Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
163
Перейдем к эквивалентной схеме. Функция, описывающая форму
импульса, представлена на рис. 18.8,б. Найдем передаточную функцию
формирующего звена.
W
ф
(p)=
p
e
dtedte
pT
T
ptpt
−
−
∞
−
−
==⋅
∫∫
1
1
00
.
Рис. 18.9
Представим передаточную функцию в виде сомножителей
W
ф
(p)= )()(
1
)1(
...
pWpW
p
e
ЧНФТ
pT
⋅=⋅−
−
.
Рис. 18.10
W
П.Н.Ч.
(p)=
)1(
1
+pTp
k
Разлагаем на простые дроби
)1(1)1(
1
1
11
+
+
+
=
+
+=
+ pTp
BpApAT
pT
B
p
A
pTp
k
A = k; B = -kT
1
;
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
+
1
1
1
11
)1(
T
p
p
k
pTp
k
По таблице дискретного преобразования Лапласа [1] находим:
)1)((
)1(
1
)(
1
/
1
/
1
/
*
...
−−
−
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
−
−
−
pT
TT
pT
TT
pT
TT
pT
pT
pT
pT
ЧНП
eee
ee
k
ee
e
e
e
kpW
.
Передаточная функция разомкнутой системы
-
W
Ф
(p) W
Н
(p)
-
1-e
-p
T
)
1
1
(
+
p
T
p
k
W
Т
(
p
)
W
П
.
Н
.Ч.
(p)
164
1
1
1
1
/
**
...
/
/
/
(1 )
() () () (1 )
()(1)
(1 )
TT
pT
pT
pTПНЧ
TT
pT pT
TT
TT
pT
ee
Wp WpW p e k
ee e
ke
ee
−
−
−
−
−
−
=⋅ =−⋅ =
−−
−
=
−
.
Таким образом, W
p
*
(p) является трансцендентной функцией и может
быть представлена в виде отношения двух полиномов.
18.3. Передаточные функции замкнутых систем
Для частного, но наиболее распространенного способа включения ИЗ в
САУ после сумматора, эквивалентная схема представлена на рис. 18.11.
Рис. 18.11
Схему можно преобразовать (рис. 18.12 и рис. 18.13)
Рис. 18.12 Рис. 18.13
Передаточная функция замкнутой системы для схемы на рис.18.13
находится также как и для непрерывной системы:
W
*
(p) =
)(
)(
*
*
pX
pX
вх
вых
=
)(1
)(
*
*
pW
pW
p
p
+
Пусть
W
p
*
(p) =
)(
)(
*
*
pC
pB
, тогда
W
*
(p) =
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
1
)(
)(
*
*
**
*
*
*
*
*
pA
pB
pBpC
pB
pC
pB
pC
pB
=
+
=
+
,
x
вх
-
x
вых
W
фн
(p)
x
x
*
x
вх
-
x
*
вых
W
фн
(p)
x
*
вх
x
вых
W
p
*
(p)
-
x
*
вых
W
p
*
(p)
x
*
вх
165
где A
*
(p) = C
*
(p)+ B
*
(p)=a
0
e
npT
+ a
1
e
(n-1)pT
+…+ a
n
–
– характеристический полином замкнутой системы.
В общем случае для импульсных САУ при нахождении передаточных
функций необходимо учитывать взаимное расположение непрерывных и
импульсных элементов.
В начале рассмотрим три случая расположения ИИЗ в разомкнутых
системах.
1)
Рис. 18.14
Изображение выходного сигнала имеет вид
X
*
вых
(p) = X
*
вх
(p)W
1
W
2
*
(p), где обозначено
W
1
W
2
*
(p) = Z[W
1
(p)W
2
(p)], то есть W
*
p
(p) = W
1
W
2
*
(p).
2) Пусть два звена с передаточными функциями W
1
(p) и W
2
(p)
соединены последовательно и разделены двумя ИИЗ, которые работают
синхронно.
