Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

ны лишь констатировать факт изменения отдельных элементов

структуры. Изменение структуры любого экономического пока-

зателя происходит постоянно,

но

важно иметь количественную

меру этих изменений, характеризующую

их

существенность

сравнимость

по

отношению

другим периодам наблюдения,

тенденцию изменения структуры.

Анализ структурных сдвигов.

Так как

структурным является

любой показатель, состоящий

из

суммы нескольких элементов

выражаемый

относительных величинах (обычно процентах),

то математически его структуру можно записать так:

ДМ),

ДГ,2),

..., ntjX...,

F{t,M),

где

—

количество элементов

структурном показателе;

— номер

элемента

структурном показателе

(/ = 1,2,...,

Af);

—

количество

уровней наблюдений;

—

порядковый номер

наблюдений

(t = 1,2,...,

N);

Y{t,J)

— у-й элемент показателя в

t-м

периоде наблюдения.

Если показатель задан абсолютными значениями,

то для пе-

рехода

от

абсолютных

относительным значениям следует про-

суммировать

для

каждого момента времени

все

элементы, вхо-

дящие

состав сводного показателя,

затем разделить сумму

на

все

эти

наблюдения.

результате будем иметь F (/,

у) —

для

всех

элементов у структуры

всех периодов наблюдения. Структура

момент времени

запишется

как

Fit,l),

F(t,2),...,

F(t, М).

С учетом введенных обозначений постановку задачи анализа

структурных сдвигов можно формулировать следующим образом.

При помощи статистических средств

на

основе данных

F{t,

у),

характеризующих изменение структуры

из М

элементов

за N

пе-

риодов, провести анализ изменений структуры

по

сравнению

каким-либо конкретным моментом времени,

также определить

особенности

ее

изменения

целом

на

периоде наблюдения

возможное состояние структуры

будущем.

Для сравнения структур двух наблюдений можно использо-

вать абсолютные

относительные показатели.

Абсолютные

при-

росты

показывают скорость изменения удельных весов,

отно-

сителы1ые

(темпы роста)

—

интенсивность

их

изменения.

Эти по-

казатели

не

пропорциональны, характеризуют разные стороны

изучаемой структуры

потому должны использоваться совместно.

Для характеристики изменения структуры

одном периоде

по сравнению

базисным периодом целесообразно использовать

линейные

(Л)

квадратичные

(К),

абсолютные

(А)

относитель-

191

ные

(О)

показатели

(Л). В математическом виде эти коэффици-

енты выглядят следуюицсм образом:

ЛОП =

j;[(Я,,

F{to,J)];

ЛАП = ЛОП

М;

КОП

= |;[(f(r,,y)- F(/o,y))/ /•(/o.y)]lOO%;

где f{t\,J)

—

структура сравниваемого периода;

f{tQ,

J) —

структура на-

чального периода; f ]

—

знак по модулю, показывающий, что все сла-

гаемые берутся со знаком «плюс».

Таким образом, показатель ЛАП является средней арифмети-

ческой из абсолютных приростов удельных весов всех элементов

структуры, показатель КАП

—

средней квадратической из абсо-

лютных отклонений удельных весов всех элементов структуры

(оба эти показателя указывают, на сколько процентов в среднем

отклоняются друг от друга удельные веса одноименных элемен-

тов сравниваемых структур; если они близки к нулю, то измене-

ний не произошло).

Показатель ЛОП равен сумме абсолютных значений разности

удельных весов, а КОП показывает, на сколько в среднем откло-

няются темпы роста отдельных частей целого от их среднего зна-

чения, равного 100%. Близость значений этих показателей к нулю

свидетельствует об отсутствии структурных изменений.

Показатели ЛАП и ЛОП проще КАП и КОП, но последние

точнее отражают степень структурных сдвигов. Опыт показал,

что оценки по ним существенно не различаются, поэтому на

практике предпочтение обычно отдают наиболее простым пока-

зателям.

