Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

б) условия ликвидности в любой другой момент времени / =

=1 Т

1,...,

±.

J-1

aji Xj +

Х di,

Vi +

xj, -

(1 + Л) •

xj,-1

= CC,;

ОСПИО ОСПОФКФИ РКФИПП CC

в) условия реализации проекта

О < X, < X,;

< у, <

Yf,

Xj,

>0J= 1, У-1 ; / = 1, /; Г= О, Т-1 ,

где

Ху —

количество единиц инвестиционных объектов; у,

—

объем исполь-

зования /-Г0

ОФ

(руб.);

Xjf —

объем реализации

КФИ

(руб.) в момент вре-

мени

—

максимально реализуемые единицы у-го инвестиционного объ-

екта;

Yj —

максимально реализуемый объем /-го объекта финансирования;

СС,

—

имеющиеся в момент времени / собственные средства.

Оптимальное решение по многоступенчатой динамической моде-

ли находится с помощью одного из методов линейного профамми-

рования по аналогии с вьпиерассмотренным, причем из оптималь-

ного решения определяются расчетные процентные ставки.

Пример

11.5.

У предприятия ABC (пример 11.4, § 11.3) расширено

число инвестиционных объектов до 7, а объектов финансирования

—

до

3 (табл. 11.5); при этом есть следующие дополнительные возможности:

а) две возможности инвестиций в момент времени t =

{ИО^,

ИОу)

б) ОФз

—

кредит в момент t = 1с верхней границей 1,0 млн. руб.

в) краткосрочные финансовые инвестиции (КФИ), при которых поло-

жительное сальдо финансовых средств может инвестироваться в неог-

раниченном объеме на один период под 8%. Пределы сбыта в данном

случае несущественны. В момент времени

в распоряжении пред-

приятия есть собственные средства (CQ) в объеме 50 тыс. руб. Требует-

ся отыскать оптимальную инвестиционно-финансовую программу ме-

тодом синхронного планирования и с помощью многоступенчатой ди-

намической модели.

Таблица

11.5.

Платежные нетто-ряды для семи инвестиционных

объектов

трех объектов финансирования

ИОр 0Ф1

У=1

Нетто-

/=0

-90,0

-45,0

-80,0

-170,0

-100,0

платежи в

момент

времени,

тыс. руб.

t=l

45,0

24,0

35,0

75,0

40,0

t=2 t=3

4 5

40,0 40,0

23,0 14,0

35,0 40,0

80,0 85,0

50,0 50,0

331

Продолзкение

табл.

11.5

/•=1

-60,0

-40,0

40,0

23,0

-0,12

40,0

24,0

-1,481544

-1,404928

-1.12

Решение. Сформируем многоступенчатую динамическую модель:

1) целевая функция F = Х8з -> max;

2) дополнительные условия:

а) условия ликвидности

= 0: 90 ОООх, + 45 ОООхг + 80 ОООхз + 170 000x4 +100 OOOxj -

-У1-

У2

+ х^ = 50 000;

/ = 1: -45 ОООх, - 24 OOOxj - 35 OOOxj - 75

ОООХ4

- 40 OOOxj +

+60 ОООхб + 40 000x7 - Уъ- l.OSxgo + Xg, = 0;

t = 2: -40 ОООх, - 23 ОООхг - 35 OOOxj - 80

ОООХ4

- 50 OOOxj -

-40

ОООХб

- 23 000x7 + 0,12уз - 1,08x8, + Xgz = 0;

/ = 3: -40 ОООх, - 24

ОООх^

- 40 ОООхз - 85 000x4 " 50 OOOxj -

-40

000J%

- 24 000x7 + 1,481544;^, +

1,404928^2

+ \,Пу^-

1,08x82+

Х8з = 0;

б) условия реализации проекта;

X, <. 3;

X, >

и в целых числах, для

1,...,7;

;;, < 1 350 000;

У2

< 800 000;

Уз <

000 000;

У1

> Одля/= 1,2,3;

Xg,

> Одля / = 0 2.

Если решить данную систему, то получим следующее оптимальное

решение: х, = 0; Хг = 48; Хз = 0;

Х4

= 0; xs = 0; х^ = 36;

Ху

= 0;

Х8о

407,41;

Xg, = 0; Xgz = 2 424 000; xgj = 1 014 180,56;

у, = 1 317

407,41;

У2

= 800 000; Уз = 1 000 000.

