Шелобаев С.И. Математические методы и модели

Подождите немного. Документ загружается.

линейных моделей, называемых моделями авторегрессии —

скользящего среднего (APCQ. Это значит, что

и; -с) =

Ф,(г;.,

-с)-...-ф,(г;.р -c)+fl, -в,А,.,-...-в,о,.,,

где

Z* =

zi^^

—

значения предварительно преобразованной перемен-

ной; а,

—

процесс «белого шума»; ф,,...,ф^,

—

параметры авторегрес-

сии; в|,...,6,

—

параметры скользящего среднего.

Если использовать оператор сдвига назад В, т. е.

В^

= z,-i, то

>4РСС-модель можно записать в операторной форме:

z;-c =

Q(B)a,/^(B).

Параметры этой модели должны удовлетворять следующим

условиям: а) для стационарности корни уравнения

Ф(Д)

= 0

должны лежать вне единичного круга для оператора авторегрес-

сии ф(Д) (ряды находятся в статистическом равновесии относи-

тельно фиксированного среднего); б) для обеспечения обрати-

мости корни уравнения

в(В)

должны лежать вне единичного

круга для оператора скользящего среднего в(В).

Чтобы добиться экономии параметров, в модель включают

одновременно операторы авторегрессии и скользящего среднего.

В целом авторегрессионные модели и модели скользящего

среднего известны относительно давно, но их использование в

моделировании временных рядов затруднялось из-за отсутствия

соответствующих методов идентификации, оценивания и кон-

троля этих моделей, наличия неадекватных методов для описа-

ния нестационарных рядов.

При формализации нестационарных рядов используют такие

классы моделей, которые пригодны для представления щиро-

кого диапазона практических ситуаций, т. е. использукуг конеч-

ные разности порядка d:

Конечная разность первого порядка имеет вид

Дг,*

- zj-i

•

Стационарный ряд можно затем представить с помощью

ЛРСС-модели:

у/,-с

= Q(B)a, / ip(B) .

Определенная вьш1е модель называется

авторегрессионной

ин-

тегрированной моделью скользящего

среднего,

или

АРИСС

(р,

d, q).

161

Взаимосвязанная статистическая методика метода Бокса—

Дженкинса включает: а) идентификацию временного ряда (т. е.

определение размерностей операторов конечной разности, авто-

регрессии и скользящего среднего); б) оценивание параметров

модели; в) проверку адекватности модели.

Сезонная модель Бокса—Дженкинса

содержит сезонные опера-

торы конечной разности, авторегрессии и скользящего среднего.

В операторном виде она приобретает вид:

где S

—

период

сезонности;

Д^

—

оператор сезонной конечной разности:

^sZt

—

Zt-s

где

D —

порядок сезонной конечной разности;

Ф —

оператор сезонной

авторегрессии порядка

P;Q

—

оператор сезонного скользящего среднего

порядка

d,^ ,

определены выше.

Модель называется

сезонной моделью авторегрессии

— сколь-

зящего среднего

(р, d, q) х (?, Д Q). Основные этапы разработки

сезонной модели аналогичны этапам для несезонной модели.

Метод ОЛИМП является распространением моделей авто-

регрессии скользящего среднего для моделирования нестацио-

нарных временных рядов.

Формально модель ОЛИМП соответствует модели АРСС (р,

q),

за исключением того, что на вход модели поступает .неста-

ционарный, вообще говоря, временной ряд. Так же как и для

несезонных моделей, сезонная модель ОЛИМП отличается от

авторефессионных моделей тем, что на ее вход могут поступать

нестационарные временные ряды, которые не приводятся к ста-

ционарным путем взятия конечных разностей. В операторном

виде модель ОЛИМП (р, q) х {Р, Q) имеет вид:

Ф(2?)Ф(в*)г;=в(дж/»')0,.

с точки зрения общих соображений размерности операторов

авторегрессии для модели ОЛИМП должны быть несколько

больще, чем для модели Бокса—Дженкинса при моделировании

одинаковых временных рядов.

Если идентифицирована модель Бокса—Дженкинса с пара-

метрами р, d, q, то соответствующая модель ОЛИМП должна

иметь параметры: p'=p+d. Если процесс удовлетворяет стохас-

162

тическому разностному уравнению порядка р (авторегрес-

сионный процесс)

£ф;;',-,

=«,,

1=0

где Ф,

—

коэффициент оператора авторегрессии; и,

—

последователь-

ность независимых одинаково распределенных случайных величин с

дисперсией о^, / = 0,1,...,7, известны начальные значения

у—р,

у —

-рН,...,у-\,

то прогноз имеет вид:

Е(У,\у,,\,..-,Уо

=-Z^->''-i'

i=i

где Е

—

оператор математического ожидания,

будем иметь наименьшую дисперсию вне зависимости от значе-

ния корней характеристического уравнения.

