Шемякин Е.И., Смирнов Н.Н., Нигматулин Р.И., Натяганов В.Л. (редакторы) Газовая и волновая динамика
Подождите немного. Документ загружается.
Структура фронта неустойчивого вытеснения вязкой
жидкости из ячейки Хеле-Шоу
Ивашнев О. Е., Смирнов Н. Н.
1. Введение
Процессы фронтального вытеснения более вязкой жидкости менее вязкой или газом
широко распространены в системе мероприятий по повышению нефтеотдачи неф-
тяных пластов. Возникающая при этом неустойчивость фронта вытеснения Рэлея-
Тейлора, или Сафмана-Тейлора, может привести к прорыву отдельных «языков» вы-
тесняющей жидкости или газа, их дальнейшему слиянию, и захвату островов вязкой
жидкости при обтекании ее менее вязким газом, что существенно снижает качество
вытеснения и, как следствие, уменьшает нефтеотдачу пласта.
Ячейка Хеле-Шоу служит физической моделью для изучения процессов вытесне-
ния вязкой жидкости из пористой среды или из трещины гидроразрыва. Она пред-
ставляет собой канал, образованный двумя близко расположенными параллельными
пластинами (рис. 1).
По-видимому, впервые, форму «языка» в вязкой жидкости удалось рассчитать
аналитически Журавлеву [1], а знаменитая работа Саффмана-Тейлора [2] появилась
лишь два года спустя. В теории Журавлева-Саффмана-Тейлора (Ж-С-Т) не учиты-
ваются силы поверхностного натяжения, действующие в плоскости течения, т.е. си-
стема лишена фактора, стабилизирующего неустойчивость. Поэтому, в соответствии
с теорией Ж-С-Т, ширина вязкого языка может быть сколь угодно малой, что проти-
воречит эксперименту. Идея использовать малые составляющие сил поверхностного
натяжения, действующие в плоскости течения, очевидно, принадлежит Хомси [3].
Им были проведены многочисленные расчеты «языков» в вязкой жидкости в ячейках
Хеле-Шоу и в пористых средах, хорошо коррелирующие с экспериментом [3, 4, 6, 7].
В данной работе построено автомодельное решение о вытеснении вязкой жид-
кости газом с учетом влияния полной кривизны поверхности раздела фаз. Рассчи-
тана ширина образующегося газового «языка». Получен критерий возникновения
неустойчивости и теоретически определено критическое значение модифицированно-
го капиллярного числа.
2. Постановка задачи
В экспериментах [1] вязкая глицериново-водяная смесь вытеснялась воздухом. Тол-
щина щели была δ =0.08 см, ширина h =20см. Эксперименты показали, что вытес-
няющая жидкость (воздух) пробивает в вязкой жидкости канал, по которому затем
она движется через ячейку. При малых скоростях в ячейке образуется один канал
(рис. 2). При больших скоростях вытеснения в щели может образоваться несколько
(рис. 3) или даже десятки каналов (рис. 4).
284
Рис. 1: (a) – схема течения в ячейке Хеле-Шоу, (b) – вид межфазной поверх-
ности в разрезе ячейки плоскостью, нормальной к основаниям
Рис. 2: Устойчивый газовый канал в ячейке Хеле-Шоу, заполненной вязкой
жидкостью при Ca
=94.3
Для теоретического описания процесса вытеснения вязкой жидкости из ячейки
Хеле-Шоу примем следующие предположения:
1.Зазор между пластинами δ считается малым по сравнению с шириной ячейки
δ/h << 1.
2. Вязкостью вытесняющего газа пренебрегаем в сравнении с вязкостью вытес-
няющей жидкости.
Ось Ozдекартовой системы координат направим перпендикулярно основаниям ще-
ли (рис. 1, а). Точку O (начало системы координат) возьмем между основаниями.
Течение каждой из жидкостей описывается уравнениями Стокса:
∂P
∂x
= µ
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
, (1)
∂P
∂y
= µ
∂
2
v
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
+
∂
2
v
∂z
2
, (2)
∂P
∂z
= µ
∂
2
w
∂x
2
+
∂
2
w
∂y
2
+
∂
2
w
∂z
2
, (3)
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
=0, (4)
где µ - коэффициент динамической вязкости, P - давление, u, v, w − компоненты
вектора скорости.
