Спекторський І.Я. Дискретна математика
Подождите немного. Документ загружается.
K
1
K
1
K
1
hL, ∨, ∧i x, y, z ∈ L
x 4 z, x ∨ (y ∧ z) 6= (x ∨ y) ∧ z,
x ∨ (y ∧ z) ≺ (x ∨ y) ∧ z.
K
1
x ∨ y, z ∧ y, x ∨ (y ∧ z), (x ∨ y) ∧ z, y.
z ∧ y 4 x ∨ (y ∧ z) ≺ (x ∨ y) ∧ z 4 x ∨ y; z ∧ y 4 y 4 x ∨ y.
z ∧ y = x ∨ (y ∧ z)
x 4 (y ∧ z) ⇒
(
x 4 y,
x 4 z
⇒ x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z = y ∧ z,
z ∧ y ≺ x ∨ (y ∧ z)
(x ∨ y) ∧ z ≺ x ∨ y
z ∧ y = y y = x ∨ y
y 4 z x 4 y
z ∧ y ≺ x ∨ (y ∧ z) ≺ (x ∨ y) ∧ z ≺ x ∨ y; z ∧ y ≺ y ≺ x ∨ y.
K
1
y
x ∨ (y ∧ z) (x ∨ y) ∧ z
y ∨ (x ∨ (y ∧ z)) = x ∨ y ∨ (y ∧ z) = x ∨ y;
y ∧ ((x ∨ y) ∧ z) = y ∧ (x ∨ y) ∧ z = y ∧ z.
y ∨ ((x ∨ y) ∧ z)
x ∨ y = (y ∨ (x ∨ (y ∧ z))) 4 (y ∨ ((x ∨ y) ∧ z)) 4 x ∨ y,
y ∨ ((x ∨ y) ∧ z) = x ∨ y.
y ∧ (x ∨ (y ∧ z)) = y ∧ z.
hL, ∨, ∧i
K
1
x yÚ
y
x y z)Ú( Ù
(x y z)Ú Ù
z yÙ
a b c
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c);
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c);
b ∨ (a ∧ c) = (b ∨ a) ∧ (b ∨ c);
b ∧ (a ∨ c) = (b ∧ a) ∨ (b ∧ c);
c ∨ (a ∧ b) = (c ∨ a) ∧ (c ∨ b);
c ∧ (a ∨ b) = (c ∧ a) ∨ (c ∧ b).
a b c
a b c
b c
a b c
hL, ∧, ∨i
1 b c 0 b c b, c ∈ L
K
2
a b c
1 b c
1 0
a b c
a b c K
1
hL, ∨, ∧i a, b, c ∈ L
⇒
b
b ∧ (a ∨ (b ∧ c)) = b ∧ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
b < b∧ c
(b ∧ a) ∨ (b ∧ c) = b ∧ (a ∨ c),
a
⇒
⇔
⇔
b c
⇔ ⇔
a c ⇔
⇔ ⇔
⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ,
a, b, c
{a, b, c} a 4 b
M(a, b, c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c),
m(a, b, c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c).
m(a, b, c) 4 M(a, b, c)
a, b, c ∈ L hL, ∨, ∧i
hL, ∨, ∧i a, b, c ∈ L
{a, b, c} M(a, b, c) = m(a, b, c)
{a, b, c}
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) M(a, b, c)
M(a, b, c) = (a ∨ (b ∧ c)) ∧ (b ∨ c).
(b ∨ c) < (b ∧ c)
(a ∨ (b ∧ c)) ∧ (b ∨ c) = (a ∧ (b ∨ c)) ∨ (b ∧ c).
M(a, b, c) = (a ∧ (b ∨ c)) ∨ (b ∧ c) = ((a ∧ b) ∨ (a ∧ c)) ∨ (b ∧ c) = m(a, b, c).
a, b, c ∈ L
M(a, b, c) = m(a, b, c)
a
a ∨ ((a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c)) = a ∨ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c).
a 4 (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
(a ∨ b ∨ c) ∧ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = a ∨ (b ∧ c).
{a, b, c}
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = a ∨ (b ∧ c).
{a, b, c}
K
2
K
2
K
2
K
2
K
2
K
2
hL, ∨, ∧i
x, y, z ∈ L
x ∨ (y ∧ z) 6= (x ∨ y) ∧ (x ∨ z),
x ∨ (y ∧ z) ≺ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).
e
x
= (y ∧ z) ∨ (x ∧ (y ∨ z)),
e
y
= (x ∧ z) ∨ (y ∧ (x ∨ z)),
e
z
= (x ∧ y) ∨ (z ∧ (x ∨ y)).
K
2
M(x, y, z), m(x, y, z), e
x
, e
y
, e
z
.
e
x
e
y
e
z
e
x
(y ∧ z) 4 (y ∨ z) ⇒ (y ∧ z) ∨ (x ∧ (y ∨ z)) =
= ((y ∧ z) ∨ x) ∧ (y ∨ z) = (y ∨ z) ∧ (x ∨ (y ∧ z)).
e
y
e
z
x y z
M(x, y, z) m(x, y, z)
K
2
e
x
∨ e
y
e
x
∨ e
y
= (y ∧ z) ∨ (x ∧ (y ∨ z)) ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ (x ∨ z)) =
y ∧ z 4 y ∧ (x ∨ z) x ∧ z 4 x ∧ (y ∨ z)
= (x ∧ (y ∨ z)) ∨ (y ∧ (x ∨ z)) =
x ∧ (y ∨ z) 4 x ∨ z
= ((x ∧ (y ∨ z)) ∨ y) ∧ (x ∨ z) =
y 4 y ∨ z
= ((x ∨ y) ∧ (y ∨ z)) ∧ (x ∨ z) = M(x, y, z).
e
x
∨ e
y
= M(x, y, z) x
y z
e
x
∨ e
y
= e
x
∨ e
z
= e
y
∨ e
z
= M(x, y, z).
e
x
∧ e
y
= e
x
∧ e
z
= e
y
∧ e
z
= m(x, y, z).
m(x, y, z) 4 e
x
4 M(x, y, z),
m(x, y, z) 4 e
y
4 M(x, y, z),
m(x, y, z) 4 e
z
4 M(x, y, z)
hL, ∨, ∧i
e
x
= e
y
e
x
∨ e
y
= e
x
∨ e
x
= e
x
,
e
x
= e
y
= M(x, y, z)
e
x
∧ e
y
e
x
= e
y
= m(x, y, z)
e
x
= e
y
M(x, y, z) = m(x, y, z)
e
x
6= e
y
e
x
6= e
z
e
y
6= e
z
e
x
e
y
e
z
e
x
= M(x, y, z)
m(x, y, z) = e
x
∧ e
y
= M(x, y, z) ∧ e
y
= e
y
,
m(x, y, z) = e
x
∧ e
z
= M(x, y, z) ∧ e
z
= e
z
.
e
x
= M(x, y, z) e
y
= e
z
= m(x, y, z)
e
y
6= e
z
{m(x, y, z), M(x, y, z), e
x
, e
y
, e
z
}
M xyz( , , )
m xyz( , , )
e
x
e
y
e
z
K
2
A, ∨, ∧, , 0, 1
®
A
¿
∨
À ¿
∧
À ¿ À
0, 1 ∈ A A
a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨ c ) a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a ∨ 0 = a a ∧ 1 = a
a ∨ a = 1 a ∧ a = 0
¿
∨
À ¿
∧
À
¿ À
0 1
{0, 1}, ∨, ∧, , 0, 1
®
1 0
¿
∨
À ¿
∧
À
¿
¬
À