Сравнительные характеристики двух подходов к моделирова-

нию авторегрессионных процессов приведены в табл. 5.3.

Таблица

5.3.

Методы моделирования авторегрессионных процессов

Характеристика

Известная схема Новая схема

Тип моделируе-

мых процессов

Исходные пред-

посылки

Базовое пред-

ставление на-

блюдений

Офаничения

Вид прогноза

Стационарные

Остатки независимы и оди-

наково распределены

1=0

Корни характеристического

уравнения вне единичного

круга

E{yt\yi,---,yp)

-Y.^iy,-\

Стационарные и нестацио-

нарные

Остатки независимы, одина-

ково распределены, заданы

начальные условия

/ р

У,

= ZS/"<-i + Zay>''-i

1=0 ;=i

Нет офаничений

Е{у,\у,А.---.Ур)

-21^1У1-\

/=1

В целом статистические оценки модели являются состоятель-

ными вне зависимости от значения корней характеристического

уравнения. В практическом плане свойства состоятельности оце-

нок оказываются вполне достаточны для их использования.

Оценка качества моделей. Проведем оценку качества модели

по критериями точности и адекватности. Схема формирования

интефированных критериев точности и адекватности, а также

163

общего критерия качества прогнозирования состоит в следую-

щем. С помощью механизма параметров пакета формируется

состав отдельных критериев, на основе которых рассчитывается

интегрированный показатель (так, точность можно характеризо-

вать только коэффициентом детерминации, или дисперсией и

средней ошибкой аппроксимации, или всеми тремя перечислен-

ными выше критериями точности).

Предварительно для каждого отдельного критерия разрабатыва-

ется процедура его нормировки.

Нормированный

критерий получает-

ся из исходной статистики критерия таким образом, чтобы выпол-

нялись условия: нормированный критерий равен 100, если модель

абсолютно точная

{адекватная);

нормированный критерий равен О,

если модель абсолютно неточная

{неадекватная).

Обобщенный критерий качества модели формируется как взве-

шенная сумма обобщенного критерия точности (его вес 0,75) и

обобщенного критерия адекватности (его вес 0,25), т. е. точностным

характеристикам придается большой вес. В качестве представителя

характеристик точности используется нормированное значение

средней относительной ошибки аппроксимации, а в качестве пред-

ставителя критериев адекватности — нормированное значение кри-

терия Дарбина—Уотсона и характеристики нормального закона

распределения остаточной компоненты. Числовое значение обоб-

щенного критерия качества лежит в диапазоне от

до 100

(минимум соответствует абсолютно плохой модели, а максимум —

идеально отображающей развитие показателя). Опьгг применения

этого показателя показывает, что достаточно надежными являются

модели, имеющие оценку качества не менее 75.

Так как формально-статистический выбор лучшей модели во

многих случаях не дает полной уверенности в его правильности, то,

кроме указанной программой модели, целесообразно просматри-

вать результаты прогнозирования других моделей, имеющих близ-

кое значение критерия качества.

Адекватными моделями

считаются

такие, у которых остаточная компонента имеет свойства независи-

мости, случайности и нормальности распределения.

Критерий

Дар-

бина—Уотсона

является наиболее распространенным критерием для

проверки корреляции внутри ряда. Если

Д =

t(^.-«/-.)VIе,',

где е,

—

расхождение между фактическими и расчетными уровнями,

имеет значение, близкое к 2, то можно считать модель рефессии

достаточно адекватной.

164

Для построения интервального прогноза необходимо выпол-

нение свойства нормальности распределения остаточной компо-

ненты, оцениваемого на основе коэффициентов асимметрии и

эксцесса (см. табл. 5.1).

При оценке адекватности уравнения регрессии учитывается

также корреляционное отношение, которое характеризует долю

дисперсии, зависимой переменной, объясняемой уравнением рег-

рессии. Корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

п = [1

- (S

О-,

- 3^)') / it

(>-/

>^-)')]''"

1=1 1=1

где у,

—

расчетные значения зависимой переменной; у,-

—

среднее

значение.

Точность модели

характеризует близость расчетных наблюде-

ний фактическим на периоде аппроксимации. Считается, что

модели с меньшим расхождением между фактическими и рас-

четными значениями отражают исследуемый процесс. Для ха-

рактеристики степени близости используются величины: среднее

квадратическое отклонение (или дисперсия), учитывающее

сложность модели; коэффициент детерминации (чем ближе к 1,

тем более точнее модель); средняя относительная ошибка ап-

проксимации (чем ближе к О, тем точнее модель); среднее зна-

чение (должно быть близко к нулю); максимальное отклонение.

