Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

Полезную меру связанности дает

отношение перекрестных

произведений,

называемое еще

отношением

шансов.

Его важность

состоит в том, что он служит мерой относительного риска вход-

ного признака А и выходного признака В. Отношение шансов

определяется из логистической модели и ему можно приписать

следующий смысл. Если исходный фактор А имеет уровни

(fli,

«2). а результирующий фактор В

—

уровни (bi, bi), то отно-

шение шансов о можно интерпретировать следующим образом:

шансы на то, что индивид выйдет на уровень Ь\, если известно,

что он начинал с уровня а\ ъ о раз больше, чем если бы он на-

чинал с 02-

Рассмотрим теперь общий случай

{г

у.

с)

— таблицы сопря-

женности признаков. Пусть fy

—

наблюдаемая частота в ячейке

ij,fi

—

сумма в строке i,fj

—

сумма в столбце (/ = I,...,

г,

J = 1,..., с),

—

общий объем выборки.

Две меры, основанные на х-квадрат, используются как пока-

затели степени связанности между признаками. Одной из них

является введенный Пирсоном коэффициент

сопряженности

признаков.

Эта статистика обладает рядом удобных свойств, так

как она находится в

[0;1],

однако нежелателен тот факт, что

верхний предел С зависит от размера таблиц. Уровень значимо-

сти для критерия Е (Q =

тот же, что и для критерия незави-

симости хи-квадрат.

Другая мера степени связанности была введена Крамером,

который показал, что процент выборочного распределения мож-

но получить простой заменой переменных в распределении

Х-квадрат.

Можно вычислять также меры связанности для упорядоченных

таблиц сопряженности признаков, в которых уровни А упорядоче-

ны от

до г, а уровни 5

—

от

до с. Эти меры

—

мера Кендалла,

мера Стюарта и мера Спирмана, относятся к корреляционному

анализу и используются как непараметрические меры, причем мера

Кендалла применяется в случае г

с,

мера Стюарта, если г< с или

г>

с.

Все три меры изменяются

диапазоне [—1;+1].

Таким образом, статистики х-квадрат (обычная и скорректи-

рованная), коэффициент сопряженности, мера Крамера, а также

меры Стюарта, Кендалла и Спирмана обычно вычисляются

всегда. Однако для корректного использования трех последних

мер необходима уверенность в упорядоченности таблиц сопря-

женности.

201

Заметим, что для таблицы 2x2, кроме этих мер, вычисляются

метрики Q-Юла, У-Юла и относительных шансов.

6.3. Принятие решений

Система поддержки принятия решений, осуществленная в

профамме «СтатЭксперт», предназначена для реализации окон-

чательного принятия решений, когда уже определены цели и

условия развития процессов и необходимо сделать выбор одного

из некоторого конечного множества рассматриваемых вариан-

тов:

Ei еЕ. Каждым вариантом Е/ (Ei, Е2,...Е/,..., Е„) однозначно

определяется некоторый результат

е,-

— выифыш, полезность,

надежность и др. Эти результаты должны допускать количест-

венную оценку, и для их простоты можно отождествлять с соот-

ветствующими результатами, обозначая одним и тем же симво-

лом е,. Обычно ищется вариант с экстремальным значением ре-

зультата, т. е. max

е,-

или min е,.

Под результатом решения ву можно понимать оценку, соот-

ветствующую варианту £,• и условиям Fj и характеризующую

экономический эффект (прибыль) или полезность решения. Се-

мейство решений можно описать, например, некоторой матри-

цей, содержащей / вариантов при

/=1,...,

« иу условий решений

приу=1,...,

т.

Исходными данными при принятии решений выступает мат-

рица решений, в которой каждому варианту (Ej) поставлены в

соответствие условия решений (/)). В последней строке матрицы

решений («Вероятность») представлена вероятность реализации

решений.

Пример

6.2.

Пусть предприятие ABC решает вопрос: производить ли

ему на имеюшемся оборудовании 250 тыс. комплектующих деталей или

покупать их на стороне по цене 370 руб./шт. (исходные данные для

расчета себестоимости приведены в табл. 6.4).

