Спекторський І.Я. Дискретна математика
Подождите немного. Документ загружается.
inf{a, sup B}
a = sup{a, inf B}
a ∈ B {a, sup B} a 4 a
a 4 sup B a = inf{a, sup B}
a {a, sup B}
a ∈ {a, sup B}
sup{a, b} inf{a, sup{a, b}}
a = inf{a, sup{a, b}}.
inf{a, b} sup{a, inf{a, b}}
a = sup{a, inf{a, b}}.
sup B inf B inf{a, sup B} sup{a, inf B}
¿ À
¿ À ¿ À ¿
À
hL, ∨, ∧i L
¿
∨
À ¿
∧
À
L
a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a
¿
∨
À ¿
∧
À
¿ À
¿ À
¿ À ¿ À
¿ À ¿ À
¿
∨
À ¿
∧
À
(a ∨ b) ∨ c (a ∧ b) ∧ c
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ b ∨ c, (a ∧ b) ∧ c = a ∧ b ∧ c.
S
hS, ∪, ∩i S
S = {∅, {a, b}, {a, b, c}};
S = {{a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}.
L
hL, ∨, ∧i
hL, ∨, ∧i
¿
À
hL, ∧, ∨i
¿
∨
À ¿
∧
À
hL, ∧, ∨i
hL, ∨, ∧i
hL, ∨, ∧i
¿
∨
À ¿
∧
À
¿
∨
À ¿
∧
À ¿
∧
À ¿
∨
À
¿
∨
À ¿
∧
À
¿
∧
À ¿
∨
À
hL, ∨, ∧i
a ∈ L
a ∨ a = a, a ∧ a = a.
a ∨ a = a
b = a ∨ a
a ∨ a = a ∨ (a ∧ (a ∨ a))
| {z }
a
= a ∨ (a ∧ (a ∨ a)
| {z }
b
) = a ∨ (a ∧ b) = a.
hL, ∨, ∧i L
¿
4
À
a 4 b ⇔ a ∨ b = b
a ∨ b = b ⇔ a ∧ b = a
a 4 b ⇔ a ∨ b = b ⇔ a ∧ b = a.
¿
4
À
hL, 4i
¿
4
À
a 4 a ⇔ a ∨ a = a
a 4 b b 4 a b = a
(
a 4 b ⇔ a ∧ b = a,
b 4 a ⇔ a ∧ b = b
⇔ a = b.
a 4 b b 4 c a 4 c
a ∧ c = (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) = a ∧ b = a.
a ∧ c = a a 4 c
S
¿
∪
À ¿
∩
À
hS, ∪, ∩i
A 4 B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B.
hS, ∪, ∩i
¿
⊂
À
¿
4
À
L
hL, ∨, ∧i
hL, ∨, ∧i
¿
<
À
¿
4
À
hL, ∨, ∧i
¿
∧
À ¿
∨
À
hL, 4i
hL, ∨, ∧i
hL, ∨, ∧i
¿
4
À
a ∨ b = sup{a, b},
a ∧ b = inf{a, b}.
a∨ b = sup{a, b}
M = a ∨ b {a, b}
M ∧ a = (a ∨ b) ∧ a = a M < a M < b M
{a, b}
f
M ∈ L {a, b}
f
M < a
f
M < b
M ∨
f
M = (a ∨ b) ∨
f
M = a ∨ (b ∨
f
M) = a ∨
f
M =
f
M,
M ∨
f
M =
f
M M 4
f
M
a ∧ b = inf{a, b}
a
1
∨ a
2
∨ · · · ∨ a
n
= sup{a
1
, a
2
, . . . , a
n
},
a
1
∧ a
2
∧ · · · ∧ a
n
= inf{a
1
, a
2
, . . . , a
n
}.
hL, 4i hL, ∨, ∧i
hL, 4i
a∧b = inf{a, b} a∨b = sup{a, b} hL, ∨, ∧i
¿
4
L
À
¿
4
À
inf{a, b} sup{a, b} a, b ∈ L
a, b ∈ L inf{a, b}
sup{a, b} a ∨ b = sup{ a, b} a ∧ b = inf{a, b}
hL, ∨, ∧i
hL, ∨, ∧i
a ∨ b = sup{a, b} = sup{b, a} = b ∨ a, a ∧ b = inf{a, b} = inf{b, a} = b ∧ a.
