытекают из предыдущих рассуждений:

1 1 1 1

ˆˆ

(ln ln ) (1 )

t t t t

a y y a





   

. (1.6.28)

1 1 1

ln ln

t t t

y y a





. (1.6.29)

Или

y y e





. (1.6.30)

Как видно, возможности для применения различных модификаций метода

Брауна ограничены лишь классом применяемых моделей.

Продемонстрируем приемлемость изложенных положений на одном из

примеров, а именно на курсе доллара США, меняющегося в ходе торгов на

ММВБ. Для того чтобы демонстрация была наиболее убедительной, был взят

участок нестационарного поведения курса доллара США – с 08.06.1992 по

01.12.1992 (табл. 1.6.1). Начало 90-х годов прошлого века в России характери-

зовалось изменением всех экономических взаимоотношений, структуры и ме-

ханизмов хозяйствования. Курс доллара США в эти годы также находился под

влиянием этих процессов, отражая сложность экономической динамики. Как

легко убедиться из данных таблицы, динамика курса доллара нестационарна и

необратима по своей сути, поэтому при прогнозировании курса доллара США

следует воспользоваться или непосредственно методикой Брауна, или одной из

ее модификаций. В данном случае можно предположить возможность исполь-

зования как аддитивных моделей, так и моделей в мультипликативной форме.

Воспользуемся алгоритмами, подробно рассмотренными в данном пара-

графе, применяя временную зависимость показателя курса доллара США. В ка-

честве критерия оптимизации постоянной сглаживания будем использовать

критерий минимизации дисперсии отклонения фактических значений курса

доллара от рассчитываемых по модели Брауна или еѐ модификаций.

Таблица 1.6.1

Курс доллара США на торгах ММВБ (руб./долл.)

Дата

Курс

Дата

Курс

Дата

Курс

08.06.92

112,0

14.08.92

162,0

03.10.92

317,0

12.06.92

112,5

18.08.92

161,0

06.10.92

342,0

16.06.92

120,0

22.08.92

162,0

08.10.92

335,0

20.06.92

127,53

25.08.92

167,0

11.10.92

335,0

23.06.92

146,3

27.08.92

208,0

13.10.92

338,0

25.06.92

147,0

31.08.92

213,0

17.10.92

369,0

28.06.92

144,3

04.09.92

213,0

20.10.92

370,0

03.07.92

135,08

08.09.92

205,0

24.10.92

383,0

07.07.92

131,3

11.09.92

203,0

29.10.92

397,0

11.07.92

131,3

14.09.92

205,0

02.11.92

395,0

16.07.92

137,0

17.09.92

207,0

06.11.92

401,0

20.06.92

153,08

20.09.92

241,0

10.11.92

403,5

24.07.92

157,0

14.09.92

205,0

14.11.92

420,0

28.07.92

160,0

17.09.92

207,0

17.11.92

448,0

01.08.92

162,0

20.09.92

241,0

19.11.92

448,0

04.08.92

162,0

23.09.92

249,0

22.11.92

450,0

07.08.92

161,0

29.09.92

255,0

27.11.92

447,0

10.08.92

162,0

01.10.92

280,0

01.12.92

417,0

Расчѐты показали, что лучшей из всех аддитивных моделей, прогнози-

рующей указанные данные с наименьшей среднеквадратичной ошибкой δ

(СКО), оказалась линейная модель (1.6.9). Для нее оптимальное значение по-

стоянной сглаживания оказалось равным 0,191. При этом δ=20,07 руб./долл.

Малое значение оптимального значения постоянной сглаживания α=0,191 го-

ворит о незначительной адаптивности модели к текущей информации и о еѐ

сильной инерционности.

Значительно лучше описывают данный отрезок динамики курса доллара

США на ММВБ модели в мультипликативной форме. Из них лучшей оказа-

лась экспоненциальная модель (1.6.28) – (1.6.30). Для нее оптимальное значе-

ние постоянной сглаживания α=0.048. СКО оказалось в этом случае равным

δ=9,858 руб./долл. Модель, как видно, также в малой степени адаптивна к те-

кущей информации.

