Шемякин Е.И., Смирнов Н.Н., Нигматулин Р.И., Натяганов В.Л. (редакторы) Газовая и волновая динамика

Подождите немного. Документ загружается.

пиальная необходимость учета диспергирования топлив указывалась еще в ранних

работах.

Таким образом, смесевое твердое топливо рассматривается как пористая 4-фазная

система, состоящая из твердых частиц окислителя (фаза 1), твердого горючего-

связки (фаза 2), металлизированного наполнителя, инертного в топливе (фаза 3)

и пор, заполненных газообразными продуктами терморазложения горючего и окис-

лителя (фаза 4).

Вследствие эффекта диспергирования, в приповерхностном слое топлива образу-

ется так называемая темная или иначе пародымогазовая зона, в которой происходит

смешение газообразного горючего и окислителя, а также происходит дальнейшее

терморазложение твердых диспергированных частиц. Наконец, в светлой зоне про-

исходит химическая реакция и диффузия продуктов горения из зоны воспламене-

ния. Таким образом, темная и светлая зоны в данной модели рассматриваются как

двухфазные многокомпонентные смеси с химическими реакциями и фазовыми пре-

вращениями.

Перенос излучения в процессе горения, согласно предлагаемой модели, учиты-

вается в виде лучистого нагрева поверхности твердого топлива от светлой зоны

продуктов сгорания. Интегральный коэффициент излучения газовой смеси зависит

от температуры и давления в газовой фазе, а также от химического состава смеси.

Для простоты будем пока пренебрегать деформируемостью твердого топлива (эф-

фекты взаимовлияния горения и деформируемости рассмотрены в работах [5, 6]).

3. Основные соотношения модели

Соотношения для твердого топлива. Процесс внутреннего тепломассопереноса в

твердом топливе описывается следующей системой уравнений[1]:

(∂ϕ

/∂t)=−J

,i=1, 2, 3; (1)

(∂ρ

/∂t)+∇·ρ

v = J

, (2)

ρc((∂θ/∂t)+v ·∇θ)=∇·(λ∇θ) −



i=1

∆e

, (3)

где ρ

- плотности фаз (ρ

1,2,3

= const, а ρ

- переменная), ϕ

- их объемные доли, c

теплоемкости фаз, J

- скорости массопереноса фаз, связанные соотношениями:



i=1

,ρ



i=1



i=1

, 1=



i=1

, (4)

где ρ

, c

и λ

- плотность, теплоемкость и теплопроводность всего топлива, θ -

температура, общая для всех фаз, и ∆e

- теплоты терморазложения фаз.

Для J

предполагаем справедливым закон Аррениуса:

= J

exp



−

Rθ



,i=1, 2,J

=0, (5)

274

где E

- энергия активации терморазложения, J

- предэкспоненциальный множи-

тель, R - универсальная газовая постоянная, M

- молярная масса фазы.

Для скорости движения газообразных продуктов терморазложения v в порах име-

ет место закон Дарси:

v = −(K/µ)∇p, (6)

где K - коэффициент газопроницаемости топлива, зависящий от пористости

varphi

[1], а µ - коэффициент вязкости газа, зависящий от температуры:

K = K

exp(sϕ

1/3

),µ= µ

exp(−E

/Rθ). (7)

Здесь K

, s, µ

, E

- константы, а p - поровое давление:

p =(R/M

)ρ

θ. (8)

Линейная скорость горения топлива. Согласно модели [1, 2, 3], линейная скорость

горения D смесевого твердого топлива определяется процессом диспергирования, а

также сублимацией и терморазложением горючего-связки, и может быть представ-

лена как сумма следующих отдельных составляющих:

D = D

+ D

, (9)

где D

– скорость диспергирования под действием внутрипорового давления, а D

–

под действием внешнего высокоскоростного потока продуктов сгорания. Вклад ско-

рости сублимации и терморазложения горючего-связки D

в реальных задачах, как

правило, оказывается существенно меньше вклада D

и D

и может не учитываться.

В работах [1, 2, 3, 4] было установлено, что скорость D

зависит главным образом от

температуры поверхности топлива θ

,аD

-отθ

и скоростного напора p

газового

потока, обтекающего поверхность горения:

(θ





1/2







Rθ



1/2

exp



−

2Rθ



, (10)

(θ







6ρ



2ω−1



Rθ



1/2

exp



−

Rθ



. (11)

Здесь значения функций берутся для поверхности горения топлива с температурой θ

и значениями долей фаз ϕ

. Здесь также σ

- механическая прочность топлива, а l

– характерный линейный размер пор, ω =5/7 и ω

=3/2 – числовые коэффициенты.

