Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

231

По окончании вычислений при

k = 4 будет рассчитано давление p

на конце звена. В общем случае, помере перебора значений

M в опре-

деленной области определения будем иметь зависимость давления на

конце звена от массового расхода. Путем численного решения можно

получить обратную зависимость: массового расхода от давления на

концах звена. Причем, величина одного из давлений (на одном из кон-

цов звена) будет константой при одном направлении потока и неиз-

вестной при противоположном на

правлении потока. Таким образом,

состояние модели –

)z,z,p,p(S

ieibieib

jjjji

′

любого элемента при учете

сжимаемости будет изменяться в ходе решения основной задачи (4.26–

4.27). Т.е. хотя искомая зависимость объединяет 5 величин, однако,

вследствие их взаимосвязей, фактически является двумерной. Опытом

автора установлено, что такое описание модели течения сжимаемой

жидкости не вызывает неустойчивости численного метода решения и

удовлетворяет требуемой точности. Точность решения легко устанав-

ивается параметром

N (детализации вычислительного эксперимента).

993

994

995

996

997

998

999

1000

0 200 400 600 800 1000 1200

Длина, м

Объемный расход, куб.м/сут

0 200 400 600 800 1000 1200

Длина, м

Давление, МПа

а) б)

1000

1001

1002

1003

1004

1005

1006

1007

0 200 400 600 800 1000 1200

Длина, м

Плотность, кг/куб.м

0.000001014

0.000001016

0.000001018

0.00000102

0.000001022

0.000001024

0.000001026

0 200 400 600 800 1000 1200

Длина, м

К.вязкость, кв.м/с

в) г)

Рис. 4.9. Распределение параметров потока по длине трубопровода:

а – объемный расход; б – давление; в – плотность; г – кинематическая вяз-

кость

232

На рис. 4.9 показаны примеры расчетного распределения свойств

текучей среды по длине трубопровода с внутренним диаметром

=50 мм, длиной l=1000 м и абсолютной шероховатостью Δ

=0.5 мм

при установившемся течении сжимаемой воды (см. раздел 4.5 – «Мо-

дель рабочей жидкости систем поддержания пластового давления»

) с

массовым расходом

=1000 т/сут и давлением на входе

=20 МПа.

Как видно из данных графиков, вследствие слабой сжимаемости

воды просматривается практически линейная зависимость.

Рассмотрим математическое описание наиболее сложного типа мо-

дели: неизотермического установившегося течения сжимаемой и

несжимаемой жидкости. Актуальность учета данных условий осо-

бенно велика для специализированных тепловых сетей, в расчете ко-

торых накоплен значительный потенциал [32, 35, 104, 105, 142, 143].

Однако, для систем ППД, в к

оторых факторы теплопередачи имеют

место, учет теплового обмена также важен вследствие необходимости

учета изменения свойств ТС и выявления возможных фактов перемер-

зания участков ТГС.

Допустим, для каждого звена

i известно распределение температу-

ры окружающей среды по длине звена

l, описываемое функциональной

зависимостью

(l). Такие зависимости могут быть представлены в

произвольном виде: алгебраически, табулированного множества

[

, l

], в виде констант, интерполяционной зависимостью эмпириче-

ских данных и т.д. Предполагается, что теплопередача между текучей

средой в звене и окружающей это звено средой [142, 143] происходит

под действием перепада температуры потока и окружающей среды и

может быть описана для каждого участка

lΔ звена, исходя из его мор-

фологических свойств (например, площади поверхности контакта сред

–

), свойств материала (например, коэффициент теплопередачи –

свойств текучей среды и перепада температуры между потоком и ок-

ружающей средой –

в виде функций ),,,,( tlMG

ΔΔ

ψγ

. Здесь

размерность функций

равна размерности мощности – Вт.

Также предполагается, что нагрев потока обусловлен переходом

части гидравлической энергии потока в тепловую («гидротермиче-

ский» переход) вследствие гидравлического сопротивления КС и УУ,

а также вследствие кинетического воздействия активных элементов

АСГ

на поток. Для звеньев – элементов КС и УУ гидротермический

переход энергии будет описываться, исходя из потерь гидравлической

233

энергии в звене

i на участке

для несжимаемой жидкости в единицу

времени, как

ρρ

iii

flMg

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ=Δ ,),(

, Вт.

