Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.

361

Розв’язування. Заміною

зведемо задане рівняння до рі-

вняння

u21

uxu

−

′

або

u21

(

−

⋅=−

−

Відокремлюючи змінні , знайдемо

u21

−

, звідки

lnuln2

або

lnueln

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅ ,

тобто

=⋅

Повертаючись до змінної

, одержимо загальний розв’язок:

=⋅ .

2.4.Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійним диференціальним рівнянням першого

порядку називається рівняння , яке містить шукану функцію і її

похідну у першому степені без їх добутку:

y′+P(x)y=Q(x). (7.13)

Тут P(x), Q(x)- відомі функції незалежної змінної x. Напри-

клад,

.xxy2y

′

Якщо Q(x)=0, то рівняння (7.13) називається лінійним одно-

рідним і є рівнянням з відокремлюваними змінними.

Якщо Q(x)≠0 , то рівняння (7.13) називається лінійним неод-

норідним, яке можна розв’язати декількома способами.

Розглянемо метод Бернуллі за допомогою якого рівняння

(7.13) можна звести до інтегрування двох диференціальних рівнянь

першого порядку з відокремлюваними змінними.

Розв’язок диференціального рівняння

(7.13) шукаємо у ви-

гляді y=u(x) v(x) або y=uv, (7.14)

де u(x), v(x) невідомі функції. Одну з цих функцій можна взяти до-

вільну, а інша визначається із рівняння (7.13).

Із рівності y=uv знайдемо похідну y′:

vuvuy

′

⋅+⋅

′

Підставимо

та y

′

в рівняння (7.13):

)x(Qvu)x(Pvuvu =⋅⋅+

′

або ).x(Q)v)x(Pv(uvu =⋅+

′

Виберемо функцію

такою, щоб

362

0v)x(Pv =+

′

. (7.15)

Тоді для відшукання функції

u одержимо рівняння

)x(Qvu =

′

. (7.16)

Спочатку знайдемо

v із рівняння (7.15).

Відокремлюючи змінні, маємо

dx)x(P

−=

, звідки

∫

−= dx)x(Pvln або

∫

− dx)x(P

Під невизначеним інтегралом тут будемо розуміти якусь одну

первісну від функції P(x), тобто v буде визначеною функцією від x.

Знаючи v, знаходимо u із рівняння (7.16):

∫

⋅==

dx)x(P

e)x(Q

)x(Q

; dxe)x(Qdu

dx)x(P

⋅=

∫

звідки

∫

.Cdxe)x(Qu

dx)x(P

Тут ми вже беремо для u всі первісні.

Знайдені функції u та v підставляємо в (7.14) і одержуємо

загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння:

∫

+=⋅=

∫∫

−

)Cdxe)x(Q(evuy

dx)x(Pdx)x(P

. (7.17)

При розв’язуванні конкретних прикладів простіше виконувати

ці викладки, ніж застосовувати громіздку формулу (7.17).

Приклад 1. Розв’язати диференціальне рівняння .x

у =−

′

Розв

’язування. Розв’язок шукаємо у вигляді y=uv, тоді

vuvuy

′

⋅+⋅

′

Підставимо

та

′

в рівняння:

vuvu =

⋅

−

′

або

v(uvu =−

′

. (7.18)

Вираз, що стоїть у дужках прирівнюємо до нуля, маємо

v =−

′

або 0

=−

; .

Відокремимо змінні, домноживши обидві частини рівняння на

тоді

363

Після інтегрування , одержимо

=ln

( тут обмежимось

однією первісною), звідки v=x.

Підставимо v=x в рівняння (7.18):

;xvu =

′

;xx

=⋅ dxdu =

; .Cxu +=

Загальний розв’язок запишеться:

.Cxx)Cx(xy

+=+=

Приклад

2. Знайти частинний розв’язок диференціального рі-

вняння

xcos

ytgxy =−

′

, який задовольняє початковій умові y(0)=0.