Статистически

точность прогнозов

можно оценить, только

используя ретропрогноз. Его суть состоит в построении модели

по усеченному объему данных (N—k) точек с последующим

сравнением прогнозных оценок с известными фактическими, но

умышленно «забытыми* Л-уровнями ряда. По результатам срав-

нения вычисляются следующие показатели точности: среднее

значение; среднеквадратическое отклонение; средний модуль

ошибок прогнозирования (%); максимальное и минимальное

отклонения. Чем меньше значения этих величин, тем выше ка-

чество ретропрогноза. Данный подход дает хорошие результаты,

если на периоде ретропрогноза не содержится принципиально

новых закономерностей.

Построение обобщенного прогаоза. На практике часто встре-

чается ситуация, когда несколько моделей могут бьггь адекват-

ными, с малыми различиями между их характеристиками. В

этом случае целесообразно строить обобщенный прогноз, фор-

мируемый как линейная комбинация частных прогнозов:

165

yo =

2pjyj,

где М

—

число объединяемых прогнозов; Pj — весовые коэффициенты

частных прогнозов; yj

—

частные прогнозы.

Весовые коэффициенты определяются из условия минимума

дисперсии ошибок обобщающего прогноза (максимума его точно-

сти),

которая находится как сумма всех элементов ков^шационной

матрицы ошибок частных прогаозов с соответствующими весами:

м м

/=1 7=1

ку = Gjajry

где ку

—

корреляционный момент, характеризующий совместно распре-

деление ошибок /

и у

частных прогнозов; о, и Oj — средние квадрати-

ческие ошибки;

Гу —

коэффициент корреляции между рядами ошибок

частных прогнозов

у,-

и У]

Сумма весовых коэффициентов должна давать единицу (это

необходимое условие того, чтобы дисперсия обобщающего

прогноза не превышала дисперсии частных прогнозов. Ковариа-

ционная матрица ошибок частных прогнозов в этом случае будет

иметь вид:

а дисперсия обобщающегося прогноза соответствует сумме всех

элементов матрицы:

а?

*21

^Ul

^12 ••

al ..

^ЛГ2

••

• ^IM

•• ^2М

afp?

*2lAP2

l^ilPlPl

-.2 „2

ОгРг

^luPi

^2UP2

M-l

^-HPJ

j=\

f M-l \ ' f M-l \ ( M-\ \

166

в точке минимума функции

все (М-\)

первые частные про-

изводные должны обращаться

нуль.

Приравняв

нулю

все

(Л/—1) первые частные производные

по переменным

pi,

Р2,—,Рм-ь

получаем систему (А/-1) линей-

ных уравнений

(Л/-1) неизвестными:

Piiaj-lkitf +о«)+ 'Zfiikii -А:|«-А:,дг+o^)

a5^-A:,J^;

1=1

Коэффициенты

при

переменных составят матрицу

В,

эле-

менты которой определяются

так:

bjj

= bji =

°M

~^^jM +^j •

Вектор свободных членов будет состоять

из

элементов

Такую систему уравнений можно решить

помощью линей-

ной алгебры. Алгоритм объединения частных прогнозов имеет

вид:

Вычисляются дисперсии ошибок частных прогнозов

строится ковариационная матрица:

<^y=(S4)/«'

J = h...,M,

1=1

где ej — ошибки частных прогнозов;

t —

порядковый номер наблюде-

ния,

t = 1,...,л;

Строятся матрица

В и

вектор С по формулам:

bjj

= bji = a^f +

kf^

- kju - kj^i .

Из

решения системы линейных уравнений определяется

(Л/—1) значение

pj,

при

этом весовой коэффициент

ри

определя-

ется

так:

м-\

Рм = ^-TPJ-

167

Производится проверка условия:

Pj>0,j=l,..., М,

при этом

а) если условие не выполняется, прогнозы yj исключаются и

производится перерасчет весовых коэффициентов (с возвратом к

пункту 2);

б) если все весовые коэффициенты положительны, то вы-

числяется значение обобщающего прогноза >'о и коэффициент

условной эффективности и^^/^^

где OQ — дисперсия ошибок комплексного прогноза; о? — дисперсия

ошибок наилучшего частного прогноза.

Так как в большинстве случаев точность прогнозов изме-

няется во времени, формулы оценки весовых коэффициентов

модифицируются так, что более поздним ошибкам присваивает-

ся большее значение; этим производится корректировка обоб-

щенного прогноза путем изменения весовых коэффициентов в

сторону наилучшего частного прогноза

у^^.