Если теперь воспользоваться непосредственно моделью Брауна, то опти-

мальное значение постоянной сглаживания оказалось равным α=1,249, что сви-

детельствует о хаотичном характере динамики курса доллара, при этом средне-

квадратичная ошибка ретропрогноза оказалась равна δ=2,041 руб./долл.

Таким образом, модель Брауна, рассчитанная на запредельном множестве,

оказалась для данного участка временного ряда значительно точнее, чем более

сложные линейные и нелинейные модели трендов.

В краткосрочном прогнозировании производственных процессов можно

использовать производственную функцию Кобба–Дугласа. Покажем, как мож-

но достаточно просто использовать наш подход к этому случаю.

Производственная функция Кобба–Дугласа имеет вид:

t t t

Y АL K







, (1.6.31)

где Y

– производственный результат;

– затраты трудовых ресурсов;

– затраты капитальных ресурсов;

α – параметр, меняющийся в пределах от нуля до единицы.

Для применения метода Брауна к задаче краткосрочного прогнозирования

производственных процессов следует прологарифмировать левую и правую

части равенства (1.6.31). Получим:

ln ln ln (1 )ln

t t t

Y А L K



   

. (1.6.32)

Откуда после небольших преобразований и замены переменных получим

простую линейную однофакторную модель:

ln ln ln

А y a a x



    

. (1.6.33)

Способ адаптации этой модели, которая представляет собой простую ли-

нейную однофакторную модель, с помощью метода Брауна изложен выше

(1.6.7), (1.6.8).

В заключение следует указать на принципиальную возможность примене-

ния метода Брауна при краткосрочном прогнозировании многофакторных зави-

симостей.

Пусть необходимо для краткосрочного прогнозирования использовать

многофакторную модель, учитывающую влияние n факторов:

1, 2, ,

( ) ( ) ... ( )

t t t n t

y f x f x f x   

. (1.6.34)

Построение такой модели само по себе зачастую представляет сложную

задачу, решение которой подробно изложено в одной из работ

. Так как пара-

метры этой модели должны быть адаптированы к текущим изменениям, к ним

нет смысла требовать выполнения обычных условий, при которых лучшей

оценкой является оценка метода наименьших квадратов (МНК). Напротив, в

этом случае наилучшим способом построения и адаптации модели будет вы-

ступать метод синтеза однофакторных моделей в многофакторную

. Для этого

строится n однофакторных моделей:

( ), 1,2,3,...,

t i t

y F x i n

(1.6.35)

которые с помощью весовых коэффициентов v

синтезируются в единую мо-

дель:

1 1, 2 2, ,

( ) ( ) ... ( )

t t t n n t

y v F x v F x v F x   

(1.6.36)

Весовые коэффициенты рассчитываются по известной методике

, исходя

из точности аппроксимации каждой из однофакторных моделей (1.6.35). Эти

коэффициенты остаются неизменными, а каждая из однофакторных моделей

адаптируется вышеизложенным способом, а затем с помощью этих весовых ко-

эффициентов v

синтезируют общую прогнозную модель.

Очевидно, что количество постоянных сглаживания α

будет в точности

равно количеству n моделей (1.6.35).

Здесь уместно напомнить, что в существующем разделе теории кратко-

срочного прогнозирования для решения этой задачи предлагается использовать

сложную и очень трудоѐмкую процедуру численных методов (чаще всего – ме-

тод градиентного спуска).

Обобщая всѐ вышесказанное, можно сделать вывод о том, что модель лю-

бой сложности, если еѐ возможно линеаризовать, может быть использована для

краткосрочного прогнозирования в экономике с помощью предложенного под-

хода методом Брауна.

Светуньков С.Г. Методы маркетинговых исследований. – СПб.: Изд-во ДНК, 2003. – 352 с.

Рабочая книга по прогнозированию. – М.: Мысль, 1982. – 430 с.

Там же.

