Сударикова Е.В. Неразрушающий контроль в производстве. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

обсл

1/ ,tμ=

где

обсл

[]tMT=

– математическое ожидание времени обслужива

ния заявки.

Вместо «поток обслуживания – простейший» часто говорят «время

обслуживания – показательное». В дальнейшем для краткости вся

кую СМО, в которой все потоки простейшие, будем называть простей

шей СМО (главным образом, они и будут здесь рассматриваться).

Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в

СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискрет

ными состояниями и непрерывным времени. При выполнении неко

торых условий для этого процесса существует финальный стацио

нарный режим, при котором как вероятности состояний, так и дру

гие характеристики процесса не зависят от времени.

С помощью теории массового обслуживания решаются следую

щие задачи:

1) нахождение вероятностей различных состояний СМО;

2) установление зависимости между заданными параметрами (чис

лом каналов n, интенсивностью потока заявок λ, распределением вре

мени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности ра

боты СМО.

В качестве характеристик эффективности работы СМО могут

рассматриваться, например, следующие:

1) среднее число заявок A, обслуживаемое СМО в единицу време

ни, или абсолютная пропускная способность СМО;

2) вероятность обслуживания поступившей заявки Q или относи%

тельная пропускная способность СМО; Q = A/λ;

3) вероятность отказа P

отк

, т. е. вероятность того, что поступив

шая заявка не будет обслужена, получит отказ; P

отк

= 1 – Q;

4) среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в

очереди)

;

5) среднее число заявок в очереди

;

6) среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под

обслуживанием)

сист

;

7) среднее время пребывания заявки в очереди

;

8) среднее число занятых каналов k.

В общем случае вероятности различных состояний СМО и харак

теристики эффективности работы СМО зависят от времени. Но мно

гие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время,

и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стацио

нарному. Далее, не оговаривая этого каждый раз специально, будем

вычислять финальные вероятности состояний и финальные харак

теристики эффективности СМО, относящиеся к предельному, стаци

онарному режиму ее работы.

Система массового обслуживания называется открытой, если

интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от со

стояния самой СМО.

Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме

среднее время пребывания заявки в системе

сист

выражается через

среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

сист

/,tz=λ (4.9)

где λ – интенсивность потока заявок.

Аналогичная формула (называется также формулой Литтла) свя

зывает среднее время пребывания заявки в очереди

и среднее число

заявок в очереди:

/.tr=λ

(4.10)

Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять

не обе характеристики эффективности, а только какуюнибудь одну

из них.

Подчеркнем, что формулы (4.9) и (4.10) справедливы для любой

открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых ви

дах потоков заявок и обслуживаний); единственное требование к

потокам заявок и обслуживаний – чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет

формула, выражающая среднее число занятых каналов

через абсо

лютную пропускную способность A:

/,kA=μ

(4.11 )

где

обсл

1/tμ=

– интенсивность потока обслуживаний.

Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся

простейших СМО, решаются при помощи схемы гибели и размножения.

Для схемы гибели и размножения (рис. 4.4) финальные вероятно

сти состояний выражаются формулами:

001 01 1 01 1

112 12 12

001

102 0

112

01 1 01 1

12 12

;;

(0 ) ; ; .

ppp p

ppknpp

−

−−

⎫

⎛⎞

λλλ λλλ λλλ

⎪

=+ + ++ ++

⎜⎟

μμμ μμμ μμμ

⎪

⎝⎠

⎪

λλλ

⎪

⎬

μμμ

⎪

λλ λ λλ λ

=≤≤=

⎪

μμ μ μμ μ

⎪

⎭

(4.12)

При выводе формул для среднего числа заявок (в очереди или в

системе) широко применяется прием дифференцирования рядов, со

стоящий в следующем. Если x < 1, то

dd d

11 1

kkk

kk k

kx x x x x x

xx xx

∞∞ ∞

−

== =

====

−

∑∑ ∑

и окончательно

∞

−

∑

(4.13)

4.4. Финальные вероятности состояний и характеристики

эффективности для некоторых часто встречающихся типов

систем массового обслуживания

4.4.1. Простейшая СМО с отказами (задача Эрланга)

На nканальную СМО с отказами поступает простейший поток

заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с

параметром

обсл

1/tμ=

. Состояния СМО нумеруются по числу заявок,

находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди, число заявок совпа

дает с числом занятых каналов):

– СМО свободна;

– занят один канал, остальные свободны; ...;

– занято k каналов, остальные свободны (1 ≤ k ≤ n); ...;

– заняты все n каналов.

