Сударикова Е.В. Неразрушающий контроль в производстве. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

(рис. 3.11). Это максимальное значение выходного уровня качества

называется предельным выходным качеством q

. Величина q

оз

начает, что какова бы ни была доля дефектности в партиях до конт

роля, выходной уровень качества продукции будет в среднем не более

. Если, например, используется план выборочного контроля, для

которого предельное выходное качество q

= 0,01, то это означает,

что в среднем засоренность принятой продукции будет не более 1 %.

Пусть для контроля качества используется план с приемочным

числом c = 0, а закон распределения числа дефектных изделий в вы

борке может быть аппроксимирован распределением Пуассона. Тог

да в соответствии с (3.29)

вых

qeqe

−

(3.30)

Дифференцируя полученное выражение по q и приравнивая про

изводную нулю, найдем значение q, при котором

вых

обращается в

максимум. Подставив это значение в (3.30), получим

(3.31)

В случае произвольного с предельный выходной уровень качества

может быть вычислен по формуле

=ρ

(3.32)

где функция ρ

берется из табл. 3.6 [5].

Важной характеристикой планов контроля с разбраковкой явля

ется средний объем инспекции, вычисляемый как математическое

ожидание числа подвергнутых контролю изделий. Заметим, что объем

инспекции равен объему выборки, если партия принимается [с веро

Рис. 3.11. Зависимость уровня среднего выходного качества от доли де%

фектных изделий в партии

)(qq

вых

1,0

ятностью L(q)], и объему партии, если она бракуется [с вероятнос

тью 1–L(q)]. Следовательно, средний объем инспекции

() () [1 ()].Iq nLq N Lq=+− (3.33)

В практике проведения контроля качества с разбраковкой распро

странены два принципа планирования контрольных испытаний: по

среднему и предельному качеству.

Рассмотрим принцип планирования по величине q

В работе [1] показано, что при заданном значении с в случае рас

пределения Пуассона объем испытаний n с учетом предельного вы

ходного уровня качества может быть определен по формуле

Θ+ρ

(3.34)

где K

= q

; Θ = Nq

, q

— средняя доля дефектных изделий в

партии при нормальном ходе производства.

Из всех возможных значений n, удовлетворяющих уравнению

(3.34) (при различных c), отбирается такое значение, которое мини

мизирует средний объем инспекции (3.33).

Для этого в табл. 3.7 [5] для значений K

приведены критические

значения параметра Θ

. Если при заданном K

оказывается, что

Θ ≤ Θ

, то приемочное число полагают равным нулю; если

−

Θ≤Θ<Θ

то приемочное число

.c = 1

Расчет оперативной характеристики такого плана контроля про

изводится по уравнению (3.4) с учетом (3.9).

Пример 3. Задано q

= 0,01. Известно, что нормальное производство

обеспечивает уровень качества q

= 0,005, т. е. K

= 2. Объем партии —

1000 изделий. Определить объем выборки и приемочное число.

Таблица 3.6. Зависимость значения функции ρ

от приемочного числа c

0973763,07459174,441444883,9

1263938,08276541,551308331,01

2011173,19883138,561301578,01

3183249,101486725,671907126,11

443534

5,211214332,781738373,21

5581861,321426749,791845031,31

6120218,331525966,802147198,31

Таблица 3.7. Критические значения параметра Θ

для различных значений K

c52,15,157,12 52,25,257,20,3

07758,11087,18127,11676,13936,10406,16385,19165,1

18399,55302,66054,61327,69310,71813,78236,79559,7

29848,211603,414979,518

358,711029,917271,224706,425122,72

36508,229072,722347,231303,939730,741830,653593,668102,87

46452,638825,640021,060496,773989,994118,7218130,2619685,302

56706,350128,382577,2017952,3410436,8915478,2720226,0734832,794

61203,577662,111570

1,7610226,1527073,6731202,6559548,9089855,0611

75708,1012044,1616238,1620173,6244275,8863551,59010717,90710101,7162

85726,3315954,7222447,8934387,2078759,52215067,89020868,21537486,2475

97803,1710290,3136107,3952071,33111245,5312538

8,43932867,95076689,12321

09625,18694,12874,16064,19544,15334,16314,14893,1

17026,89803,92000,011607,015914,116831,21798

5,311350,51

23979,235334,931675,644104,457509,260680,295664,291135,511

36485,6011287,1413496,4810320,6322225,6926749,6

630506,0457550,367

43577,2137281,4648276,7667961,4395656,57218751,50710356,58820910,1064

Решение. Из табл. 3.7 для K

= 2 находим, что Θ

= 1,676 и Θ

= 6,723.

В примере Θ = Nq

= 1000×0,005 = 5, и, следовательно, надо принять c = 1.