Уйт

11.Р]тУ]т>

где pjT

—

весовой коэффициент частного прогноза в момент времени Т;

yjf

—

частный прогноз в момент времени Т, Уог — обобщенный про-

гноз в момент времени Т.

Для повышения стабильности динамики изменения весов в

алгоритме их корректировки можно использовать схему экспо-

ненциального сглаживания.

В целом для проведения обобщения необходимо иметь не

менее двух адекватных моделей, а для повышения устойчивости

результатов количество обобщаемых частных прогнозов не

должно превышать пяти.

5.5. Многомерный анализ

Корреляционный анализ обеспечивает: а) измерение степени

связи двух или более явлений; б) отбор факторов, оказывающих

наиболее существенное влияние на результативный признак на

168

основании измерения степени связности между явлениями;

в) обнаружение ранее неизвестных причинных связей (кор-

реляция непосредственно не выявляет причинных связей между

явлениями, но устанавливает численное значение этих связей и

достоверность суждений об их наличии).

При проведении корреляционного анализа вся совокупность

рассматривается как множество переменных (факторов), каждая

из которых содержит п наблюдений;

хц^

— наблюдение / перемен-

ной

к;

х^

—

значение к-й переменной;

/=!,...,

п.

Основными средствами анализа являются парные, частные

коэффициенты корреляции, множественные коэффициенты

корреляции. Парные коэффициенты корреляции опосредованно

учитывают влияние других факторов. Для исключения этого

влияния определяют частные коэффициенты корреляции.

Парный коэффициент корреляции

между к-м и L-u факторами

вычисляется так:

_ /г я - 2 я _

2""'''^

Он служит показателем тесноты линейной статистической

связи, но только в случае совместной нормальной распределен-

ности случайных величин, выборками которых являются Л-й и

L-й

факторы.

При этих же предпосылках для проверки гипотезы о равен-

стве нулю парного коэффициента корреляции используется

/-статистика, распределенная по закону Стьюдента с я—2 степе-

нями свободы. Сначала критическое значение /-статистики, а на

его основе критическое значение коэффициента корреляции

рассчитывается так:

Если расчетное значение больше критического, то гипотеза о

равенстве нулю данного коэффициента корреляции отвергается

на соответствующем вероятностном уровне. Аналогичные выво-

ды имеют место при проверке значимости частных коэффици-

ентов корреляции.

Частный коэффициент корреляции

первого порядка между А:-м

L-M

факторами характеризует тесноту их линейной связи при

фиксированном значении

у-го

фактора. Он определяется

ruj

(ги -

г^

- r„)/W - r^)4i - г^)'Р .

169

Он распределен аналогично парному коэффициенту при тех

же предпосылках, и для проверки его значимости используется

/-статистика, но в которой число степеней свободы равно

я—3.

Частный коэффициент рассчитывается в общем виде при ус-

ловии, что все переменные фиксированные, следующим обра-

зом:

Гц

(части.) =

-DtL I

(Ои^ОиУ^\

где

Djf

— определитель матрицы, образованной из матрицы парных ко-

эффициентов корреляции вычеркиванием /-й строки

у-го

столбца.

Для каждого частного коэффициента корреляции аналогично

парному рассчитываются /-значение для проверки значимости

коэффициента, а также доверительные интервалы. При этом

дисперсия г-преобразованной величины равняется

1/(л—Z-3),

где

—

число фиксированных переменных (в профамме

L=m—2).

Для определения тесноты связи между текущей Л-й перемен-

ной и оставшимися (объясняющими) переменными использует-

ся выборочный множественный коэффициент корреляции:

А, = (l-^)/Z)tt)^/^

где D - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции.

Для проверки статистической значимости коэффициента

множественной корреляции используется величина

{l-R')/in-L-2)'

имеющая /"-распределение с I и

(n—L—2)

степенями свободы

соответственно.

Если рассчитанное /"-значение больше значения /"-распреде-

ления на соответствующем вероятностном уровне (0,9 и выше),

то гипотеза о линейной связи между

k-Pi

переменной и осталь-

ными переменными не отвергается. В профамме для каждого

коэффициента множественной корреляции выводятся F-

значение и процентная точка /"-распределения, которая ему со-

ответствует.

Регрессионный анализ. При регрессионном анализе решаются

следующие задачи: а) установление форм зависимости (положитель-

ная,

отрицательная, линейная, нелинейная); б) определение

функции регрессии. Важно не только указать общую тенденцию

изменения зависимой переменной, но и выяснить, каково было

бы действие на зависимую переменную главных факторов, если

170