Розв

’язування. Задане рівняння – це лінійне неоднорідне рів-

няння першого порядку, розв’язок якого шукаємо у вигляді

⋅=

Тоді

;

xcos

uvtgxvuvu =−

′

;

xcos

)vtgxv(uvu =−

′

;0vtgxv =−

′

;0vtgx

=−

tgxdx

; xcoslnvln −= ;

xcos

v =

Підставимо

в рівняння і знайдемо

;

xcos

u =⋅

′

dxdu =

;

Cxu +=

Загальний розв’язок диференціального рівняння буде :

xcos

)Cx(y ⋅+=

Підставляємо початкові умови в знайдений розв’язок

і знаходимо С:

;

сos

)

С0(0 ⋅+=

.0C =

Із загального розв’язку одержуємо частинний розв’язок

cos

y =

2.5. Диференціальне рівняння Бернуллі

Означення. Рівняння вигляду

)x(Qyy)x(Py

′

(або

)y(Qxx)y(P

)

називається диференціальним рівнянням Бернуллі.

364

Дане рівняння відрізняється від рівняння (7.13) лише множ-

ником

y″ (або x″) в правій його частині. Для того, щоб права части-

на даного рівняння була такою як в (7.13), поділимо його ліву і пра-

ву частину на

y″:

)x(Q

)x(P

′

Зробимо заміну:

+−

== ; ;yy)n1(z

′

⋅−=

′

−

)1n(z

′

+−=

′

Домножимо ліву і праву частини одержаного рівняння на

(n+1) і, використовуючи заміну, матимемо:

)x(Q)1n(

)x(P)1n(

)1n(

+−=+−+

′

+−

;

).x(Q)1n(z)x(P)1n(z +−=+−+

′

Ми одержали лінійне диференціальне рівняння відносно нової

змінної

z=y

-n+1

Приклад 1.

Знайти загальний розв’язок диференціального рів-

няння

xlnyyyx

′

Розв’язування.

xln

′

Зробимо заміну

z =

′

−=

′

. Тоді

;xln

′

⋅−

;xlnzzx −=−

′

xln

−=−

Дане рівняння розв’яжемо, зробивши заміну

)x(v)x(uz ⋅= .

;uvvuz

′

;

xln

uvvu −=−

′

xln

)

v(uvu −=−

′

Вибираємо функцію

v(x) так, щоб вираз в дужках дорівнював

нулю і ця функція була б частинним розв’язком рівняння

v =−

′

;

∫∫

= ;xlnvln =

Тоді,

;

xln

xu −=⋅

′

;

xln

−= Cdx

xln

+−=

∫∫

365

Проінтегрувавши праву частину цього рівняння за частинами, одер-

жимо

C)1x(ln

u ++=

, а при uvzy

−

, маємо

2.6. Економічні задачі, що приводять до диференціальних

рівнянь першого порядку

Задача 1. Повні затрати К є функцією об’єму виробництва x.

Знайти функцію К затрат, якщо відомо, що швидкість росту затрат

для всіх значень x дорівнює середнім затратам.

Розв

’язування. Швидкість росту затрат є похідна:

, а середні затрати

За умовою задачі

, а це рів-

няння з відокремлюваними змінними.

Отже,

;

ClnxlnKln +=

;

;CxlnKln =

K=Cx - шукана функція затрат.

Звідси,

- середні затрати постійні.

Задача

2. Кількість населення у є функцією часу t, тобто з ча-

сом кількість населення змінюється. Швидкість зміни приросту на-

селення пропорційна кількості населення. Треба знайти формулу

для визначення кількості населення у будь-який момент часу t.

Розв

’язування. За умовою задачі швидкість зміни приросту

населення пропорційна кількості населення. Це можна записати так:

)t(yk

⋅=

, де k - коефіцієнт пропорційності.

В одержаному диференціальному рівнянні відокремимо змінні:

.kdt

Далі будемо мати:

;Clnktyln +=

ktClnyln =−

;

;kt

ln =

.Cey

(7.19)

Одержано формулу для визначення кількості населення як

функції часу. Вона містить довільну сталу, яка може приймати будь-

які числові значення.

366

Покажемо на прикладі як за формулою (7.19) можна прогно-

зувати ріст населення. Для зручності візьмемо наближені дані.

Нехай за переписом 1980 року населення на Землі було, на-

приклад, 5 млрд. Почнемо звідси відлік, тобто

=0. А в 1990 році

населення на Землі стало 6 млрд. , тобто

t=10 (років). Тоді, викорис-

тавши ці початкові умови, одержимо:

5=С·е

k·0

; C=5.