По табл. 3.6 определяем ρ

= 0,840, и из уравнения (3.34) находим n = 77.

Таким образом, план (n = 77, c = 1) обеспечивает наиболее экономич

ный, с точки зрения изготовителя, план контроля.

3.7. Статистический приемочный контроль

по количественному признаку

3.7.1. Постановка задачи

Контроль по количественному признаку обладает более высокой

информативностью, чем контроль по альтернативному признаку.

Дело в том, что при анализе количественного признака у каждого

изделия выборки измеряется параметр, и каждая выборка дает ин

формацию, состоящую из n (объем выборки) чисел. При альтерна

тивном контроле объем информации состоит только из количества

дефектных изделий в выборке. Поэтому количественный контроль

при той же достоверности выводов требует меньшего объема выбо

рок.

Рассмотрим случай, когда количественный признак изделия име

ет нормальное распределение с параметрами μ и σ:

() exp .

⎡⎤

⎛⎞

−μ

=−⎢⎥

⎜⎟

πσ σ

⎝⎠

⎢⎥

⎣⎦

(3.35)

Качество продукции, т. е. вероятность изготовления дефектного

изделия q, как это видно из рис. 3.12, полностью определяется тех

ническим допуском на контрольный признак (T

, T

) и соотношени

Рис. 3.12. Вероятности изготовления дефектной продукции q

и при нор%

мальном распределении признака качества

(x)

ем между генеральным математическим ожиданием μ и средним квад

ратическим отклонением σ.

Задача выборочного контроля по количественному признаку за

ключается в том, чтобы по результатам анализа выборочных харак

теристик:

среднего арифметического выборки

;

∑

(3.36)

выборочного среднего квадратического отклонения

(),

sxx

=−

−

∑ (3.37)

– делать утверждение относительно генеральных характеристик μ и σ.

3.7.2. Контроль по одному количественному признаку

при одностороннем допуске и известной дисперсии

Контроль по количественному признаку достаточно сложен как в

организационном, так и математическом отношении. Поэтому рас

смотрим лишь наиболее простые случаи количественного контроля,

когда признак X имеет нормальное распределение (с известной и не

известной дисперсией σ

) и односторонний допуск.

Пусть изделие считается годным, если контрольный признак X ≤ T.

В противном случае изделие классифицируется как дефектное. Тогда

уровень качества q может быть найден по уравнению

{}1{}1 ,

qPXT PXT

−μ

⎛⎞

=>=−≤=−Φ

⎜⎟

⎝⎠

(3.38)

где Φ(X) – табличная функция (табл. 3.8) [5].

Предположим, что разладки технологического процесса приводят

только к смещению центра рассеяния контрольного признака μ,

а точность технологического процесса σ

остается неизменной. Тогда

дисперсию случайной величины можно рассматривать как постоян

ный параметр, который всегда может быть заранее определен путем

проведения специального эксперимента.

Из (3.38) видно, что при сформулированных условиях вариации

качества полностью определяются вариациями генерального мате

матического ожидания μ.

Таблица 3.8. Табличная функция Φ(X)

0123456789

0,000005,099305,089705,079115,059515,049915,029325,009725,088135,068535,0

1,038935,008345,067745,027155,076555,026955,065365,094765,024175,053575,0

2,062975,071385,060785,059095,038495,017895,

075206,024606,062016,090416,0

3,019716,027126,025526,003926,070336,038636,085046,013446,030846,037156,0

4,024556,001956

,067266,004666,030076,046376,042776,028086,093486,039786,0

.д.ти

9,359999,059999,069999,069999,069999,069999,069999,069

999,079999,079999,0

0,479999,089999,099999,099999,099999,0 –––––

Таким образом, требование к качеству партий q ≤ q

эквивалентно

требованию μ ≤ μ

, где μ

– значение математического ожидания, оп

ределяемое из уравнения

−μ

⎛⎞

=−Φ

⎜⎟

⎝⎠

(3.39)

Аналогично требование q ≥ q

эквивалентно требованию μ ≥ μ

, где

определяется из уравнения

−μ

⎛⎞

=−Φ

⎜⎟

⎝⎠

(3.40)

Поскольку

,xμ≅

то для сформулированного правила классифи

кации изделий на годные и дефектные условие приемки партии запи

сывается в виде

.xc≤

(3.41)

Запишем уравнение оперативной характеристики:

() { }.LPxcμ= ≤ (3.42)

Учитывая, что случайная величина

имеет нормальное распре

деление с математическим ожиданием μ и средним квадратическим

отклонением

где n – объем выборки, окончательно имеем

() .

−μ

⎛⎞

μ=Φ

⎜⎟

⎝⎠

(3.43)

График оперативной характеристики показан на рис. 3.13.

