Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных

или возможных ситуациях.

Математические модели, используемые, например, в эконо-

мике, можно подразделить: по

особенностям моделируемого

объ-

екта —

на макро- и микроэкономические; по

целям

моделирова-

ния и

используемому инструментарию —

на теоретические и при-

кладные, оптимизационные и равновесные, статические и дина-

мические, непрерывные и стохастические.

Макроэкономические

модели обычно описывают экономику

страны как единое целое, связывая между собой укрупненные

материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, ин-

вестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие

структурных и функциональных составляющих экономики либо

их автономное поведение в переходной неустойчивой или ста-

бильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях

олигополии с использованием методов оптимизации и теории

иф и т. п.

Теоретические

модели отображают общие свойства экономики и

ее компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные

модели обеспечивают возможность оценки параметров

функционирования конкретных технико-экономических объектов

и обоснования выводов для принятия управленческих решений

(к их числу относятся прежде всего эконометрические модели,

позволяющие статистически значимо оценивать числовые зна-

чения экономических переменных на основе имеющихся на-

блюдений).

Равновесные

модели, присущие рыночной экономи-

ке,

описывающие поведение субъектов хозяйствования как в

стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыноч-

ной экономики, где неравновесие по одним параметрам ком-

пенсируется другими факторами.

Оптимизационные

модели свя-

заны в основном с микроуровнем (оптимизация и распределе-

ние ресурсов, максимизация полезности потребителем или при-

были предприятием), на макроуровне результатом рациональ-

ного выбора поведения становится некоторое состояние равно-

весия.

Статические

модели описывают состояние экономического

объекта в конкретный текущий момент или период времени;

динамические

модели, напротив, включают взаимосвязи пере-

менных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов

в экономике.

Детерминированные

модели предполагают жесткие функцио-

нальные связи между переменными модели, а

стохастические

модели допускают наличие случайных воздействий на исследуе-

мые показатели, используя в качестве инструментария методы

теории вероятностей и математической статистики.

В экономической науке вьщеляют следующие основные на-

правления:

• математическую экономику, занимающуюся анализом

свойств и решений математических моделей технико-

экономических процессов и исследующую теоретические

модели, основанные на определенных предпосылках

—

линейность, монотонность, выпуклость и др., а также на

конкретных формулах взаимосвязи величин;

•

эконометрику,

занимающуюся статистической оценкой и

анализом экономических зависимостей и моделей на ос-

нове изучения эмпирических данных.

Математическая экономика изучает вопросы, связанные с

существованием решения модели в условиях его неотрицатель-

ности, стационарности, наличия других дополнительных

свойств. К ее основным классам моделей относятся:

модели

рав-

новесия в экономических системах (модели Эрроу—Дебре,

«затраты —выпуск» В. Леонтьева и др.) и

модели экономического

роста (модели Солоу, Харрода—Домара, Гейла, Моришимы и

др.,

модели магистрального типа).

Основой

эконометрики

являются методы корреляционно-

регрессионного анализа, математической статистики, дисперси-

онного анализа и др.

[1—54].

1.2. Математические модели и методы в исследовании

производственно-экономических ситуаций

Функции, графики, дифференциальное исчисление в экономи-

ческом анализе. Исследования и наблюдения в окружаюи1ем нас

мире показывают, что все экономические величины (цена това-

ра, прибыль субъекта хозяйствования, объем производства, ин-

фляция и безработица и др.) тесно связаны между собой опреде-

ленным образом.

Понятие

функции

или

функциональной зависимости

—

основное

математическое понятие, с помощью которого моделируются

взаимосвязи между реальными величинами, качественные и ко-

личественные соотношения между технико-экономическими

характеристиками и показателями. Функция у = Дх) считается

заданной, если известна закономерность, по которой каждому

значению х из некоторого множества А соответствует

одно вполне определенное значение у из некоторого числового

множества В. Любую функцию можно задавать различными спо-

собами (наиболее часто используют задание в виде формулы,

таблицы или графика, а при использовании ЭВМ

—

алгоритма).

В экономике часто требуется найти наилучшее в том или

ином смысле, или

оптимальное,

значение того или иного пока-

зателя: максимальное значение прибыли, производительности

оборудования или труда, минимальное значение стоимости, из-

держек, затрат времени и т.д. Нахождение оптимального значе-

ния показателя при этом сводится к нахождению

экстремума

(максимума или минимума) функции от одной или нескольких

переменных. Необходимым условием экстремума функции

У—Лх)

является равенство нулю ее первой производной. При

исследовании на экстремум функций нескольких переменных

используются методы дифференциального исчисления, когда

решаемые задачи включают не только минимизируемую

(максимизируемую) функцию, но и офаничения. К таким зада-

чам относятся задачи математического профаммирования, для

решения которых разработаны специальные методы, опираю-

щиеся на дифференциальное исчисление, и методы теории ис-

числения операций и предельного анализа.