О чем эта задача? Проанализируем исходные данные.

1. «nканальная СМО» – это, например, n контролеров, работаю

щих в цеховой лаборатории НК и выполняющих одинаковую работу.

2. Поскольку «СМО с отказами», то партии продукции («поток

заявок»), пришедшие в момент, когда все контролеры заняты, не

принимаются (получают отказ).

3. «Партии продукции поступают на контроль с интенсивностью λ»

означает, что в единицу времени на контроль поступает в среднем λ

партий.

4. «Время обслуживания – показательное с параметром

обсл

1/tμ=

» означает, что время обслуживания заявки (т. е. время

контроля одной предъявленной партии) T

обсл

представляет собой слу

чайную величину, имеющую показательное распределение

обсл

0при 0;

()

при 0,

−μ

⎧

⎪

⎨

μ≥

⎪

⎩

где

обсл

1/tμ=

– параметр показательного распределения (

обсл

[]MT=

– математическое ожидание времени обслуживания (кон

троля) партии продукции). Параметр показательного распределения

m есть интенсивность потока обслуживаний (т. е. число контролиру

емых партий в единицу времени).

Теперь для поставленной задачи найдем финальные вероятности

состояний СМО и характеристики эффективности СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами

Эрланга:

1;(1,2,,),

1! 2! ! !

ppk n

−

⎧⎫

ρρ ρ ρ

=++++ = =

⎨⎬

⎩⎭

(4.14)

где

/.ρ=λ μ

Что мы получили?

1! 2! !

−

⎧⎫

ρρ ρ

=++ ++

⎨⎬

⎩⎭

– это вероятность того, что СМО (си

стема S) находится в состоянии s

, т. е. все ее контролеры свободны.

(1,2,,)

pk n

==1

– это вероятность того, что система S

находится в состоянии s

, т.е. k контролеров заняты, а остальные

свободны.

Параметр ρ = λ/μ – отношение интенсивностей поступления партий

на контроль (λ) и их обслуживания (μ) или, что то же самое, отноше

ние количества партий, поступивших на контроль за время T, к ко

личеству партий, проверенных за это же время T. Поскольку рас

сматривается СМО «с отказами», то ρ < 1 (если контролер не прове

рил предыдущую партию, то следующую он не принимает).

Характеристики эффективности:

отк

(1 ); 1 ; ; (1 ).

nnn n

pQ pP pk p=λ − = − = =ρ − (4.15)

Что мы нашли?

1. A = λ (1 – p

) – среднее число заявок, обслуживаемое СМО в

единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО –

т. е. среднее число партий, контролируемых всей цеховой лаборато

рией НК в единицу времени.

Параметр p

– вероятность того, что СМО находится в состоянии

, т. е. заняты все n каналов (все контролеры).

2. Q = 1 – p

– вероятность обслуживания поступившей заявки

или относительная пропускная способность СМО – т. е. вероятность

того, что предъявляемую на контроль партию примут на контроль

(окажется хотя бы один свободный контролер, который ее сможет

взять).

3. P

отк

= p

– вероятность отказа, т. е. вероятность того, что

предъявляемая партия не будет принята на контроль, получит от

каз, так как все контролеры заняты; P

отк

= 1 – Q.

(1 )

kp=ρ −

– среднее число занятых каналов (контролеров).

Вернемся к выражениям (4.14).