Рис. 3.13. График оперативной характеристики плана контроля по ко%

личественному признаку

(

)

1,0

–

Если требования к плану контроля сформулированы в виде q

, q

α, β, то имеют место следующие уравнения:

−μ

⎛⎞

−α=Φ

⎜⎟

⎝⎠

(3.44)

−μ

⎛⎞

β=Φ

⎜⎟

⎝⎠

(3.45)

где μ

и μ

определяются из уравнений (3.39), (3.40).

Переходя от уравнений (3.44) и (3.45) к квантилям нормального

распределения и учитывая, что μ

≤ c ≤ μ

, получим

;

−α

−μ

(3.46)

−β

μ−

(3.47)

Эта система уравнений является основой для выбора параметров

плана контроля n и c.

После суммирования уравнений (3.46) и (3.47) и простых преоб

разований имеем уравнение для определения объема выборки

−α −β

μ−μ

(3.48)

Результаты расчетов по уравнению (3.48) сведены в табл. 3.9 [5].

В ряде случаев для оперативной оценки объема выборки может

оказаться полезной зависимость

−α −β

−−

−

(3.49)

полученная путем несложных алгебраических преобразований урав

нений (3.39), (3.40), (3.44) и (3.45), представленных в квантильной

форме.

Уравнение (3.49) справедливо также для случая, когда техничес

кий допуск установлен так, что изделие считается годным, если X ≥ T,

и дефектным, если X < T. В уравнении (3.48) в этом случае знамена

тель должен быть записан следующим образом:

μ−μ

Таблица 3.9. Результаты расчетов объема выборки по уравнению (3.48)

50,050,001,002,002,002,0

50,001,001,050,001,002,0

50,003349343126208428991034

1,0210106855602694282

2,096231246145121107

3,01215937960513

4,0863514839281

5,0834362528111

6,003428171218

7,07131010174

0,11197643

5,1543321

,2 322211

μ−μ

Таблица 3.10. Квантили нормального распределения

05,00 26,0503,047,0346,068,0080,189,0450,2

15,0520,036,0233,057,0476,078,0621,199,0623,2

25,0050,046,0853,067,0607,088,0571,1199,06

63,2

35,0570,056,0583,077,0937,098,0722,1299,0904,2

45,0001,066,0214,087,0277,009,0282,1399,0754,2

55,0621,076,0044,097,0608,019

,0143,1499,0225,2

65,0151,086,0864,008,0248,029,0504,1599,0675,2

75,0671,096,0694,018,0878,039,0674,1699,0256,2

85,0202,007,0425

,028,0619,049,0555,1799,0847,2

95,0822,017,0355,038,0459,059,0546,1899,0878,2

06,0352,027,0385,048,0499,069,0157,1999,0090,3

16,

0972,037,0316,058,0630,179,0188,19999,0917,3

Для оценки эффективности планов контроля по количественному

признаку и сравнения с аналогичными планами по альтернативному

признаку рассмотрим пример.

Пример. Заданы: q

= 0,01; q

= 0,05; α = β = 0,1. Допуск односто

ронний. По табл. 3.10 квантилей нормального распределения [5, 6]

находим значения квантилей, соответствующих вероятностям 1–q

1–q

, 1 – α, 1 – β. Имеем:

2,325;

−

1, 6 4 5;

−

1–α

1–β

= 1,282. Подставив полученные значения в (3.48), получим

n = 7. Для тех же условий соответствующий план одноступенчатого

контроля: n = 105, c = 2. Таким образом, в данном примере контроль по

количественному признаку дает сокращение объема выборки в 15 раз.

3.7.3. Контроль по одному количественному признаку

при одностороннем допуске и неизвестной дисперсии

Рассмотрим случай, когда разладки технологического процесса

приводят не только к смещению центра рассеяния μ, но и к измене

нию точности процесса σ

. В этом случае дисперсию контрольного

признака σ

следует считать неизвестной и в процессе испытаний кон

тролировать оба параметра. Пусть так же, как и в предыдущем слу

чае, для параметра X установлен допуск: при X ≤ T изделие считается

годным, в противном случае – дефектным.

Для вычисления вероятности q справедливо уравнение (3.38), из

которого следует, что качество продукции определяется не только

математическим ожиданием генеральной совокупности m, но и гене

ральной дисперсией σ

. Из уравнения (3.38) можно записать выра

жение, устанавливающее соотношение между μ и σ, которое обеспе

чивает выпуск продукции с уровнем качества q:

−μ

(3.50)

Зависимость (3.50) называется уравнением изодефектной линии.

Для сформулированных правил классификации изделий графики

изодефектных линий представлены на рис. 3.14, причем с увеличе

нием q наклон прямой увеличивается.

Для заданных q

, q

можно записать следующие два уравнения

изодефектных линий:

;

−

−μ

(3.51)

−

−μ

(3.52)