Стрекалов А.В. Математические модели гидравлических систем для управления системами поддержания пластового давления

Подождите немного. Документ загружается.

201

применимости рабочей текучей среды для технологического использо-

вания. Использование естественных наземных водоемов в качестве

источников воды для ППД на месторождениях с высокой обводненно-

стью продукции (на поздней стадии разработки) не актуально, поэтому

в системах ППД таких месторождений источниками воды являются

подтоварная и вода из водонасыщенных пластов.

Универсальная модель должна адекватно учитывать вс

евозможные

вариации структур и варианты систем водозабора. Так, нагнетательные

и добывающие пластовую воду скважины должны моделироваться,

исходя из их гидравлического воздействия на систему в целом, а спо-

собы их вхождения в систему хотя и могут быть произвольными, но

должны подчиняться некоторым правилам построения.

Рис. 4.2. Структура гидросистемы ППД Мортымья-Тетеревского

месторождения

При создании универсальной модели ТГС необходимо четко опре-

делить способ описания порядка соединения ее объектов для полно-

мерного отражения схемы взаимодействия звеньев в модели ТГС.

Известно, что первое описание структуры сложных электрических

цепей было предложено Кирхгофом в виде матрицы соединений и

матрицы контуров. Впоследствии именно такое описание было унас-

ледовано в т

еории графов и было названо матрицей инциденций или

202

инцидентности. Рассмотрим последовательно способ представления

структуры гидросистем.

Под порядком соединения объектов гидросистем или звеньев моде-

ли гидросистем будем понимать некое множество, четко определяю-

щее связи каждого звена в отношении ко всем другим звеньям систе-

мы.

Такое множество удобно задать посредством введения понятия уз-

ла. Узел есть точка соединения звеньев. Воз

ьмем все точки соедине-

ния объектов ТГС: места стыковки труб, насосов, задвижек, клапанов;

водозаборы; колена; тройники и т.п. Каждому из них присвоим свой

уникальный номер и назовем узлом с индексом j. Далее зафиксируем

принадлежность каждого объекта ТГС к выделенным узлам. Тогда

логично предположить, что каждому объекту ТГС, будет принадле-

жать то

лько два узла: так называемый узел начала – b и узел конца –

e. В свою очередь каждому узлу может принадлежать минимум одно

Рис. 4.3. Структура ТГС ППД Туймазинского месторождения

203

Рис. 4.4. Принципиальная электриче-

ская схема с 2 источниками ЭДС, 6

сопротивлениями и 2 лампами накали-

вания

звено. Более сложные объекты системы должны составляться из эле-

ментарных, т.е. соответствующих этому правилу.

Далее следует отметить важное отличие предлагаемой здесь моде-

ли ТГС от существующих ранее, наиболее фундаментальных моделей-

прототипов систем тепло- [7,22,32,33], водоснабжения [12,34], неф-

тетранспорта и сбора [107,108].

Существующая теория гидравлических цепей адекватно не учиты-

вает тот факт, что некоторым из уз

лов может принадлежать менее

двух звеньев, так как это противоречит замкнутости структуры ТГС.

Ввиду того, что теория гидравлических цепей получила свое начало из

теории электрических цепей, она унаследовала и все ее положения

структурного и математического анализа. При практически полной

аналогии принципов неразрывности и законов сохранения энергии в

гидравлических и электрических с

истемах недостатком такой ситуа-

ции является то, что структуры ТГС

и ТГС

ТЕ

зачастую (почти всегда)

имеют разомкнутый характер (рис. 4.2, 4.3) в отличие от электриче-

ских систем, где структура всегда замкнута (см. рис. 4.4).

Как мы видим, в структурах электрических систем к каждому узлу

подцеплены не менее 2-х объектов, в то время как структуры гидро-

систем “T”(транспортировки текучей среды) разомкнуты, т.е. некото-

рые из узлов мог

ут иметь

только один подцепленный

объект. Иначе говоря, в

гидросистемах – “T” имеет

место приток и отток те-

кучей среды в систему и из

нее. Так, на рассматри-

ваемом ранее примере (рис.

3.4 и 3.5) видно, что приток и

отток из ТГС может

осуществляться через НТС

(емкости, пласты, водоемы,

атмосферу в случае порывов

и т.п.). НТ

С – это единственное место, откуда/куда может осуществ-

ляться приток/отток текучей среды из гидросистемы.

По сути, накопители текучей среды, с одной стороны, являются

точками, между которыми осуществляется транспортировка текучей

среды в системах “T” и многих других, а с другой стороны являются

точками, в которых текучая среда приобретает определенный ст

абиль-

ный энергетический потенциал.