Здесь предполагается, что вся гидравлическая энергия переходит

тепловую. Если учитывать фактор трансформации гидравлической

энергии в вибрационную, звуковую и др. виды энергии, то формулу

(4.29) следует преобразовать следующим образом.

[]

ρρ

iii

flMg

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΔΩ−=Δ ,)(1),(

где

)

(

– функция, описывающая долю рассеиваемой части гидрав-

лической энергии, которая не переходит в тепловую, в зависимости от

скорости потока

Для определения изменения температуры на концах звена прибег-

нем к аналогичному сжимаемым ТС (рис. 4.8) приему: разделим звенья

на

N участков.

Для участка

k длиной l

звена i изменение температуры будет

складываться из двух составляющих: рост температуры вследствие

гидротермического перехода

),( lg

Δ и рост или падение температуры

вследствие передачи тепла между потоком и окружающей средой

),( lm

Δ .

[]

,)(1

),(

lMg

ρρ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΔΩ−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΔΩ−

=Δ

где

– удельная теплоемкость текучей среды,

Ккг

Дж

⋅

Изменение температуры вследствие теплопередачи с окружающей

средой на участке

k длиной Δl звена i

(4.29)

(4.30)

(4.31)

(4.32)

234

[

]

kii

)l,m(

t,,,l,MG

=Δ

где

)(

kikk

lHTt −=Δ

– разность температур потока и окружающей

среды в звене

i на участке k. Таким образом, для нахождения темпера-

туры потока на участке

k звена i необходимо суммировать все прира-

щения температуры на участках

с от 1 до k:

∑

ΔΔ

Δ+Δ+=

iii

ccjbk

TTTT

),(),(

)(

причем, если полагать постоянство вязкости и плотности, то величина

),( lg

Δ по звену изменяться не будет. Здесь

T – температура в

узле (он может быть начальным или конечным для звена), в котором

поток входит в звено. Для определения температуры на выходе из зве-

на в (4.33) заменится предел:

∑

ΔΔ

Δ+Δ+=

iii

kkjbje

TTTT

),(),(

)(

Формула (4.33) для трубопроводов может быть выражена через из-

вестную формулу без учета гидротермического перехода в зависимо-

сти от температуры потока предыдущего участка

MiMi

eTTTT

⋅⋅−

−+=

γψ

)(

где

– температура окружающей среды звена i на участке k;

γ – коэффициент теплопередачи Вт/(м

⋅К).

Поверхность контакта потока и внешней среды для труб круглого

сечения

dl ⋅Δ⋅=

πψ

. В этом случае, после замены T

на H

( kl

⋅

зависимость температуры участка

k трубопровода – звена i, относи-

тельно температуры предыдущего участка для несжимаемой жидкости

будет выглядеть

[]

),(

)()(

iiii

eklHTklHT

⋅⋅⋅Δ−

Δ+

+⋅Δ−+⋅Δ=

−

γπ

(4.33)

(4.34)

(4.35)

(4.36)

235

Отсюда, после подстановки (4.31) окончательно имеем формулу

для определения температуры потока в звене – круглом трубопроводе

для несжимаемой жидкости на участке

k относительно участка k–1:

[]

,)(1

)()(

eklHTklHT

iiii

γπ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ΔΩ−

+⋅Δ−+⋅Δ=

⋅⋅⋅Δ−

−

Коэффициент теплопередачи

предполагаем не зависимым от

свойств потока, однако, при необходимости это можно легко устра-

нить, заменив его функциональной зависимостью от условий течения.

Такая модификация никак не изменит общего хода решения.