При больших значениях n вероятности состояний (4.14) удобно

вычислять через табулированные функции

(,) ,

Pm a e

−

(4.16)

представляющую собой распределение Пуассона, и

(,) .

Rma e

−

∑

(4.17)

Справка. Из математики известно, что распределение случайной

величины X будет пуассоновским тогда, когда число независимых

испытаний n велико, а вероятность появления события в каждом

испытании p мала. Это распределение называют также законом ред

ких явлений. При этом вероятность того, что случайная величина X

примет определенное значение m, выражается формулой (4.16), где

a = np – параметр Пуассона (интенсивность появления событий в n

независимых испытаниях). Математическое ожидание и дисперсия

случайной величины, распределенной по закону Пуассона,

[] [] .MX DX a==

Для определения численных значений P(m, a) и R (m, a) существу

ют таблицы – например, [2, прил. 1 и 2].

Функцию P(m, a) можно выразить через R(m, a):

(,) (, ) ( 1,).Pma Rm a Rm a=−− (4.18)

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (4.14) можно пе

реписать в виде

( , )/ ( , )( 0,1, , ).

Pk Rn k n=ρ ρ=1

(4.19)

4.4.2. Простейшая одноканальная СМО с неограниченной

очередью

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с

интенсивностью λ. Время обслуживания – показательное с парамет

ром

обсл

1/ .tμ=

Длина очереди не ограничена. Финальные вероятно

сти существуют только при ρ = (λ/μ) < 1 (при ρ ≥ 1 очередь растет

неограниченно). Состояния СМО нумеруются по числу заявок в СМО,

находящихся в очереди или обслуживаемых:

– СМО свободна;

– канал занят, очереди нет;

– канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...;

– канал занят, k – 1 заявок стоят в очереди; ...

Для поставленной задачи найдем финальные вероятности состоя

ний и характеристики эффективности СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

1 ; (1 )( 1, 2, ),

pp k=−ρ =ρ−ρ= 1 (4.20)

где ρ = (λ/μ) < 1.

Характеристики эффективности:

отк

;1; 0;AQP=λ = =

(4.21)

сист 0

;; ; ;

11 (1)(1)

zrt t

ρρ ρ ρ

== = =

−ρ −ρ λ −ρ λ −ρ

(4.22)

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал за

нят)

/.k =λ μ=ρ

(4.23)

4.4.3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением

по длине очереди

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с

интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с парамет

ром

обсл

1/ .tμ=

В очереди m мест. Если заявка приходит в момент,

когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Со

стояния СМО:

– СМО свободна;

– канал занят, очереди нет;

– канал занят, одна заявка стоит в очереди; ...;

– канал занят, k – 1 заявок стоят в очереди; ...;

m+1

– канал занят, m заявок стоят в очереди.

Найдем финальные вероятности состояний СМО и характеристи

ки ее эффективности.

Финальные вероятности состояний существуют при любом

ρ = λ/μ и равны

;(1,,1).

pppkm

−ρ

==ρ=+

−ρ

(4.24)

Характеристики эффективности СМО:

()

11отк1

1;1; .

mmm

ApQpPp

+++

=λ − = − =

Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят)

1.kp=−

(4.25)

Среднее число заявок в очереди

()

(1 ) 1

pm m

⎡⎤

ρ− +−ρ

⎣⎦

−ρ −ρ

(4.26)

Среднее число заявок в СМО

.zrk=+

(4.27)

По формуле Литтла

сист 0

/; /.tztr=λ =λ

(4.28)

4.4.4. Простейшая многоканальная СМО

с неограниченной очередью

На nканальную СМО поступает простейший поток заявок с ин

тенсивностью λ; время обслуживания одной заявки – показательное

с параметром

обсл

1/ .tμ=

Финальные вероятности существуют толь

ко при ρ/n = χ < 1, где ρ = λ/μ. Состояния СМО нумеруются по числу

заявок в СМО:

– СМО свободна;

– занят один канал; ...;

– занято k каналов (1d”kd”n); ...; → очереди нет

– заняты все n каналов;

n+1

– заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; ...;

n+r

– заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди.