Два сравниваемых уровня наблюдений могут отстоять друг от'

друга более чем на один шаг. Поэтому для всех этих показателей

целесообразно вычислять средние значения за указанный период

наблюдений. В отличие от общих значений они характеризуют не

величину изменений структуры, а интенсивность ее изменения.

Средние показатели позволяют более точно сравнивать изменения

структуры периодов, которые имеют различный интервал. Выбор

периодов сравнения может определяться календарными сроками

(например, при использовании месячных данных исследовать

сдвиги за квартал, а годовых данных — за пятилетку) либо кон-

1фетными экономическими соображениями (например, сравнить

изменение структуры до начала и после некоторого периода дей-

ствия нового хозяйственного механизма).

192

Показатели изменения динамики. Для оценки особенностей

изменения структуры во времени t =1,2,...,Л^ используются сле-

дующие динамические коэффициенты:

а) коэффициент 51(/), измеряющий структурный сдвиг за весь

период с первого наблюдения до момента t. Он вычисляется как

сумма абсолютных отклонений всех элементов структуры в пе-

риоде t от базового года и аналогичен базисному темпу прирос-

та. Если ежегодно за весь период наблюдается высокая интен-

сивность структурных сдвигов, а результирующий сдвиг незна-

чителен, то состояние структуры близко к исходному, а сдвиги

имели в основном колебательный характер:

S{t)-J:F{t,j)-F{\j);

б) коэффициент Дг), измеряющий изменение структуры за

два соседних периода наблюдений (аналогичен цепному темпу

прироста, показывая, произощел ли структурный сдвиг в перио-

де Г

какой именно):

в) коэффициент монотонности M{t), показывающий, сохра-

нил ли структурный сдвиг существующие тенденции изменения

элементов структуры или нарушил их; если все элементы струк-

туры меняют свое направление, то коэффициент принимает свое

минимальное значение Л/(/)=Ю, а если изменяются монотонно,

то

М(/)=1:

М(0=С(/) / т,

где

C{t) —

вычисляется как

Pif)^

но только

для тех

элементов,

у которых

сохраняется направление изменения.

Значение

M{t)

тем выше, чем больше компонент с заметным

удельньп{ весом сохраняют направление своего изменения. Если

средний коэффициент монотонности больше 0,7, то изменения

структуры считаются устойчивыми (монотонными). Если он

меньше 0,3, то можно утверждать, что изменения носили устой-

чивый характер, но в противоположном начальному направле-

нии. Значение коэффициента в интервале от 0,3 до 0,7 свиде-

тельствует о немонотонном изменении структуры. Для этих по-

казателей вьиисляются средние значения, причем для Pit) и

M{t)

—

средние арифметические, а для S{t)

—

средняя геометри-

ческая.

193

Попарное сравнение отдельных наблюдений позволяет дать

оценку изменения структуры в фиксированные, наиболее инте-

ресные для пользователя моменты времени. Однако оно не по-

зволяет выявить динамику, а следовательно, и тенденции этих

изменений. При помощи статистических средств можно полу-

чить ответы на два вопроса: как

сильны структурные

сдвиги и

насколько устойчивы изменения

структуры.

Если имеется достаточно длинный период наблюдений,

можно воспользоваться математическими методами для получе-

ния прогнозных оценок изменения структуры. В данном случае

они рассчитываются для всех элементов структуры по линейной

модели, параметры которой определены методом наименьших

квадратов. При исследовании структурных сдвигов шаг наблю-

дения может быть любым (год, квартал, месяц и др.), но для

прогнозирования он должен быть одинаковым. В целом про-

гнозные оценки, полученные на основе математических мето-

дов,

опираются на закономерности прошлого развития и потому

более точны при плавном, а не скачкообразном изменении

структуры. Если же исследование провести по нескольким взаи-

мосвязанным показателям, то можно получить характеристику

их взаимных структурных сдвигов.