Наряду с этим часто используются понятия

средней величины

(средние издержки, средний ущерб, средняя прибыль и др.).

При этом часто требуется определить, на какую величину улуч-

шится результат, если будут увеличены затраты или, наоборот,

насколько уменьшится результат, если затраты сократятся, т. е.

необходимо определить предел отношения приростов результа-

тов и затрат с нахождением

предельного

эффекта.

Для решения

подобных задач необходимо применение методов дифференци-

ального исчисления

—

нахождение производной для функции

одной переменной и частных производных для функции не-

скольких переменных.

В экономических приложениях математики широко исполь-

зуются линейные и

нелинейные

функции двух и п переменных.

Упорядоченная пара первых частных производных вида

[dfixu хгУдхи df(xi, Х2)/ЙХ2] или [ду{хи

Х2)/дхх,

ду{хх, ДС2)/ЙХ2]

функции у -

J{x\,

Х2)

двух переменных х\ и

Х2

обозначается сим-

волом grad Дх], хг) или grad у(х\, хг) и называется

градиентом

функции

этой функции

Дх],

хз) или

y(,xi,

Х2)

двух переменных.

Градиент grad Л

X?,

х") функции

Дх1,

хг) в точке Дх?, х")

показывает направление самого быстрого роста функции

Лхь хг) в точке Дх?, х") (рис.

1.1,а).

Точка

В{

х°,

Х2) называется критической для функции

y{xi, Х2), если координаты х? и х" этой точки удовлетворяют

системе уравнений ^xj,

Х2)/дх\

= О, d/(xi, Х2)/йх2 = 0. Поэтому

точки

локального экстремума

следует искать только среди крити-

ческих точек этой функции. Однако критическая точка не обя-

зательно должна являться точкой (локального) экстремума.

Второй частной производной

функции у

=J{xu Х2)

двух пере-

менных называется (первая) частная производная от (первой)

частной производной. Таким образом, можно получить четыре

вторых частных производных:

d^fixi,

ХгУдх] ;

d^f(xi,

xii/dxidxi,

d^fixu

Х2)/дх2дх^;

d^f{x\,

Х2)/дх1

Если

смешанные

вторые частные производные

^V(^i.

Х2)/дх^дх2,

d'^f{x\,

Х2)/6x26x1

непрерывны, то они обязательно равны. В отличие от смешан-

ных вторые частные производные

^/(Х],

Х2)/дх] ;

#/(xi, X2)/d«:2

принято называть

чистыми.

Достаточное

условие

локального экстремума

формулируется

так. Пусть функция у = /(xi, Х2) имеет критическую точку

-8(х?,

х\), внутреннюю для области определения функции

/(хь

Х2)

(т. е. пусть а/(х?,

х1

)/*с, =0, дДх?, х^ )/ах2 = 0).

1) пусть #/ (xi», X2'>)/dbci2 >0 (или #/ (х?, х1)/дх2^Щ,

#/(х?, х^/с'х,2]-[#/(х?, х\)/дх2Ц - [#/(х?, х\)/дх,дх2] > о,

тогда точка В {х°, х" ) —точка

локального минимума

функции у =

=Лхи

Х2);

2) пусть

<32/(xf,

х5)/<?Х,2<0 (или ^/(х?, Х°2)/дХ2^ <0),

xf» Х2

)/ах,2].[#/(

Х?» Х2

)/дХ2^]

~ [<^/(х?,

Х2)/дХ\дХ2]

> О,

тогда точка В (х°, х")—точка

локального максимума

функции

У= (xi, Х2);

3) пусть [#/(х?, х5)/ах,21-[#/(х?, x5Wl-[#/(x?, xD/

dxidbc2] < О, тогда в точке 5 (х?, х" )функции у = {х\, хг) локаль-

ного и, следовательно, глобального экстремума нет.

Для функции у = /(Х|,..., х„) определение условия локаль-

ного экстремума повторяется почти дословно. В частности, необ-

ходимое условие локального экстремума

имеет вид:

df(xi,...,

х„)/й>с,

О,

..., dfixi,...,

х„)/дх„

= 0.

Достаточное условие локального экстремума из-за сложности

записи здесь не приводится. Заметим, что более точными явля-

ются термины:

безусловный локальный

(или

глобальный) максимум

(минимум);

точка

безусловного локального

(или

глобального)

мак-

симума

(минимума).

Иногда вместо термина

безусловный

исполь-

зуют термин

абсолютный.

Пример

1.1.