Підставимо знайдене

C=5 у формулу y=Ce

, маємо

;e56

k10⋅

⋅=

;

lnk10 ==

k =

Ми знайшли коефіцієнт пропорційності.

Враховуючи, що

, формулу

Cey = запишемо у вигляді

e5y

⋅⋅

або

⋅⋅

lnt

e5y

. (7.20)

Формула (7.20) дає можливість знайти кількість населення у

будь-який момент часу

, наприклад, знайдемо кількість населення

у 2010 році (

=30 ):

.)млрд(6,8

216

5e5e5y

ln30

≈==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=⋅==

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅

Задача

3. Нехай в момент часу t величина вкладу в банк

g=g(t)

. Очевидно, що збільшення (зміна) вкладу пропорційне його

величині:

);t(kg

;kdt

Clnktgln += ;

;kt

ln =

eCg ⋅= . (7.21)

Нехай при

t=0 початковий вклад в банк був g

, тоді

Ceg =

формула (7.21) запишеться:

egg = . (7.22)

Нехай величина вкладу змінюється неперервно з часом і за мі-

сяць зростає на

N %:

(egg

100

000

⋅

=⋅+

=1 місяць ) , звідки

100

1lnk

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Підставимо

k у (7.22): ;

100

1gegg

100

1ln

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

367

Остання формула дає можливість визначити величину вкладу

в банк в будь- який момент часу

Задача

4. Зростання інвестицій.

Економісти встановили, що швидкість зростання інвестовано-

го капіталу у будь-який момент часу t пропорційна величині капіта-

лу із коефіцієнтом пропорційності ,що дорівнює узгодженому відсо-

тку R неперервного зростання капіталу. Треба знайти закон зрос-

тання інвестованого капіталу, враховуючи величину початкової

(при

=0 ) інвестиції K

Розв

’язування. Позначимо K(t) - величина інвестованого капі-

талу у момент часу

(шукана функція).

Тоді

)t(dK

- швидкість зміни величини інвестицій,

100

r =

За умовою задачі маємо:

)t(Kr

)t(dK

⋅=

;

K)t(K =

Одержали задачу Коші для диференціального рівняння пер-

шого порядку. Загальним розв’язком диференціального рівняння

буде функція

rtCCrt

eee)t(K ⋅==

Згідно з початковою умовою при

=0 маємо

eK =

Отже, розв’язком задачі буде функція

eK)t(K ⋅=

.Це озна-

чає, що за даними умовами задачі інвестиції з часом зростають за

експоненціальним законом.

Задача

5. Відомо, що еластичність попиту

визначається за

формулою

⋅=η

, де

- кількість одиниць деякого товару вар-

тістю

p за кожну одиницю. Знайти функцію попиту на цей товар,

якщо еластичність попиту постійна і дорівнює

-1.

Розв

’язування. За умовою задачі: 1

−=⋅ ;

;

−=

Clnplnxln +−=

;

lnxln =

;

x =

p =

Знайшли залежність між кількістю товару та його вартістю,

тобто функцію попиту.

368

§ 3. Диференціальні рівняння другого порядку

Означення. Диференціальним рівнянням другого порядку

називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну

, невідому

функцію

та першу і другу похідні від цієї функції:

0)y,y,y,x(F =

′′′

. (7.23)

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння

другого порядку називається функція y=φ(x,C

) яка задовольняє

диференціальне рівняння при довільних значеннях C

та C

Будь-який частинний розв’язок диференціального рівняння

одержується із загального розв’язку при певних значеннях

та C

задовольняє певним початковим умовам. Початковими умовами для

диференціального рівняння другого порядку є задання значень функ-

ції та її першої похідної в деякій точці

0xx

′

Задача Коші для диференціального рівняння другого порядку

формулюється так:

знайти

частинний розв’язок диференціального рівняння

(7.23),

який задовольняє початковим умовам .

Геометричний зміст частинного розв’язку – це інтегральна

крива, яка проходить через точку

) в даному напрямку, тобто

заданий кутовий коефіцієнт дотичної до інтегральної кривої.

Розглянемо задачу, яка приводить до диференціального рів-

няння другого порядку.