Рис. 18.15
Для схемы (рис. 18.15) запишем
X
*
1
(p) = X
*
вх
(p)·W
1
*
(p) , где W
1
*
(p) = Z[W
1
(p)];
X
*
вых
(p) = X
*
1
(p)·W
2
*
(p) , где W
2
*
(p) = Z[W
2
(p)];
X
*
вых
(p) = W
2
*
(p)·W
1
*
(p)·X
*
вх
(p) = W
*
p
(p)·X
*
вх
(p)
W
*
p
(p) = W
2
*
(p) ·W
1
*
(p)
В общем случае W
1
W
2
*
(p)≠ W
1
*
(p) ·W
2
*
(p)
3)
Рис. 18.16
Для схемы найдем изображение выходного сигнала
X
*
вых
(p) = X
*
1
(p) ·W
2
*
(p), где X
*
1
(p) = Z[X
вх
(p)W
1
(p)]= X
вх
W
1
*
(p)
W
1
(p) W
2
(p)
x
вх
x
*
вых
x
вых
x
*
вх
ИИЗ
W
1
(p) W
2
(p)
x
вх
x
*
вых
(
t
)
x
вых
(
t
)
x
*
вх
ИИЗ1 ИИЗ2
x
1
(
t
)
x
1
*
(
t
)
W
1
(p) W
2
(p)
x
вх
x
*
вых
x
вых
ИИЗ
x
1
x
1
*
166
W
2
*
(p) = Z[W
2
(p)], тогда
X
*
вых
(p) = X
вх
W
1
*
(p).
В этом случае нельзя найти передаточную функцию разомкнутой
системы, как отношение изображений дискретных входного и выходного
сигналов.
В общем случае передаточные функции замкнутых систем находят
используя уравнения отдельных элементов (участков) структурной схемы.
Пример 2. Пусть задана структурная схема (рис. 18.17).
Рис. 18.17
Запишем уравнения звеньев:
X
*
вых
(p) = W
1
W
2
*
(p)X
*
(p), (18.14)
где W
1
W
2
*
(p) = Z[W
1
(p)W
2
(p)].
X
*
(p) = X
*
вх
(p) - X
*
3
(p), (18.15)
X
*
(p) = X
*
вх
(p) - W
1
W
2
W
3
*
(p)X
*
(p), (18.16)
где W
1
W
2
W
3
*
(p) = Z[W
1
(p)W
2
(p)W
3
(p)], X
*
вх
(p) = Z[X
вх
(p)].
Из (18.16) получим
X
*
(p) =
)(1
)(
*
321
*
pWWW
pX
вх
+
(18.17)
Выражение (18.17) подставляем в (18.14)
X
*
вых
(p) = )(
)(1
)(
*
*
321
*
21
pX
pWWW
pWW
вх
+
. (18.18)
Тогда передаточная функция замкнутой САУ
W
*
(p) =
)(1
)(
)(
)(
*
321
*
21
*
*
pWWW
pWW
pX
pX
вх
вых
+
=
.
Пример 3.
x
вх
–
W
1
(p)
x
*
x
вых
W
2
(p)
W
3
(p)
x
*
вых
x
x
3
167
Рис. 18.18
Составим уравнения для отдельных элементов схемы
X
1
(p) = X(p)W
1
(p)= W
1
(p) [X
вх
(p) – X
вых
(p)]=
=W
1
(p)X
вх
(p)- W
1
(p)W
2
(p)X
*
1
(p).
Применим к этому равенству дискретное преобразование
X
*
1
(p)= X
вх
W
*
1
(p) – W
1
W
*
2
(p)X
*
1
(p),
где X
вх
W
*
1
(p) = Z[X
вх
(p)W
1
(p)], W
1
W
*
2
(p) = Z[W
1
(p)W
2
(p)].
Из выражения получим
X
*
1
(p) =
)(1
)(
*
21
*
1
pWW
pWX
вх
+
.
Окончательно изображение выходной величины
)(1
)()(
)()()(
*
21
*
2
*
1
*
2
*
1
*
pWW
pWpWX
pWpXpX
вх
вых
+
⋅
==
,
где W
*
2
(p) = Z[W
2
(p)].