Известно, что прибыль определяется

по

формуле:

(х,, хг) = Pof(xu

X2)

- (р,х, +

P2X2),

где/(х1,

хг)

—

производственная функция

фирмы;

ро —

рыночная цена

готовой продукции

фирмы,

Pi и />2 —

рыночные цены первого и второго

ресурсов (факторов производства). Выражение /»o/(xi, хг) — выручка

фирмы, а

(piXi +

p^Ki)

—

издержки производства фирмы, если для вы-

пуска продукции ею затрачиваются первый и второй ресурсы в количе-

стве

Х2

единиц соответственно. Необходимо определить комбина-

цию B(xi, Х2)рссурсов, при которой фирма получит наибольшую

прибыль.

Решение. Необходимо найти критические точки функции

(xi,

Х2),

т. е. найти решение системы уравнений

dPR

(xi,

Х2)/*с,

Podf(Xi,

Х2)/ах,

/>,

= 0;

dPR

(Xi,

Х2)/аХ2

Podf(Xi,

Х2)/дХ2

/»2

= 0.

Из специфики производственной функции (см. § 1.4) известно, если

ее график напоминает горку, то часто ее критическая точка В (х\, х\)

является единственной и обязательно точкой глобального максимума

прибыли у= PR (Х|, Х2).

Графики в экономическом моделировании. К числу распро-

страненных зависимостей в экономике можно отнести фафики

зависимостей спроса и предложения, спроса и дохода, потребле-

ния и бюджетного ограничения, издержек и доходов от объема

производства. Рассмотрим их более подробно.

Рис. 1.1.

Распространенные графики функций

экономике:

—

градиент функции в задаче потребителы;кого выбора; б ~ функция спроса

S(g)

и предложения

D(q);

—

функция полезностей

Щх,

у) и бюджетного огра-

ничения; г

—

функции спроса на товары разного приоритета в зависимости от

дохода

О—

малоценные товары;

1(2) —

товары первой (второй) необходимо-

сти;

—

предметы роскоши; д

—

функции издержек

C{q)

и дохода

R{q),

прибы-

ли n(q) в зависимости от объема производства q.

функции

спроса

предложения

p{q) выражают связь цены р

блага и величины спроса д или предложения S блага (товара)

при постоянных значениях предпочтений потребителей, цен на

прочие блага и других параметров. График функции спроса

{q)

и предложения S

(q)

имеет вид рис.

1.1,6.

В теории потребительского спроса широко используются

функции потребления, когда предпочтения потребителя описы-

ваются

кривой безразличия Uk

U(x,

у), а бюджетное офаниче-

ние (расходы потребителя, как правило, меньше или равны его

доходу) в ситуации, когда потребитель тратит весь свой доход на

рассматриваемые блага, определяется зависимостью вида:

ХРх

УРу

= /.

где

Рх,

Ру —

цены

благ

хтлу,

—доход

потребителя.

Чтобы построить графики этих неявно заданных функций,

требуется выразить в явном виде величину у как функцию х для

обеих зависимостей. Если принять простейшую функцию полез-

ностей

U(x,

у) = ху, то при уровне полезности (благосостояния),

равном

Щ,

и дохода / получаем следующие функции: у = Ц/х, у =

= 1/ру + (рх/ру)х. Как мы знаем, фафиком первой функции

{кривой

безразличия)

является гипербола (рис.

1.1,в),

а второй

{бюджетного ограничения)

—прямая линия, имеющая отрица-

тельный наклон, равный по модулю относительной цене блага х,

и точку пересечения с осью ординат /4(0; 1/р^, соответствующую

количеству блага у, которое можно приобрести по цене ру, на

всю величину дохода /.

Известнь! также функции

Торквинста,

моделирующие связь

между величиной дохода / и величиной спроса х потребителей

на следующие виды товаров (рис.

1.1,г):

малоценные (кривая

О),

товары первой (кривая

Т)

и второй (кривая 2) необходимости

(т. е. относительной роскоши), и предметы роскоши (кривая 3).

Их зависимости имеют соответственно следующий вид:

= al-(/

b)/(fi +

с);

= al/{l +b);x=a{I-

с)/{1 +

b);

х==а/-(/-с)/(/+*).

Функции

издержек С {q)

дохода

{q)

qp{q)

в зависимости от

объема производства q в простейшем случае имеют вид рис. 1.1л

причем характер функции дохода R{q) определяется функцией

спроса

p{q).

типичной ситуации издержки фирмы велики при

небольшом объеме производства д и вначале растут быстрее, чем

доход. С увеличением объема производства скорость роста из-

держек уменьшается и в какой-то момент времени они сравни-

ваются с доходом, и субъект рынка начинает получать прибыль.