Условия на границе с пластинками записываются следующим образом:
z = ±δ/2: u = v = w =0. (5)
285
Рис. 3: Процесс вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу при Ca
=
143 (U
0
∼ 3мм/с): (a) 90с, (b) 94с, (c) 110с, (d) 130с, (e) 140с, (f) 157с, (g) 162с,
(h) 171с, (i) 181с, (k) 210с
Рис. 4: Процесс вытеснения при Ca
= 287. Время: (a) 73с, (b) 82с
286
Предполагаем, что профиль скоростей между пластинами параболический:
u =
3
2
U (x, y)
1 −
4z
2
δ
2
, (6)
v =
3
2
V (x, y)
1 −
4z
2
δ
2
, (7)
w =0, (8)
где U (x, y), V (x, y) - средние по высоте сечения компоненты вектора скорости
U =
1
δ
δ/2
−δ/2
u (x, y, z) dz.
Такой вид решения автоматически удовлетворяет условию на верхней и нижней
границах потока (5). Подставив решение в виде (6)-(8) в систему уравнений (1)-(4),
получим:
∂P
∂x
+
12µ
δ
2
U =
3
2
1 −
4z
2
δ
2
µ
∂
2
U
∂x
2
+
∂
2
U
∂y
2
, (9)
∂P
∂y
+
12µ
δ
2
V =
3
2
1 −
4z
2
δ
2
µ
∂
2
V
∂x
2
+
∂
2
V
∂y
2
, (10)
P = P (x, y) , (11)
∂U
∂x
+
∂V
∂y
=0. (12)
В левой части уравнений (9), (10) все параметры - функции только x и y,в
квадратные скобки в правой части заключены тоже функции x и y, коэффициент
же перед квадратными скобками зависит от z. Следовательно, уравнения (9), (10)
выполняются только в том случае, когда их левые части и выражения, заключенные в
квадратные скобки, равны нулю. Приравняв левые части к нулю, получим уравнение
Дарси для плоской щели:
¯
W = −
δ
2
12µ
∇P, (13)
где
¯
W =
¯
iU +
¯
jV - вектор средней скорости (
¯
i,
¯
j - единичные орты осей Ox и Oy).
Для равенства нулю выражений в квадратных скобках уравнений (9), (10) доста-
точно чтобы наряду с уравнением неразрывности (12) выполнялось условие равенства
нулю вектора вихря rot
¯
W =0, скалярная форма которого имеет вид:
∂U
∂y
−
∂V
∂x
=0. (14)
Таким образом, получены осредненные по высоте щели уравнения для описания
течения вязкой жидкости:
¯
W = −
δ
2
12µ
∇P, (15)
287
∂U
∂x
+
∂V
∂y
=0, (16)
∂U
∂y
−
∂V
∂x
=0. (17)
Уравнения (16), (17) эквивалентны уравнению Лапласа:
∆ϕ =0, (18)
где ϕ - потенциал вектора
¯
W :
¯
W = grad (δ) . (19)
Из (15) и (19) следует связь между функциями P и ϕ:
P = −
12µ
δ
ϕ + const. (20)
Окончательно систему уравнений представим в следующей форме:
∆P =0, (21)
¯
W = −
δ
2
12µ
∇P. (22)
Таким образом, следствием принятия допущения о параболическом законе рас-
пределения скорости между пластинами (6)-(8) является отсутствие касательных
напряжений в плоскости xOy: τ
xy
=0. Средние параметры течения описываются
уравнениями для идеальной жидкости (21), (22).
Первым граничным условием на межфазной поверхности является условие ее
непротекания - проекция скорости межфазной поверхности и проекция скорости
вытесняемой жидкости на нормаль к поверхности равны:
¯n
d
¯
R
dt
=¯n
¯
W
2
, (23)
где ¯n =
¯
in
x
+
¯
jn
y
- вектор нормали к межфазной поверхности, его координаты:
n
x
=
1
+
1+
dX
dy
2
,n
y
= −
dX
dy
+
1+
dX
dy
2
.
Для решения задачи необходимо еще одно граничное условие, связывающее дав-
ления по обе стороны межфазной поверхности P
1
и P
2
. Считаем давления по разные
стороны межфазной поверхности однородными по высоте и равными среднему. В
этом случае справедлива формула Лапласа:
P
1
− P
2
=
2σcosθ
δ
+
σ
R
. (24)
288
Рис. 5: Схема автомодельного решения
Косинус краевого угла (угла смачивания) вычисляется по формуле cosθ =(σ
1m
−
σ
2m
)/σ,гдеσ = σ
12
- коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела
жидкостей; σ
1m
, σ
2m
- коэффициенты поверхностного натяжения на границе раз-
дела между 1-й и 2-й жидкостями и материалом пластин (рис. 1, b); R - радиус
искривления межфазной поверхности в плоскости xOy (большой радиус кривизны —
рис. 1, а).