ГЛАВА ВТОРАЯ. СРЕДНЕСРОЧНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

ЭВОЛЮЦИОННЫХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Общая схема оценивания коэффициентов прогнозных моделей

Если задачей краткосрочного прогнозирования эволюционных процессов

является приспособление модели к краткосрочно действующим отклонениям от

общей тенденции, то задача среднесрочного прогнозирования эволюционной

динамики заключается в том, чтобы, уловив наметившиеся отклонения от об-

щей тенденции, вызванные адаптацией социально-экономического объекта к

изменившимся внешним и внутренним условиям, оценить будущую динамику с

учѐтом этих отклонений. Задача эта не очень проста.

Действительно, динамика движения, например Земли и других планет во-

круг Солнца, стационарна – траектория этого движения, отмеренная во време-

ни, не меняется. Более того, если перед прогнозистом стоит задача определить

положение в солнечной системе, например, Земли через четыре месяца, то для

этого он постарается собрать как можно больше данных о том, как менялось

расстояние от Земли до Солнца Y

для того, чтобы по этим данным построить

точную модель движения Земли во времени и в пространстве Y

=f(t).

При этом очевидно правило – чем длиннее ряд наблюдений {Y

}, тем точ-

нее будет построена модель движения Земли вокруг Солнца и тем точнее будет

оценка коэффициентов модели. Сто наблюдений для этой задачи будет пред-

почтительнее, чем пятьдесят; тысяча наблюдений – ещѐ предпочтительнее, чем

сто; десять тысяч наблюдений позволят построить вполне адекватную прогноз-

ную модель.

Валовой внутренний продукт России тоже меняется во времени. Его чисто

формально также можно представить как некоторый динамический ряд {Y

}. Но

для того, чтобы построить модель тренда этого показателя и оценить значения

его коэффициентов, вряд ли кто из прогнозистов бросится собирать данные о

ВВП России за весь XX, XIX, XVIII и XVII век в стремлении построить наибо-

лее точную прогнозную модель. Даже данные за 1997 год мало пригодны для

прогноза ВВП России в настоящее время, поскольку дефолт 1998 года сущест-

венно изменил экономическую систему России – высокая цена иностранной ва-

люты после 1998 года сделала конкурентоспособными по цене отечественные

товары, спрос на которые со стороны россиян послужил стартѐром роста про-

изводства.

К 2000 году проявилась во всей силе и другая тенденция – рост цен на топ-

ливно-энергетические ресурсы, что для ресурсоориентированной экономики

России послужило ещѐ одним фактором роста экономики страны и ВВП как еѐ

основного показателя.

Поэтому тенденции роста ВВП с 1999 года отражают другое состояние

экономики, нежели тенденции в предыдущие годы. Неслучайно с 2002 года как

заклинания звучали с высоких трибун российской государственности слова:

«удвоить к 2010 году ВВП России по сравнению с 2000 годом». Если проанали-

зировать сложившуюся к тому моменту тенденцию последних трѐх-четырѐх

лет и описать еѐ различными трендами, с их помощью получался оптимистиче-

ский прогноз – к 2010 году ВВП России становится в два раза больше ВВП в

2000 году. Другое дело, что аналитики, выполнявшие подобные прогнозы, за-

были, что имеют дело с эволюционными необратимыми процессами, что тен-

денции, сложившиеся и длящиеся определѐнный промежуток времени, в ско-

ром времени под влиянием внешних и внутренних факторов будут меняться. И

действительно, вместо обещанного удвоения ВВП России к 2010 году страна

находилась в состоянии экономического кризиса, поразившего экономику не

только России, но и других стран мира.

Таким образом, главный принцип выборочного метода – чем больше соб-

рано информации о прошлом состоянии объекта, тем лучше, поскольку можно

точнее оценить коэффициенты модели, – для необратимых процессов абсолют-

но не пригоден. В этом случае необходимо собрать информацию о динамике

объекта только за тот период, когда сам объект не успел изменить свои основ-

ные свойства, когда наблюдаемые количественные данные не привели объект к

новому качеству. То есть необходимо предварительно определить период инер-

ционности объекта социально-экономического прогнозирования, а затем, ори-

ентируясь на продолжительность этого периода, сформировать базу данных. К

сожалению, формальных процедур, решающих эту задачу, пока не разработано.

Приходится предварять сбор статистики серьѐзным экономическим анализом

(фундаментальным анализом), опираясь на опыт и интуицию экспертов.

Поскольку построенную в такой ситуации модель ни в коем случае нельзя

воспринимать как одно из приближений к математическому ожиданию процес-

са (его не существует), а следует понимать как некоторое описание тенденции,

действовавшей в определѐнный промежуток времени, то требования к оценкам

таких моделей существенно смягчаются.

Если при прогнозировании обратимых процессов, в том числе и динамиче-

ских, наилучшими оценками коэффициентов модели с позиций еѐ приближения

к математическому ожиданию процесса являлось требование минимизации

суммы квадратов отклонений расчѐтных значений от фактических, то для по-

строения трендов эволюционных процессов это требование не имеет смысла.

Вновь возникает задача построения наилучшей модели, но критерий, по кото-

рому можно выбрать лучшую модель, не может быть перенесѐн из задач про-

гнозирования стационарной экономики. Критерий выбора наилучшей модели

перестаѐт быть строго статистическим.

Поскольку наблюдаемый признак (показатель) y

представляет собой ре-

зультат сложного взаимодействия детерминированной составляющей y’

, слу-

чайной составляющей ε

и неопределѐнной составляющей μ

t t t t



  

, (2.1.1)

успех прогноза определяется не тем, насколько хорошо описаны детерминиро-

ванный и случайный компоненты, а тем, насколько верно оценены направление

и сила изменения неопределѐнной составляющей. Но ведь неопределѐнная со-

ставляющая прогнозисту не известна, еѐ влияние он может оценить только по

результирующему наблюдаемому признаку y

. Как видно, задача представляет-

ся весьма сложной.

Тривиальной теперь представляется задача прогнозирования обратимых

процессов, поскольку для них обоснованно предполагается, что чем лучше вы-

бранная модель описывает имеющуюся выборку с позиций минимума диспер-

сии ошибки аппроксимации, тем в большей степени она пригодна для прогно-

зирования. В случае прогнозирования эволюционирующих процессов хорошее

описание прошлого вовсе не является гарантией такого же хорошего прогнози-

рования будущего. Более того, как уже говорилось ранее, для целей предсказы-

вания будущего ценнее текущая информация, чем прошлая. Поэтому, выбрав

вид модели, необходимо так оценить еѐ коэффициенты, чтобы она лучше про-

гнозировала будущее, чем аппроксимировала прошлое. Но если МНК не явля-

ется априорно наилучшим методом для оценки коэффициентов тренда, то что

же может использовать прогнозист из арсенала выборочного метода: элемен-

тарные методы конечных разностей и средних? Такой выбор представляется

маловатым.

Вопрос о том, каким образом найти коэффициенты выбранной модели, в

теории прогнозирования применительно к необратимым процессам в полной

мере не ставился. Принято использовать МНК, после чего различными проце-

дурами корректируют полученные оценки. И использование МНК для оценива-

ния коэффициентов модели ничем не обосновывается, кроме привычки, выра-

ботанной десятилетиями применения этого метода для статистической обра-

ботки различных экономических зависимостей. К тому же в распоряжении про-

гнозиста есть множество прикладных программ, в которых МНК «зашит» по

определению и применяется по умолчанию.

На самом деле МНК является лишь одним из возможных и далеко не луч-

ших методов оценки коэффициентов моделей необратимых процессов социаль-

но-экономической динамики. Даже в случае применения выборочного подхода

обратимых процессов МНК является лучшим способом оценки коэффициентов

модели в ситуации нормального распределения случайных величин. Для других

распределений случайных величин лучшими будут являться другие методы –

метод моментов, метод Ньютона, метод спейсингов или разнообразные методы

непараметрической регрессии.