При дальнейшем росте объема производства прибыль сначала

увеличивается, достигая максимума при оптимальном значении

^0,

а затем издержки снова начинают расти быстрее, чем доход

(так как эффективные ресурсы исчерпаны и требуются дополни-

тельные помешения, сырье, квалифицированная рабочая сила,

то прибыль начинает уменьшаться, достигая отрицательных зна-

чений при достаточно больших объемах производства).

Пртменение эластичносга в математижской экошмшке. Анализ

взаимосвязи множества различных технико-экономических по-

казателей требует ответа на следующие вопросы: 1) Какие фак-

торы определяют интересующий нас экономический показатель?

2) Каков знак этой зависимости (положительный или отрица-

тельный)? 3) Какова степень этой зависимости (насколько чув-

ствителен исследуемый экономический показатель к изменению

определяющих его факторов)? 4) Каково числовое (функциональное)

вьфажение соответствующей зависимости (теоретическое

—

виде формулы, графика или таблицы, или эконометрическое

(эмпирическое) исследование)?

Заметим, анализ

чувствительности

зависимости функции у =/(х)

базируется на следующих подходах:

приростной

подход (прирост фактора Дх -» прирост иссле-

дуемого показателя Ау); мера

«абсолютной»

чувствительности

—

это скорость изменения функции (средняя —отношение изме-

нений, или предельная, производная);

Скорость изменения функции на

Изменение функции

Ау

интервале

(хп,

хп+Ах)

~ "7# Г~-

Изменение аргумента

Ах

темповый

подход (темп прироста фактора %Ах -> темп при-

роста исследуемого показателя %Лу); напомним, что процентное

изменение какой-либо переменной — это отношение изменения

этой переменной к первоначальному ее значению, т. е.

Ах =Ах/х

(Х2 —

xi)/xi; мера

«относительной»

чувствительности — эла-

стичность функции

—

средняя (отношение процентных измене-

ний) или предельная (равная первой производной):

%Ау/%Ах-* lim %^y/%&x

dx/dy-x/y

f'(x)-x/y.

%Ах

->•

В общем случае

эластичностью

функции у

f{x) называется

предел отношения относительных изменений переменных у и х.

Если эластичность изменения переменной у при изменении

фактора л: обозначить через Ех (у), эластичность примет следую-

щий вид:

E^{y)

Mf/Af,

где Mf

—

маржинаш>ное (предельное) значение функции у в точке г, Af

—

среднее значение функции у в точке х.

Коэффициент эластичности показывает относительное изме-

нение анализируемого показателя под действием единичного

относительного изменения экономического фактора, от кото-

рого он зависит, при сохранении постоянными остальных

влияющих на него факторов.

Геометрическая интерпретация эластичности

функции проста

и отображается отношением:

Е^{у)

= ± СВ/СА,

где

СА (СВ) —

отрезок касательной от точки С(х, у) до ее пересечения с

осью х{у).

Если точки А и В лежат по одну сторону от точки С на каса-

тельной, то в формуле ставится «плюс», при этом значение эла-

стичности Ех (у) > 1 (рис.

1.2,а)

или Ех(у) < 1 (рис.

1.2,6),

а если

по разные стороны, то «минус» (рис.

1.2,в).

В дискретном случае, а также при приближенном определе-

нии эластичности по дискретному набору данных вы«^исление

эластичности уже не столь однозначное, как при непрерывном

случае. Здесь неясно, что выбирать в качестве х: первоначальное

значение (х.= xi); конечное значение (х =

Х2)

или среднее зна-

чение [х = 0,5(х|+ ^2)]. В зависимости от этого различают:

а)

конечную (процентную)

эластичность

Е,(у)=1(У2-У1)/У1]/1(х2-хО/х1];

б)

среднюю

(дуговую) эластичность

Е,

(у)

= [2{У2-

УО

I {у\ +

Уг)\

I [2

(Х2

- X,) / (х, + xi)\\

в)

логарифмическую

эластичность

Е:,

(у)

= In

{У2

У\)

I In

(Х2

/ X,).

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при не-

больших относительных (процентных) изменениях величин x\iy.

В экономике выделяются следующие виды эластичности.

Эластичность спроса

по

цене

(прямая)

Ер

{q) = {dq/q) / {dp / р) = {dq / dp) {р / q).

•'5

••'"А

J^'"

X X

•)

У\ЕХ{У)

= ^

Х\^-1<£;с(>')<0

в*

Д) е)

Рис. 1.2.

Трафики зластичности

экономическом

анализе:

—

Е^)>1;

—

Ез^)<1; в

—

Е^) отрицательна; г

—

пределы изменения

эластичности; д

—

модель юимания налога с производителей (налог / = const);

—

модель взимания налога с потребителей.