Поскольку h<<R, то второй член в правой части формулы Лапласа (24) значи-
тельно меньше первого. Если им пренебречь и считать, что
P
1
− P
2
= P
c
, (25)
где
P
c
=
2σcosθ
δ
= const, (26)
то мы приходим к классической постановке задачи о вытеснении вязкой жидкости
из ячейки Хеле-Шоу. Аналитическое решение задачи впервые было дано в [2], а
несколько позднее в [3]. Решение показывает, что вытесняющая жидкость пробивает
в вязкой жидкости палец толщиной λ (рис. 5), и дает форму для кончика пальца:
X =2
h − λ
π
ln
&
cos
πy
2λ
'
, (27)
где h - ширина ячейки.
Однако, параметр λ (ширина канала) является произвольным — он не может быть
вычислен по классической теории . Поэтому, опираясь на проведенные ими экспе-
рименты, Саффман и Тейлор [3] предложили брать его равным половине ширины
ячейки λ = h/2. Но многочисленные эксперименты, проведенные позднее, опроверг-
ли эту гипотезу. Если для режима вытеснения, представленного на рис. 2, она еще
может быть приемлемой, то другие режимы показывают, что в ячейке может обра-
зоваться несколько подобных каналов (рис. 3, рис. 4)
Рассчитать толщину канала численно удалось авторам [4] после того, как были
учтены малые поправки за счет искривления межфазной поверхности в плоскости
289
xOy. В работе [5] аномально большое значение малого параметра σ/R в уравнении
(24) объяснено его влиянием на устойчивость течения. Попытаемся дать свое, более
простое, объяснение этого эффекта.
Большой радиус кривизны R может быть рассчитан по уравнению межфазной
поверхности x = X (y) по формуле:
R = −
1+
dX
dy
2
3/2
d
2
X
dy
2
.
Подставив выражение для радиуса кривизны в (24), получим связь между разницей
давлений на межфазной поверхности и ее кривизной:
d
2
X
dy
2
+
1+
dX
dy
2
3/2
P
1
− P
2
− P
c
σ
=0, (28)
где P
c
= const дается формулой (26).
Из уравнения (28) видно, что пренебрежение большим радиусом кривизны эк-
вивалентно отбрасыванию первого члена уравнения, содержащего старшую произ-
водную. Это и приводит к потере собственного размера — эквивалента толщины
пограничного слоя системы.
Классическое решение (27) не отвергает возможность существования «языков»,
тонких по сравнению с размерами ячейки λ<<l. Такие «языки» обнаружены также
и в экспериментах (рис. 4). Определим размеры «языка» в частном случае, когда
влиянием границ ячейки можно пренебречь. Предполагаем, что язык растет вдоль
оси Ox со скоростью U
0
(t).
Чтобы исключить из уравнений постоянные параметры, введем функцию перепада
давлений:
Π(x, y, t)=P
1
(t) − P
c
− P
2
(x, y, t) . (29)
Тогда общий вид системы уравнений, описывающей движение «языка» в беско-
нечно широкой ячейке, будет следующим:
∆Π = 0, (30)
¯
W =
δ
2
12µ
∇Π, (31)
x = X (y):
d
2
X
dy
2
+
1+
dX
dy
2
3/2
Π
σ
=0, (32)
n
x
U
0
=¯n
¯
W
2
. (33)
290
3. Автомодельное решение для ячейки бесконечной ширины
Обезразмерим уравнения. Введем естественные для данного течения (характерные)
единицы измерения величин. Скорость будем измерять в долях от скорости роста
«языка» U
0
; длину - в долях от характерной длины Λ=δ
√
12Ca,гдеCa = µU
0
/σ -
капиллярное число; перепад давлений будем измерять в долях от Π
∗
=12µU
0
Λ/δ
2
.
Безразмерная форма уравнений (30)-(33) будет иметь вид:
∆Π
=0, (34)
¯
W
= ∇Π
, (35)
x
= X
y
:
d
2
X
d(y
)
2
+
1+
dX
dy
2
3/2
Π
=0, (36)
n
x
· 1=W
2n
, (37)
где X
= X/Λ, y
= y/Λ,
¯
W
=
¯
W/U
0
, Π
=Π/Π
∗
— безразмерные параметры.
Видно, что уравнения (34)-(37) не содержат ни одного физического параметра.
Следовательно, фронты вытеснения в бесконечных ячейках подобны.