Конечно, МНК используется чаще всего при обработке статистических

выборок, но это вовсе не говорит о том, что он – самый лучший метод. Просто

чаще всего в случайных совокупностях обратимых процессов проявляются ус-

ловия, для которых наилучшим будет именно МНК – множество случайных

факторов действуют незначительно на статистический показатель, причѐм дей-

ствуют разнонаправленно, поэтому результат этого действия вполне описыва-

ется нормальным распределением.

Какие же методы могут выступить в виде альтернативы МНК для решения

задачи оценивания коэффициентов моделей, описывающих необратимые про-

цессы? Ведь эти процессы многообразны, и наперѐд узнать, к какому типу они

относятся, чтобы применить лучший метод (или набор методов), чаще всего

нельзя. Нужен некоторый набор различных методов, в том числе и МНК, для

того, чтобы, испробовав каждый из них, с помощью процедуры ретропрогноза

выбрать лучший для этого процесса метод. То есть вместо априорного подхода,

который характерен для задач математической статистики, следует использо-

вать апостериорный подход, когда тщательно изучив особенности прогнози-

руемого процесса, испробовав несколько подходов, можно выбрать наилучший

из них.

Здесь следует сказать несколько слов о самом апостериорной подходе и

его сравнении с априорным. Настоящий прорыв в науке произошѐл как раз по-

сле того, как на смену Аристотелевому дедуктивному выводу пришѐл индук-

тивный вывод. В соответствии с ним учѐный, обнаружив некоторую законо-

мерность в исследуемом процессе, высказывает гипотезу о том, что эта законо-

мерность присуща и для всех остальных подобных процессов, протекающих в

аналогичных условиях. Такой вывод освобождал учѐного от необходимости

подкреплять свои выводы многочисленными и трудоѐмкими натурными экспе-

риментами и опытами, описывающими генеральную совокупность. Решающая

роль в науке стала отводиться гипотезе – предварительному высказыванию о

сути изучаемого процесса, базирующемуся на научных принципах, подходах и

знаниях, но носящему всѐ же характер возможности, но не истины. Наука стала

строиться, опираясь на гипотетико-эмпирический вывод, более дешѐвый и по-

тому эффективный. В соответствии с его логикой в начале исследования выска-

зывается научная гипотеза, которая проверяется на имеющихся данных. Если

гипотеза не отвергается, то по вероятности делается вывод о верности выска-

занной гипотезы.

Математическая статистика, позволяющая моделировать обратимые про-

цессы, как раз и является математическим инструментом индуктивного вывода,

инструментом априорного подхода. Она позволяет по нескольким наблюдени-

ям судить о генеральной выборке в целом.

Апостериорный подход можно отнести к области Аристотелевого вывода.

Он требует предварительного тщательного анализа процесса, вместо гипотети-

ко-эмпирического вывода априорного подхода в данном случае равнодопусти-

мыми являются все возможные гипотезы, которые вытекают из свойств эмпи-

рических данных. Именно тщательное изучение свойств наблюдаемого объекта

позволяет генерировать гипотезы о том, почему объект ведѐт себя так, а не ина-

че. И только после того, как высказаны все возможные гипотезы, каждая из них

проходит тщательную проверку. Это эмпирико-дедуктивный вывод. Очевидно,

что он значительно более трудоѐмок, нежели гипотетико-эмпирический вывод.

Но применительно к необратимым процессам априорное предположение о ха-

рактере изучаемого процесса сделать невозможно – свойства необратимых

процессов меняются со временем.

Но поскольку современная наука вооружена вычислительной техникой,

позволяющей легко решать ранее считавшиеся трудоѐмкими задачи, то и апо-

стериорный подход может использоваться наряду с априорным, в том числе и в

задачах социально-экономического прогнозирования.

При построении прогнозных моделей необратимых процессов прогнозист

не может утверждать то, какая модель лучше всего будет прогнозировать сле-