Згідно теорії Дж. Хікса, із стабільним ростом затрат праці при

незмінних інших факторах виробництва вартість випуску продукції

також зростає . Швидкість її зростання є постійною додатною вели-

чиною

. Однак, додаткове залучення фактору затрат праці веде до

зниження граничного значення випуску продукції, причому темпи

такого зниження можна вважати постійною від’ємною величиною

Нехай початковий випуск продукції характеризується вартіс-

тю

при затратах праці L

. Треба знайти величину вартості випус-

ку продукції при затратах праці рівних

).55L;50L;01,0a;5,0V;100C(

10000

==−===

Позначимо

U(L) - вартість випуску продукції при затратах

праці рівних

. Тоді

- швидкість зростання вартості продукції

369

.aLa

++=

відносно затрат праці L;

- темпи зміни швидкості зростання

вартості продукції відносно затрат праці

За умовою задачі

, проінтегруємо по :L

aLa

+= ,

ще раз проінтегруємо по

, маємо:

Визначимо сталі

a та :a

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=

−+=

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

++⋅=

.LaVa

,LVL

.aLaV

,aLaL

0001

1000

201

У нашому випадку одержимо

.1a;5,62a

Отже,

5,62LL005,0U

++−= , звідки

375,1025,625555005,0)L(U

=++⋅−=

3.1

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого по-

рядку

Означення. Лінійним однорідним диференціальним рівнян-

ням другого порядку називається рівняння

0y)x(g'y)x(p''y =++ . (7.24)

Очевидно, що

≡

0 є розв’язком рівняння (7.24). Цей розв’язок

називають нульовим або тривіальним. Надалі ми будемо шукати

тільки нетривіальні розв’язки диференціального рівняння (7.24).

Встановимо деякі властивості його розв’язків.

1. Якщо

y(x) є розв’язком рівняння (7.24), то Cy(x) також є

розв’язком цього рівняння.

2. Якщо

(x) та y

(x) - частинні розв’язки рівняння (7.24), , то

)x(y)x(y

+ є також розв’язком цього рівняння.

ТЕОРЕМА

. Якщо y

(x) та y

(x) - частинні розв’язки рівня-

ння (7.24), то розв’язком цього рівняння є також функція

)x(yC)x(yCy

2211

+= (7.25)

Доведення. Підставимо функцію (7.25) в рівняння(7.24), має-

мо:

′

′′

))x(yC)x(yC)(x(p)x(yC)x(yС

22121

370

)).x(y)x(g)x(y)x(p)x(y(C

))x(y)x(g)x(y)x(p)x(y(C))x(yC)x(yC)(x(g

2222

1111221

′

′′

′

′′

′

Вирази в дужках тотожно рівні нулю, бо )x(y

та )x(y

- роз-

в’язки рівняння (7.24), а це означає, що права частина рівняння до-

рівнює нулю. Отже, функція (7.25) є розв’язком рівняння (7.24).

Означення. Система функцій )x(y

та )x(y

називаєть-

ся лінійно незалежною на відрізку

[]

b,a , якщо рівність

0yCyС

2211

≡+ (7.26)

виконується для всіх

тоді і тільки тоді, коли .0CC

Якщо рівність (7.26) виконується, коли хоча б один із 0C

≠ ,

то система

називається лінійно залежною.

Нехай

0yCyС

2211

≡+ ; якщо 0С

≠ , тоді

y −=

або

yy λ= , звідки

λ=

, де λ - стале число.

Іншими словами, дві функції лінійно залежні тоді і тільки то-

ді, коли вони пропорційні.

Означення. Лінійно незалежна система розв’язків лінійного

однорідного диференціального рівняння називається фундамен-

тальною системою розв’язків.

ТЕОРЕМА (про структуру розв’язку однорідного дифере-

нціального рівняння). Якщо )x(y

та )x(y

утворюють фун-

даментальну систему розв’язків рівняння (7.24), то

)x(yC)x(yСy

2211

+= , де

C,C - довільні сталі, є загальним

розв’язком рівняння (7.24).

Доведення. Відомо, що розв’язок називається загальним, якщо

з нього при певних числових значеннях сталих можна отримати

будь-який частинний розв’язок. А за теоремою про існування і єди-

ність будь-який частинний розв’язок однозначно визначається поча-

тковими умовами.

Покажемо, що можна знайти

і C

такі, щоб задовольнялись

початкові умови:

0xx

′

Нехай, коли

xx = , маємо: