Шемякин Е.И., Смирнов Н.Н., Нигматулин Р.И., Натяганов В.Л. (редакторы) Газовая и волновая динамика
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 1: Проверка уравнения выдувания
2. Модель атмосферы
В работе используется представление об атмосфере, как идеальном газе в поле силы
тяжести, который характеризуется закономерно изменяющимися с высотой плотно-
стью ρ
в
, давлением p и температурой T при постоянстве скорости ветра U
e
, каса-
тельного напряжения τ и универсальной газовой постоянной R, что обеспечивает
изменение подъемной силы и соответствующее структурирование почво-воздушного
потока. Применительно к тому ограниченному диапазону высот (до 10 – 15 км, в
зависимости от широты местности) в котором в основном и переносится почвен-
ная пыль, на основании опыта [12] принимают, что в среднем температура воздуха
убывает с высотой по линейному закону. Величину ∆, на которую уменьшается тем-
пература при подъеме на каждые 100 м, в практических расчетах принимают равной
0,65˚. Уравнение для плотности воздуха в стратифицированной атмосфере [11] имеет
вид
ρ
в1
ρ
в0
=
1 −
∆
100 T
0
y
1
100g
R ∆
−1
. (1)
3. Уравнение выдувания почвы
Свойства эродируемой ветром почвы интегрально представлены: постоянной выду-
вания α, критическим значением параметра массообмена B
к
, критической скоростью
ветра U
кр.
, при которой начинается массовое движение частиц почвы, критической
скоростью U
кр.2
, при которой прекращается скачкообразное движение почвенной ча-
стицы и начинается ее горизонтальный полет, коэффициентом подъемной силы для
почвенных частиц в формуле Жуковского K
∗∗
, коэффициентом лобового сопротив-
ления почвенных частиц K
∗
и параметром шероховатости почвенной поверхности z
0
.
244
Первоначально уравнение выдувания
B = B
к
e
−α
U
2
кр.
U
2
e
−1
(2)
было получено на основе экспериментально установленного закона выдувания и смы-
ва почвы с использованием методов теории подобия и анализа размерностей [1, 2], а
затем было выведено аналитически [3]. В этом уравнении B = qU
e
/τ,аq – интен-
сивность выдувания почвы [кг/м
2
с]. Справедливость уравнения (2) была проверена
по результатам измерения выдувания почвы в лабораторных условиях с примененим
аэродинамической установки [5], а теперь и по натурным данным [17] (рис. 1). Пес-
чаная почва опытного участка, где проводились измерения переноса почвы ветром,
характеризуется высокой степенью распыленности (Табл.1) и отсутствием связно-
сти, что является причиной сравнительно низкой критической скорости, присущей
ей (U
кр.
=7,6 м/с) [17]. По результатам структурных измерений на этих же опытных
полях для уравнения касательного напряжения (τ = κρ
в
U
2
e
) получено значение κ=
0,0042.
Таблица 1. Характеристики выдувания почвы [30]
Дата t Q U
e
q τ B
кр.
с т/га м/с кг/м
2
/с Н/м
2
кг/кг
13.06.93 1481 12,5 10,3 0,0008 0,6 0,0152
27.06.93 1320 2,0 7,6 0,0002 0,3 0,0037
30.06.93 1321 4,6 8,9 0,0003 0,4 0,0072
01.07.93 3004 26,8 9,2 0,0009 0,5 0,0179
Таблица 2 Агрегатный состав выдуваемой почвы [31]
Класс, мкм <63 63-125 125-250 250-
500
500-
1000
>1000
Масса, % 3,1 18,2 35,7 32,8 10 0,2
Постоянная выдувания почвы (α= –3,4) в полевых условиях практически совпа-
дает с величинами, полученными нами по результатам опытов в лабораторной аэро-
динаемической трубе с насыпными образцами черноземов, близкими по агрегатному
составу (от −4 до −5). В то же время критическая величина параметра массообмена
(B
кр.
= 0,0037) превышает величины, полученные в лаборатории, на два порядка. Для
того, чтобы объяснить такое различие, необходимо обратиться к физическому смыс-
лу параметра массообмена, который, как установлено ранее [4], представляет собой
концентрацию частиц на поверхности почвы, полностью подготовленных потоком к
вылету в результате утраты сцепления с ней под влиянием лобового усилия и под
ударами скачущих частиц. Ясно, что чем протяженнее эродируемая поверхность,
тем больше суммарное проявление влияния скачущих частиц, что и выявилось в
результате сравнения полевых и лабораторных данных.
245
4. Движущие силы ветровой эрозии почв
Закономерности поведения почвенных частиц в стратифицированной атмосфере ис-
следовали на основе анализа сил действующих на нее со стороны потока. При этом
ограничились простейшим случаем постоянной по высоте (за пределами слоя шеро-
ховатости) скорости ветра, U
e
. Начало системы координат (x =0, y =0) совместили
с местом вылета произвольной почвенной частицы, ось x направили вдоль ветра,
аосьy — вдоль нормали к почвенной поверхности, направленной в зенит. Будем
полагать, что частица поступает в поток с поверхности, имея вертикальную ско-
рость v
i0
, для которой получено соответствующее уравнение [4]. В таком случае в
направлении оси x на частицу приведенного радиуса r
i
,действуеттолькосилало-
бового сопротивления, которая придает частице ускорение в направлении этой оси.
Поэтому согласно второму закону Ньютона можно записать уравнение
m
du
i
dt
= K
∗
πr
2
i
ρ
в1
(U
e
− u
i
)
2
, (3)
в котором т– масса почвенной частицы плотностью ρ
п
, определяемая выражением
(4/3) πr
3
i
ρ
п
;K
∗
– коэффициент лобового сопротивления;u
i
– составляющая скорости
частицы в направлении оси x.
Вдоль вертикальной оси y на почвенную частицу действуют: подъемная сила
Жуковского, сила Архимеда, результирующая которой направлена вниз, и сила со-
противления Стокса. Уравнение движения почвенной частицы в проекции на ось y,
имеет вид
m
d
2
y
dt
2
= K
∗∗
πr
2
i
U
2
e
ρ
в0
(1 − λy)
β
− (4/3) πr
3
i
gρ
п
− ϕηπ r
i
dy
dt
. (4)
Здесь K
∗∗
– коэффициент подъемной силы; λ = ∆/100 T
0
, β = (100g/R ∆) −1; ϕ –
коэффициент формы частицы в законе Стокса; η – вязкость воздуха; v
i
– вертикаль-
ная составляющая скорости движения частицы, которая определяется выражением
v
i
= dy/dt.
5. Траектории движения почвенных частиц в стратифицирован-
ной атмосфере
Из общего вида уравнения (4) ясно, что частица не может подниматься бесконеч-
но, поскольку подъемная сила убывает с уменьшением плотности воздуха. В тот
момент, когда подъемная сила сравняется с равнодействующей сил тяжести и вязко-
сти, препятствующих подъему, он прекратится и частица продолжит свое движение
в горизонтальном направлении, в соответствии с лобовым сопротивлением (3). Это
означает, что решение, полученное ранее [4], имеет ограниченный характер. Для
того, чтобы получить решение для области, прилегающей к области горизонтального
полета частицы, воспользуемся тем обстоятельством, что ускорение частицы в верти-
кальном направлении убывает вместе с убыванием подъемной силы, которое вызвано
246
снижением плотности воздуха с высотой. По мере приближения к предельной высо-
те подъема частицы ее ускорение становится пренебрежимо малым, что позволяет
приравнять правую часть уравнения (4) нулю и получить в результате относительно
простую формулу
dy
dt
= v
i
=
K
∗∗
r
i
U
2
e
ρ
в0
(1 − λy)
β
− (4/3) r
2
i
gρ
п
ϕη
(5)
для вертикальной составляющей скорости подъема почвенной частицы в тропосфере.
Уравнение (5) справедливо в узком диапазоне высот, прилегающем к высоте гори-
зонтального полета частицы, y
т
. Ясно, что с приближением к y
т
скорость подъема
v
i
стремится к нулю. Воспользуемся этим для нахождения y
т
. Приравнивая правую
часть (5) нулю и решая уравнение относительно y = y
т
, получаем уравнение
y
m
=
1
λ
1 −
4r
i
gρ
п
3ρ
в0
K
∗∗
U
2
e
1
β
(6)
которое представляет собой обобщение формулы для толщины слоя сальтации, по-
лученной в [4]. Из уравнения (6) следует, что в условиях неизменности метеоро-
логических величин (U
e
= const, ρ
в0
= const) почвенные частицы в тропосфере по
истечении достаточного времени закономерно распределятся по высоте в соответ-
ствии с размерами, r
i
, и плотностью, ρ
п
. Это означает что, почво-воздушный поток
обрел структуру.
Для того чтобы установить структуру потока приравняем правую часть (6) ну-
лю и решим полученное алгебраическое уравнение второй степени относительно r
i
.
Первый корень, r
1
= 0, а для второго получено уравнение
r
2
=
3K
∗∗
U
2
e
ρ
в0
(1 − λy)
β
4gρ
п
(7)
Оно определяет размер частиц известной плотности ρ
п
, транспортируемых пото-
ком известной скорости U
e
на высоте y, которая в данном случае является наиболь-
шей возможной высотой подъема при данной скорости, y
m
. Из уравнения (7) следует
важнейший вывод о том, что при любых метеорологических условиях структура
почво-воздушного потока определяется свойствами выдуваемой почвы.
Исследуем зависимость пространственных координат переносимых ветром поч-
венных частиц от времени. Используем для этой цели уравнение (4), имея в виду,
что с приближением частицы к предельной высоте переноса, вертикальная составля-
ющая ее скорости, то есть скорость подъема, стремится к нулю. Полагая, что на этой
стадии подъемная сила уравновешивается силой Архимеда, а частица, преодолевая
сопротивление вязкости воздуха, продолжает подъем по инерции, из уравнения (4)
путем ряда преобразований получаем уравнение
y =
1
λ
1 −
4r
i
gρ
п
3ρ
в0
K
∗∗
U
2
e
1
β
− A
1
a
i
e
−
t
a
i
(8)
247
зависимости высоты подъема почвенной частицы ветром от времени. Здесь a
i
=
(4r
2
i
ρ
п
/3φη). Найденное решение определяет асимптотическое поведение частицы с
точностью до постоянной A
1
. Ее физический смысл также установлен. Она представ-
ляет собой скорость подъема частицы на участке асимптотического приближения к
предельной высоте подъема, то есть на участке, где подъемная сила практически
уравновешивается силой веса частицы.
Подстановка в (8) времени, t, найденного из рассмотрения уравнения (4) движе-
ния почвенной частицы в проекции на горизонтальную ось, дает уравнение
y
c
=
1
λ
1 −
4r
i
gρ
п
3ρ
в0
K
∗∗
U
2
e
1
β
− A
1
a
i
e
− x
a
i
U
e
, (9)
которое представляет собой уравнение траектории почвенной частицы в стратифи-
цированной по плотности атмосфере и является обобщением уравнения траектории
y
н
= b
i
x/U
e
− a
i
(b
i
− v
i0
)
1 − e
−x/a
i
U
e
(10)
полученного ранее [4] для нестратифицированной атмосферы. В этом уравнении
b
i
= r
i
{K
∗∗
ρ
в
U
2
e
− [4r
i
g(ρ
п
− ρ
в
)/3}/φη.
Уравнение (10) описывает траекторию частицы в потоке на участке начала подъ-
ема с поверхности, а уравнение (9) – на участке приближения к предельной высоте
подъема при данной скорости ветра. Если U
кр.
<U
e
<U
кр.2
, то частица сорта r
i
,пе-
ремещается скачками. В соответствии с (10) траектории скачков представляют со-
бой выпуклые кривые, замкнутые на поверхность. Если U
e
>U
кр.2
, то частица летит.