То есть передаточная функция в явном виде не выражается.
19. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
19.1. Понятие об устойчивости
Линейная импульсная САУ считается устойчивой, если после
кратковременного внешнего воздействия (например, x
вх
(t)=δ(t)) при t
→
∞
x
вых
(t)
→
0.
Пусть W
*
(p) =
)(
)(
*
*
pA
pB
– передаточная функция замкнутой системы.
Тогда характеристический полином замкнутой системы
A
*
(p) = C
*
(p)+ B
*
(p)=a
0
e
npT
+ a
1
e
(n-1)pT
+…+ a
n
. (19.1)
Корни характеристического уравнения рассматриваются в полосе
x
вх
–
W
1
(p)
x
вых
W
2
(p)
x
*
вых
x
x
1
x
1
*
168
2
Im
2
ии
p
ω
ω
≤<− , т.к. изображения
периодичны по мнимой оси.
Если корни характеристического
уравнения имеют отрицательные
вещественные части, то система
устойчива.
Рис. 19.1
Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет
положительную вещественную часть – система неустойчива.
Если один или несколько корней характеристического уравнения
расположены на мнимой оси, то импульсная система нейтральна.
Уравнение (19.1) является трансцендентным,
поэтому сделаем в
характеристическом уравнении A
*
(p) = 0 подстановку
e
pT
= z. (19.2)
Тогда получим
A(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n-1
+…+ a
n
=0. (19.3)
Из (2) имеем:
Пусть p
i
= c
i
+ j
ω
i
– корень уравнения (1), тогда
ему соответствует корень уравнения (3)
zz
TjTcTp
i
jeeez
iii
βα
ω
+=⋅==
zzi
Tc
jze
i
βα
+== ,
если c
i
<
0, то |z
i
|
<
1 и система будет устойчива. Рис. 19.2
Следовательно, для устойчивости системы корни уравнения (19.3)
должны находиться внутри окружности единичного радиуса.
19.2. Критерий устойчивости Гурвица для импульсных систем
Характеристическое уравнение замкнутой импульсной системы
A
*
(p) = C
*
(p)+ B
*
(p)=a
0
e
npT
+ a
1
e
(n-1)pT
+…+ a
n
=0. (19.4)
Сделаем подстановку e
pT
= z, тогда получим
A(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n-1
+…+ a
n
=0. (19.5)
К уравнению (19.5) нельзя применить известный критерий Гурвица,
поэтому в A(z) произведем замену переменных
v
v
z
−
+
=
1
1
, откуда следует (19.6)
Область
устойчивости
Пл. z
-
Обла
сть
Пл.
p
169
1
1
1
1
+
−
=
+
−
=
pT
pT
e
e
z
z
v
. (19.7)
Из (19.7) видно, что если вещественная часть комплекса v
i
=
α
v
+j
β
v
будет отрицательна, то |z
i
|
<
1 и система устойчива. Характеристическое
уравнение принимает вид
A(v) = a
0
n
v
v
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
1
1
+ a
1
1
1
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
n
v
v
+…+ a
n
=0 (19.8)
или
a
0
()
n
v+1 + a
1
()
(
)
vv
n
−+
−
11
1
+…+ a
n
(
)
n
v−1 =0,
a
0
’
n
v
+ a
1
’
1−n
v
+…+ a
n
’
=0, (19.9)
где – a
0
’
, … a
n
’
– новые коэффициенты.
Для характеристического уравнения (19.3) можно использовать
критерий Гурвица, сформулированный для непрерывных систем, и
исследовать систему на устойчивость.
19.3. Критерий устойчивости Михайлова для импульсных систем
Пусть имеем характеристический полином замкнутой системы.
A(z) = a
0
z
n
+ a
1
z
n-1
+…+ a
n
, (19.9)
где z = e
pT
.
Разложим (19.9) на сомножители
A(z) = a
0
(z –z
1
)(z –z
2
)…(z –z
n
), (19.10)
где z
i
– корни уравнения A(z)=0, соответствующие корням p
i
характеристического уравнения A
*
(p)=0.