Исследованне структурных различий. Задача исследования

структурных различий аналогична описанно!^ выше с той лишь

разницей, что время здесь фиксировано, а объектами исследова-

ния (уровней) выступают районы, области, формы собственно-

сти и др. Для этого вместо индекса / для обозначения уровней

наблюдений используют /. При помощи статистических средств

на основе данных F (/, у), характеризующих изменение структу-

ры из М элементов и N

объектов,

можно провести анализ разли-

чия структуры какого-то конкретного объекта по сравнению с

другими и ответить, например, как сильно отличаются друг от

друга государства, регионы, области, районы, отрасли по струк-

туре потребления населением товаров и услуг. Специфика дан-

ных отражается на статистических показателях. Часто не нужны

почти все динамические характеристики (кроме коэффициента

структурных сдвигов S(t)) и прогнозов, а иногда целесообразно

использовать лишь показатели сравнения двух наблюдений.

Пример

6.1.

Необходимо провести анализ безубыточности и струк-

турных сдвигов производства двух видов продукции

—

А, В, выпускае-

мых

предприятием

ABC

(табл. 6.1).

Решение. Реализацию продукции рассмотрим как набор от-

носительных долей продукции в общей сумме выручки от реализации.

194

Если структура меняется, то объем выручки может достигать задан-

ной величины, а прибыль может быть меньше. Влияние на прибыль

может определяться сдвигом в ассортименте — в сторону низко- или

высокорентабельной продукции.

Как следует из табл. 6.1, на реализацию одной единицы продукции

А приходится 2 шт. продукции В. Тогда при достижении критической

точки объема реализации потребуется х шт. продукции /4 и 2х шт. про-

дукции В. Подставляя исходные данные в уравнение определения чис-

той прибьии (ЧП) от реализации продукции

ЧП = ВРП - ПрЗ Ui-N- np3i - ПЗ ,

где ВРП

—

выручка от реализации продукции, ПрЗ — переменные за-

траты за этот же объем реализации, ПЗ

—

постоянные затраты в обшей

сумме,

Л'^ —

количество единиц продукции, Щ — цена единицы про-

дукции, np3i

—

переменные затраты на единицу продукции, при усло-

вии, что в критической точке

4IF=0,

получаем:

4n=NUi-Nnp3i-n3;

(2000 •

X +

4000 •

2х) -

(1500

•

д; +

2000 •

2х)

- 3000000 = 0.

Отсюда

ЮОООх

-5500х=30000000; х= 6666.

Таким образом, в критической точке объем продукции А составляет

6666 шт., объем продукции В — 13332 шт. Критическая точка объема

реализации продукции предприятия ABC составит 19998 шт.

(6666+13332=19998).

Таблица

6.1.

Продукция

А,

предприятия

ABC

Показатели финансово-сбытовой

деятельности

В Итого

Объем реализации продукции, шт.

Цена за единицу продукции, шт.

Выручка от реализации, тыс.руб.

Переменные расходы на шт.,руб.

Переменные расходы на весь объем реали-

зации, тыс.руб.

6. Маржинальный доход, тыс.руб.

Постоянные расходы, тыс.руб.

8. Чистая прибыль, тыс.руб.

10000 20000 30000

2000 4000

20000 80000 100000

1500 2000

15000 40000 55000

5000 40000 45000

30000

15000

Пусть в течение времени произошли изменения структуры реализо-

ванной продукции, приведенные в табл. 6.2.

195

Таблица

6.2.

Продукция

А,

предприятия

ЛВС

резулыпате структурных сдвигов

Показатели финансово-сбытовой

деятельности

Итого

Объем реализации продукции, шт.

Цена за единицу продукции, шт.

Выручка от реализации, тыс.руб.

Переменные расходы на шт., руб.

Переменные расходы на весь объем реали-

зации, тыс.руб.

6. Маржинальный доход, тыс.руб.

Постоянные расходы, тыс.руб.

8. Чистая прибыль, тыс.руб.

8000 22000 30000

2000 4000

16000 88000 104000

1500 2000

12000 44000 56000

4000 44000 48000

30000

18000

Сопоставление структуры продукции и финансовых показателей в

этой ситуахдаи дает увеличение чистой прибыли и доли продукции с вы-

соким маржинальным доходом. Расчет критической точки объема реали-

зации продукции в этом случае составит:

(2000х

+ 2,75

•

4000х) - (1500x

2000 •

2,75х) - 30000000 =

;

(X+11X)-1,5X+5,5JC) -30000=0;

12x-7x=30000; x=6000.