Траектория ее в этом случае представляет собой вогнутую кривую, стремящуюся
к наклонной прямой, уходящей бесконечно вверх. Кратчайшим путем от участка,
описываемого уравнением (10), к участку, описываемому уравнением (9), является
касательная к обеим траекториям, которую и приняли за траекторию частицы на
этом участке. Обозначив x
m
абсциссу точки пересечения асимптоты кривой, опи-
сываемой уравнением (10), с линией уровня y
m
, и подставив ее в (9), получили
уравнение траектории (11) в удобном для практических расчетов виде.
y
c
=
1
λ
1 −
4r
i
gρ
п
3ρ
в0
K
∗∗
U
2
e
1
β
− A
1
a
i
e
− (x−x
m
)
U
e
a
i
(11)
Аналогично обозначив t
m
время достижения частицей точки с координатами
x
m
y
m
, и подставив его в (8), получили уравнение
y =
1
λ
1 −
4r
i
gρ
п
3ρ
в0
K
∗∗
U
2
e
1
β
− A
1
a
i
e
−
t−t
m
a
i
(12)
зависимости подъема частицы от времени в удобном для практических расчетов виде.
248
6. Уравнение сохранения массы для почвенного континуума в
почво-воздушном потоке
Решение задачи ветровой эрозии почв в глобальной постановке возможно лишь в
рамках законов механики сплошной среды с привлечением представления о вза-
имопроникающем движении многоскоростных континуумов [10]. Почвенную фазу
почво-воздушного потока, можно представить в виде множества, m, континуумов,
состоящих из одинаковых частиц i-того сорта (i = 1, ..., m), перемещающихся
одновременно в одном и том же пространстве, без оказания влияния друг на дру-
га. Каждая из частиц i-того сорта имеет характерный радиус,r
i
, плотность, ρ
п
,и
скорость, ¯v
i
. Скорость частицы разлагается на три составляющие, продольную гори-
зонтальную, u
i
, продольную вертикальную, v
i
, и поперечную горизонтальную, w
i
,а
масса континуума, M
i
, равномерно распределена во всем объеме, занимаемом пото-
ком частиц i-того сорта. Поэтому для концентрации частиц i-того континуума можно
записать условие
c
i
= M
i
/M,
в котором M– масса воздуха, вмещающего этот континуум. Воздушный континуум
имеет переменную по высоте плотность ρ
в
и постоянную скорость, равную сред-
ней скорости воздушного потока, U
e
. Поскольку масса почвенной фазы в почво-
воздушном потоке, как правило [6], весьма мала по сравнению с массой вмещающего
воздуха, M
i
<< M, справедливо условие
ρ
i
= ρ
в
c
i
.
К стратифицированной атмосфере можно применить решение найденное в [4] для
нестратифицированной, поскольку известно уравнение (1) зависимости плотности
воздуха от высоты. В работе [4] уравнение сохранения массы для потока почвенных
частиц i-того сорта решаются в рамках гипотезы о том, что i-й континуум движется,
в плоском случае, по траектории частицы i-го сорта. Решение имеет вид уравнения
dc
i(x,y)
=0.
Его смысл состоит в том что вдоль любой траектории концентрация c
i
частиц i-
того сорта остается постоянной. Поэтому, имея данные о составе и свойствах частиц
почвы, вовлеченных в поток, можно анализировать его структуру.
7. Структура почво-воздушного потока при дальнем переносе
Рассмотрим задачу о структуре почво-воздушного потока в плоской постановке для
простейшего случая, когда эродируемая почва состоит из одинаковых частиц сорта r
i
,
а скорость ветра превышает скорость начала полета этих частиц, то есть U
e
>U
кр.2
.В
таком случае выдуваемые частицы будут сначала подниматься по вогнутому участку
траектории, описываемому уравнением (10), затем вдоль касательной, соединяющей
участки кривых, описываемых уравнениями (9) и (10), и, наконец, вдоль выпуклой
249
Рис. 2: Траектории частиц
кривой, описываемой уравнением (9), бесконечно приближаясь к горизонтальной
линии предельной высоты подъемаy
m
, определяемой уравнением (6). Из уравнений
траектории следует, что линии восходящих траекторий частиц одного сорта не пере-
секаются. Поэтому в каждой точке плоской фигуры, ограниченной линией почвенной
поверхности и крайними траекториями, имеющими начало, соответственно, на навет-
ренном, x
0
, и подветренном, x
1
, краях эродируемого участка (рис. 2), концентрация
частиц, c
i
, остается величиной постоянной, равной концентрации этих частиц в по-
верхностном слое почвы. Эта фигура ограничивает континуум частиц i-того сорта.