Найдем финальные вероятности состояний и характеристики эф

фективности такой СМО.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

()

1! ! ! 1

nnn

ppkn

−

⎫

⎧⎫

ρρρ

⎪

=+++ +

⎨⎬

⋅−χ

⎪

⎩⎭

⎪

=≤≤

⎬

⎪

=ρ≥

⎪

⋅

⎪

⎭

(4.29)

С помощью функций P(m, a) и R(m, a) (4.16)–(4.18) формулы

(4.29) могут быть приведены к виду

()

(, )

0, , ;

(, )

1, 2 , .

nr n

pkn

ppr

⎫

⎪

ρ+

⎬

−χ

⎪

=χ =

⎭

(4.30)

Характеристики эффективности СМО:

()()

;

!1 1

=ρ =

⋅−χ −χ

(4.31)

;zrkr=+=+ρ

(4.32)

сист 0

/; /.tztr=λ =λ

(4.33)

4.4.5. Простейшая многоканальная СМО

с ограничением по длине очереди

Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4.4.4, с той разни

цей, что число m мест в очереди ограничено.

Финальные вероятности состояний существуют при любых λ и

μ и выражаются формулами:

()

1! ! ! 1

nn m

nnn

ppkn

ppm

−

⎫

⎧⎫

ρρρ−χ

⎪

=+++ +

⎨⎬

⋅−χ

⎪

⎩⎭

⎪

=≤≤

⎬

⎪

= ≤ρ≤

⎪

⋅

⎪

⎭

(4.34)

где χ = ρ/n = λ/(nμ).

Характеристики эффективности СМО:

() ()

отк

1;1; ;1;

nm nm nm nm

ApQpPpkp

+++ +

=λ − = − = =ρ −

(4.35)

()

;

−+χ+χ

⋅

−χ

(4.36)

;zrk=+

(4.37)

сист 0

/; /.tztr=λ =λ

(4.38)

4.4.6. Многоканальная СМО с отказами

при простейшем потоке заявок и произвольном времени

обслуживания

Формулы Эрланга (4.14) остаются справедливыми и тогда, когда

поток заявок – простейший, а время обслуживания T

обсл

имеет про

извольное распределение с математическим ожиданием

обсл

1/ .t =μ

4.4.7. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

при простейшем потоке заявок и произвольном времени

обслуживания

Если на одноканальную СМО поступает простейший поток зая

вок с интенсивностью λ, а время обслуживания T

обсл

распределяется по

произвольному закону с математическим ожиданием

обсл

1/t =μ

и ко

эффициентом вариации v

, то среднее число заявок в очереди выра

жается формулой Полячека—Хинчина

100

()

ρ+

−ρ

(4.39)

где ρ = λ/μ, а среднее число заявок в СМО

()

ρ+

=+ρ

−ρ

(4.40)

Из (4.39) и (4.40) по формуле Литтла получим

()

0сист

21 21

μμ

ρ+ ρ+

==+

λ−ρ λ−ρ μ

(4.41)

4.4.8. Одноканальная СМО при произвольном (пальмовском)

потоке заявок и произвольном времени обслуживания

Точных формул для этого случая не существует; приближенная

оценка длины очереди может быть произведена по формуле

()

22 2

λμ

ρ+

≈

−ρ

(4.42)

где v

– коэффициент вариации интервала между событиями во вход

ном потоке; ρ = λ/μ; λ – величина, обратная математическому ожида

нию этого интервала;

обсл

1/tμ= – величина, обратная среднему вре

мени обслуживания; v

– коэффициент вариации времени обслужи

вания.

Среднее число заявок, связанных с СМО,

()

22 2

λμ

ρ+

≈+ρ

−ρ

(4.43)

а средние времена пребывания заявки в очереди и в СМО соответ

ственно равны:

()

22 2

;

λμ

ρ+

≈

λ−ρ

(4.44)

()

22 2

сист

λμ

ρ+

≈+

λ−ρ μ

(4.45)