Давление p

представляет собой скоростной напор газового потока, обтекающего

поверхность горения: p

= ρ

= v · (E − n ⊗ n), где ρ

– плотность газового

потока, а v

– касательная скорость потока на поверхности горения Σ с вектором

нормали n, E – метрический тензор.

Соотношения для продуктов горения. Система законов сохранения для двухфаз-

ной многокомпонентной газовой смеси одинакова для темной и светлой зон и состоит

из следующих уравнений:

(

∂ϕ

∂t

+ ∇·ϕ

)=J

,i=1, 2, 3, (12)

275

∂ρ

∂t

+ ∇·ρ



i=1

, (13)

∂ρ

∂t

+ ∇·(ρ

⊗ v

+ p

E)=µ∇v

, (14)

∂ρ

∂t

+ ∇·(ρ

)=∇·(ρ

∇Y

)+ ˙m

,j=1,...N, (15)

∂ρE

∂t

+ ∇·(ρEv

)=∇·(λ∇θ

)+∇·(ρ



j=1

∇Y

) −



i=1

∆e

+˙q − ˙q

+ w

∗

, (16)

где v

- вектор скорости всей смеси, ρ

- плотность газовой смеси, Y

- массовые

концентрации химических компонентов в газовой смеси, ϕ

- объемные доли фаз во

всей смеси, ϕ

- объемная доля всех газообразных компонентов во всей смеси, ρ -

плотность всей смеси, для которой имеют место соотношения:



j=1

˙m

=0,



j=1

=1,ρ= ϕ



i=1

, 1=ϕ



i=1

. (17)

Здесь обозначены: ˙m

- массовая скорость образования j-го компонента, K

-ко-

эффициент диффузии j-го компонента в смеси, p

- давление, h

- энтальпия j-го

компонента, E - полная энергия смеси, c

и c

- удельные теплоемкости j-го ком-

понента:

E = c

+(1/2)v

· v

=(R/M)ρ

= c

θ, (18)

где



j=1

(ρ



j=1



i=1

В уравнении энергии (16) также обозначены: ˙q - суммарный тепловой эффект хими-

ческих реакций, w

∗

- диссипативная функция, ˙q

- тепловой эффект за счет переноса

излучения от газовой смеси к поверхности топлива.

Предполагаем, что в газовой смеси параллельно протекает L химическиз реак-

ций, каждая с массовой скоростью U

, k =1,...L, тогда скорость ˙m

образова-

ния j-го компонента определяется следующим образом: ˙m

= M



k=1

,j=

1,...N, где ν

- стехиометрические коэффициенты, удовлетворяющие соотношению:



j=1

=0,k=1,...L.

Скорости U

вычисляются по основным законам действующих масс:

= U

)

k=1

)

exp



−

Rθ



,k=1,...L,

где

k=1

означает произведение концентраций, а E

- энергия активации химиче-

ской реакции.

276

Условия на поверхности горения. На подвижной поверхности горения задаются

условия массообмена, прилипания и обмена импульсом:

(t): (ρ

− ρ)D = ρv

· n, v

· b

=0,α=1, 2; ρ

D v

· n + p

= p, Y

= Y

Кроме того, предполагаем, что химических реакций на самой поверхности Σ(t) нет,

а для диффузионных потоков справедлива аналогия Рейнольдса. Здесь D ≤ 0 -

нормальная скорость горения, определяемая по формуле (9), n - вектор нормали

к Σ

(t), внешний по отношению к твердому топливу, b

- векторы в касательной

плоскости к поверхности Σ

Условия теплообмена на поверхности горения в рамках рассматриваемой модели

имеют вид:

= q

+ q

− q

sub

где

• q

= −λn ·∇θ – тепловой поток, идущий на нагрев твердого топлива;

• q

=(α

)(c

−c

) – конвективный тепловой поток, отдаваемый газом поверх-

ности топлива, α

– коэффициент теплообмена;

• q

= ε

– тепловой поток, подводимый газом к поверхности топлива за счет

излучения светящихся продуктов сгорания, ε

– интегральный коэффициент излу-

чения газа, зависящий от температуры θ

, давления в газе p

и химического состава

газа: ε

= ε

(θ

);

• q

= ε

– тепловой поток, отдаваемый газу от нагретой поверхности твердого

топлива, σ

– постоянная Стефана-Больцмана;

• q

= γ

v ·n(c

−c

) – конвективный тепловой поток, отводимый от поверх-

ности горения вследствие вдува продуктов терморазложения горючего и окислителя

через поры, γ

– коэффициент вдува;

• q

sub

= ρ

∆Q

sub

– тепловой поток, отводимый от поверхности горения вследствие

эффектов сублимации топлив, ∆Q

sub

– удельная теплота сублимации.