Приобретая деталь на стороне, предприятие сможет избежать пере-

менных издержек в сумме 75 млн. руб. и снизить постоянные расходы

на 10 млн. руб. Необходимо проанализировать ситуацию и выбрать

наиболее выгодный для предприятия вариант решения: а) изготавли-

вать всю партию деталей самостоятельно; б) изготавливать самостоя-

тельно максимально возможное гарантированное количество

—

200 тыс.

шт. деталей, а остальные

—

приобретать на стороне; в) приобретать все

детали на стороне и использовать высвободившееся оборудование для

производства других деталей, что может принести прибыль в размере

18 млн. руб.

202

Таблица

6.4.

Основные затраты предприятия ABC

Показатели затрат

Сумма,

млн.

руб.

Прямые материалы на весь объем производства

деталей _4о о

Прямая зарплата 20,0

Переменные накладные расходы 15,0

Постоянные расходы 50,0

Итого 125,0

Р е ш е н и е. На принятие решения оказывают влияние следую-

щие факторы.

1) Есть сомнения в том, что комплектующие для собственного про-

изводства будут поставлены в срок. В этом случае предприятие сможет

произвести только 200 тыс. шт. деталей; за каждую недопоставленную

деталь предприятие выплатит

тыс. руб. неустойки. Вероятность этого

события (событие а) составляет а= 0,3.

2) При определенном стечении обстоятельств партнер сможет обес-

печить в срок поставку 125 тыс. шт. деталей. Как и в предыдущем слу-

чае,

за каждую недопоставленную деталь предприятие выплатит

тыс.

руб.

неустойки. Вероятность этого события (событие Р) составляет

Р=0,2.

В этих условиях возможно также приобретение небольшой пар-

тии изделий в 500 тыс. шт. по цене 600 руб./ шт. Постоянные расходы

остаются на первоначальном уровне (50 млн. руб), а все переменные

затраты уменьшаются пропорционально изменению объема, т. е. на

20%.

Таким образом, общие затраты по данному варианту не зависят от

вероятностных факторов и составляют:

50000

•

600 +

0,8(40

+ 20 -(-15)

•

10^ =

+ (50 + 60) = 140 млн.руб.

Считая, что события аир независимы, составим матрицу

полезности (табл.6.5).

Таблица

6.5.

Матрица

решений для предприятия

ABC,

млн.руб.

Вариант

Ег

Ез

Вероятность

Себестоимость

продукции,

млн.

^i(«iPi)

-125

-140

-114,5

0,56

-160 -125

-140 -140

-114,5 -193,5

0,24 0,14

руб

/ч(ар )

-160

-140

-193,25

0,06

203

в качестве элементов матрицы возьмем расчетные значения себестои-

мости варианта со знаком «минус» (чем ниже себестоимость, тем лучше

вариант). В верхней строке таблицы приведено событие, которому соответ-

ствует расчет в столбце, а в нижней строке — оценка вероятности этого

события. Так, запись «ар» соответствует событию

НБа.

И Я£р, которое в

условиях задачи /"i совершится с вероятностью (1-а)(1-р)=(1—0,3)(1-

-0,2)=0,56. Условие /1 означает, что все комплектующие будут поставлены

в срок и партнер сможет обеспечить в срок поставку готовых деталей.

Отметим, что при расчете себестоимости вариантов, связанных с

событием а, учитывается, что постоянные расходы останутся на преж-

нем уровне, что приведет к увеличению себестоимости единицы про-

дукции. При расчете всех вариантов, связанных с неблагоприятными

событиями, неустойка складывается с расчетной себестоимостью.

Критерии принятия решений. Всякое 'решение в условиях не-

полной информации (сознательно или неосознанно) принимает-

ся в соответствии с какой-либо оценочной функцией, выбор ко-

торой должен осуществляться с учетом количественных характе-

ристик ситуации, в которой принимаются решения. В настоящее

время применяют следующие критерии принятия решений: ми-

нимаксный критерий, критерий Байеса—Лапласа, критерий Сэ-

виджа, критерий Гурвица, критерий Ходжа—Лемана, критерий

Гермейра и критерий произведений.