Для насосных агрегатов гидротермический переход можно учесть

как полный переход разности потребляемой механической –

)(Э

N и

вырабатываемой гидравлической мощности в тепловую энергию пото-

ка:

ρρ

iii

fNlMg

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ−=Δ

,),(

)(

Так как к.п.д. насоса всегда меньше единицы, величина трансфор-

мируемой энергии в единицу времени будет больше нуля, т.е. перека-

чиваемая жидкость будет нагреваться. Вопрос учета теплопередачи с

насосов с внешней средой остается открытым ввиду большого много-

образия конструкций насосных агрегатов. Однако, от этого значение

описываемой модели сильно не по

страдает, потому что теплопередача

насосов сравнительно не велика по сравнению с сетью трубопроводов

и скважин. Для совместного учета сжимаемости и теплопередачи в

звеньях в формулах (4.33, 4.34, 4.36–4.37) член

),( lg

Δ будет пере-

менным по звену, поэтому для нахождения гидравлической энергии,

переходящей в тепловую, следует на каждом участке

пересчиты-

вать

),(

kii

lMg на основании (4.28), как это показано на примере (см.

табл. 4.2). Так, если известны объемные расходы

q и перепады дав-

(4.37)

236

ления

pΔ на каждом участке k звена i, то (4.30) можно записать в

виде

kii

)l,M(g Δ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Ω−=

Далее, заменяя последующие формулы, окончательно имеем тем-

пературу на участке

k относительно предыдущего участка k–1 для ус-

ловий течения сжимаемой ТС с устновившейся теплопередачей.

[]

)()(

iiii

eklHTklHT

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Ω−+

+⋅Δ−+⋅Δ=

⋅⋅⋅Δ−

−

γπ

Для расчета комплексного потокораспределения при неизотерми-

ческом течении сжимаемой или несжимаемой жидкости необходимо

совместить потоко- и теплораспределение в системе. Для этого опи-

санные выше зависимости для каждого звена

i интегрируются в функ-

ции

),(

jiii

TMT

=Δ

, описывающие перепад температуры

потока

между температурой на входе –

T и выходе из звена. Для примера

из (4.39) этой функцией будет

[]

e)kl(HT)kl(H

)T,M(

iii

jii

∑

⋅⋅⋅Δ−

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Ω−+

+⋅Δ−+⋅Δ

−

γπ

Причем, здесь при k = 0

00 i

TT = , т.е. температура на входе в зве-

но. Величину удельной теплоемкости также можно описать некоторой

функцией от температуры

)(

Допустим, по всем звеньям известны зависимости

),(

jii

которые соответствующим образом изменяются при изменении на-

правления потока, т.е. опорная температура берется в том узле, из ко-

торого поток заходит в звено. Тогда задача комплексного потоко- и

(4.38)

(4.39)

237

теплораспределения сводится к тому, чтобы получить такое потоко-

распределение с учетом влияния температуры на плотность и вязкость

ТС, чтобы распределение температур по узлам и звеньям соответство-

вало распределению

давлений, массовых и

объемных расходов те-

кучей среды. Это соот-

ветствие обуславлива-

ется дополнительным

замыкающим отноше-

нием: зависимостью

плотности и вязкости

ТС от т

емпературы и

давления. Таким обра-

зом, функции

),( Tp

являются свя-

зующим мостом между

потокораспределением

и термораспределени-

ем, который позволяет

получить описываемую

модель неизотермиче-

ского течения.

Замыкающие отно-

шения термораспреде-

ления

),(

jiii

TMT

=Δ

по характеру функций

могут сильно варьиро-

ваться, как вследствие

свойств звеньев, так и

вследствие заданного

распределения темпе-

ратуры окружающей

звено среды –

)

(например, геотермо-

граммы скважин). На

рис. 4.10 показаны примеры таких функций, полученных расчетным

путем. Как видно из графиков, данные функции сильно варьируются

от указанных условий. Также важно отметить, что определимость та-

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

M, т/сут

T, `С

а)

100

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

M, т/сут

T, `С

б)

Рис. 4.10. Замыкающие отношения терморас-

пределения:

а – трубопровод с равномерным

распределением температуры окружающей сре-

ды;

б – скважина с распределением температуры

термограммой

238

ких зависимостей неидеальна, так как невозможно определить величи-

ну

TΔ

при величине M

= 0. Однако, эти условия не являются серьез-

ным препятствием к решению поставленной задачи.