Таким образом, по данному решению

рекомендуется:

а) реализовать 48 ед. MOj и 36 ед. ИО^,

б) взять кредаш в размере

1 317 407,41

руб.; 800 000

руб.

000 000 руб.;

в) в моменты времени t = 0, t= 2и t= 2 использовать краткосрочные

финансовые инвестиции в объеме 7

407,41;

2 424 000 и 1 014 180,56 руб.

Финансовые инвестиции при / = 3 одновременно соответствуют

значению целевой функции, или конечной стоимости имущества, для

оптимальной целевой программы.

332

в [35] показано, что если отказаться от целочисленности парамет-

ров инвестиционных объектов, допустив их делимость, то оптимальное

решение.примет вид:

xi = 0;

JC2

= 48,89; xj = 0; х^ = 0; х^ = 0; х^ = 36,22;

дсу

= 0; %, = 0;

^81 = 0; ;^2 = 2 453 333,33; Xgj = 1 027 795,42;

У1

= 1 350 000;

У2

= 800 000;

j-j

000 000.

Многоступенчатая динамическая модель позволяет также опре-

делять

теневые цены вторичных условий ликвидности

в момент вре-

мени t, давая информацию о возможном увеличении значения це-

левой функции (КСИ), если в распоряжении инвестора дополни-

тельно есть определенная денежная

единица

(собственных средств),

интерпретируемая как фактор начисления процентов на приме-

нение этой денежной единицы в интервале [/, 7], позволяющая

проводить расчет расчетных процентных ставок, подробно рас-

смотренный в [55].

В целом введение условия целочисленности затрудняет на-

хождение оптимального решения, обусловливая даже при не-

большом числе переменных необходимость применения эффек-

тивных программ линейной оптимизации в целых числах на

ЭВМ с учетом ряда предположений о характере краткосрочных

финансовых инвестиций, взаимонезависимости ИО, заранее за-

данных производственной программы, сроков эксплуатации

объектов и др. Взаимосвязь производственных и инвестицион-

ных переменных налагает дополнительные условия необходимо-

сти учета загрузки производственных мощностей изготовлением

определенной продукции, выбора методов производства и т. д.

Подобные модели, дифференцируясь по структуре, подразделя-

ются на линейные [188—190] и нелинейные [91—97] модели оп-

тимизации. Специфика их составления и нахождения оптималь-

ных решений отражена в [55].

333

Заключение

Сегодня всеми в мире признается

приоритет экономики

в обеспечении

внутренней и внешней безопасности государств, в регулировании соци-

альных отношений, складываюшихся в отношении производства и рас-

пределения благ в обществе на базе основополагающих принципов:

эффективности производства, выражающегося в снабжении граждан

государства максимальным количеством продуктов при заданном объе-

ме затрат или в выпуске заданного количества продуктов при мини-

мальном объеме затрат; справедливости распределения благ, выражаю-

щегося в стремлении сгладить неравенство доходов граждан страны и в

увеличении доходов каждого по его вкладу в рост эффективности про-

изводства; стабильности экономической жизни государства при низких

темпах инфляции и безработицы.

Конечный продукт для граждан государства или конечный продукт

производственного назначения складывается из: продукта для потреби-

тельского рынка; продукта для развития социальной инфраструктуры

—

науки, культуры, здравоохранения, жилищно-коммунального хозяйства,

бытового обслуживания, пассажирского транспорта и связи; продукта

оборонного назначения; продукта для

резервов

на случай чрезвычайных

ситуаций; продукта для внешнеэкономической деятельности. Исходя из

государственных приоритетов должно определяться оптимальное рас-

пределение национальных ресурсов по каждому непроизводственному

направлению конечного продукта.

В соответствии с принципом эффективности производства жела-

тельно использовать национальные ресурсы таким образом, чтобы по-

лучить быстрый рост конечного продукта непроизводственного назна-

чения в оптимальном ассортименте при справедливом распределении

доходов и стабильности государства. Координация роста доходов граж-

дан в зависимости от их вклада в рост эффективности производства и

сглаживание неравенства их доходов становятся основой внутренней

экономической безопасности. Для гарантии стабильности государства

нужен не быстрый рост, а устойчивое увеличение темпов экономиче-

ского роста на базе развития отраслей, как определяющих научно-

технический прогресс, так и обеспечивающих сбалансированное разви-

тие экономики и достижение полной занятости исходя из динамики

структуры конечного спроса. Естественно, что при таком ходе событий

обеспечивается и стабильность национальной валюты.