Эти критерии можно использовать поочередно, причем по-

сле вычисления их значений среди нескольких вариантов при-

ходится все-таки волевым образом вьщелять некоторое оконча-

тельное решение, что позволяет, во-первых, лучше проникнуть

во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-

вторых, ослабить влияние субъективного фактора.

При минимаксном критерии используют оценочную функцию

•^лш,

соответствующую позиции крайней осторожности:

^мм = max е;г; е„ = miii

Су

' J

Матрица решений ||е,у|| дополняется еще одним столбцом из

наименьших ржзультатов

в/г

каждой строки. Выбрать надлежит те

варианты Ею, в строках которых стоят наибольшие значения е,>.

этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают

риск. Это означает, что принимающий решение не может столк-

нуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентирует-

ся.

Какие бы условия

ни встретились, соответствующий результат

не может оказаться ниже

ZMM-

Это свойство заставляет считать ми-

нимаксный критерий одним из фундаментальных.

204

Критерием Байеса—Лапласа

учитывается каждое из возмож-

ных следствий. Если qj — вероятность появления внешнего со-

стояния

Fj,

то для данного критерия имеем следующую оценоч-

ную функцию Zfii,;

ZBL = max

е,,;

ei,

Y.e,jgj.

Исходная позиция ЛПР в этом случае оптимистичнее, чем в

случае минимаксного критерия, однако она предполагает более

высокий уровень информированности и достаточно длинные

реализации.

Оценочная функция

критерия Сэвиджа

Zs имеет вид:

Zg = min

e/r

minlmax(maxej -е^)],

ay = max

ву

. e^

max

a,j

= max (max Су

e^).

Величину ay = max

можно трактовать как максималь-

ный дополнительный выигрыщ, который достигается, если в

состоянии Fj вместо варианта Ei выбрать другой, оптимальный

для этого внешнего состояния вариант. Можно интерпретиро-

вать

й,у

и как потери (штрафы), возникающие в состоянии

при

замене оптимального для нее варианта на вариант £(. При ин-

терпретации о,у в качестве потерь величина «,> представляет со-

бой максимальные возможные (по всем внешним состояниям)

потери в случае выбора варианта £•,-. Эти максимально возмож-

ные потери минимизируются за счет выбора подходящего вари-

анта £•/. Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора в

этом случае интерпретируется так: каждый элемент матрицы

решений ||е,у|| вычитается из наибольшего результата max ву со-

ответствующего столбца. Разности

ау

образуют матрицу остатков

||о,у||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей

е,>. Выбираются те варианты

EJQ,

В строках которых стоит наи-

меньшее для этого столбца значение.

Наиболее уравновешенную позицию занимает критерий Гур-

вица, оценочная функция

ZHW

которого находится где-то между

точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма:

Zfj^,

max

; е,,

= с min

с,

+ (1

- с) max е,,,

'• j J

где с —

весовой

множитель,

значение

которого

изменяется

в интервале

[0;1].

Правило выбора по критерию Гурвица формулируется сле-

дующим образом. Матрица решений ||e/J дополняется столбцом,

содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего

205

результатов для каждой строки. Выбираются те варианты

Ею,

строках которых стоят наибольшие элементы е,у этого столбца.

Для с=\ критерий Гурвица превращается в минимаксный крите-

рий, при с=0 он превращается в критерий азартного игрока.

Чаще всего с=0,5 без возражений принимается в качестве неко-

торой средней точки зрения.

При критерии

Ходжа—Лемана

происходит одновременный

учет свойств минимаксного критерия и критерия Байеса—

Лапласа. С помощью параметра

значение которого изменяется

в интервале

[0;1],

выражается степень доверия к используемому

распределению вероятностей. Если это доверие велико, то пред-

почтение отдается критерию Байеса—Лапласа, в противном слу-

чае - минимаксному критерию. Оценочная функция Z/fi этого

критерия определяется:

Zni

max

ejr

BJ^

e,-,g

,• + (1

v) min eu

0 < v <

Правило выбора, соответствующее данному критерию, фор-

мулируется следующим образом. Матрица рещений

||е,^]|

допол-

няется столбцом, составленным из средних взвешенных (с по-

стоянными весами) математического ожидания и наименьшего

результата каждой строки. Отбираются те варианты решений Ею,

в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.

При v=l критерий Ходжа—Лемана переходит в критерий Байе-

са—Лапласа, а для v=0

—

в минимаксный критерий.

В качестве оценочной функции

критерия Гермейра

выступает

функция

ZQ:

max е,/, е,, = min вуд,.

Этот критерий ориентирован на величины потерь, т. е. на

отрицательные значения всех еу. Поскольку в хозяйственных

задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, ус-

ловие е,у <

обычно выполняется. В случае же, когда среди ве-

личин

еу

встречаются и положительные значения, можно перей-

ти к строго отрицательным значениям с помощью преобразова-

ния

{еу—а)

при соответствующим образом подобранном а <

(заметим, что оптимальный вариант решения зависит от а).

Правило выбора согласно критерию Гермейра при этом

формулируется следующим образом. Матрица решений ||е,у|| до-

полняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке

наименьшее произведение имеющегося в ней результата на ве-

роятность соответствующего состояния

Fj.

Выбираются те вари-

206

анты

E/Q,

в строках которых находится наибольшее значение ejr

этого столбца. В некотором отношении критерий Гермейра

обобщает минимаксный критерий. В случае равномерного рас-

пределения

qj=

\/n,j=\,..., п они становятся идентичными.

При

критерии

произведений,

ориентированном на величины

выифышей, т. е. на положительные значения еу, оценочная

функцию Zp имеет следующий вид:

Zp = max е,,; р^ = П

ец

д,-

' J

Правило выбора в этом случае формулируется следующим обра-

зом. Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим

произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те ва-

рианты

Ejo,

в строках которых находятся наибольшие значения

этого столбца. Критерий произведений адаптирован в первую оче-

редь на случаи, когда все е,у>0. Если указанное условие нарушается,

то следует вьшолнить некоторый сдвиг

(е^

+а)

с некоторой кон-

стантой а

min еу |.

Разумеется, результат применения критерия су-

щественно зависит от этой константы

а.

На практике в качестве зна-

чения а обьино используют величину |min

е;.|+1.

Если же констан-

та а не имеет содержательного смысла, то к таким проблемам

критерий произведений неприменим.

Более подробно практическое применение этих критериев в

процессах пришггия решений рассмотрено в разд. П1 настоящей

книги.

Глава

Системы массового обслуживания

их модели

экономике,

финансах

банковском

деле

Одним из видов моделей, с помощью которых можно описы-

вать финансово-экономические процессы и банковскую сферу,

являются

системы массового обслуживания

(СМО). Ими можно

описывать функционирование множества предприятий, банков,

кредитных учреждений, страховых организаций, налоговых ин-

спекций, организаций сферы обслуживания (магазинов, больниц

и др.), деятельность которых связана с многократной реализаци-

ей исполнения каких-то однотипных задач и операций [2, 13,

130,

137-140].

7.1.

Структура и параметры эффективности и качества

функционирования СМО

Кажцая СМО (рис. 7.1) включает в свою структуру некоторое

число обслуживающих устройств, называемых каналами обслу-

живания

(к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или

иные операции, —кассиров, операторов, менеджеров и т. п.),

обслуживающих некоторый поток заявок

(требований),

посту-

пающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслужива-

ние заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время

и зависит от множества самых разнообразных факторов. После

обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему

следующей заявки. Случайный характер потока заявок и време-

ни их обслуживания приводит к неравномерности загрузки

СМО —перефузке с образованием очередей заявок или не-

дофузке

—

с простаиванием ее каналов.

Таким образом, в СМО имеются: входящий поток заявок,

очередь, поток необслуженных (покинувших очередь) заявок,

208

каналы обслуживания и выходной поток обслуженных заявок.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров (характера по-

тока заявок, числа каналов обслуживания и их производитель-

ности) и правил организации ее работы обладает определенной

эффективностью функционирования {пропускной

способностью),

позволяющей ей более или менее успещно выполнять предна-

значенные ей функции. Случайность характера потока заявок и

длительности их обслуживания порождает в СМО случайный

процесс,

для изучения которого необходимы построение и анализ

его математической модели. Изучение функционирования СМО

упрощается, если случайный процесс является марковским

(процессом без последействия, или без памяти), когда работа

СМО легко описывается с помощью конечных систем обыкно-

венных линейных дифференциальных уравнений первого по-

рядка, а в предельном режиме (при достаточно длительном

функционировании СМО) — посредством конечных систем ли-

нейных алгебраических уравнений. В итоге показатели эффек-

тивности функционирования СМО выражаются через параметры

СМО,

потока заявок и дисциплины работы СМО.

Каналы

обслуживания

Входящий поток

заявок

Поток

необслуженных

заявок

Выход

•-•••'••••

Поток

обслуженных

Рис. 7.1.

Структура

СМО

Из теории известно, чтобы случайный процесс являлся мар-

ковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий

(потоки заявок, потоки обслуживании заявок и др.), под воздей-

ствием которых происходят переходы системы из состояние в

состояние, являлись

пуассоновскими,

т. е. обладали свойствами

последействия

(для любых двух непересекающихся промежутков

времени число событий, наступающих за один из них, не зави-

сит от числа событий, наступающих за другой) и

ординарности

(вероятность наступления за элементарный, или малый, проме-

209

жуток времени более одного события пренебрежимо мала по

сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток

времени одного собыгия). Для простейшего пуассоновского по-

тока случайная величина Т (промежуток времени между двумя

соседними событиями) распределена по показательному закону,

представляя собой плотность ее распределения или дифферен-

циальную функцию распределения.

Если же в СМО характер потоков отличен от пуассоновско-

го,

то ее характеристики эффективности можно определить при-

ближенно с помощью марковской теории массового обслужива-

ния, причем тем точнее, чем сложнее СМО, чем больше в ней

каналов обслуживания. В большинстве случаев для обоснован-

ных рекомендаций по практическому управлению СМО совсем

не требуется знаний точных ее характеристик, вполне достаточ-

но иметь их приближенные значения.

В зависимости от совокупности специфических факторов

СМО можно классифицировать следующим образом: а) по ха-

рактеру потоков

—

марковские и немарковские; б) по числу ка^

налов

—

одно- и многоканальные; в) по дисциплине обслужива-

ния

—

СМО с отказами (нулевым ожиданием или явными поте-

рями),

СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или

очередью), СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием

—

длиной очереди, временем пребывания в очереди или общим

временем пребывания заявки в СМО), причем их обслуживание

в СМО может бьггь как упорядоченным, так и неупорядочен-

ным, а также с обслуживанием по приоритету; г) по ограниче-

нию потока заявок

—

на замкнутые и открытые (незамкнутые);

д) по количеству этапов обслуживания

—

на одно- и многофаз-

ные СМО.

Эффективность функционирования СМО характеризуют три

основные группы показателей:

1) эффективность использования

СМО

—

абсолютная или относи-

тельная пропускные способности, средняя продолжительность пе-

риода занятости СМО, коэффициент использования СМО;

качество обслуживания

заявок — среднее время (среднее

число заявок, закон распределения) ожидания заявки в очереди

или пребывания заявки в СМО; вероятность отказа заявке в об-

служивании без ожидания; вероятность того, что поступившая

заявка немедленно примется к исполнению;

эффективность функционирования

пары «СМО

—

потреби-

тель», причем под потребителем понимается как совокупность

210