Уравнение для определения функции F (x, t) формы поверхности горения Σ

(t)

имеет вид:

(∂f/∂t)+D (∇f ·∇f )=0.

4. Расчет процессов горения в модельной двигательной установ-

ке

Рассмотрим в качестве примера применения предлагаемой модели задачу о развитии

процессов горения в модельной твердотопливной установке, имеющую осесиммет-

ричную форму и состоящую из воспламенительного устройства (ВУ), камеры сго-

рания (КС) и соплового блока (СБ). Воспламенительное устройство представляет

собой «двигатель в двигателе» [8, 9, 10], располагается в задней глухой части дви-

гателя и выполнено в виде простого сопла (без сверхзвукового участка) с твердым

топливом, имеющим один продольный канал. Пуск ВУ осуществляется с помощью

пиротехнического заряда, продукты воспламенения которого затекают в канал ВУ и

277

Рис. 1: Распределение температуры θ (

◦

C) в различные моменты времени t

поджигают твердое топливо (ТТ). За момент расчета t =0в данной работе выбран

момент воспламенения ТТ в ВУ.

В сопле ВУ и в сопле КС размещены разрывные диафрагмы, разрушаемые про-

дуктами горения в моменты времени t

и t

соответственно. При 0 ≤ t ≤ t

течение

газообразных продуктов ТТ происходит только в ВУ, при t

≤ t ≤ t

–вВУиКС,

априt ≥ t

вВУ,КСиСБ.

Для численного решения задачи (12) - (25) в рамках осесимметричной двумерной

постановки был разработан модифицированный метод типа МакКормака с перемен-

ными параметрами сглаживания, а для задачи (1) - (11) использовался пошаговый

метод расщепления по координатам.

Численные расчеты проводились со следующими значениями констант: ρ

=1.1 ·

кг/м

,λ

=0.3 Вт/м · К,c

=0.8 кДж/кг · К,ρ

= p

/Rθ

=0.1 МПа,

= 293 К,c

=1.5 кДж/кг · К,λ=0.04 Вт/м · К,J

=3· 10

кг/м

· с,E

/R =

8 · 10

К,l

=10

−3

м,σ

=0.5 МПа,λ=0.04 Вт/м · К,c

=3.4 · 10

кДж/кг · К,

∆Q

=4МДж/кг (для ВУ), ∆Q

=9МДж/кг (для КС).

Суммарная скорость горения D топлива, рассчитанная по (1), при температуре



=539 К составляла D =0.6 · 10

−3

м/с. Разрушающее давление для диафрагм 1 и

2 принималось равным p

кр 1, 2

= 0.5 и 1 МПа, соответственно.

Результаты расчетов представлены на рис. 1, рис. 2, рис. 3, рис. 4 в виде поверх-

ностей F = F (¯r, ¯z) в трехмерном изображении, где F = {v

,θ и p} для четырех

характерных моментов времени t = 0.6, 5.2, 9.4 и 30 мс работы двигателя. Здесь

¯r = r + r

, ¯z = z + z

- смещенные к поверхности твердого топлива координаты.

278

Рис. 2: Распределение скорости v

(м/с) в различные моменты времени t

Рис. 3: Распределение скорости v

(м/с) в различные моменты времени t

279

Рис. 4: Распределение давления p (МПа) в различные моменты времени t

Картина развития процесса горения была следующей. В начальный момент вре-

мени, согласно принятой в данной работе модели, начинается процесс воспламенения

внутренней поверхности заряда ВУ x = r

. Температура продуктов сгорания вбли-

зи поверхности заряда ВУ достигает 1880 К (рис. 1, а), а радиальная скорость их

движения внутри канала ВУ на поверхности горения составляет v

≈−46м /textc.

В результате быстрого воспламенения ТТ и поступления продуктов сгорания в ВУ,

возникает ударная волна (рис. 2, а), движущаяся от поверхности топлива к оси

симметрии x =0с максимальной скоростью v

≈−380 м/с.

