Светуньков С.Г. Методы социально-экономического прогнозирования. Том II

Подождите немного. Документ загружается.

дело и с такими ее показателями, которые имеют как раз ярко выраженную

тенденцию.

Для того чтобы использовать достаточно простой и эффективный меха-

низм модели Брауна для краткосрочного прогнозирования рядов, имеющих яр-

ко выраженную тенденцию роста, был предложен ряд модификаций метода

Брауна. В настоящее время известны метод Холта, метод Холта с модификация-

ми Муира, метод двойного сглаживания Брауна, метод адаптивного сглаживания

Брауна, метод Бокса–Дженкинса, метод Муира, сезонно-декомпозиционная про-

гностическая модель Холта–Винтера, модель с аддитивной сезонной состав-

ляющей Тейла–Вейджа, обобщенный адаптивно-сглаживающий метод Брауна,

метод Брауна–Майера и другие

Разберѐм суть этих модификаций. Начнѐм с самой простой модели – моде-

ли линейного тренда. Воспользуемся для этого материалами, изложенными в

работе Ю.П. Лукашина. Для рядов, имеющих линейную динамику, можно по-

строить следующую модель линейного тренда

TTT

aaY

,2,1







, (1.5.1)

здесь



T

– прогнозное значение ряда, сделанное на η шагов вперѐд;

– расчѐтное значение коэффициента, характеризующего начальное

значение динамического ряда,

– расчѐтное значение коэффициента пропорциональности между из-

меняющимся временем η и показателем Y

, который характеризует прирост по-

казателя во времени.

Ч. Холт предложил оценивать расчѐтные значения коэффициентов модели

(1.5.1) так:

 

1,21,111,1





TTTT

aaYa



, (1.5.2)

 

1,221,1,12,2





TTTT

aaaa



. (1.5.3)

Если попытаться дать интерпретацию предложенных Холтом формул,

опираясь на уравнение линейного тренда, то сделать это будет нелегко. Поэто-

му обратимся непосредственно к сути формул (1.5.2) и (1.5.3) для того, чтобы

понять логику рассуждений Холта. Коэффициент a

меняется во времени и рас-

тѐт, не являясь постоянным, также как и другой коэффициент. Это следует из

формулы (1.5.2), в которой первое слагаемое характеризует достигнутый уро-

вень возрастающего ряда, а второе – прирост этого уровня.

Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. – М.: Финансы и стати-

стика, 1986.

Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. –

М.: Финансы и статистика, 2003. – С. 36.

Сразу необходимо обратить внимание на следующее. Если показатель Y

измеряется, например, в рублях, то и коэффициент a

также измеряется в руб-

лях. Из (1.5.1) следует, что другой коэффициент a

должен измеряться как

скоростной параметр отношением руб./время. Поэтому непосредственно скла-

дывать коэффициент a

и коэффициент a

, как это сделано во втором слагае-

мом правой части равенства (1.5.2), нельзя – как нельзя складывать расстояние

и скорость. Поэтому можно предполагать, что в скобках второго слагаемого

равенства (1.5.2) коэффициент a

умножается на время η, которое в данном

случае равно единице и поэтому в формулу не включено. Только в этом слу-

чае размерности слагаемых совпадут и можно производить их сложение. Та-

ким образом, время в модели Холта не имеет точку отсчѐта, и его показатель η

является приростным, причѐм расстояния между двумя соседними наблюде-

ниями равны единице. Время в модели Холта равномерно. Из этого следует,

что модель (1.5.1) представляет собой не общеизвестное уравнение тренда, а

модель линейной авторегрессии первого порядка с постоянным приростом, то

есть:

TTTT

aaYYY

,2,11

ˆˆ





. (1.5.4)

Если рассматривать модель именно так, то смысл каждого равенства моде-

ли Холта становится очевидным.