Таким образом, критическая точка объема реализации соответствует

6000 шт. продукции А, 16500 шт. продукции В при общем объеме про-

дукции 22500 шт. (6000 + 16500 = 22500).

Сравнивая полученные результаты с первоначальным вариантом,

отметим, что критическая точка изменилась на 3502 шт. продукции в

сторону увеличения объема (при неизменном объеме реализации в на-

туральном выражении). Следовательно, даже при контроле обшего объ-

ема продаж необходим анализ структурных сдвигов, так как он дает

отклонение фактической прибыли от запланированной. Максимизация

реализации продукции рассматривается и с позиций обеспеченности

ресурсами (дополнительные производственные мощности могут ока-

заться бесполезными).

Если воспользоваться при расчетах

методом маржинального дохода

(МД)

МД--ВРП

- ПрЗ; КТ=ПЗ/ .\fMi,

где КТ

—

критическая точка объема продаж, Л/Д

—

маржинальный до-

ход на единицу продукции.

196

то для нашего примера получим следующие результаты:

КТ= ПЗ/

МД=

30000000 /48000000/30000 = 9000/0,48 = 18750 шт.

В целом маржинальный подход обеспечивает менеджера дан-

ными о постоянных расходах, о возможности их возмещения об-

щей маржой, о величине маржинального дохода от каждого вида

продукции, о маржинальности каждого продукта (маржинальный

доход, приходящийся на единицу продукции). Он лежит в осно-

ве управленческих решений, связанных с пересмотром цен, из-

менением ассортимента выпускаемой продукции, установлением

размера премий, стимулирующих реализацию продукции, прове-

дением рекламной кампании и др.

6.2. Обработка нечисловой информации

Во многих экономико-статистических исследованиях, наряду

с количественными показателями, используются качественные

характеристики, обработка которых требует применения специ-

ального математического аппарата.

Каждый элемент выборки одновременно классифицируется с

помощью двух факторов или признаков; А (г классов или уров-

ней) и В (с классов), это позволяет получить

(гх^с)

— таблицу

сопряженности признаков для выборки объема п, где fjj обозна-

чает число индивидов с

i-M

уровнем признака А и у-м уровнем

признака В, fi — общее число индивидов в строке с, а fj — в

столбце;, / = 1,..., r;j = 1,..., с.

После построения этой таблицы можно проверить гипотезы

о факторах А и В, причем эти гипотезы можно сформулировать

в терминах

независимости

факторов А и В. В этом контексте не-

зависимость означает, что доля общего числа индивидов в стро-

ке (столбце), принадлежащая произвольному(ой), но фиксиро-

ванному(ой) столбцу (строке), одна и та же для всех строк

(столбцов).

В некоторых ситуациях уровни одного фактора (например,

А) являются непересекающимися подпопуляциями iVi, Wi,... ,Wr

популяции W. В этом случае гипотезу независимости можно

формулировать и как гипотезу об

однородности

фактора В по

отнощению к уровням фактора А. Заметим, что в больщинстве

случаев уровни А, расслаивающие W на подпопуляции, измеря-

ются в шкале наименований, а уровни В могут измеряться как в

197

шкале наименований, так и в порядковой шкале. Кроме того,

непрерывные случайные величины, измеряемые в интервальной

или относительной шкалах, могут быть преобразованы в поряд-

ковую шкалу.

Таблицу сопряженности признаков для двух случайных вели-

чин можно использовать для оценки совместного распределения

этих двух величин. Поэтому частотная таблица классификации

по двум признакам обобщает понятие гистограммы, а критерий

независимости признаков Аи В

—

и для случайных величин X и

Y. Если они обладают двумерным нормальным распределением,

то более желательно вычислить выборочный коэффициент кор-

реляции между ними и уже с его помощью проверить независи-

мость.