Во избежание возникновения ситуации бесконечного

при

= 0, будем полагать, что при нулевом массовом расходе распределе-

ние температуры потока по длине звена будет равно распределению

температуры внешней среды, т.е. согласно

Рассмотрим задачу термораспределения при текущем – найденном

потокораспределении. Допустим, после решения (4.26) имеем распре-

деление давлений

и массовых расходов

для всех узлов и звеньев

модели. Также заданы граничные условия термораспределения: темпе-

ратуры в активных узлах, в которых происходит приток (при данном

потокораспределении) в гидросистему. На основании зависимостей

)T,M(T

jiii

=Δ

для каждого звена i возможно рассчитать рас-

пределение температуры следующим образом.

Вводятся функции температуры

)T,...,T,...,T,T(

mjj 21

, опреде-

ляющие на основании

),(

jiii

TMT

всех звеньев, зависимость

температуры в узле

j от температуры во всех узлах. Причем, задающи-

ми температуру в узле

j считаются узлы, смежные с ним, из которых в

узел

j имеет место приток ТС. На рис. 4.11 показан пример выбора та-

ких узлов: для определения температуры в узле 4 будут учитываться

температуры в узлах 2 и 1. Следовательно, функция температуры бу-

дет записываться в виде

[

] []

2882812212

214

)T,M(TM)T,M(TM

)T,T(

⋅

Как видно, здесь подразумевается равномерное смешивание пото-

ков с распределением доли температур каждого в соответствии с мас-

совыми расходами потоков, пришедших в узел 4 из узлов 1 и 2. Такое

допущение предполагает отсутствие потерь тепла при смешивании и

постоянство теплоемкости ТС в гидросистеме.

В общем виде (4.40) будет записываться как отношение суммы

произведений модулей (независимо от на

правленности потока в отно-

шении ориентации звеньев) массовых расходов в звеньях, связываю-

щих рассматриваемый узел с узлами, из которых притекает ТС, на тем-

пературы данных узлов и зависимости перепада температуры на кон-

(4.40)

239

цах звеньев к сумме массовых расходов, притекающих в рассматри-

ваемый узел:

[]

∑

∈

∈∈∈

+⋅

kkikikki

jknjkjkj

)T,M(TM

)T,...,T,T(

где

∈

– индексы узлов, инцидентных узлу j, из которых в узел j

есть приток;

i∈

– индексы звеньев, соединяющих узлы k и узел j;

n – количество узлов, инцидентных узлу j, из которых в узел j

есть приток.

Рис. 4.11. Пример формирования функций

)T,...,T,...,T,T(

mjj 21

Если в качестве граничных условий в узле j указан массовый при-

ток

с заданной температурой

, то (4.41) изменится добавлением

дополнительного члена:

[]

kkikikki

jknjkjkj

x)T,M(TM

)T,...,T,T(

++⋅

∑

∈

∈∈∈

εθ

(4.42)

(4.41)

240

На основании заданных функций возможно получить распределе-

ние температуры последовательно, начиная с узлов в которых ее воз-

можно рассчитать. Например, для схемы на рис. 4.11 температуру воз-

можно рассчитать в следующей последовательности.

Узел 5, так как в него есть приток из активного узла 8, в котором

задана температура. Узел 7, в нем есть приток из уз

ла 5, в котором уже

известна температура. Далее узлы 6, 2, 1, 0, 4 и 3.

Последовательное распределение температуры, с одной стороны,

может дать существенную погрешность, а с другой стороны, не всегда

возможно. Невозможность последовательного распределения темпера-

туры связана с определенным потокораспределением, при котором для

определения температуры в одном узле нужно знать температуру в

другом и н

аоборот. На рис. 4.12 показан такой пример потокораспре-

деления: для расчета температуры в узле нужно знать температуру в

узле 6, для которого нужно найти температуру в узлах 7 и 5, а для на-

хождения температуры в узле 5 нужно знать температуры в узлах 1 и

2. Т.е. получается «замкнутый круг».

Рис. 4.12. Пример потокораспределения с невозможностью

прямого термораспределения

В таких случаях и для получения более точных результатов термо-

распределения можно использовать метод простой итерации (см. раз-

дел 4.4) для решения системы нелинейных уравнений вида