Формула (1.5.2), позволяющая вычислить адаптивное значение коэффици-

ента a

, представляет собой модель Брауна, первое слагаемое которой характе-

ризует фактически достигнутый уровень ряда в момент времени t, а второе сла-

гаемое – характеризует ее расчѐтное значение в предыдущий момент. Иначе го-

воря, метод Брауна в этой ситуации применим к прогнозированию значений ко-

эффициента a

Легко понять теперь и смысл второго уравнения модели Холта (1.5.3).

Первое слагаемое равенства (1.5.3) представляет собой характеристику посто-

янного прироста модели авторегрессии (1.5.4), а второе слагаемое характеризу-

ет состояние коэффициента a

в предыдущий момент времени. Вновь методом

Брауна прогнозируется значение коэффициента a

Принципиальный недостаток этого подхода заключается в том, что необ-

ходимо оптимизировать одновременно два параметра – α

и α

, что не всегда

представляет собой простую вычислительную задачу.

В существующей теории и практике социально-экономического прогнози-

рования значения постоянных сглаживания ограничиваются пределами от 0

до 1. Если в модели Брауна, разработанной для прогнозирования некоторого

изменяющегося во времени показателя, ограничения на постоянную сглажива-

ния логично следовали из предпосылок самой модели, поскольку она представ-

ляла собой среднюю взвешенную ряда, то в модели Холта (как и во многих

других модификациях метода Брауна) такое ограничение не вытекает из

свойств модели. Это возможно только в том случае, когда есть основания апри-

орно предполагать, что коэффициенты линейного тренда меняются во времени

относительно некоторого постоянного уровня, это во-первых, и они не зависи-

мы друг от друга, это во-вторых.

Весьма часто прогнозист может предполагать, что на определѐнном про-

межутке времени значения коэффициентов модели меняются относительно не-

которого своего уровня. Но независимость коэффициентов a

и a

не выполня-

ется никогда: в (1.5.2) при расчѐте коэффициента a

используется значение ко-

эффициента a

, а при вычислении с помощью (1.5.3) коэффициента a

напря-

мую используется коэффициент a

. Поскольку каждый из коэффициентов вы-

числяется с помощью собственного значения постоянной сглаживания, получа-

ется, что постоянная сглаживания α

влияет на постоянную сглаживания α

, и

наоборот. Это говорит о том, что использование классических пределов на об-

ласти изменения постоянных сглаживания в методе Холта является необосно-

ванным.

Для того чтобы понять, каким же должно быть ограничение на постоянные

сглаживания на самом деле, попробуем так же, как это было сделано ранее, вы-

разить прогнозное значение через предыдущие фактические. Для начала под-

ставим в формулу (1.5.1), предполагая, что

1



, из формулы (1.5.3) значение

коэффициента

. Получим:

 

1,221,1,12,11





TTTTT

aaaaY



. (1.5.5)

Теперь подставим в (1.5.5) значение коэффициента

из (1.5.2):

 

  

 

1,221,11,21,11121,21,1111

111





TTTTTTTTT

aaaaYaaYY



Раскроем скобки:

     

   

1,221,121,212

1,1121,211,111211

111









TTT

TTTTTT

aaa

aaaYYY





. (1.5.6)

Сгруппировав слагаемые, получим:

           

2211,22211,1211

111111





 TTTT

aaYY

(1.5.7)

Уже на этом этапе видно, что веса при фактических значениях в ряде дан-

ных не имеют ничего общего с весами в модели Брауна: коэффициенты сгла-

живания α

и α

складываются, вычитаются, перемножаются. Если попытаться

раскрыть эту формулу на большее число шагов назад (а не на один, как это мы

только что проделали), то можно прийти к достаточно сложному ряду, веса при

фактических значениях в котором будут сходиться к 1 при выполнении усло-

вия, которое явно не идентично ограничению постоянных сглаживания в пре-

делах от 0 до 1. Ограничения на область изменения постоянных сглаживания

будут описываться сложной функциональной зависимостью между ними:

 



f

. Однако в связи с тем, что вывод этой зависимости является нетриви-

альной задачей, не представляющей интереса с позиций задач, изучаемых в

учебнике, заметим лишь, что эти пределы не определены.