Для решения этих и других более конкретных задач и применимы

экономико-математические методы, рассмотренные в этой книге.

334

Приложение

Основные

расчетные формулы

характеристик разновидностей

систем массового обслуживания

Принятые условные обозначения

Явх Входящий поток заявок

Явых Выходящий поток заявок

Лоб Поток обслуживании заявок

Яух Поток уходов заявок из очереди необслуженными

1пЯ Интенсивность потока Я

Я Интенсивность входящего потока Я^^

V Интенсивность выходящего потока заявок П^^^

ц Интенсивность потока обслуживании Яоб

а Интенсивность потока уходов Яух

Р Приведенная интенсивность потока уходов

Р Показатель нагрузки системы (график)

W Показатель нагрузки системы, приходящейся на один канал

т Максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину

очереди заявок

/ Число источников заявок

к-е

состояние системы, характеризующееся

заявками

сис-

теме

Pi^ Вероятность А:-го состояния системы

Вероятность простаивания всей системы, т.е. вероятность

то-

го,

что все

каналы свободны

Репс Вероятность принятия заявки

систему

Ро^.^

Вероятность отказа заявке

принятии

ее в

систему

Роб Вероятность того,

что

заявка будет обслужена

Ру^ Вероятность ухода заявки

из

очереди необслуженной

335

Ракт Коэффициент активности (готовности)

А Абсолютная пропускная способность системы

Q Относительная пропускная способность системы

No4 Случайное число заявок в очереди

-^4)6 Случайное число заявок под обслуживанием

Л'сис Случайное число заявок в системе

1у Среднее число заявок в очереди

тт Среднее число заявок под обслуживанием

yV об

77 Среднее число заявок в системе

/V сие

Гоч Случайное время ожидания заявки в очереди

7"об Случайное время пребывания заявки под обслуживанием, от-

носящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и полу-

чившим отказ

7'снс Случайное время пребывания заявки в системе

Гож Случайное время, ограничивающее ожидание заявки в очере-

ди

Среднее время ожидания заявки в очереди

Y' Среднее время пребывания заявки под обслуживанием, отно-

сящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и получив-

шим отказ

7^ ^ Среднее время обслуживания заявки, относящееся только к

/об _

обслуженным заявкам

Среднее время пребывания заявки в системе

J, Среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди

К Случайное число занятых каналов

~7 Среднее число занятых каналов

Л'пас Случайное число источников заявок, находящихся в пассив-

ном состоянии

-п Среднее число источников заявок, находящихся в пассивном

yV пас

состоянии

л/акт Случайное число источников заявок, находящихся в активном

состоянии

тт Среднее число источников заявок, находящихся в активном

yV акт

состоянии

336

Таблица

TJl.

Предельные характеристики эффективности

функционирования одноканальной СМО

ожиданием

№ Параметры

Обозначения,

значения

п/п

1 Среднее время обслуживания т^ -т -\ /

одной заявки °^

2 Нагрузка (трафик) системы Р = (^ / ц) <

3 Вероятности состояний Рк

Р i}~

Р)'^

А:

= 0,1, 2,...

4 Вероятность отказа

5 Вероятность того, что заявка

будет принята в систему

6 Относительная пропускная спо-

собность СМО

7 Абсолютная пропускная спо-

собность СМО

8 Интенсивность выходящего по-

тока заявок

9 Среднее число заявок в очереди

10 Среднее число заявок под об-

служиванием

11 Среднее число заявок в системе

12 Среднее время ожидания заявки f^ ^Jj^ /х

р^ / h(\ _

р)1 =

в очереди ^ ^

-z'/Hi-/')]

13 Среднее время пребывания за- f^^ = т'о

7"об

явки в системе (как в очереди, ='(Г/5^)^сис =

/ f

Л(1

р)!

так и под обслуживанием) , , >'/ i \ f/j

1/И1-р)|

/'.^к = 0 ,

Рейс = •

= \

77O4

= PV(I-P)

Л'^об =Р

Л'^сис = Л'^оч + Л^оЬ = р / (1 -

-р)

Таблица

П2.