В случае роста «языка» в бесконечной ячейке скорость жидкости на удалении от
«языка» в положительном направлении оси Ox стремится к нулю:
x
→∞: W
2
→ 0. (38)
Потенциал ищем в виде суммы частных решений уравнения Лапласа: потенци-
ала источника, расположенного в точке x
= y
=0(рис. 5) и членов степенного
ряда Лорана, содержащих комплексную переменную z
= x
+ iy
в отрицательной
степени. Все эти частные решения удовлетворяют условию на удалении (38). На
прямолинейных стенках должно выполняться:
x
≤ 0,y
= ±λ
/2: Π
= U
= V
=0. (39)
Условие равенства нулю потенциала Π
следует из уравнения равновесия межфаз-
ной поверхности (36) при условии dX
/dy
→∞. Составляющая скорости U
равна
нулю потому, что вдоль всей прямолинейной стенки величина Π
постоянна и, сле-
довательно, U
= ∂Π
/∂x
=0. Условие равенства нулю составляющей скорости V
следует из предположения о существовании автомодельного решения (37).
При построении решения в первом приближении потребуем соблюдения кинема-
тического условия (37) лишь в двух характерных точках — на кончике пальца:
x
= X
0
,y
=0: U
=1 (40)
и в месте сопряжения передней обтекаемой части с плоскими стенками:
x
=0,y
= ±λ
/2: U
= V
=0. (41)
291
Этим условиям можно удовлетворить, добавив к потенциалу источника минимум
два члена ряда:
Φ
= C
0
ln
2z
λ
−
1
2
−
λ
2
8(z
)
2
, (42)
где Φ
=Π
+ iΨ
- комплексный потенциал; Ψ
- функция тока. Комплексному по-
тенциалу (42) соответствуют: следующий действительный потенциал, функция тока
и составляющие вектора скорости:
Π
= C
0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
ln
2
λ
(x
)
2
+(y
)
2
−
1
2
+
λ
2
&
y
2
−
x
2
'
8
&
(x
)
2
+(y
)
2
'
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
, (43)
Ψ
= C
0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
arctg
y
x
+
λ
2
x
y
4
&
(x
)
2
+(y
)
2
'
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
, (44)
U
= C
0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x
(x
)
2
+(y
)
2
+
λ
2
x
&
x
2
− 3
y
2
'
4
&
(x
)
2
+(y
)
2
'
3
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
, (45)
V
= C
0
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
y
(x
)
2
+(y
)
2
−
λ
2
y
&
y
2
− 3
x
2
'
4
&
(x
)
2
+(y
)
2
'
3
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
. (46)
Постоянную C
0
определяем из условия (40):
C
0
=
4
X
0
3
4
X
0
2
+(λ
)
2
.
Подставив выражение (43) для действительного потенциала Π
(функции перепада
давления) в уравнение равновесия межфазной поверхности (36), получим обыкновен-
ное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее форму межфазной
поверхности:
d
2
X
d
(
y
)
2
+ C
0
1+
dX
dy
2
3/2
×
×
ln
2
λ
(X
)
2
+(y
)
2
−
1
2
+
λ
2
y
2
−
X
2
8
&
(
X
)
2
+
(
y
)
2
'
2
=0.
(47)
Уравнение второго порядка (47) содержит два свободных параметра λ
и X
0
(по-
следний входит в выражение для C
0
). Для определения этих параметров имеем два
дополнительных граничных условия:
y
=0: X
= X
0
; dX
/dy
=0 (48)
292
Рис. 6: Результаты расчетов формы газового языка в вязкой жидкости: 1 –
«язык» в бесконечной ячейке Хеле-Шоу, 2 – «язык», прижатый к стенкам ячей-
ки
y
= λ
/2: X
=0; dX
/dy
→−∞ (49)
Решая краевую задачу (47)-(49), находим форму «языка» (рис. 6, кривая 1) и
определяем безразмерное значение его ширины: λ
≈ 3, 58 и высоту головной части
X
0
≈ 2, 68.
На следующем этапе первое приближение может быть уточнено. К ряду (42)
могут быть добавлены еще два члена, не нарушающие условия в двух выбранных
для первого приближения точках (40), (41):
Φ
(2)
= C
0
ln
2z
λ
−
1
2
−
λ
2
8(z
)
2
+ C
1
1
z
−
λ
2
12 (z
)
3
. (50)
Свободная постоянная C
1
может быть определена из кинематического условия
(37) еще в одной характерной точке.
Таким образом, автомодельное решение задачи о «росте газового языка» в беско-
нечной ячейке Хеле-Шоу, заполненной вязкой жидкостью показывает, что он имеет
свой собственный размер. В размерных переменных его ширина:
λ =3, 58δ
σ
12µU
0
. (51)
Зная аналитическое выражение для ширины «языка» (51), можно трактовать вве-
денную Хомси универсальную характеристику процесса вытеснения вязкой жидко-
сти газом — модифицированное капиллярное число:
Ca
=
12µU
0
σ
h
2
δ
2
, (52)
293