Из этого следует, что ограничение каким-либо образом области определе-

ния постоянных сглаживания данной модели означает в первую очередь обед-

нение еѐ свойств. В связи с тем, что пределов изменения постоянных сглажива-

ния в методе Холта нет, единственным разумным ограничением будет принад-

лежность коэффициентов к области действительных чисел:





. (1.5.8)

В наше время решение задачи выбора постоянных сглаживания не пред-

ставляет особой сложности, так как практически любой программный продукт

(MS Excel, MathCad, Mathemathica) позволяет подобрать коэффициенты любой

модели, используя численные методы с каким-либо условием (например, ми-

нимизация суммы квадратов отклонений фактических значений от расчѐтных).

Эта особенность с ограничениями коэффициентов характерна не только

для модели Холта, но и для всех других модификаций метода Брауна, в кото-

рых используется несколько постоянных сглаживания.

Ещѐ одна проблема, связанная с моделью Холта, заключается в том, что

для начала расчѐтов по модели прогнозисту нужно каким-то образом задать на-

чальные значения коэффициентов

0,1

0,2

, но никакого универсального прин-

ципа задания этих коэффициентов не существует, а их первоначальное значе-

ние, естественно, влияет на прогнозные свойства модели. Коэффициенты моде-

ли можно рассчитать, используя метод наименьших квадратов, по всему ряду

наблюдений, по какой-то его части, задать на основе экспертных суждений –

вариантов много, никакого одного единственно верного принципа не существу-

ет. Таким образом, при построении модели Холта прогнозист вынужден подби-

рать не только оптимальные постоянные сглаживания, но ещѐ и выбирать

принцип задания коэффициентов модели (1.5.1), благодаря которому можно

было бы получить наиболее точный прогноз.

Ещѐ одним существенным недостатком модели Холта является допущение

о том, что ряд данных имеет некоторую тенденцию к линейному росту либо к

линейному снижению, изменяющуюся во времени. На практике это допущение

выполняется не часто – линейные тенденции роста показателя сменяются уча-

стками нелинейной динамики, которая вновь приобретает характер линейного

тренда. В таких ситуациях модель Холта даѐт посредственные прогнозы – не-

редко получается так, что прогноз, полученный по простой модели Брауна, ока-

зывается более точным, нежели прогноз по модели Холта.

Кроме указанных выше недостатков, обостряются проблемы расчѐта моде-

ли на малых выборках. В предыдущем параграфе 1.4 мы показали их суть и пу-

ти решения на примере простой модели Брауна. Эти же самые проблемы, но в

более сложной форме возникают и применительно к методу Холта и другим

модификациям модели Брауна. Удовлетворительного решения этих проблем

пока нет. Поэтому все рассматриваемые модификации применимы исключи-

тельно к длинным выборкам, на которых влияние первых расчѐтных значений

модели на прогноз мизерно.

Продолжая логику модификаций метода Брауна, в 1960-м году П.Р. Уин-

терс предложил модель с мультипликативной сезонной составляющей. Эта мо-

дель строится из предположения о том, что в ряде данных помимо линейных

тенденций имеются ещѐ и сезонные составляющие, которые повторяются с

одинаковой периодичностью s.

Модель Холта в таком случае модифицируется, дополняясь новыми со-

ставляющими, и представляет собой систему из четырѐх формул:

 

stttt

caaY





,2,1



, (1.5.9)

 

1,21,111,1









, (1.5.10)

 

1,221,1,12,2





tttt

aaaa



, (1.5.11)

 







. (1.5.12)

В формулах (1.5.9) – (1.5.12) c

t–s

– сезонная составляющая с лагом в s ша-

гов, α

– постоянная сглаживания при сезонном компоненте, а все остальные

обозначения имеют тот же смысл, что и в модели Холта (1.5.1) – (1.5.3).

Алгоритм построения модели заключается в следующем. Сначала исследо-

ватель рассчитывает коэффициенты a

1,0

и a

2,0

линейного тренда по какой-либо

части либо по всему ряду данных, после чего на некотором его участке, со-

стоящем из s наблюдений, рассчитывает сезонные составляющие c

по формуле:

taa

0,20,1





В результате этих вычислений исследователь получает ряд данных по се-

зонным коэффициентам c

, состоящий из s элементов, которые и используются

в уравнениях (1.5.9), (1.5.10) и (1.5.12).