Предельные характеристики эффективности

функщонирования одноканальной

СМО

ожиданием

оу>аничением

на

длину очереди

№ Предельные

п/п характеристики

Обозначения,

формулы

1 Показатель нагрузки

(трафик) системы

2 Вероятности состоя-

ний

СМО,

выражен-

ные через показатель

нагрузки

3 Вероятности состоя-

ний

СМО,

выражен-

ные через средний

интервал времени

между соседними

поступающими заяв-

ками,

среднее вре-

мя

Г об

обслужива-

ния одной заявки

4 Вероятность отказа

= Х/ц

/'0 =

5 Вероятность того,

что заявка будет

принята

систему

(не получит отказ)

6 Относительная про-

пускная способность

СМО

7 Абсолютная пропу-

скная способность

СМО

!-г-,

если

р *

- р'"*^

, если

р = 1

Ро

Рк~Р

Ро!

к.

= 1,...,т + 1

i—^-l-,

если

ТФТ^

т-^-т":^

, если

Т * Гоб

Рк

=|-^ Ро; к

1,...,т

+ 1

Р"'^'(1-Р)

Рейс

= 1 -

Рогк

l-p"*'

если р

+ 1

, если р

, если

р =

= /"сие =

- Ро

338

Продолжение

табл.

П2

8 Интенсивность выхо-

дящего потока заявок

9 Среднее число зая-

вок в очереди

10 Среднее число зая-

вок, находящихся

под обслуживанием

11 Среднее число зая-

вок, находящихся в

системе (как в оче-

реди, так и под об-

служиванием)

12 Среднее время ожи-

дания заявки в оче-

реди

13 Среднее время пре-

бывания заявки в

системе (как в оче-

реди, так и под об-

служиванием)

14 Среднее время об-

служивания одной

заявки, относящееся

только к обслужен-

ным заявкам

15 Среднее время об-

служивания одной

заявки, относящееся

ко всем заявкам, как

обслуженным, так и

получивщим отказ

in Я»„, =

= /1

^04 =

рЧ1-р'>

1-/яр)1

—S ^, ^— . если р*\

{1-р-^)(1-Р)

/я(/я

2(т + 2)

, если р = I

\ 1-Р'

+ 1

р(1-р'"^')

^2^,

если р#1

если р = 1

p[l-(ff» + 2)p'"^'+(w + l)p'"^^]

О-р-^^К'-р)

если р * 1

т +

если

р = 1

1 тт

Тт =

—

Л'^оч

(формула Литтла)

Теле =

—Л^сис

(формула Литтла)

Гоб =

—

—V 1 —

У об =

—

Л^об

(формула Литтла)

339

Таблица

ПЗ.

Характеристики эффективности функцшишроваиия

яаюгоканамтй СМО с

ожиданием

ираеширааюй

«заияитомощью

между

каналами

Предельные характеристики

Обозначения,

формулы

1 . 2 "~

1 Показатель (коэффициент)

нагрузки системы

2 Показатель нагрузки системы,

приходящейся на один канал

3 Вероятности состояний

4 Вероятность отказа

5 Вероятность приема в систему

6 Вероятность того, что заявка

будет обслужена

7 С>гносителы1ая пропуосная

способность

8 Абсолютная пропускная спо-

собность

9 Интенсивность выходящего

потока

10 Среднее число заявок, ожи-

дающих в очереди

11 Среднее число заявок, нахо-

дящихся в состоянии обслу- j^ ='wll-w''\/(l-yv)

живания '*'*•* V '* г ^ ^>

и Среднее число заявок, нахо- дГ , ^ +

iVoe

. = V /

- v)

дящихся в системе , «.. \ /

13 Среднее число занятых каналов К+

"У

14 Среднее щжмя ожидания за- _ /, ,,ч_ _., ,,-, .

явки в очереди Т'о,,. *

Л^в,.^

- V /Щ-w)

15 Среднее врййя пребывания = -h/iMj =«,/1Й „Л

заявки в системе Гсис..-11/^Мс-с.. = V/HI-Wj

16 Равномерная взаимопомощь

между каналами не изменяет ^ ^ ^

вероятности отказа

Pan.,*

Pan.

17 Равномерная взаимопомощь

между каналами не изменяет ^ ,

вероятности приема в систему

'Р^ясл

Р<ж

18 Равномерная взаимопомощь

между каналами не изменяет

вероятности того, что заявка _ _ _ i

будет обслужена **•* ~ Р«^~

340

р = Х/ц

Ц1

р/Л"

Pk.*'w''{i

/>,«..-0

Рсиел " J

/'об,*

= J

а.

А*'к

V+ = X

ЛГо,..

= ¥"'

Я./ЛЦ

-УМ

'/(1-

= 0,1,2,...

¥)