204

Здесь мы подходим к определению важного свойства узлов МГС. В

предлагаемой модели узел может быть транзитивным, если к нему

присоединено более одного звена, и активным, если к нему присое-

динено не более одного звена.

В случае, когда узел является транзитивным, он выполняет пассив-

ную функцию осуществления связи между объектами системы. В пр

о-

тивном случае узел в модели гидросистемы подразумевает накопитель

текучей среды, из которого или в который осуществляется течение

потока в ТГС или из нее. Причем значение притока или оттока не

является граничным условием, т.е. не задается перед моделирова-

нием, а определяется в ходе него на основании внутренних свойств

сис

темы.

Итак, в отличие от существующей теории гидравлических цепей,

где в моделях ТГС («г.ц.») подразумевается замкнутое перемещение

текучей среды, автор предлагает не приводить реальную структуру

ТГС

к зацикленной. Вместо этого вводится понятие активных узлов,

которые, во-первых, являются точками, между которыми происходит

перемещение текучей среды внутри ТГС; во-вторых, они задают ста-

бильный (постоянный и известный на момент моделирования) потен-

циал текучей среды; в-третьих, являются точками отрыва рассматри-

ваемой ТГС от более глобальных гидросистем; и, в-чет

вертых, опреде-

ляют пути перемещения текучей среды.

В общепринятой трактовке контуром электрической или гидрав-

лической цепи [45,12] является замкнутая последовательность

электрических/гидравлических элементов, сквозь которые может про-

текать электрический ток или гидравлический поток. Так как структу-

ра ТГС

имеет разомкнутый характер, и элементом, разрывающим

замкнутый цикл перемещения потока, является НТС, отражением ко-

торого и является активный узел, в предлагаемой модели ТГС понятие

контуров исключается, а вместо них вводится понятие путей переме-

щения текучей среды между активными узлами (НТС) [125].

Вышеприведенный анализ функций узлов в гидросистемах – “T”

предопределяет их адек

ватное моделирование без приведения их

структур к замкнутому виду.

Более того, анализ структур моделей электрических систем посред-

ством выделения замкнутых контуров носит неопределенный с точки

зрения математического описания характер. Рассмотрим электриче-

скую схему на рис. 4.4. Схема представлена 10 звеньями и 8 узлами.

Таким образом, количество неизвестных токов равно 10. Т.е. необхо-

205

димо составить 10 уравнений. Согласно первому правилу можно со-

ставить 8 уравнений, а согласно второму 3, так как система контуров

должна покрывать все звенья. Как видно, получается 11 уравнений.

Согласно Кирхгофу в таком случае необходимо вычеркнуть любое из 8

уравнений баланса токов. Однако, такого рода «хитрости» представ-

ляются недостатками и нечеткостями в анализе электрических схем.

Для удо

бства отражения структурных схем ТГС введем серию обо-

значений элементов гидросистем безотносительно к представляющим

их техническим объектам.

каналы связи (КС)

аппараты для сообщения гидравлической

энергии (АСГ)

устройства по изменению направления пото-

ка (УН)

устройства по изменению направления пото-

ка (УН) – обратные клапаны

устройства по изменению параметров потока

(УП)

накопители текучей среды (НТ

С) – активные

узлы

Направления стрелок указывают ориентацию элементов, отражен-

ных звеньями в модели по отношению к узлам.

Здесь даются обозначения только элементов ТГС. Большинство

объектов ТГС, относящихся к тем или иным элементам, могут быть

сгруппированы в более сложные объекты – подсистемы. Ими, напри-

мер, являются кустовые насосные станции (КНС), состоящие из АСГ,

КС и УН; ск

важины, состоящие из КС (обсадной колонны, НКТ, пер-

форационных каналов), возможных АСГ в виде погружных насосов и

дренируемой/заводняемой зоны пласта и различных УП и УН.

Такие объекты являются сложносоставными, т.е. состоящими из

элементарных элементов ТГС, и принимаются в предлагаемой модели

только для упрощения понимания сх

емы, что не является противоре-

чащим ТССА. Покажем обозначения таких объектов:

СКВ

КНС

скважина (СКВ);

кустовая насосная станция (КНС).

206

Ориентация звеньев, составляющих сложные объекты, соответству-

ет «главной» ориентации таких объектов, которая показана стрелками.

В следующем разделе мы остановимся на математическом пред-

ставлении рассматриваемой модели гидросистем ТГС

TE∼

и ТГС

T∼

4.3. Формирование системы уравнений для решения задач по-

токораспределения в общем виде безотносительно к свойствам

элементов

Рассмотрим математическое описание основных задач моделирова-

ния ТГС поэтапно – по мере усложнения. Сначала рассмотрим наибо-

лее ключевую задачу потокораспределения при установившемся изо-

термическом течении несжимаемой жидкости.