Очевидным достоинством данной модели является то, что она позволяет

учитывать линейные тенденции с цикличностью, что довольно часто встречает-

ся в прогнозировании социально-экономической динамики.

Однако к явным недостаткам модели можно отнести как раз то, что в ее

основе лежит допущение о наличии только двух типов тенденций в рядах дан-

ных, которое на практике не всегда выполняется: линейные тенденции в рядах

данных могут сменяться нелинейными, а периодичность циклической состав-

ляющей непостоянна. Из-за этого у модели спустя некоторое время начинаются

серьѐзные расхождения с реальными данными.

Кроме того, большие сложности вызывает применение этой модели на ма-

лых выборках. В результате исследователю приходится много времени тратить

на подбор значений первых расчѐтных значений коэффициентов модели.

В случае если исследователь решает подобрать постоянные сглаживания,

используя какой-нибудь из критериев (например, минимум суммы квадратов

отклонений), в его распоряжении должны находиться 3 одинаковых части ряда

данных: по первой рассчитываются сезонные коэффициенты, по второй строит-

ся модель (но в расчѐте используются ещѐ не адаптированные сезонные коэф-

фициенты), и только по третьей можно подобрать оптимальные постоянные

сглаживания (из-за лага сезонности s).

Ещѐ одним недостатком модели Уинтерса является необходимость нахож-

дения оптимальных значений трех постоянных сглаживания. При этом все ко-

эффициенты модели и постоянные сглаживания взаимосвязаны, поэтому их об-

ласть ограничений ещѐ более сложно определить, чем в модели Холта. И вновь

задание по инерции области изменения постоянных сглаживания в классиче-

ских пределах от нуля до единицы является совершенно не обоснованным и

резко ограничивает прогнозные свойства модели.

Так как экономическая динамика многообразна в своих проявлениях, то и

типы динамики временных рядов многообразны. Априорное предположение

наличия линейной, некоторой однозначно заданной нелинейной или регуляр-

ной сезонной составляющих не всегда верно для социально-экономических

процессов. Для краткосрочного прогнозирования таких рядов со сложной, не-

однозначной по своему характеру динамикой предлагается воспользоваться ме-

тодом разложения еѐ в степенной ряд Тейлора. Таким образом, задача упроща-

ется до создания модели краткосрочного прогнозирования динамики с помо-

щью полиномиальных трендов

1 2 3 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ...

2! !

x a a a a



   



    

. (1.5.13)

Если вновь представить ряд как некоторое подобие авторегрессии и про-

межуток времени η представить одинаковым и равным единице, задача вновь

сводится к краткосрочному прогнозированию коэффициентов модели (1.5.13) с

помощью метода Брауна.

Продуктивность подхода, представляющего тренд в виде простой ли-

нейной авторегрессии первого порядка применительно к модели Брауна, за-

ставила учѐных развить этот подход и распространить его на более сложные

авторегрессионные модели. Этот класс моделей получил название "модели

авторегрессии – скользящего среднего (метод Бокса–Дженкинса)", известной

за рубежом под аббревиатурой «ARIMA» (Autoregressive integrated moving

average).

Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. –

М.: Финансы и статистика, 2003. – С. 63.

1.6. Краткосрочное прогнозирование факторных зависимостей

Модификации метода Брауна, широко использующиеся на практике, по-

зволяют выполнять удовлетворительные прогнозы для самых различных тен-

денций. Но у всех этих модификаций, как и у метода Брауна, имеется один не-

достаток – они разработаны исключительно для задач прогнозирования трен-

дов, изменяющихся только под влиянием равномерно текущего времени пока-

зателей. Но очень часто перед экономистом стоит более сложная задача – оце-

нить, как поведѐт себя прогнозируемый показатель, если изменится фактор,

влияющий на него. Например, руководителю предприятия важно знать: на-

сколько необходимо увеличить оплату труда (x

T+1

) для того, чтобы работники

организации повысили производительность труда до нужной величины (Y

T+1

)

при появлении срочного заказа. Поскольку зависимость производительности

труда от его оплаты представляет собой результат эволюционного процесса,

регрессионная модель будет с этой задачей справляться не очень хорошо, т. к.

текущая информация о зависимости между производительностью труда и его

оплатой отражает сложившиеся к настоящему моменту навыки, квалификацию

и отношение к труду работников, а информация за прошлые периоды времени

эти характеристики не отражает. Регрессионная же модель учитывает все дан-

ные одинаково. Поэтому для краткосрочного прогнозирования факторных за-

висимостей эволюционного процесса необходимо осуществить взвешивание

наблюдений так, чтобы их ценность для прогнозной модели уменьшалась с

убыванием наблюдений в прошлое. Но даже простую линейную однофактор-

ную модель:

Y aX

(1.6.1)

представить в виде авторегрессии (1.5.4) нельзя, а основные модификации ме-

тода Брауна, как было показано в предыдущем параграфе, исходят из представ-

ления модели именно в этом виде.

Для того чтобы использовать модель (1.6.1) для целей краткосрочного про-

гнозирования, специалистами был предложен очень громоздкий вариант, суть

которого такова

. Прологарифмировав левую и правые части равенства (1.6.1),

получим:

ln ln ln

Y a x

или

y k x

Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. –

М.: Финансы и статистика, 2003. – С. 305-306.

Если от левой и правой части равенства отнять значения этих показателей

в предыдущий момент времени, то будет получено следующее равенство:

11t t t t

y y x x



  

или

11t t t t

y x x y



  

В результате хитроумных подстановок и преобразований предлагается та-

кая модификация модели краткосрочного прогнозирования факторной зависи-

мости:

0 1 2 1 1t t t t

y x x y

   



   

. (1.6.2)

Для использования этой модели в целях краткосрочного прогнозирования

необходимо найти оптимальные значения четырѐх постоянных сглаживания –

, β

и α. Таким образом, задача краткосрочного прогнозирования фактор-

ной зависимости превращается в сложную и трудоѐмкую задачу, решение кото-

рой под силу далеко не каждому экономисту, прогнозирующему линейную

факторную зависимость. Попытки использовать более сложные, чем (1.6.1),

модели для краткосрочного прогнозирования оказываются ещѐ более громозд-

кими и запутанными. А задача краткосрочного прогнозирования многофактор-

ных зависимостей превращается в такую головоломку, что для использования

метода Брауна предлагается применять метод градиентного спуска и именно к

полученным уравнениям и алгоритму их решения реализовывать метод Брау-

на

. Именно потому, что математический аппарат краткосрочного прогнозиро-

вания факторных и многофакторных зависимостей очень сложен, он остаѐтся

уделом учѐных, упражняющихся в соревновании по применению всѐ более

сложных подходов, но не практикующих экономистов.

Покажем, что на самом деле метод Брауна легко может быть модифици-

рован к задачам краткосрочного прогнозирования с помощью факторных мо-

делей

. Для этого следует изменить сам принцип применения метода Брау-

на – вместо попыток использования авторегрессионных моделей, уровни ко-

торых адаптируются методом Брауна, будем адаптировать коэффициенты

моделей.

Рассмотрим вначале простую линейную модель, когда для момента t пока-

затель Y

может быть представлен в виде линейной зависимости от x

в этот же

момент времени:

Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. –

М.: Финансы и статистика, 2003.

Светуньков С.Г. Количественные методы прогнозирования эволюционных составляющих

экономической динамики. – Ульяновск: Изд-во УлГУ, 1999.

01tt

Y a a x

. (1.6.3)

В предыдущий момент времени t-1 показатель Y

t-1

будет определяться ра-

венством:

1 0 1 1tt

Y a a x





. (1.6.4)

С учѐтом этого (1.6.3) можно записать так:

0 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( )

t t t t t t t

Y a a x a x x Y a x x

   

      

. (1.6.5)

Из формулы (1.6.5) легко определить коэффициент а







. (1.6.6)

Поскольку реальные экономические зависимости не являются функцио-

нальными, а в лучшем случае – регрессионными, то, подставляя в исходную

модель (1.6.3) реальные данные, получим изменяющийся во времени коэффи-

циент (1.6.6), то есть временной ряд {a

}. Если, например, наблюдается кратко-

срочная тенденция к некоторому нелинейному росту прогнозируемого показа-

теля, то это будет отражаться увеличением коэффициента пропорциональности,

высчитываемого по формуле (1.6.6). Если же, наоборот, наблюдается кратко-

временная тенденция к замедлению роста, отличная от линейной тенденции, то

и это найдѐт отражение в кратковременном уменьшении коэффициентов моде-

ли, если их считать по формуле (1.6.6). После того, как эти кратковременные

тенденции прекратятся, коэффициент пропорциональности вновь будет коле-

баться под влиянием случайных факторов относительно некоторого своего

среднего значения. Таким образом, именно коэффициент a

будет отражать те

самые изменения в тенденциях, которые следует учесть при краткосрочном

прогнозировании. То есть в качестве того самого ряда, чьи значения необходи-

мо прогнозировать, должен выступать коэффициент пропорциональности a

А далее по прогнозным значениям этого коэффициента и значениям фактора

можно будет прогнозировать сам показатель.

Эта модификация метода Брауна для краткосрочного прогнозирования по-

казателя Y

в зависимости от фактора x

, будет с учѐтом изложенной выше ло-

гики иметь следующий вид.

Вначале рассчитываются экспоненциально взвешенные значения коэффи-

циента пропорциональности a

по методу Брауна:

1 1 1

ˆˆ

(1 )









  



(1.6.7)

Затем выполняется прогноз показателя Y на следующий шаг наблюдения

(T+1).

1 1 1 1

()

T T T T T

Y Y a x x

  

  

. (1.6.8)

Как легко можно убедиться из (1.6.8), вычислять значения свободного чле-

на не обязательно, и оптимизировать необходимо только один параметр.

Так как все наиболее часто применяемые модификации метода Брауна

предназначены для прогнозирования временных рядов, рассмотрим возмож-

ность применения нашего подхода к краткосрочному прогнозированию вре-

менного ряда, имеющего линейную тенденцию.

Фактором, определяющим изменение показателя Y, выступает время t, а

это означает, что зависимость (1.6.3) будет иметь вид:

01t

Y a at

. (1.6.9)

Тогда, воспользовавшись (1.6.7) – (1.6.8), имеем для ряда с постоянным

шагом наблюдения, равным единице (t-(t-1))=1:

1 1 1 1

ˆˆ

( ) (1 )

T T T T

a Y Y a





   

. (1.6.10)

Прогноз показателя Y на следующий шаг наблюдения (T+1) выполняется

так:

1 1 1

T T T

Y Y a





. (1.6.11)

Если сравнить предложенную модификацию метода Брауна с модифика-

цией Холта и другими модификациями, изложенными в предыдущем пара-

графе, то легко убедиться в преимуществах предложенного подхода (1.6.7) –

(1.6.8). Помимо простоты вычисления, важно то, что оптимизации подвергает-

ся только один параметр α, в то время как, например, у Холта – два параметра

и α

Для того чтобы получить иные модификации краткосрочного прогнозиро-

вания факторных зависимостей, используя подход, изложенный в данном пара-

графе, обобщим его на более широкий класс моделей. Для использования мето-

да Брауна для различных моделей в целях краткосрочного прогнозирования

необходимо, прежде всего, определить объект усреднения и прогнозирования,

который осуществляется с помощью метода Брауна. Действительно, метод

Брауна представляет собой экспоненциально взвешенную среднюю некоторой

переменной, поэтому его следует применять там, где некоторый параметр или

переменная меняется во времени и может быть представлен в виде скользящей

взвешенной средней. При этом в процессе усреднения в большей степени

должна учитываться текущая информация, чем прошлая.