(a ∨ b) ∨ c = sup{sup{a, b}, c} = sup{a, sup{b, c}} = a ∨ (b ∨ c),
(a ∧ b) ∧ c = inf{inf{a, b}, c} = inf{a, inf{b, c}} = a ∧ (b ∧ c).
(a ∨ b) ∧ a = inf{sup{a, b}, a} = a, (a ∧ b ) ∨ a = sup{inf{a, b}, a} = a.
hL, ∨, ∧i
¿
4
L
À
hL, ∨, ∧i
a 4
L
b ⇔ a ∨ b = b ⇔ a ∧ b = a
a ∨ b = b ⇔ a ∧ b = a
¿
4
L
À ¿
4
À
a 4
L
b ⇔ a ∨ b = b ⇔ sup{a, b} = b ⇔ a 4 b.
hR, 6i
a ∨ b = sup{a, b} = max{a, b} =
(
a, a > b,
b, a < b;
a ∧ b = inf{a, b} = min{a, b} =
(
b, a > b,
a, a < b.
hR, 6i
hL
n
, ·
·
·
i
n ∈ N
a ∨ b = sup{a, b} = (a, b), a ∧ b = inf{a, b} = (a, b),
(a, b) (a, b)
a, b ∈ L
n
¿ À
¿ À
¿
6
À
L
n
¿
·
·
·
À
n
n = p
n
1
1
p
n
2
2
. . . p
n
m
m
,
p
j
j = 1, 2, . . . , m n
j
j = 1, 2, . . . , m
a ∈ L
n
a = p
a
1
1
p
a
2
2
. . . p
a
m
m
,
0 6 a
j
6 n
j
a
j
j = 1, 2, . . . , m
a ∈ L
n
a
j
j = 1, 2, . . . , m
a ¿ (a
1
, a
2
, . . . , a
m
).
a, b ∈ L
n
b ·
·
·
a
a 4 b ⇔ b ·
·
·
a ⇔
(
a
j
6 b
j
,
j = 1, 2, . . . , m.
(a, b) (a, b)
(a, b) À (max{a
1
, b
1
}, max{a
2
, b
2
}, . . . , max{a
m
, b
m
});
(a, b) À (min{a
1
, b
1
}, min{a
2
, b
2
}, . . . , min{a
m
, b
m
}),
max{x, y} min{x, y}
x, y ∈ R
¿
6
À
c ∈ L
n
a b c < a c < b
(
c
j
> a
j
,
c
j
> b
j
⇒ c
j
> max{a
j
, b
j
}, j = 1, 2, . . . , m,
{a, b} 4 c (a, b)
¿
4
À
a b (a, b) = sup(a, b)
(a, b) = inf(a, b)
hL
n
, , i
h{1, 2, . . . , n
j
}, 6i
(
a
1
4 c,
a
2
4 c
⇒ (a
1
∨ a
2
) 4 c;
(
c 4 b
1
,
c 4 b
2
⇒ c 4 (b
1
∧ b
2
);
a
1
4 b
1
,
a
2
4 b
1
,
a
1
4 b
2
,
a
2
4 b
2
⇒ (a
1
∨ a
2
) 4 (b
1
∧ b
2
).
(
a
i
4 b
j
,
1 6 i ≤ m, 1 6 j ≤ n
⇒ (a
1
∨a
2
∨· · ·∨a
m
) 4 (b
1
∧b
2
∧· · ·∧b
n
).
x ∨ (y ∧ z) 4 (x ∨ y) ∧ (x ∨ z);
x 4 z ⇒ x ∨ (y ∧ z) 4 (x ∨ y) ∧ z.
hL, ∨, ∧i
a, b, c ∈ L
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c);
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).