В том случае, когда почва состоит из двух сортов частиц, для каждого из которых
выполняется условие U
e
>U
кр.2
, крайние траектории и линия почвенной поверхности
ограничат в рассматриваемой плоскости две фигуры (два континуума) в пределах
каждой из которых концентрация будет постоянной, равной, соответственно, c
1
и c
2
.
Но в тех областях, где эти фигуры накладываются (континуумы являются взаимо-
проникающими), концентрация частиц в потоке будет равна сумме концентраций
частиц каждого из сортов, c
1
+ c
2
. Если в почве присутствуют такие частицы, что
для них выполняется условие U
кр.
<U
e
<U
кр.2
, то они будут перемещаться скачками,
формируя слой сальтации (рис. 2). Структура слоя сальтации установлена ранее [4],
а континуумы почвенных частиц этого слоя в равной мере с другими участвуют в
формировании поля концентраций частиц в почво-воздушном потоке. Интересной
особенностью слоя сальтации является то, что в силу выпуклости траекторий скачу-
щих частиц для любой точки на восходящем участке любой траектории существует
соответствующая траектория, пересекающая ее своим нисходящим участком, поэто-
му концентрация скачущих частиц в потоке равна удвоенной концентрации этих
частиц на поверхности, 2c
3
, а общая концентрация частиц в слое сальтации равна
2c
3
+ c
1
+ c
2
.
Утверждение, справедливое для потока, содержащего два сорта частиц, уносимых
по восходящим траекториям безвозвратно относительно источника, справедливо и
250
Рис. 3: Пыльная буря над Суданом и Красным морем (21
◦
с.ш., 38
◦
в.д.) 11 августа
1991 г. Источник: NASA, фото STS043-151-086
для потока, содержащего произвольное число сортов частиц, уносимых безвозврат-
но. Кроме того, если поток в поперечном направлении самоподобен, то решения,
полученные применительно к плоскости, применимы ко всему объемному потоку.
Концентрация частиц почвы в каждой точке этого потока будет равна сумме концен-
траций, свойственных каждому из присутствующих в даной точке почвенных конти-
нуумов, а наличие или отсутствие континуума определяется уравнением траектории.
Следовательно, задача о структуре почво-воздушного потока в стратифицированной
атмосфере решена.
8. Численное моделирование явления ветровой эрозии почв
Таблица 3. Значения аргументов в модели ветровой эрозии почв
ρ
п,
кг/м
3
ρ
в0
,
кг/м
3
ϕ η,
Кг/м
2
c
B
кр.
,
кг/кг
α T
0
,
˚C
R,
Дж
кг·K
∆,
˚C/100м
κ U
e
,
м/с
U
кр.
,
м/с
2650 1,164 6 0,000018 0,0037 –3,4 30 287 0,65 0,0042 10 7,6
В качестве примера рассмотрим структуру почво-воздушного потока, который
сформируется над участком суши протяженностью 40 км, почва которого аналогична
почве Сахельского центра (Табл.2), и примыкаюшим к нему участком Красного моря,
в направлении ветра, дующего по линии Порт-Судан Джидда, при обычных для
этих мест условиях (Табл. 3) и сопоставим ее с картиной явления ветровой эрозии
над территорией северо-восточной Африки в окрестностях г. Порт-Судан (рис. 3).
При расчетах ограничимся диапазоном размеров частиц (от r
i
=40доr
i
= 60 мкм),
преимущественно выносимых ветрами из зоны Сахары [15, 16].