До момента вскрытия диафрагмы 1 осевая скорость v

в ВУ относительно неве-

лика: поток газа циркулирует в полости ВУ, часть продуктов сгорания движется

к сопловой части ВУ с максимальной осевой скоростью v

≈ 250 м/с,авобрат-

ном направлении движется струя более холодного газа со скоростью v

≈−42 м/с.

Движущаяся от поверхности горения к оси симметрии ВУ волна является волной

сжатия: максимальный коэффициент повышения плотности ρ/ρ

на фронте волны

составлял ∼ 4.4 при t = 0.03 мс.

В момент времени t ≈ 0.03 мс волна сжатия достигает оси симметрии и, отразив-

шись от нее, начинает двигаться в обратном направлении - в результате возникает

зона уплотнения на оси симметрии, при этом коэффициент повышения плотности

начинает расти и при t = 0.04 мс достигает значения 7.2 в сопловой части ВУ.

Давление в сопле при этом превышает критическое значение p

кр1

- в результате

диафрагма 1 разрушается и продукты сгорания начинают поступать в КС. Момент

вскрытия диафрагмы составляет t

≈ 0.041 мс.

280

В начале второго этапа работы двигателя (t

≤ t ≤ t

) давление в ВУ и коэф-

фициент уплотнения продолжают расти и достигают значений p = 1.7 МПа и ρ/ρ

14.2 при t = 0.06 мс в донной области ВУ. Далее по мере нарастания скорости v

вы-

текания газов из ВУ, давление и плотность в ВУ уменьшаются (рис. 1, а, б и рис. 4,

а, б), несмотря на продолжающийся процесс горения заряда в ВУ. Минимальное

стационарное давление в ВУ достигается при t = 6 мс и составляет p ≈ 1.1 МПа.

В течение всего второго этапа в ВУ продолжаются процессы движения прямых и

отраженных волн сжатия в радиальном направлении. Средняя частота вызванных

ими пульсаций давления в камере ВУ составляет ω ≈ 12 кГц.

Этап 2 работы двигателя характеризуется интенсивным заполнением КС горя-

чими газами, поступающими из ВУ. Максимальная скорость v

на срезе сопла ВУ

достигается при t ≈ 1.5 мс и составляет v

≈ 814 м/с(см.рис.3,а).Далеепо

мере роста давления в КС эта скорость начинает несколько снижаться. Распростра-

няющиеся из ВУ, начиная с момента t = t

внутрь КС, продукты горения образуют

волну сжатия, движущуюся по направлению от сопла ВУ к поверхности горения ТТ.

При этом в КС непосредственно за соплом ВУ формируется застойная зона: основ-

ная струя горячего газа движется с максимальной скоростью в направлении сопла

КС. При t ≈ 0.7 мс волна горячих продуктов горения достигает поверхности ТТ и

начинается его прогрев. Максимальная скорость роста температуры достигается в

застойной зоне и в сопловой, наиболее узкой части КС. Весь период прогрева до

момента t

воспламенения характеризуется наличием бегущих прямых и отражен-

ных волн как в продольном, так и в радиальном направлениях. Основная частота

радиальных пульсаций давления составляет ≈ 0.5 кГц, а осевых пульсаций – 0.3

кГц, причем осевые пульсации имеют б

ольшую амплитуду: так на диафрагме 2 эта

амплитуда составляет 0.23 МПа, а на поверхности горения (радиальная) ≈ 0.03

МПа.

В момент времени t ≈ 8.3 мс (рис. 1, в) происходит воспламенение поверхности

ТТ, причем первоначально воспламеняется зона топлива наиболее близкая к соплу

КС, так как в сопле в этот момент температура составляет θ ≈ 1090 К, в то время

как в застойной зоне θ ≈ θ



. Температура θ

на поверхности горения после воспламе-

нения составляет 3487 К. Воспламенение приводит к возникновению новой ударной

волны (рис. 2, в), движущейся от поверхности горения к оси симметрии, максималь-

ная радиальная скорость газа при этом составляет v

≈−410 м/с, а максимальная

осевая скорость v

≈ 236 м/с (рис. 3, в).

После того как эта волна сжатия достигает оси симметрии, она встречается с

волной газов, вытекающих из ВУ. В результате возникает сложная суперпозиция

волн в окрестности сопла ВУ. Более мощная волна от воспламенения ТТ приводит

к обратному затеканию газов ВУ – возникает течение с отрицательной продольной

скоростью v

(рис. 3, в, г).