Для проверки гипотезы как об однородности, так и о незави-

симости часто используется процедура, состоящая в вычислении

ожидаемой частоты

в ячейке ij:

f\(f

•

j)/п с вычислени-

ем значения:

y=l

Если верна нулевая гипотеза, то это значение имеет прибли-

зительно распределение х-квадрат с v = (г— 1) (с —1) степенями

свободы, а /"-значение равно площади под кривой плотности (v)

справа от точки

Нулевая гипотеза отвергается, если Р мень-

ше заранее выбранного уровня значимости.

Виды статистики и меры связанности. Рассмотрим простей-

ший, но достаточно распространенный случай классификации

гипотез по двум факторам А и В, каждый с двумя классами (oi,

«г) и (Ь], bi).

Пусть

fij — наблюдаемая частота в ячейке

ij,

fi —

сумма частот в строке

/у

—

столбце

а п — общий объем вы-

борки (/, j =1, 2). Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии

зависимости между An В. Для таблиц сопряженности необходи-

мо рассчитать ряд следующих статистик (табл. 6.3).

Для 2х2-таблицы

—

обычную статистику

х-квадрат

или ста-

тистику с учетом

поправки

Йетса,

которая при больших п рас-

пределена приблизительно как х-квадрат с одной степенью сво-

боды, а также функции разности D=f\\

—

f\ -fx/n между наблю-

даемой и ожидаемой частотами, статистиками которых являются

коэффициенты связанности Юла

Q и Y.

198

Таблица

6.3.

Расчетные статистики для таблиц сопряженности

Виды статистик Формула расчета

Для

таблиц

2x2.

о(бычная х-квадрат

с учетом поправки Йетса

коэффициенты связанности Юла Q

и Y

2Y/{l^Yf;Y

[(/„Л2)''' - (/2./,2)"'] /

1/2

асимптотические станоартные оценки

отношение перекрестных

произведений (шансов)

(1)

(2)

(3)

(4)

Хо = (/ll/22 - fixfnfn / hhhh

ХО = (/ll/22 - /21/12 - 0>f

/ /1/2/1/2

Q =

(/./22

- /21/12) / (/и/22 + /2./.2) -nD/ (/„Л, + Л,/,2)

Vn/22)"'

+ (/21/12)

{

Ьесли AvxB полностью связаны,

О,если А к В независимы,

если

У4

и 5 полностью отрицательно связаны.

ASE{Q)

2(1

- G^)(l /

/1,

+1 / /12 +1 /

/21 +1

/ /22)'^'

ASE{y) =

/ 4{l - r^)(l / /, +

/ /,2 +

/ /21 +

/ /22)'

ASE[o) = ф / /„ +

/ /,2 +

/ /21 +

/22]'^'

; о = /„/22 / /,2/21 (7)

(5)

(6)

Для

(гхс)-таблиц:

меры на х-квадрате:

коэффициент сопряженности

признаков Пирсона

степень связанности Крамера

-[xV(i^-^))f'

•,

ASE{V) = [r{g-l)]

1/2

v =

0 при отсутствии связанности АнВ,

1 при полной связанности

У4

и В

(8)

(9)

мера Кендалла при г=с

мера Кендалла при

S=P—Q

мера Стюарта при

г<с

или г>с

коэффициент ранговой

корреляции Спирмана

Продолжение

i=\j=\ \k>il>j )

/ =

= l

\k>il>j )

ma&i. 6.J

(10)

T* = ^ /

{[л

/ 2(л -

Г,

1[я

/ 2(л -

Tj]}'^'

(11)

?;=^1/(/-1)>г;=^1/а-1)

<i2)

/15£(т,)

[{4л

+10) / in" -

я)]'^'

(13)

Тс =2/и5/я^(/и-1);5' = /'-е; /и

min(r,c) (14)

/15£(т^)

1т

/л>-1) (15)

k>il>j k<il<j

k>ii>j k<it<j

11л)+(/,/2)-{/./2)

(S//J+(^/2)-(''/2)/

«^-«-!(//-у;)р-«-Е(//-л)

; (18)

^5%)

((1-г/)/(я-2)Р (19)