Распределение расходов и давлений в моделях ТГС

T∼

и ТГС

TЕ∼

при

установившемся движении несжимаемой жидкости описывается, во-

первых, линейными соотношениями, аналогичными законам Кирхгофа

для электрических схем, и, во-вторых, нелинейными уравнениями свя-

зи между перепадами давления на концах звеньев и расходами в них,

которые мы будем называть замыкающими соотношениями или

полными гидравлическими характеристиками звеньев.

Итак, рассматривается ТГС с произвольной структурой, состоящей

из т уз

лов, из которых t узлов являются транзитивными, п звеньев и с

путей возможного перемещения текучей среды между активными уз-

лами. Будем считать, что для каждого звена i∈[j

, j

]

(звена i, принад-

лежащего узлам j

и j

), где j

и j

его начальный и конечный узлы,

задан закон гидравлического воздействия, связывающий перепад дав-

ления

′

(обусловленный техническими свойствами объекта i) на

концах звена и установившийся расход q

)(

iii

qfp =

′

Причем, надо отметить, что

)(

qf характеризует взаимосвязь пе-

репада давления от расхода только в связи с внутренними технически-

ми параметрами объекта – звена i. Вид

)(

qf , например, зависит от

параметров гидравлического сопротивления КС, УУ, АПГ, производи-

тельности АСГ и т.д. Однако, вид

)(

qf не зависит от геометриче-

ского положения звена в пространстве, т.е. не зависит от гидростати-

ческого перепада между узлами j

и j

, так как гидростатический пе-

репад давления не зависит от величины расхода q

(4.1)

207

Полный перепад давления на концах звена i будет зависеть от

функции

)(

qf и гидростатического перепада при условии нахожде-

ния ТГС в поле гравитации

,)(

iiiiii

zqfzpp Δ−=Δ−

′

Δ=Δ

где

zΔ – гидростатический перепад давления )(

ieib

jji

zzgz −=Δ

где

– плотность текучей среды, g – ускорение свободного падения,

z и

z – высоты узлов j

и j

над уровнем моря или какой-либо от-

счетной плоскости, перпендикулярной радиусу Земли. Влияние факто-

ров «гидростатического парадокса» не будем принимать во внимание.

Будем считать ориентацию звена заданной после указания номера

узла, из которого звено исходит – j

, и номера узла, в которое звено

входит – j

Величина расхода q

сквозь звено i будет положительной, если на-

правление потока совпадает с ориентацией звена, и отрицательной,

если нет.

Однозначность потокораспределения в рассматриваемой модели

гидросистем следует из обобщения теоремы Максвелла о принципе

наименьшего энергетического воздействия на нелинейные цепи.

Для потокораспределения необходимо описать систему уравнений,

связывающих граничные условия и замыкающие отношения относи-

тельно неизвестных расх

одов в звеньях или давлений в узлах. В зави-

симости от выбора неизвестными тех или других вытекают два метода,

предлагаемых здесь: метод «путевой увязки» и метод «узловой увяз-

ки» [139]. Рассмотрим каждый из этих методов.

Метод «путевой увязки» потокораспределения

Согласно данному методу для любого потокораспределения долж-

ны выполняться сетевые законы, аналогичные зак

онам Кирхгофа. Во-

первых, в каждом транзитивном узле j должен соблюдаться матери-

альный баланс, отвечающий принципу неразрывности (сплошности)

потока текучей среды:

∑

∈

tjq ,,...2,1,0

где слева стоит алгебраическая сумма расходов по всем звеньям,

имеющим общий (независимо от того, конечный это или начальный)

транзитивный узел j. Причем, если звено входит в узел знак перед q

(4.2)

208

берется положительным, а если выходит – отрицательным. Для актив-

ных узлов уравнения материального баланса не записываются.

Расходы потоков могут быть как массовыми, так и объемными. Ес-

тественно, в зависимости от выбора меры величин расходов изменятся

и вид замыкающих отношений. Например, при учете сжимаемости вид

функций

)(

qf существенным образом изменится, а расход должен

учитываться, как массовый.