После входа в ВУ эта обратная волна, отражаясь от стенок, остается в канале

ВУ практически все дальнейшее время работы двигателя, приводит к значительным

пульсациям скорости v

, давления p и температуры (рис. 1, г, рис. 2, г, рис. 3, г,

рис. 4, г). Амплитуда этих пульсаций значительно усиливается на третьем этапе

281

работы двигателя, при выходе на стационарный режим и составляет примерно 32 %

от максимального уровня давления в КС (рис. 4, г).

В конце второго этапа работы радиальная волна воспламенения, отражаясь от

оси симметрии и поверхности горения, постепенно затухает. При этом происходит

заполнение основного объема КС продуктами горения. Повышается основное рабочее

давлениевКСивмоментt

≈ 9.4мс(рис.1,в,рис.2,в,рис.3,в,рис.4,в)

происходит разрушение диафрагмы 2.

Это разрушение приводит к возникновению продольной ударной волны, движу-

щейсяпоСБ,авобратную сторону в КС распространяется волна разрежения (волна

Римана). Эта волна способствует уменьшению амплитуды продольных волн в КС,

образовавшихся на втором этапе. Одновременно с вытеканием струи газов из СБ,

растет общее давление в КС, достигая к моменту времени t

≈ 25 мс стационарного

значения p ≈ 4.1 МПа (рис. 1, г, рис. 2, г, рис. 3, г, рис. 4, г). Максимальная про-

дольная скорость истечения газов из СБ составляет v

≈ 2288 м/с, а температура θ

на срезе СБ достигает значения θ = 2243 К. Особенностью течения газов на третьем

этапе является наличие значительных колебаний давления, температуры и скорости

в ВУ (рис. 1, г, рис. 2, г, рис. 3, г, рис. 4, г), вызванных взаимодействием волн

воспламенения ТТ и заряда ВУ.

5. Выводы

1. Проведен анализ некоторых проблем моделирования процессов горения твердых

топлив перспективных двигательных установок.

2. Разработанная модель горения смесевых твердых топлив, учитывающая многоком-

понентность и многофазность продуктов сгорания, микроструктуру и диспергирова-

ние топлив, применена для расчета двумерного осесимметричного процесса горения

в камере модельного двигателя с воспламенительным устройством.

3. Разработан численный метод расчета процесса горения и течения продуктов сго-

рания, являющийся модификацией метода МакКормака.

4. Проведены расчеты процессов горения смесевых твердых топлив двигателя, по-

казавшие, что характер течения продуктов горения на всех этапах, включая ста-

ционарный режим, является существенно неодномерным. Режим работы двигателя

характеризуется наличием значительных пульсаций давления, наличие ВУ в кана-

ле двигателя приводит к усилению этих пульсаций, причем их амплитуда может

достигать 30 % даже на установившемся участке.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации

(N 00-15-99439).

Литература

[1] Dimitrienko Yu.I. Modelling of Erosion Combustion of Energetic Materials in

High Enthalpy Flows. — Combustion and Flame, 1997, v.111.

282

[2] Димитриенко Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких тем-

пературах. — М.: Машиностроение, 1997.

[3] Dimitrienko Yu.I., Dimitrienko I. D. Effect of Thermomechanical Erosion of

Heterogeneous Combustion of Composite Materials in High-Speed Flows. —

Combustion and Flame, 2000, v.122.

[4] Димитриенко Ю. И., Димитриенко И. Д. Численное моделирование процес-

сов горения смесевых твердых топлив. — Вестник МГТУ, сер. Естественные

науки, 2001, № 2.

[5] Dimitrienko I. D. Effect of Finite Deformations of Combustible Porous Media

on Dynamical Processes of Internal Heat-Mass Transfer. — Int. Journal of

Engineering Science, 1998, v.36.

[6] Смирнов Н. Н., Димитриенко И. Д. Исследование конвективного горения в

сжимаемом твердом топливе с продольными каналами. — Физика горения и

взрыва, 1990, № 4.

[7] Зельдович Я. Б., Лейпунский О. И., Либрович В. Б. Теория нестационарного

горения пороха. — М.: Наука, 1975.

[8] Липанов А. М., Алиев А. В. Проектирование ракетных двигателей твердого

топлива. — М.: Машиностроение, 1995.

[9] Калинин В. В., Ковалев Ю. Н., Липанов А. М. Нестационарные процессы и

методы проектирования узлов РДТТ. — М.: Машиностроение, 1986.

[10] Ерохин Б. Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирования РДТТ. —

М.: Машиностроение, 1991.

283