Положим z = e
j
ω
T
и найдем изменение аргумента (фазовый сдвиг)
одного из сомножителей (z –z
i
), входящих в состав A(z),
Δ
arg (e
j
ω
T
-z
i
) при изменении
2
и
ω
−
<
ω
≤
2
и
ω
.
1) Допустим |z
i
|
<
1, что
соответствует корню p
i
=
α
i
±
j
β
i
при
α
i
<
0.
Концы векторов скользят по
окружности единичного радиуса.
ω
ω
e
Рис. 19.3
170
Тогда изменение аргумента
Δ
arg (e
j
ω
T
-z
i
)=2
π
при изменении
частоты
2
и
ω
−
<
ω
≤
2
и
ω
.
.
2)Допустим |z
i
|
>
1, что соответствует
корню p
i
=
α
i
±
j
β
i
при
α
i
>
0.
В этом случае изменение
аргумента
Δ
arg (e
j
ω
T
-z
i
)=0 при
2
и
ω
−
<
ω
≤
2
и
ω
.
Годограф строится по выражению
A
*
(j
ω
) = a
0
e
nj
ω
T
+ a
1
e
(n-1) j
ω
T
+…+ a
n
= X(
ω
)+j Y(
ω
).
Если изменять
ω
от 0 до
ω
и
/2 и учесть, что число сомножителей (z –z
i
)
равно степени характеристического уравнения n, то критерий можно
сформулировать следующим образом.
Для того чтобы импульсная система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы годограф A
*
(j
ω
) с ростом
ω
от 0 до
ω
и
/2 обходил
последовательно в положительном направлении 2n квадрантов (то есть
вектор поворачивался на угол n
π
при изменении
ω
от 0 до
ω
и
/2).
На рис. 19.5 приведены варианты годографа Михайлова для систем
первого и второго порядка и сделаны выводы об устойчивости систем.
ω
ω
e
Рис. 19.4
A
A
A
Устойчива Устойчива
Неустойчива
Рис. 19.5
171
19.4. Критерий устойчивости Найквиста для импульсных систем
Пусть разомкнутая система устойчива или нейтральна и имеет
передаточную функцию W
p
*
(p).
Замкнутая система будет устойчива, если при изменении
ω
от 0 до
ω
и
/2
годограф вектора W
p
*
( j
ω
) не охватывает точку (-1, j0).
а б
Рис.
20. КОРРЕКЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
20.1 Способы коррекции
В общем случае для достижения требуемых показателей качества
переходных процессов вводят корректирующие устройства.
В отличие от непрерывных систем применяют два способа коррекции:
непрерывный и импульсный.
W
ω
Система устойчива в
замкн
у
том состоянии
Дополнение годографа
к бесконечности
Для нейтральной
системы
Рис. 19.6
172
При первом способе коррекция осуществляется введением
непрерывных корректирующих устройств, при втором – введением в
систему импульсных и цифровых фильтров.
1. При непрерывной коррекции непрерывное корректирующее
звено вводят последовательно или параллельно с элементами
непрерывной части.
.
При этом деформируются частотные характеристики приведенной
непрерывной части. Задачу решают методом ЛЧХ.
2. Импульсная коррекция состоит во введении в импульсную систему
импульсного фильтра.
Импульсный элемент преобразует дискретные значения входного
сигнала в последовательность импульсов.
Обычно в процессе синтеза получают передаточную функцию W
К
*
(p) в
виде импульсной передаточной функции, затем определяют передаточную
функцию W
К
(p).
3. Использование цифровых фильтров.
В этом случае по импульсной передаточной функции W
К
*
(p) находят
разностное уравнение и решают его на ЦВМ.
x
вх
-
x
вх
-
W
Ф
(p)
x
вых
W
К1
(p) W
Н
(p)
W
К2
(p)
-
Рис. 20.1
W
Ф1
W
К
x
вых
W
Ф
(p)W
Н
(p)
W
К
*
(p)
Рис. 20.2