Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
233
нулевых корней. Это соответствует тому, что передаточная функция
линейной части имеет не более двух нулевых полюсов.
()
()
()
R
p
Wp
Qp
=
(29.6)
Теорема: Для установления устойчивости нелинейной системы
достаточно подобрать такое действительное число h>0, чтобы при всех
значениях частоты ω≥0 выполнялось условие
1
Re(1 ) ( ) 0
н
jhWj
k
ωω
++> (29.7)
То есть действительная часть выражения должна быть больше 0.
W(jω) - амплитудно-фазовая характеристика линейной части.
При наличии 1 нулевого корня необходимо выполнить следующие
условия .
ImW(jω)→ -∞, при ω→ 0 (29.8)
При двух нулевых корнях
ReW(jω)→ -∞, при ω→ 0
ImW(jω)<0 , при малых ω.
Чтобы графически решить данную задачу вводится,
модифицированная частотная характеристика.
W
*
(jω)=U
*
(ω)+jV
*
(ω), имеющая следующие свойства:
U
*
(ω) = Re W
*
(jω) = ReW(jω)
V
*
(ω) = ω ImW(jω) (29.10)
На рис. 29.3 приведены примеры, показывающие взаимную связь
годографов W
*
(jω) и W(jω) при отсутствии нулевых корней (рис. 29.3,а) и
наличии одного нулевого корня (рис. 29.3,б).
(
29.9
)
Re
Im
W
*
(jω)
W(jω)
ω=∞
ω=0
ω→0
Im
Re
ω=∞
ω=0
W
*
(jω)
W(jω)
ω
ω=1
а
б
234
Рис. 29.3
Годограф W
*
(jω) при n-m>1,где n,m – степени полиномов имеет вид
Преобразуем левую часть неравенства (29.7)
11
Re(1 ) ( ) Re ( ) Im ( )
нн
jhWj Wj h Wj
kk
ωω ωω ω
++=− + (29.11)
Положим W
*
(jω)=U
*
(ω)+jV
*
(ω), и использовав (29.9), получим для
теоремы Попова
** **
111
() () 0 ( )
нн
UhV VU
khk
ωω
−+≥ =+
Очевидно, что равенство
0
1
)()(
**
=+−
н
k
hVU
ωω
-это уравнение прямой на плоскости
W
*
(jω).
Отсюда теорему Попова можно сформулировать так:
Для установления устойчивости нелинейной системы на плоскости
W
*
(jω) достаточно подобрать такую прямую, проходящую через точку
)0j,
k
1
(
н
− , чтобы вся кривая W
*
(jω) лежала справа от этой прямой.
V
*
U
*
ω=∞
ω=0
W
*
(jω)
1
н
k
−
V
*
U
*
n-m>1
ω=∞
W
*
(jω)
V
*
U
*
n-m=1
ω=∞
W
*
(jω)
n
m
a
b
0
0
a
b
*
V
*
U
*
ω=∞
ω=0
W
*
(jω)
1
н
k
−
а
б
Рис. 29.4
235
Из рис.29.5,а следует, система абсолютно устойчива, а из рис.29.5,б видно в
этом случае прямую подобрать нельзя и условие абсолютной устойчивости
не выполняется.
а
а
Рис. 29.5
236
Библиографический список
1. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В. А.
Бесекерский, Е. П. Попов.– 4-е изд., перераб. и доп. М.: СПб Изд-во, «Профессия», 2004.-
747 с.
2. Востриков, А. С. Теория автоматического регулирования: Учеб. пособие для
вузов/ А.С. Востриков, Г.А. Французова; Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск: Изд-во
НГТУ, 2003. - 363
с.
3. Певзнер, Л. Д. Практикум по теории автоматического управления: учеб. пособие
для студентов вузов/ Л. Д. Певзнер. - М.: Высшая школа, 2006. - 590 с.
4. Никулин, Е. А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы
анализа и синтеза систем: учеб. пособие для вузов. / Е. А. Никулин - СПб.: БХВ-
Петербург, 2004. - 631 с.
5. Мирошник, И. В. Теория
автоматического управления. Линейные системы: Учеб.
пособие для вузов/ И.В. Мирошник. - М.: Питер, 2005. - 333 с.
6. Ким, Д.П. Теория автоматического управления: учеб. пособие для студентов
вузов/ Д. П. Ким. / - М.: Физматлит, 2003 - Т. 1: Линейные системы. - 2003. - 287 с.
7. Ерофеев, А. А.Теория автоматического управления: учебник для вузов/ А. А.
Ерофеев. - 2-е изд., доп. и
перераб. - СПб.: Политехника, 2005. - 302 с.
8. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического
управления техническими системами: Учеб. пособие. -М.: Изд. МГТУ,1993.
9. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов. В 2-х ч., ч.1,ч.2./ Под ред.
А. А. Воронова- М.: Высш. шк., 1986.
10. Башарин, А.В., Новиков, В.А., Соколовский
, Г.Г. Управление
электроприводами. -Л.: Энергия, 1982.
11. Б. Куо. Теория и проектирование цифровых систем управления: Пер. с англ. -
М.: Машиностроение, 1986.
12. Бесекерский, В.А., Изранцев, В.В. Системы автоматического управления с
микроЭВМ. -М.: Наука, 1987.