Поскольку выпадение почвенных частиц из потока согласно уравнению траек-
тории обусловлено снижением скорости, необходимо установить ее зависимость от
251
Рис. 4: Среднесуточные скорости ветра на уровне моря в районе пыльной бури
11 августа 1991 г. Источник: NOAACDC (http://www.cdc.noaa.gov.HistData)
расстояния вдоль потока. С этой целью воспользуемся среднесуточными полями
скоростей ветра для рассматриваемого региона на уровне моря за 11 августа 1991 г.
(рис. 4). Согласно этой картограмме, участку выпадения почвенной пыли в море со-
ответствуют скорости ветра порядка 4 м/с. Поскольку на картограмме изолиний для
уровенной поверхности 850 гПа в районе выдувания почвы указана скорость в 10
м/с, ее приняли в качестве входной величины при моделировании. Исходя из этого
приняли, что приземная скорость ветра убывает от 10 м/с в зоне выдувания до 3,4
м/с в зоне выпадения. Полагая для простоты, что убывание скорости вдоль направ-
ления движения почво-воздушного потока, имевшее место над морским участком
(x
б
<x<x
max
), подчинялось линейному закону, его выразили уравнением
U
e
= U
e
б
− 0, 00015 (x − x
б
) (13)
в котором x
б
– горизонтальная координата пересечения потоком морского берега.
Вся территория, охваченная моделированием, характеризовалась постоянством
поля среднесуточных температур (Табл. 4). Лишь у поверхности моря температура
воздуха была на 2 градуса ниже, чем над почвой (соответственно, 36 – 37 и 38 – 39
градусов). С высотой температура убывала по линейному закону, что указывает на
отсутствие инверсии.
Таблица 4. Профили температуры и атмосферного давления в окрестностях Порт-Судана
за 11 августа 1991 г. (по данным NOAA CDC, http://www.cdc.noaa.gov.HistData)
y(x
max
), км 0,0 0,9 2,9 6,4 7,8 9,7 11,3 13,1 15,2 16,4 19,2 18,6
t(x
max
),
◦
C 37,5 28,5 15,5 -7 -16 -29 -39 -51 -64 -72 -90 -86
P ,гПа 1000 850 700 500 400 300 250 200 150 100 70 50
Полученные при таких условиях расчетные траектории (рис. 5), качественно сов-
падают с моделируемыми, изображенными на космическом снимке. Наложение вос-
ходящих участков траекторий частиц двух разных размеров кажущееся, обусловлен-
ное масштабом графика.
252
Рис. 5: Структура почво-воздушного потока над Суданом
9. Обсуждение результатов
Проверка уравнения выдувания на материалах измерения реальных почво-
воздушных потоков в полевых условиях подтвердила его адекватность (рис. 1). Зна-
чения аргументов уравнения выдувания, полученные из опытов, могут быть исполь-
зованы в модели, если опытный участок или почвенный образец, для которого они
получены, во-первых, представителен по отношению к моделируемой поверхности,
во-вторых, пренебрежимо мал по сравнению с ней [4]. В нашем случае площадь
опытного поля (порядка сотен метров) пренебрежимо мала в сравнении с масшта-
бами моделируемого явления (порядка сотен километров), поэтому параметры урав-
нения выдувания, полученные для почвы опытного поля, могут быть использованы
при моделировании. Близость численных значений постоянной выдувания, получен-
ных в поле и в лаборатории, указывает на возможность использования лабораторных
данных в качестве первого приближения при моделировании ветровой эрозии почв.
Существенное различие в величинах критического значения параметра массообмена,
полученных в поле и в лаборатории, вполне объяснимое в рамках разрабатываемой
теории явлениями абразии, для развития которых необходима достаточная длина
эродируемого участка, указывает на необходимость дальнейших опытов с целью на-
хождения величин B
к
, присущих почвам разного генезиса, необходимых при глобаль-
ном моделировании. В то же время при локальном моделировании, на небольших,
соизмеримых с отдельными полями севооборота, участках, в качестве первого при-
ближения, не учитывающего динамику аргументов уравнений, можно использовать
величины критического значения параметра массообмена, полученные в лаборато-
рии [5].
253