Во-вторых, сумма перепадов давления

′

на концах звеньев,

входящих в путь r, должна быть равна сумме гидростатических пере-

падов давления на концах звеньев, входящих в этот путь, и перепадов

давления между узлом начала пути и узлом конца пути. Как упомина-

лось ранее, ими являются активные узлы, символизирующие накопи-

тели текучей среды (например, река, озеро, пласт), давление в к

оторых

задано на момент расчета. Для пути r можно записать:

,)(

∑

Δ+−==

′

irerb

zPPqfp

где слева стоит алгебраическая сумма перепадов давления (обуслов-

ленных техническими свойствами объектов) на концах звеньев, вхо-

дящих в путь r; справа – разность давлений в активных узлах, обра-

зующих путь (P

– давление в узле начала обхода пути, P

– давление

в узле конца обхода), и сумма гидростатических перепадов давления

на концах звеньев, входящих в путь.

Это уравнение за исключением суммы гидростатических перепадов

по физической сущности является аналогией второго закона (правила)

Кирхгофа, но для разомкнутых гидросистем. В (4.3) справа –разность

между потенциалами (давлениями) в накопителях текучей среды, об-

разующих путь, а слева – с

уммы всех депрессий, обусловленных свой-

ствами и расходами жидкости звеньев

Кирхгофом были даны выражения для замкнутой электрической

цепи, которые впоследствии в том же виде были использованы и в

ТГЦ. Как видно, здесь предлагается новая трактовка правила Кирхго-

фа для разомкнутых ТГС. В (4.3) справа записывается разность между

потенциалами (давлениями) в НТС, а слева – суммы всех депрессий,

обусловленных техническими свойствами и расходами в об

ъектах сис-

темы, включая АСГ, КС, УУ и т.д. Это является принципиальным, так

как до этого справа записывались активные напоры (потенциалы), ха-

рактеризующие АСГ, а слева – перепады давлений в КС и УУ. Здесь,

как мы видим, все объекты ТГС, имеющие взаимосвязь депрессии с

(4.3)

209

расходом, находятся слева, а НТС с фиксированным потенциалом –

справа.

Направление «обхода» пути задается выбором одного из пары ак-

тивных узлов начальным, а другого конечным. Т.е. как и в звеньях, но

уже для цепочки от одного НТС до другого.

Поскольку активные узлы отражают элемент НТС, то согласно

первому свойству НТС значения P

и P

, характеризующие стабили-

зированный потенциал текучей среды, должны быть заданы на теку-

щий момент времени (давления в точках возможного притока/оттока –

в реках, озерах, емкостях, пластах и т.д.).

Рассмотренных соотношений и сетевых условий достаточно для

построения системы уравнений, описывающей потокораспределение.

Объединение n замыкающих отношений (4.1), t уравнений вида (4.2) и

с уравнений (4.3) приведет к об

щей системе из t+c уравнений относи-

тельно неизвестных расходов q

Выписывание уравнений для каждой рассчитываемой гидросисте-

мы является практически нереальным, не говоря уже о возможных при

этом ошибках. Поэтому далее вводятся основные матрицы и векторы

модели гидросистем, и рассматриваются их линейные преобразования.

Введем вектор

расходов, вектор перепадов давлений

, обу-

словленных свойствами объектов, вектор полных перепадов давлений

и вектор

гидростатических перепадов давлений на концах всех

звеньев:

где i – номер звена, а n – количество звеньев в структурной схеме.

210

Вектор

давлений во всех узлах модели:

= ,

где j – номер узла, а m – количество узлов в структурной схеме ТГС.

Введем известную в ТГЦ и теории графов матрицу

A соединений m

узлов и n звеньев, однозначно описывающую структуру системы, без-

относительно к конкретным параметрам звеньев и геометрическим

координатам узлов. В данной матрице на пересечении строки j, отве-

чающей узлу j, и столбца i, соответствующего звену i, помещается эле-

мент:

Для дальнейшего изложения из матрицы A исключим строки, соот-

ветствующие активным узлам. Таким образом, размерность полной

матрицы будет m

n , а матрицы для расчета t

Введем матрицу путей

B , где на пересечении столбца i, соответст-

вующего звену i, и строки r, соответствующей пути r, помещается эле-

мент:

Запишем систему уравнений в общем матричном виде.

QA⋅ =0

B·

UE +

Здесь вектор

составлен из разностей давлений P

– P

между ак-

тивными узлами соответствующего пути r, а вектор

из гидростати-

ческих перепадов между этими активными узлами (это аналогично

вычитанию суммы гидростатических перепадов по звеньям).

При построении системы уравнений из матрицы А исключаются

строки, соответствующие активным узлам, что необходимо для обес-

0, если звено i не соединено с узлом j;

–1, если звено i исходит из узла j;

+1, если узел i является для звена i конечным

0, если звено i не существует в пути r;

+1, если звено i входит в путь r и ориентировано согласно

обходу этого пути;

–1, если звено i входит в путь r и ориентировано против

обхода этого пути.

(4.4)